Синергетическое управление материальной точкой в гравитационном поле Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N1, 2024 Электронный журнал, рег. Эл № ФС77-39410 от 15.04.2010 ISSN 1817-2172

http://diffjournal.spbu.ru/ e-mail: _ jodiff@mail.ru

Управление в нелинейных и сложных системах Компьютерное моделирование динамических и управляемых систем Приложение в физике, электротехнике и электронике

Синергетическое управление материальной точкой в гравитационном поле

Братищев А.В*., Живолуп А.В.**

Донской государственный технический университет

*

avbratishchev@spark.mail.ru auditore1911@bk.ru

Аннотация. Рассмотрена задача управления межорбитальными манёврами точки в гравитационном поле. С использованием первых интегралов системы спроектирован достаточно простой синергетический регулятор. С его помощью исследована задача выбора оптимальной точки схода с начальной орбиты. При этом в качестве критерия выбрано максимальное значение тяги, создаваемой управлением. Рассмотрена задача перехода с начальной на конечную орбиту в случае касающихся орбит. Исследован вопрос выбора параметра, определяющего вектор управления.

Ключевые слова: гравитационное поле, эллиптическая орбита, межорбитальный манёвр, синергетическое управление

1. Введение

Задача управления межорбитальными перелетами имеет длинную историю и большую монографическую литературу (см., например, [1], [2]). Она начиналась с изучения двух предельных случаев управления - управления с помощью двигателей большой тяги (мощный импульс или последовательность импульсов) и с помощью двигателей малой тяги (длительное по времени ускорение не более 1 мм/сек ). Первые шаги описаны, например, в статье Т. Эдельбаума [3]. Цель настоящей статьи - рассмотреть промежуточный случай, когда тяга представляет собой не прямоугольный импульс, а всплеск или последовательность сравнительно небольших всплесков с последующим быстрым (экспоненциальным) затуханием. В рассматриваемых задачах

мы ограничимся рассмотрением точки с постоянной массой. Аппаратом исследования является синергетическая теория управления, изложенная в монографии [4] и электронном учебном пособии [5].

2. Случай круговых орбит

Напомним вид уравнений невозмущённого кеплеровского движения в плоскости Лапласа в декартовой системе координат

х" _ Vх (1)

У

(х2 + у2)3/2

„ W

(х2 + у2)3/2

и в полярных координатах х = г cos <р ,у = г sin <р

¡r» = r(p>2-JL (2)

{гф" _ —2г'ф'

где д - гравитационный параметр [6]. Полярная ось совпадает с линией узлов.

Воспроизведём синтез управления по выводу точки с начальной круговой орбиты радиуса г0 на конечную круговую орбиту радиуса И [4] при специальном выборе агрегированных переменных. Положим Ч ••= г' + к(г — И), Ч2 ■= ф' — ^^/И3. В соответствии с теорией требуется, чтобы движения проектируемого синергетического регулятора

г'' _г^'2 —■^+и1 (3)

гф'' _ —2г'ф' + ги2

с искомыми управлениями и1,и2 удовлетворяли уравнениям х¥[ _ — Ч[/Т, Т > 0, I _ 1,2. То есть агрегированные переменные являются частными интегралами системы (2) и потому

,2 И- 1

г

Т

г'ю' 1

Г I

Разрешаем данную систему относительно управлений:

2 ß 1 U1 = -rq> +-?-кг --Ч^

г2 I

г' w' 1

2 г Т 2

Пусть материальная точка начинает свободное движение в момент времени t _ 0, а включение управление происходит в момент времени t _ > 0 (момент схода с орбиты). Тогда закон её движения имеет вид

г

<Р"

7 «

ry'2--}, te[0,t0[

К

-кг'--(г'+ k(r-R)), t>t0 r'w'

2—^—, te[0,t0[

г

1

t>to

В момент t = 10 происходит скачок ускорения, но при этом движение и вектор скорости точки предполагаются непрерывными: состояние системы в конечный момент на первом временном участке [0, *;0] (г(Ь0), г'(Ь0), ф(Ь0), ф'(Ь0)) является начальным состоянием на [*:0, го).

Спроектируем по этой системе -модель [7] и с её помощью на примере проанализируем предлагаемый вектор управления. Выберем ¡х = 398600 км3/с2 , И = 22000 км, 10 = 10500 с « 2,9 ч , начальные условия г0 = 6700 км, , г01 = 0.06 км/с, рЫ0 = 0 рад, рЫ01 = 0.001 рад/с. и время функционирования 11 = 42000 с . Конфигурационный портреты начальной, конечной орбит и участок перехода приведены на Рис.1,2.

V.

