CC BY
36
СИНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА НЕЛИНЕЙНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕШИВАНИЕМ
© Владимирский Э.И.*, Исмайлов Б.И.*
Азербайджанская государственная нефтяная академия, Азербайджанская республика, г. Баку
В работе продемонстрировано отображение синергетического подхода к реализации системы типа «перемешивание-идентификация-управление», организующая хаосоподобные структуры, характеризующиеся как регулярностью, так и хаотичностью.
В качестве критерия анализа состояний системы использовалось время возврата Пуанкаре. Реализация алгоритма осуществлялась по схеме «степень перемешивания - время возврата Пуанкаре». Представлена визуализация полученных результатов.
Ключевые слова: синергетика, хаосоподобные структуры, перемешивание систем, среднее времен возврата Пуанкаре, сложность траектории.
Обращение к постнеклассической картине мира позволяет увидеть множество неравновесных структур сложных открытых систем, к которым относится рассматриваемая нами парадигма - система управления хаотическими системами (процессами). Разработка структуры управления хаотическими системами рассматривается в то же время как пример функционирования сложной самоорганизующей, самоупорядоченной системы, то есть мы подошли к понятиям, которыми характеризуются синергетические структуры.
Здесь важно отметить особенность синергетики как науки в отличие от большинства новых наук, возникавших, как правило, на стыке двух ранее существовавших и характеризуемых проникновением метода одной науки в предмет другой. Синергетика как наука, возникает, опираясь не на граничные, а на внутренние точки различных наук, с которыми она имеет ненулевые пересечения. То есть синергетика выступает как междисциплинарная наука, что в свою очередь, определяет метасистемный уровень постановки задач и их реализацию.
В этой связи необходимо учесть такие понятия как когерентность и рефлексивность процессов, дополняющих концепцию синергетики.
При этом когерентность понимается более широко, чем в физике, а именно такая согласованность взаимодействия элементов, которая проявляется в масштабе всей системы.
* Старший научный сотрудник кафедры «Информационно-измерительная и компьютерная техника», кандидат технических наук, старший научный сотрудник.
* Научный сотрудник кафедры «Информационно-измерительная и компьютерная техника».
Важным параметром развития современной науки является заметный рост ее саморефлексивности. Понятие рефлексии в широком смысле применяется для обозначения актов самосознания, самопознания, самоанализа, самооценки - того, что можно было бы назвать «мышлением о мышлении». То есть обосновывается идея о том, что рефлексивный подход с опорой на методы объективного описания системы вместе с субъективными внутренними мирами является основой гармонизации объектов.
Большинство новых эффектов, открытых в последние годы, относятся к исследованиям процессов в нелинейных диссипативных системах и средах. Таким образом, ключом к пониманию сути сложных явлений и процессов является диссипативность и нелинейность динамической системы. Поэтому, если подходить к проблеме с самых общих позиций, то синергетика, теория диссипативных структур, физика открытых систем и нелинейная динамика -это важные составляющие одной общей науки о колебаниях и структурах, призванной описать явления в мире нелинейных систем, активно взаимодействующих с внешней средой.
В свете изложенного выше обращает на себя внимание проблема прогнозирования и управления нелинейными системами (процессами). Так, мировые вызовы, спровоцированные некогерентным взаимодействием гетерогенного трафика информационных потоков в таких отраслях как экономика, медицина, экология, социально политический аспект и др., активизируют парадигму институционального анализа этих процессов и принятия по ним удовлетворительных решений (satisfaction solution). Рост и интенсивность этих потоков вызывают нарастание хаотических процессов и эволюционные траектории в мировом пространстве становятся чувствительными к малым информационным воздействиям. В результате кумулятивного эффекта в определенный момент система может переходить с одной траектории эволюционного развития на другую.
