Синергетическое управление механической системой «Перевернутый маятник на тележке»: линейное преобразование координат Текст научной статьи по специальности «Математика»

СИНЕРГЕТИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ «ПЕРЕВЕРНУТЫЙ МАЯТНИК НА ТЕЛЕЖКЕ»: ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ

Ал.А. Колесников, И.В. Кондратьев

Таганрогский государственный радиотехнический университет Университет штата Южная Каролина (США)

Более 30 лет в мировой литературе по теории управления рассматривается модель «перевернутого маятника на тележке» (inverted pendulum) [1-4]. Дело в том, что эта двухмассовая модель в определенной мере отражает разнообразные реальные механические системы - от ориентации космических аппаратов до поведения различных манипуляционных роботов и маятниковых, например транспортных систем. Эта модель из-за своих отличительных динамических особенностей стала своего рода «пробным камнем», тестом на эффективность для методов теории управления - от классических линейных методов, опиравшихся в основном на ПИД-регуляторы, до современных методов, базирующихся на технологии FNN - Fuzzy Neural Networks с использованием некоторой комбинации нечеткого регулятора совместно с ПИД-регулятором [2-4]. Следует отметить, что в большинстве работ, возможно за исключением [5, 6], рассматривались линеаризованные модели перевернутого маятника и тележки, что, разумеется, существенно ограничивает динамические свойства соответствующих систем управления положением маятника и тележки. Так, максимальный угол отклонения маятника от вертикального неустойчивого положения обычно не превышал 20-30°.

Возникает достаточно сложная задача управления полной нелинейной моделью «маятника на управляемой тележке» с достижением предельно допустимых углов отклонения маятника от верхнего неустойчивого положения с учетом ограничений на положение тележки, величину управляющей силы и др. Для решения указанной задачи были использованы методы синергетической теории управления [7] и далее представлены основные результаты этих исследований.

Математическая модель

Рассмотрим перевернутый маятник, показанный на рис. 1 и 2. Ось маятника монтируется на тележке, которая может перемещаться в горизонтальном направлении. Тележка приводится в движение небольшим мотором, который в момент времени t прикладывает к тележке силу fi(t), являющуюся управляющим воздействием системы. На основании анализа сил и перемещений можно получить нелинейную математическую модель системы:

Xl(t) = Xi\

x2{t) = х4;

x3{t)=u; (!)

■ 9 ■ 1

Х4 (t) = — sin 22 — 77 cos £2 • U.

Lj Lj

Здесь xi = s - горизонтальное перемещение тележки; X2 = (p - угловое отклонение

маятника от вертикального положения; хз = s(t), х4 = <p(i); т, L - масса маятника

~ХЭ-----сг

Рис. 1. Система «перевернутый маятник

на тележке»

Рис. 2. Кинематическая схема

и расстояние между осью и центром тяжести; J - момент инерции относительно центра тяжести; М - масса тележки; V = — эффективная длина маятника;

1

и =

М + т

mL COS Х2

V

ц - -

mLg sin(2x2) 2V

+ rriLx4 sin X2

(2)

Нелинейные дифференциальные уравнения (1), (2) описывают поведение системы «перевернутый маятник - управляемая тележка». Из этих уравнений следует, что одно и то же управление иЦ) и, следовательно, д(£), приложено к разным каналам, разделенным динамическими звеньями. В линейной теории это приводит к проблеме минимально-фазовости, что ограничивает управляемость системы. Именно это свойство и явилось, на наш взгляд, причиной многолетних недостаточно успешных попыток решить задачу синтеза эффективных законов управления верхним положением маятника путем воздействия на положение тележки.

Произведем следующее преобразование координат [1]:

zi-xi;

z2=xi(i);

Z3=X1+L'X2]

Zi = Xxit) + L'x2{t). Получим систему дифференциальных уравнений

¿i(t) = z2;

¿2 (t) = щ

¿з(*) = Z4\

(3)

(4)

¿4 (і) = 08ІП

Ч - Zi

+

1 - COS

zЗ - Zi

■и,

описывающую движение маятника и тележки в пространстве новых координат (3). Модель (4) является более конструктивной по сравнению с моделью (1) с точки зрения управления, хотя эти модели непосредственно связаны друг с другом через простое преобразование (3). Так, если положить для режима малых отклонений

эт •

Z3 ~zi ^ г з - Z\ ~

и cos ■

Z3 - Zi

L'o

1, то получим линеаризованную модель:

¿i(i) = z2; z2{t) = щ

Z3(t) = Z4;

Zi(t) = 77(23 - Z\).