-250 -1-1-1-1-1-1-1-1-1-

-250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250

Рис.1. Начальная, конечная орбиты и участок перехода при k=1, T=1

-250 -1-1-1-1-'-'-'-1-1-

-250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250

Рис.2. Начальная, конечная орбиты и участок перехода при к=0.001, Т=1000

Видно, что при большом значении параметра к и малом параметра Т переходной участок фактически совпадает с отрезком луча, выходящего из точки силы (0,0). При уменьшении к и

увеличении T траектория перехода приобретает вид нескольких витков спирали. На Рис.2 значение интеграла площадей конечной траектории выбрано отрицательным, и поэтому точка меняет направление движения при переходе с начальной траектории на конечную.

Проведены численные эксперименты по вычислению максимального значения тяги для значений пар параметров k= 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001, 0.0000001 и T= 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000. По их результатам можно сделать следующие выводы.

1) При каждом фиксированном k с ростом T соответствующее максимальное значение тяги сначала убывает, а потом начинает расти. При этом переходное время и число витков для достижения конечной орбиты возрастает.

2) При каждом фиксированном T с ростом k максимальное значение тяги сначала убывает, а потом начинает расти.

3) Для k= 0.001 минимум максимального значения тяги достигается при T= 100000 и равен 2 кгм/сек2. При k= 0.0001 и 0.00001 минимум максимального значения тяги достигается соответственно при T= 1000000 и 10000000 и равен 1.8 кгм/сек . При этом с уменьшением k на порядок переходное время и число витков для достижения конечной орбиты возрастает тоже на порядок.

Желая при каждом k совместить требования небольшого значения тяги с небольшими значениями переходного времени и числа витков для достижения конечной орбиты мы в дальнейшем будем полагать Т ■= 1/к.

3. Проектирование синергетического регулятора для произвольных эллиптических орбит

Первые интегралы уравнения движения (2) составляют 3 группы [6]. Интеграл площадей г2ф' = с, с Е R. Интеграл энергии г'2 + г2ф'2 -2^ = h. Интегралы Лапласа

| г3 cos ф ф'2 — д cos ф + r2r' sin фф' = f\ [г3 sin ф ф'2 — д sin ф — r2r' cos фф' = f2

Умножим первое и второе из последних уравнений соответственно на cos ф, sin ф и сложим их. г3ф' — ^= f1cosф + f2sinф. Тогда, учитывая интеграл площадей, получим такой первый интеграл ^.г — с2 + f1rcosф + f2 rsinф = 0. Он даёт уравнение орбиты точки в полярной системе координат. Обозначая f = ^f2 + f2, cos ш ■= fx/f, sin ш ■= f2/f, получим pr — с2 + f cos(ф — w)r = 0 или в виде г — р + е cos(ф — ш)г = 0, где е ■= f/p -эксцентриситет орбиты, определяющий её форму, р:= с2/^ - параметр орбиты, определяющий её размер, ш - угловое расстояние перицентра орбиты от восходящего узла.

Параметры с, е, ш вполне определяют и определяются кеплеровской орбитой в плоскости Лапласа.

Систему управления ищем в том же виде (3). Обозначим ■= г + е cos(ф — ш)г — р. Несложно проверить, что функция ^ ■= тр' + к~ф = (1 + е cos^ — ш)) г' — е sin(^ — ш)) гф' + к((1 + е cos^ — ш))г —р) является интегралом системы (2). Выберем её в качестве первой агрегированной переменной. При е = 0, то есть для круговых орбит, она совпадает с агрегированной переменной предыдущей пункта.

В качестве второй агрегированной переменной выберем функцию V2: = г2ф' — ■Jfip. Агрегированные переменные по определению должны быть интегралами проектируемой системы управления (синергетического регулятора). Это означает, что их производные в силу этой системы удовлетворим следующим уравнениям

Dt^i = (1 + е cos(^ — ш)) (гф'2 + U,) — е sin(^ — ш) (—2г' ф' + rU2) —

2

—е sin(ф — ш)г' ф' + к(1 + е cos(ф — ш))г' — е sin(ф — ш))г ф' — е cos(ф — ш)) гф' — ке — ш)) гф' = —кУх.

й1У2 = 2гг'ф' + г2 (—2^- + и2) = г2и2 = —кУ2.