До недавнего времени хаос ассоциировался с совершенно непредсказуемыми, неуправляемыми процессами, и сочетание слов «управление хаосом» казалось парадоксальным. Однако такое представление за последние десятилетия изменилось коренным образом. Оказалось, что именно хаотические системы являются более восприимчивыми к управляющим воздействиям и содержат более широкий спектр возможностей по сравнению с системами, динамика которых ограничена только регулярными движениями. Для существенного изменения поведения нехаотической системы, как правило, необходимы значительные изменения условий ее функционирования. В системе с хаотическим аттрактором тот же результат может быть достигнут малыми, определенным образом заданными, управляющими воздействиями. Кроме того, в ней существует счетное множество неустойчивых регулярных состояний, что неограниченно расширяет выбор возможных режимов работы системы. Поэтому малые воздействия позволяют управлять не только
переходами между этими состояниями, но и временем переходных процессов. Эти преимущества обусловлены структурой и свойствами хаотических аттракторов.
Таким образом, под управлением хаосом понимают преобразование хаотического поведения системы в регулярное или хаотическое, но с другими свойствами с помощью малых целенаправленных воздействий на систему.
Как отмечено выше, в хаотический аттрактор динамической системы встроено счетное множество седловых циклов различных периодов, и что при эволюции на нем изображающая точка время от времени попадает в малую окрестность каждого из них. Если в этот момент с помощью управляющего воздействия стабилизировать седловый цикл, то траектория останется в его окрестности и система начнет совершать периодические движения. Отсюда задача об управлении хаосом сводится к задаче о стабилизации определенных орбит, встроенных в хаотический аттрактор.
К настоящему времени в нелинейной динамике фактически сложились две в достаточной степени независимые ветви, посвященные исследованию консервативных и диссипативных систем. во многом это обусловлено объективными различиями в динамике систем, приводящиеся к необходимости применения различных методов для их численного исследования. Так, практически все методы исследования диссипативных систем связаны с исследованием структуры аттрактора, в то время как в консервативных системах аттрактор отсутствует. Однако в некоторых системах можно наблюдать переход от диссипативной к консервативной динамике при непрерывном изменении соответствующего параметра. При этом при приближении к консервативному случаю возникает весьма интересное поведение, демонстрирующее черты как консервативной, так и диссипативной динамики. Такое поведение называют «почти консервативным» [1].
Необходимо также отметить, что в связи с глубокими различиями между случайными и хаотическими системами [2, 3], а также учитывая гетерогенность информационных потоков, циркулирующих в этих структурах, возникает проблема их взаимодействия. То есть возникает вопрос «как влияет стохастическая составляющая на хаотический процесс».
Оказывается, что результирующее хаотическое поведение динамической системы существенно обязано своим возникновением не только действию динамических (детерминистских) законов, но и наличию статистических факторов [4].
Кроме того, в последнее время в связи с развитием синергетической концепции, выяснилось интересное свойство таких систем - оказалось, что нарастание интенсивности стохастических слагаемых может приводить не только к росту беспорядка, но и образованию упорядоченных структур, то есть самоорганизации системы, уменьшению ее энтропии [4]. Очевидно, по-
следнее связано с неконсервативностью объема фазового пространства, поскольку в полной замкнутой системе энтропия не может уменьшаться [4].
Взаимодействие автоколебательных систем, демонстрирующих хаотическую динамику, приводит к изменению структуры аттракторов, существующих в отсутствие взаимодействия. В свою очередь, эти изменения отражаются в структуре характерных временных интервалов таких, как времена возврата в секущую Пуанкаре [5, 6].
Сосуществование и, следовательно, взаимодействие основных элементов гамильтоновых систем (резонансов) и основных элементов диссипатив-ных систем (аттракторов), приводит к большому многообразию новых явлений в таких обратимых системах: получена модель нового типа для описания динамики, описываемой исходным отображением; обнаружено совпадение траекторий, построенных в соответствии с этой моделью, с траекториями, полученными согласно исходного отображения. Такое совпадение траекторий наблюдается именно в хаотическом режиме и на больших временах при наличии небольшого числа локальных отклонений между этими траекториями. Новые свойства так называемых обратимых отображений позволяют по-новому взглянуть на физические процессы в хаотических системах, в контексте управления ими.
Известно, что динамические системы со сложным характером траекторий можно описывать с точки зрения геометрии предельных множеств в фазовом пространстве, а также эволюцией фазовых траекторий во времени.