(5)

В [1] на основе модели (5) показано, что положение и скорость маятника относительно тележки, так же как и скорость тележки, могут быть восстановлены по наблюдаемой переменной, но нельзя восстановить положение тележки. Отсюда следует необходимость физического измерения положения тележки и угла отклонения

маятника. Зная эти переменные, можно построить наблюдатель и регулятор, стабилизирующий маятник в режиме малых отклонений. Отметим, что в [1] выполнены исчерпывающие исследования линейной модели (5) маятника на тележке.

Законы управления для режимов средних и малых отклонений

Выше было показано, что для решения задачи управления верхним положением перевернутого маятника на тележке целесообразно разделить движение системы (4) на режимы больших и малых отклонений и, следовательно, синтезировать двухуровневую систему управления. При этом синтезируются отдельные законы управления соответственно для режимов больших и малых отклонений. Такой комбинированный подход, опирающийся на синергетический метод синтеза законов управления [5], позволяет успешно решить сначала задачу перевода маятника из области больших углов тележки в область средних и малых отклонений, а затем задачу устойчивой стабилизации вертикального положения маятника с учетом ограничения на допустимый ход тележки.

Перейдем к формулировке и решению задачи синергетического управления системой «перевернутый маятник на тележке» в режимах средних и малых отклонений. Необходимо найти закон управления ц(х!,х2,хз,х4), обеспечивающий устойчивый перевод системы в начало координат пространства состояний (а^ = О, г = 1,...,4). Для того, чтобы найти закон управления в виде функции переменных состояния системы, применим метод аналитического конструирования агрегированных регуляторов (АКАР) [7]. Так как функция и алгебраически связана с управляющим воздействием ц посредством выражения (2), то мы будем искать и, выполняющее задачу управления для системы (1). Рассмотрим режимы больших и малых отклонений маятника от вертикального положения и синтезируем законы управления для каждого из этих режимов.

В соответствии с процедурой метода АКАР введем последовательно две макропеременные

ф! = - V: (г!,г3,24);

■ф2 = Ъ - ь2^3,г4),

где г>1 и ь2 - внутренние управления, и потребуем выполнения уравнений

На многообразии гр2 = 0 (7) система описывается следующими уравнениями:

¿1^) = 22; ¿2 (0 = и; ¿з(*) = *4;

(б)

+ фг = 0, г = 1,2.

(8)

^3 — %41р)

Выбрав внутреннее управление v2 в виде

, / k\Z3^ 4" k2z4^ \ і

v2 = г3ф + arcsin І ----------—-----------І • L ,

(10)

обеспечиваем устойчивое решение задачи управления для системы (9) при к±, к2 >0. Далее, решая совместно уравнения (6)-(8), (10) относительно н и vly находим выражение для и, которое после обратного преобразования координат имеет следующий вид:

/11 |/24 COS J/зі \ \ .

” = и + й + --7^]<24-2г) +

-f-

V ( (1 1

9 + 7Г‘ +иЧ5Т + п

siny3i +

+

+

kl 1 Yx + à) Z4 + V {^9Zi + m siny3x) +

V 9У

9У I , • 2/34

—г узі + arcsm —-TiT2 \ g

(H)

где г/31 = г32/34 = *1^3 + А?2^4 + *з4; У - у1 “ 2/24 = + •

Поведение декомпозированной системы (9) с законом г;2 (10) на многообразии ф2 — 0 (7) описывается уравнением

2зіД*) + k2z3il(t) + kyZty = 0,

(12)

которое при > 0, к2 > 0 асимптотически устойчиво относительно гзф = ¿3^,(1) = 0. Если выбрать и2 в виде

U

v2 z= z3i, + — {kiZz^hzZ^ + кгг\ф) , то управление (11) в исходных координатах (3) примет вид

и = —

та\

к2 cos х2 -

Ті + Т2

■ ТгТ2 Тх+Т2

+ к2 cos х2 J хз

V h \ Ь'к2

{-g - L'k\)(xi + L'x2)

+ sin х2

ТгТ2 g + L'k\ +

ТіГ2

І ■+*

(Гі+т2)

ТіТ2д

ТіТ2д (х3 + Ь'хі) +

Движение системы на многообразии ф2 — 0 (7) описывается уравнением

(13)

(14)

2зф(і) + ffsin

k2Z3xp(t) + k3z^(t) + кгг3ф 9

0,

которое в отличие от (12) уже является нелинейным. Это уравнение асимптотически

к

устойчиво относительно г3ф — = 0 в области — 7г < —г3ф < 7г при к\ > 0,к2> 0,

к3 > 0. Для внутреннего управления у2 (10) область отработки начальных условий декомпозированной системой (12) будет больше по сравнению с у2 (13). Однако в последнем случае заметно упрощается вид внешнего управления (14).