Разрешим систему этих уравнений относительно и1,и2:

д 1 ( 2 ,— 1\

Ц-, = —? — кг'—~---т(гф' + кУ-, — kJapes\n(ф — ш)') — )

1 г2 1 +е^(ф — ш)\ ^ 1 ч^н ^

к

и2 = —

Тогда уравнение искомого синергетического регулятора принимает вид

V' = Гф'2 — кг' — 1 + е ^ — ш) (гф'2 + кУг — к/Й е ^п(ф — ш)) ^

г'ф' к 2 ---

Здесь уместно сделать несколько замечаний. В работе [8] синтезирован закон управления для некруговых орбит методом поэтапной динамической декомпозиции [4]. Он получился достаточно сложным. В монографии [9] (смотри также [5]) автор использует те же первые интегралы системы (2) для вывода нового закона тяготения, который в предельном случае переходит в ньютоновский закон. В качестве примера использования этого закона рассмотрена задача управления межорбитальным перелётом. Из приведённых там графиков видно, что соответствующая тяга малой не является.

Нас интересует движение точки по произвольной начальной орбите с параметрами с0, е0, ш0, переходной процесс и её движения по наперёд заданной конечной орбите с параметрами с, е,ш. Без потери общности (с точностью до поворота этих траекторий вокруг центра силы) будем считать ш0 = 0.

Б-модель спроектирована по такой системе дифференциальных уравнений

гф'2—-}, te[0,t0]

21

г'' = <гф —кг — ----гХ ...

' ^ г 1 + е ^(ф — а) (4)

(гф'2 + кУ, — к/Др е sin(ф — ш)) —),t>t0 .

^ х (гф'2 + кУ, — к/др е s\n(ф — ш) г'ф'

-2 —te[0,t0] 1 г ф к

Выведем формулу ускорения точки при управлениях и1,и2. Из х = г cosф ,у = г sinф имеем

2

= х' '2 + у' '2 = (г'' — гф'2)2 + (гф'' + 2г' ф')2 = (Д — и,)) + (ги2)2 =

кГ' + 1 + е Со1(ф — to) fa* + kXVl - е sin(V - й) + 72 (r2(p' - Jwf-

В нашем случае тяга двигателя (thrust) совпадает с дополнительным ускорением точки, возникающим при управлениях иг,и2, Переходя в системе (3) к декартовым координатам (смотри (1)) получим вектор тяги Т ■= (cos^ — sin ф rU2; sin^ + cosy rU2] , откуда

/д rep'2 + k^i — kjpp esm(y — to))1\

T2 = U22 + r2U2 = \±- — kr'----—---r- I +

\r2 1 + e cos(y — to) /

+ 2 ' /—Л2 (5)

Оценим асимптотическое поведение этой функции. Мы рассматриваем эллиптические орбиты, поэтому lei < 1.

Так как =—kW2, то r2(p'— = r(t0)2(p'(t0)e-k(t-to). Это даёт оценку роста последнего слагаемого в (5).

Решая дифференциальное уравнение Dt^1 = тр'' + к~ф' = —kip' — к2тр , получим ^ = г + е cos(y — to) г — р = ty(t0)e-k(t-to) + (ф'(t0) + k^(t0))(t — t0)e-k(t-t°\ откуда при t ^ от

р + 0(te-kt)

г =-.

1 + е cos(y — to)

То есть функция r(t) ограничена.

Решаем уравнения = —kW1. Х¥1 = -ф' + к~ф = ty'(t0) + k^(t0))e-k(t-t°\ откуда

-ф' = (1 + е cos(y — to)) г' — е sin(^ — to)) гф' = = —к-ф + (тф'(t0) + ty(t0))e-k(t-t°^ = 0(te-kt).

Продолжим оценку (5).

__rg)'2 = __г4у'2_= № + 0(e-kt) = 0Q.e-kt)

г2 1 + е cos(y — to) г2 г3(1 + е cos(p — to)) г2 r2(p + 0(te-kt))

kJ^pesin(^ — to)) ке sin(p — to))rp' kjp¿ е sin(y — to))

—kr'+—.--— = —----— + 0(te Kt) + —

r(1 + e cos(q — to)) 1 + ecos(q-to) r(1 + e cos(p — to))

ke sin(^ — to))(Jp^ + 0(e-kt)) kjpfi. e sin(^ — to))

+ -TT1-T~-+ 0(te-kt) = 0(te-kt).

г(1 + е соз(ф — ш)) г(1 + е соз(ф — ш))

Из последних трёх оценок и (5) следует ^ = 0(Хе-к1). Это значат, что начиная с некоторого момента тяга становится малой: 1ТЮ| < 1 мм/с2. Соответствующий момент времени обозначим

Обсудим вопрос момента отключения двигателя. Его можно производить, когда расстояние между изображающей точкой фазового пространства (г(1),г'(1), (р(Ь), (р'(Ь)) и точкой

Р

1 + е cos((p(t) — со)' р

и Jjlp

, j—e sin(cp(t) — со)) ,(p(t),——(1 + е cos(<p(t) — со))2

р2

конечной орбиты с той же самой угловой координатой будет меньше наперёд заданной

величины е. То есть

(r(t) — -

Р

+ е cos((p(t)

—i + {r'

Ш.