Особенностью временной динамики обратимых систем является так называемый возврат Пуанкаре, означающий, что любая траектория, стартующая из некоторой точки x0 фазового пространства, со временем бесконечное число раз пройдет сколь угодно близко от начальных условий.
В зависимости от режима функционирования системы времена возврата будут либо const (если движение есть устойчивое периодическое), либо квазипериодическим (при движении на и-мерных торах), либо представлять собой случайную последовательность времен тк = tk+1 - tk, где tk отвечают временам попадания фазовой траектории в г-окрестность x0.
Для хаотических аттракторов времена первого возврата ограничены: тк = 4н - tk < z для любых к = 1, 2, ..., что является следствием наличия в системе минимального множества. Движения на аттракторе, удовлетворяющие указанным свойствам, Пуанкаре назвал устойчивыми по Пуассону [5].
Однако возможности такого анализа сильно ограничены, так размерность фазового пространства сложной динамической системы, как правило, более 3. В связи с этим в работе [7] был предложен способ отображения m-мерной фазовой траектории состояния системы x(t) длиной N на двумерную квадратную двоичную матрицу размерности N х N, в которой 1 (черная точка) соответствует повторению состояния при некотором времени i в некоторое другое время j, а обе координатные оси являются осями времени. Такое
представление было названо рекуррентной диаграммой (recurrence plot, RP) и формально выглядит как [8]
RijS = d(si-||x,. -j), xeRm, i,J = Щ
где N - число рассматриваемых состояний xf, Sj - размер окрестности точки x в момент i; ||-|| - норма;
(%•) - функция Хэвисайда.
Как отмечено в работе [8], невозможно обнаружить полную рекуррентность в смысле xi = Xj (состояние динамической, а особенно - хаотической системы не повторяется полностью эквивалентно начальному состоянию, а подходит к нему сколь угодно близко). Таким образом, рекуррентность определяется как достаточная близость состояния xi состоянию xj, т.е. рекуррентными являются состояния xf, попадающие в да-мерную окрестность с радиусом Sj и центров в Xj. Эти точки Xj называются рекуррентными точками (recurrence plots).
Так как R = 1, i = 1, N, то рекуррентная диаграмма всегда содержит черную диагональную линию - линию идентичности (line of identity, LOI), под углом л I 4 к осям координат [7].
Здесь важно отметить, что произвольно взятая рекуррентная точка (i, j) не несет какой-либо полезной информации о состояниях во времена i и j. Только вся совокупность рекуррентных точек позволяет восстановить свойства системы.
В контексте использования нелинейного рекуррентного анализа для реализации различных прикладных задач необходимо учесть работу Л.Ю. Колесова и Н.Х. Розова [9], в которой дается новое определение хаотического инвариантного множества для непрерывного полупотока в метрическом пространстве. Отмечено, что предлагаемое определение обобщает известное определение Девани [9] и позволяет учесть специфическую особенность, возникающую в некомпактном и бесконечномерном случае, - так называемый турбулентный хаос.
Новое определение хаоса
В работе [9] было предложено определение хаотичности динамической системы, которое помимо чувствительной зависимости от начальных условий включает также требование сложности траекторий. Под сложностью авторы понимают отсутствие свойства рекуррентности. Для придания смысла термину «сложность» напомним понятие рекуррентности по Биркгофу [9].
Определение 1. Траектория y(x0) с A полупотока qf называется рекуррентной, если для любого s > 0 найдется такое T = T(s) > 0, что при каждом
t0 > 0 справедливо включение y(x0) с O£y[t, t0 + 7](x0)). Здесь y[t, t0 + 7](x0) -отрезок траектории y(x0), отвечающий значениям t е [t, t0 + T], а символом Od(-) обозначается г-окрестность соответствующего множества.
Отсюда вытекает следующее определение.
Определение 2 [9]. Траектория y(x0) полупотока q$, принадлежащая инвариантному множеству A, называется сложной, если для нее выполняется одна из следующих двух возможностей:
- а — предельное множество ®(x0) этой траектории пусто;
- справедливо равенство a(x0) = A, но сама траектория y(x0) не является рекуррентной.
Для оценки содержательности этого определения заметим, что не всякая траектория, не обладающая свойством рекуррентности, оказывается сложной.