Рис. 3. Фазовый портрет подсистемы маятника

Рис. 4. Фазовый портрет подсистемы тележки

На рис. 3-5 приведены результаты моделирования исходной системы (4) с законами управления и (11) и ь2 (Ю), а на рис. 6-8 - с законами и (14) и у2 (13). Моделирование производилось с параметрами: Т\ = 0,03; Т2 = 1; V — 0,1; Ь = 0,1; д = 9,8; к\ = 4; к2 = 2; кз = 0; // = 1; тп = 0,1; Д, = 100. Как видно, синтезированные законы управления обеспечивают устойчивую отработку углов отклонения маятника £2тах < 46° при управлении (11) и ж2тах < 35° при управлении (14).

Хотя эти законы синтезированы на основе укороченной системы (6), они позволяют отрабатывать значительные по величине углы отклонения маятника и положения каретки. Это указывает на эффективность синергетического метода АКАР, с помощью которого синтезированы указанные законы управления.

Синтез законов синергетического управления для больших углов подсистемы маятника

Выделим теперь из исходной системы (1), (2) подсистему маятника

х2(Ь) = х4;

. м 9 • 1 (15)

Х4 (г) = — 81П х2 - — 008 Х2 ' и.

1-1 1и

Найдем законы управления, выводящие систему (15) из области больших отклонений угла. Для этого введем макропеременную

ф = Х2

Рис. 6. Фазовый портрет подсистемы маятника

Рис. 7. Фазовый портрет подсистемы тележки

и потребуем ныполнения уравнения

ф(Ь) + airp(t) + а2ф — О,

(16)

гарантирующего попадание изображающей точки системы на ф = 0 при а\ > О, а2 >0.

Решая совместно уравнения (15) и (16) относительно и, получим закон управления для режима больших отклонений угла:

•*81ф

= /1(22,2:4) =

<?sini2 + а\Х4Ь' + a-ix-iL'

(17)

COS X'i

Помимо (17), можно предположить и ряд других законов управления в режиме больших отклонений. Например, можно выбрать следующий закон управления:

Usup = /2(32,14) =735tgl2 +ЩХ2 + Г/2Х4 +7/3X4. (18)

Тогда, с учетом (18), поведение системы (15) будет описываться дифференциальным уравнением

I/x2(t) + д{7з - 1)sinx2 + (7/1X2 + т±2(t) + 7/3X2(i))cosx2 = 0. (19)

При 7з ^ 1, 7/i > 0, т/2 > 0, 7/з ^ 0 уравнение (19) асимптотически устойчиво относительно Х2 =Х2=0.

Синтезированные законы управления (17), (18) позволяют решать задачу управления для большого диапазона углов отклонения маятника. Моделирование системы было проведено с использованием следующих параметров: = 0,03; '1\ — 1;

Рис. 10. Фазовый портрет подсистемы тележки

Ь\ = 0,1 Ь = 0,1; д = 9,8; к\ — 4; &2 = 2; к3 = 0; ах = 10; а2 = 200; М — 1; тп = 0,1; П$ — 100; щ = 2; щ = 4; туз = 1. На рис. 9-11 приведены результаты моделирования двухуровневой системы управления с законами управления (11) и (17), а на рис. 12-14 - с законами (11) и (18). Как видно из этих результатов, закон управления (11) для режимов средних и малых отклонений совместно с законами управления (17) или (18) для режимов больших отклонений позволяет стабилизировать маятник в верхнем положении при весьма значительных углах отклонения и некотором ограничении на положение каретки, что связано с отсутствием в законах (17), (18) координаты х\ и ее производной. В частности, достигнуты углы отклонения £2 шах ~ ±84°, что существенно превосходит известные в научно-технической литературе результаты [1-4]. Это указывает на высокую эффективность метода синергетического управления.

Автоколебания маятника и тележки

Как показали изложенные выше результаты, метод АКАР позволил принципиально продвинуться в решении старой задачи управления перевернутым маятником на подвижной тележке. Однако этот метод позволяет не только стабилизировать маятник в верхнем положении для значительных углов отклонения, но и обеспечить необычные режимы движения маятника и тележки, практически недоступные для других методов современной теории управления. К таким режимам относится, в частности, режим регулируемых автоколебаний, в том числе релаксационных,

Рис. 12. Фазовый портрет подсистемы маятника

Рис. 13. Фазовый портрет подсистемы тележки

возле верхнего положения маятника. Для синтеза законов управления и(х\...... х4).