+ ( r'(t) — lp esin((p(t) — w))) +

+ (<p'(t)

Jüp

p2

(1 + e cos(p(t) — w))2) <£2.

Соответствующий момент времени обозначим тот.

Наконец, в качестве характеристик тяги будем брать максимальное её значение МахТ() и

интеграл ^ Т(т)йт. Величина последнего означает, что либо МахТ() велико, но тогда длительность всплеска мала, либо МахТ() невелико, но тогда достижение малой тяги затягивается.

Тестирование Б-модели, спроектированной по системе (4), для определения времени полёта по орбите с апогеем 327 км и перигеем 181 км (траектория полета Юрия Гагарина; Земля предполагается шаром с радиусом 6371 км) даёт удовлетворительный результат 89,4 мин.

Числовые расчёты на Б-модели проводились для характерных орбит и поэтому единицей измерения брались гектокилометры (1 гкм=100 км).

4. Характеристики маневрирования как функции параметра к

Вычислим эти характеристики на конкретном примере. Рассмотрим перелёт с начальной круговой орбиты с параметрами р0 = 6371 км, е0 = 0, ш0 = 0 на конечную круговую орбиту с параметрами р = 42164 км, е = 0, ш = 0. Исследуем влияние параметра к на время отключения двигателя тот при е = 0.0001, максимальною тягу Т двигателя, её интеграл по времени и число оборотов точки вокруг центра притяжения. При выбранном е отклонение от конечной орбиты в момент тот составляет не более 10 м. Момент достижения двигателем малой тяги (1мм/сек ) обозначим тмт.

Таб. 1. Зависимость между параметром к и характеристиками управления

2

2

k Тот МахГ кгм/сек2 fTdt Число витков Момент малой тяги гмт

0.03 10 мин 32000 7.901 0 11.25 мин

0.01 30.1 мин 3600 2.634 (2.682) 0 (0.5) 30.1 мин

0.001 5.02 ч 28 (36) 0.262 (1.449) 0.5 (2.7) 5 ч

0.0001 50.17 ч 4.2 (1.3) 0.328 (12.96) 3.8 (>30) 23.1 ч

В скобках указаны результаты эксперимента, когда конечная орбита будет начальной, а начальная - конечной.

Из таблицы следует, что при k=0.03, манёвр осуществляется по кратчайшему пути: он проходит вдоль луча из цента силы. С уменьшением параметра k растёт число оборотов точки вокруг центра силы для реализации манёвра. При этом уменьшается максимальное значение тяги.

5. Маневрирование в случае касающихся орбит

Пусть две орбиты задаются параметрами p¿, e¿, í = 1,2, r0, - их общая точка. Приведём формулу вектора скорости для орбиты с параметрами р, е, w.

V = (г' cos ^ — sin ^ r^', r'sin^ + cos^ г ф' } = sin^ — е sin w, cos^ + е cos ш }.

Тогда условие параллельности векторов скорости для орбит в этой точке пересечения примет вид

sin^0 + ех sin cos + ех cos sin^0 + е2 sin cos + е2 cos

и после упрощения

— sin(wx — — —sin(w2 — = sin(w2 —

Рассмотрим на примере задачу о манёвре между орбитами, имеющими общую точку касания, которая будет и точкой схода с начальной орбиты. Пусть начальная орбита имеет параметры рх = 9600, ех = 0,5, = 0, и выберем точку схода с неё = я/6. Положим = —я/6 и по последней формуле вычислим е2 = 0.224009238. Учитывая, что точка схода является общей для двух орбит, находим р2 = 7449.511318. На Рис. 3 изображены эти соприкасающиеся орбиты.

240 300

270

Рис. 3. Соприкасающиеся орбиты

При k=0.001 максимум тяги равен Max T=2.9 кгм/c . При этом момент достижения двигателем малой тяги равен тмт = 2.1 ч. Численные эксперименты показывают, что участок перехода с одной орбиты на другую отсутствует: точка в момент схода сразу попадает на конечную орбиту.

Последний факт также имеет место, если поменять местами начальную и конечную орбиты и если брать разные значения параметра к.

6. Выбор точки схода с орбиты

На примере двух непересекающихся орбит исследуем численно зависимость максимального значения тяги от точки схода с начальной орбиты. Выберем параметры начальной орбиты р1 = 8911 км, е1 = 0,33, = 0, а параметры конечной орбиты р2 = 18200 км, е2 = 0.492, = я/3. Точки на начальной орбите выбраны с шагом =30о. Значения параметра к=0.01, 0.001, 0.0001. Орбиты изображены на Рис. 4.