обеспечивающих автоколебания маятника, запишем уравнения (9) на многообразии ф2 = 0 (7) в виде одного уравнения второго порядка:

•• /.\ • (z3 -ф — v2

¿3V-W = 9 sm І—у—

(20)

Для формирования режима автоколебаний целесообразно выбрать внутреннее управление у2(23ц:, ¿зй) и, следовательно, функцию ЬЧгз,/;, ¿;^.) так, чтобы уравнение (20) стало одним из известных уравнений теории нелинейных колебаний. Так, например, выберем внутреннее управление

{Я*3* ~ <7^ ~ агз^)^(0

Ъ2(гзф,Чф) — 23V- ~ Ь' arcsin

Тогда с учетом (21) уравнение (20) принимает вид

z3xp(t) - £(1 - агІф)і3ф(і) + гзф = 0.

Р(гзф,гзф)- (21)

(22)

Полученное уравнение (22), описывающее автоколебания маятника и тележки, является известным уравнением Ван-дер-Поля. Если же выбрать внутреннее управление

У2&зф,і3ф) = z3lp - L' arcsin

?(гзф,ізф), (23)

х4, рад/с-

\

/ \

— /

( /

С <^0

\ /

>

ч

** рад

-0,8

0

0,8

Рис. 15. Фазовый портрет подсистемы маятника

Рис. 16. Фазовый портрет подсистемы тележки

то декомпозированное уравнение (20) будет иметь вид

¿з- £ (1 - аі'Іф(і)) ¿3ф(і) + гзф = 0.

(24)

Уравнение (24) является известным в теории колебаний уравнением Релея. Решая совместно уравнения (6)-(8) и у2 (21), найдем внешний закон управления:

где

и = ІІ2 (І) + (21 - У2) ( - ^-(22 - щ{і)),

. № . /23-21

**(‘} = + (“гГ"

.. ^ д2¥ , д¥ . /23 , № . (гъ-гх

і*(0 = щг4 + — ввш + щдпт ^-р-

№ д (гг-гх\

(25)

(26)

Этот закон обеспечивает режим автоколебаний маятника и тележки на многообразии '02 = 0 (7) в соответствии с уравнением Ван-дер-Поля (22). На рис. 15 и 16 изображены фазовые портреты, а на рис. 17 представлены графики автоколебаний

Рис. 18. Фазовый портрет подсистемы маятника

Рис. 19. Фазовый портрет подсистемы тележки

маятника и тележки. Аналогично можно, подставив в (6)-(8) выражение г>2 (23), получить внешний закон управления вида (25), который также обеспечивает режим автоколебаний маятника и тележки в соответствии с уравнением Релея (24). На рис. 18 и 19 изображены фазовые портреты, а на рис. 20 представлены графики автоколебаний маятника и тележки.

Если выбрать внутреннее управление

V2(Z3ip, ¿З-ф) — z3ф £(1 az3ip)z3-0 (í)] ,

то декомпозированное уравнение (20) примет вид

¿M¿) - 9 sin | ^ [£(1 - аг%ф)гзфЦ) - г3ф\ | = 0. Подставив v-2 (27) в (6) (8), найдем внешний закон управления:

(27)

(28)

и =

(-Гг - T2)L'z¡ Т\т2

*+• &IJ -f-

L'(IW) -Тхд + Щ

+ [(£ - zl)z2 + ziz3 ~ zií] COS ‘ Z3 ^

(T2 + Ti)z2 TiT2 L'zizI

+

(—2T2 - 2T^L'zj T\T2g

_ Z\ -g-Lr

T\T2g

Ti

z3 +

sin

+

(29)

T\T2g

L'z¡ (-TiL'-TM-Kg-T^ + L'Qzt 9 T\T2g

Рис. 21. Фазовый портрет подсистемы маятника

х,, м

~1Д" -0,8 ~б о;в

Рис. 22. Фазовый портрет подсистемы тележки

Закон управления (29) согласно (28) обеспечивает режим автоколебаний маятника и тележки в соответствии с уравнением (28). На рис. 21-23 изображены соответствующие результаты моделирования.

Если выбрать внутреннее управление в виде

и

^2(23^,23^) — Ч-ф ~~ [23^ £ (1 (-*'2з^,(^)) ¿зу>(0] >

то декомпозированное уравнение примет следующий вид:

'¿зА*) -З^п (1 - а4ф^)) ¿3^(0 -23^,]| = 0.

Подставив г>2 (30) в (6)—(8), найдем внешний закон управления:

(30)

(31)

и =

(Т2 + Ті)ЗЇЬ'гІ , Т&д-ЪЬ'^ + ТЛЬ' -ТіЬ'І

Т{Т2

- бЬ'^г^дсов

+

г3 - г\

ТгТ2

яш

V ) тхт2

+ [(-Зг| + 1)г2 + Зг| - г4] £ сое

2і , (-Г2-Ті)г2 , (Ь' + д)г3 |

I -----т гг-,-----1---гл т------'

ТгТ2 ■ ТіТ2д

23~2і\

Т" -------Г

+

и ) Тхт2д (Тії1 + 6ТіТ2Ь'Ід2 - Ь'І + Т2У + Тід + Т2д)г4 ТіТ2д

Рис. 24. Фазовый портрет подсистемы маятника

-1,6

L _

-1,6 -0,8 0 0,8 1,6 Рис. 25. Фазовый портрет подсистемы тележки

1,6

0,8

0

-0,8

-1,6

x3(t).x4(t)

*<(*) \l \l

xjit) t

0 8 16 24 32 40

Рис. 26. Переходные процессы координат

Закон управления и (32) обеспечивает режим автоколебаний маятника и тележки, описываемый уравнением (31). На рис. 24-26 представлены результаты моделирования системы, подтверждающие изложенные выше положения о возникновении автоколебаний в синтезированной системе управления маятником и положением тележки. Подчеркнем, что указанные режимы автоколебаний практически невозможно обеспечить с помощью известных методов теории управления. Метод АКАР, основанный на синергетической теории управления, позволяет весьма эффективно решить задачу формирования режима автоколебаний маятника и тележки. Этот режим является асимптотически устойчивым движением системы.

Литература

1. Квакернак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977.

2. Elgerol O.I., Control Systems Theory,-Mc.Graw-Hill, New York, 1967.

3. Jang S., Araki M. Mathematical analysis of fuzzy control systems and on possibility of industrial applications // Trans. Soc. Instrum, and Contr. Eng., 1990, V.26, №11.

4. Saito Т., Togawa K. Controls of inverted pendulum: By the technique using the analog control elements // Res. Repts Nagaoka Techn. Coll., 1991, V.27, №2.

5. Колесников A.A. Синергетическая теория управления. Москва: Энергоатомиз-дат, 1994.

РАН. Техническая кибернетика, 1993. №3.

7. Брусин В.А. Глобальная стабилизация неустойчивой нелинейной двухмассовой системы // Известия РАН. Техническая кибернетика, 1991. №4.

СИНЕРГЕТИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ «ПЕРЕВЕРНУТЫЙ МАЯТНИК НА ТЕЛЕЖКЕ»: НЕЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ

Ал.А. Колесников Таганрогский государственный радиотехнический университет

В промышленности и технике широко распространены различные механические колебательные системы, модели которых имеют ряд отличительных особенностей с точки зрения проблем управления. В механике известны три эквивалентных способа описания движения - на основе второго закона Ньютона, уравнений Лагранжа и формализма Гамильтона. Все эти способы приводят к одинаковым результата^ путем пересчета начальных условий из одной системы координат в другие. При построении моделей механических систем на основе закона Ньютона или формализма Лагранжа образуется система дифференциальных уравнений второго порядка.

Указанные обстоятельства требуют некоторой модификации процедур метода АКАР. В этом случае функциональные уравнения целесообразно записывать также в виде системы уравнений второго порядка относительно макропеременных:

+ аи^*(*) + а2к'Фк = О, к ~ 1,2

где ш - размерность вектора управления.

В статье [2] были изложены результаты исследований по синтезу законов управления вертикальным положением маятника, расположенного на подвижной тележке, на основе линейного преобразования координат. Это позволило использовать укороченную модель системы. В результате применения метода АКАР для этой модели были синтезированы законы управления, обеспечивающие устойчивую стабилизацию маятника при максимальном угле отклонения от вертикального положения в 45 -г 50° и некотором ограничении на положение тележки.

Возникает идея поиска такого нелинейного преобразования координат, которое позволило бы расширить допустимый диапазон отклонения угла х2 до предельного: —0,57Г < Х2 < 0,57Г и, кроме того, чтобы на положение каретки Х\ ограничений не накладывалось. Это исчерпывающим образом решает поставленную в [1] задачу управления системой «перевернутый маятник на тележке». Перейдем к рассмотрению такого преобразования координат.