120 300 60

150 иж 200 & 30

210 \гШ 240 300 330

270

Рис. 4. Непересекающиеся орбиты

В результате численных экспериментов получена следующая таблица. Тяга измеряется в

кгм/с2.

Таб. 2. Максимальные значения тяги как функции угла схода с начальной орбиты

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330

0.01 710 520 420 370 400 600 1130 2000 2500 2200 1600 1030

0.001 3.8 3.8 4 4.7 6.4 10.2 17.3 26 27 16.6 6.8 4.3

0.0001 1.3 1 1.2 1.4 1.3 5 74 550 153 21 4.4 3.1

Обсудим результаты эксперимента.

1. На Рис.4 видно, что наименьшее расстояние между орбитами (вдоль лучей из центра силы) достигается на направления 90о Наибольшее расстояние - на направлении 240о Из таблицы видно, что для получения наименьшей максимальной тяги точку схода следует брать в диапазоне 30о - 60о в зависимости от значения параметра к. Для получения наибольшей максимальной тяги точку схода следует брать в диапазоне 210о - 240о.

2. При к=0.01 движение точки происходит вдоль луча из центра силы, поэтому минимальное и максимальное значения достигаются именно на направлениях 90о и 240о.

3. Чем меньше к, тем раньше должна быть точка схода, чтобы получить соответствующий экстремум тяги.

7. Заключение

1. Предложено параметрическое семейство синергетических управлений межорбитальным манёвром материальной точки в ньютоновском гравитационном поле.

Численные эксперименты с Б-моделью соответствующего регулятора позволяют сделать следующие выводы и предположения.

2. При малых значениях параметра соответствующая тяга близка к «малой тяге», переходной время и число витков для достижения конечной орбиты велико. При больших значениях параметра соответствующая тяга близка к «большой тяге», переходное время мало, а переходной участок близок к отрезку луча между орбитами, выходящего из центра силы.

3. Если начальная и конечная орбиты соприкасаются и точка схода совпадает с точкой касания, то переходной участок отсутствует: точка сразу переходит на конечную орбиту.

4. Для двух непересекающихся траекторий выяснялись точки схода (в терминах угла), при которых максимальное значения тяги на временном отрезке перехода достигает наименьшего или наибольшего значения относительно этой точки. Оказалось, что эти точки схода должны предшествовать соответственно наименьшему и наибольшему расстоянию между траекториями.

Литература

[1] Охоцимский Д. Е. Сихарулидзе Ю.Г. Основы механики космического полёта. М.: Наука, 1990

[2] Суханов А. А. Астродинамика. М.: ИКИ РАН, 2010

[3] Современное состояние механики космического полёта. Серия: «Механика космического полёта». Ред. Гуревич Ю. Г. М.: Наука, 1969

[4] Колесников А. А. Синергетические методы управления сложными системами. Теория системного анализа. М.: КомКнига, 2006

[5] Колесников А. А. Веселов Г. Е. Попов А. Н. Синергетическая теория управления. Электронный учебник. Таганрог: Южный федеральный университет, 2011-2014. http://synergetics.scp.sfedu.ru/biblio.html

[6] Дубошин Г. Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М: Наука, 1975

[7] Дэбни Дж., Харман Т. Simulink 4. Секреты мастерства. М.: БИНОМ. Лаборатория Знаний, 2003

[8] Зеленина Н. А., Попов А. Н. Синергетическое управление процессами орбитального маневрирования. Сборник трудов 7-й Всероссийской научной конференции «Системный синтез и прикладная синергетика» (ССПС-2015). - Таганрог: Изд-во ЮФУ, 2015

[9] Колесников А. А. Гравитация и самоорганизация. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2016

Synergetic control of a material point in a gravitational field

**

Bratishchev A.V., Zhivolup A.V.

Don State Technical University

*

avbratishchev@spark.mail.ru auditore1911@bk.ru

Abstract. The problem of controlling the interorbital maneuvers of a point in a gravitational field is considered. Using the first integrals of the system, a fairly simple synergetic regulator was designed. With its help, the problem of choosing the optimal point of departure from the initial orbit is investigated. At the same time, the maximum value of the thrust generated by the control is selected as a criterion. The problem of transition from the initial to the final orbit in the case of orbits touching is considered. The question of choosing a parameter defining the control vector is investigated.

Keywords: gravitational field, elliptical orbit, interorbital maneuver, synergetic control