Так, из определения 2 с необходимостью следует, что для сложной траектории, принадлежащей компактному множеству, должно выполняться включение y(x0) с a(x0).
Перемешивание
Важной проблемой при реализации управления хаотическими и стохастическими процессами являются системы с перемешиванием. Перемешивающее отображение возникает тогда, когда в фазовом пространстве близкие в начальный момент времени точки будут двигаться по экспоненциально расходящимся траекториям.
Необходимо отметить, что перемешивание влечет за собой эргодичность. Однако обратное утверждение неверно: из эргодичности не следует перемешивание [10]. Если система обладает перемешиванием, то ее поведение естественно считать хаотическим [10]. Мерой перемешивания служат ляпу-новские показатели.
В результате перемешивания многомерных систем могут возникнуть когерентные структуры, которые требуют проведения анализа и оценки этих образований.
В этой связи большой резонанс вызвали работы S.C. Shadden, Francois Le-kien, Jerrold E. Marsden [11], G Haller [12], J.M. Otlino [13], посвященные изучению когерентных структур Лагранжа, которые являются хребтами полей конечно-временных ляпуновских экспонент. Эти хребты могут быть рассмотрены как конечно-временные смешанные образования.
Концепция этих работ применима к потокам с произвольно временной зависимостью и, в частности, потокам, которые определены в конечном интервале времени.
Эта проблема еще более актуализируется при анализе смешанных нелинейных физических систем, в которых примерами когерентных Лагран-жевых структур являются стабильные и нестабильные многообразия фиксированных точек и периодических орбит.
На основании вышеуказанного была предложена структура управления нелинейными физическими системами типа «перемешивание - идентификация - управление», идеологической основой которой являются: принципы синергетики; теорема Пуанкаре о возвращении; нелинейный рекуррентный анализ; концепция сложности траектории.
Математическая модель
Пусть X произвольное множество отображений и М подмножество множества отображений с перемешиванием такое, что М с X.
Пусть (X, М, р) полное метрическое пространство гетерогенных отображений с перемешиванием и расстоянием р, натянутое на картеж
51 а> с,*), (1)
где ¿и{•} - степень перемешивания наблюдаемых х, - ^-мера;
I : !«{•} - идентификация степени перемешивания наблюдаемых;
С,* : /и{}^, г Ф у, г,у = 1,Ы, Се Я2 - управляющая матрица;
Я2у - рекуррентная диаграмма;
, - условие сложности траектории с перемешиванием;
*- условие рефлексивности при управлении.
Тогда £ е (X, М, р).
Рассмотрим постановку задачи подавления хаоса на примере стандартного отображения Чирикова.
Постановка задачи
Утверждение о том, что расщепление сепаратрисы резонанса и образование на ее месте хаотического слоя в типичной (т.е. неинтегрируемой) га-мильтоновой системе происходят почти при любом возмущении и считается центральным пунктом современных представлений. Считается также, что сепаратрисы разрушаются, в первую очередь, потому что имеют нулевую частоту и взаимодействие нелинейных резонансов в их окрестности всегда существенно [14, 15].
Переход от хаотического слоя к хаотическому морю с ростом параметра возмущения объясняется разрушением инвариантных кривых и иррациональными числами вращения и образованием так называемых канторторов [15].
Однако в [10, 15] обсуждались динамические эффекты образования инвариантных резонансных структур различных порядков, наличие которых исключает возможность развития глобального хаоса. Кроме того, исследовались динамические ситуации вблизи сепаратрисы целого резонанса в окрестности критического режима и выяснялись обстоятельства, обеспечивающие устойчивость этой сепаратрисы в критическом состоянии.
Таким образом, факт существования счетного множества значений критического параметра к, при которых сепаратрисы резонансов не разрушаются, несмотря на возмущающее влияние многих других резонансов, приводит к важным динамическим последствиям.
Вопросы, рассмотренные в [15], катализировали идею постановки задачи управления перемешивающими отображениями в контексте поиска регулярного и хаотического состояний системы.
Пусть уравнения Чирикова-Тейлора имеют вид [16-18]:
X = х - к*8т (у) (шо<!2* рг)
у' = у + к(у) (шо<!2* р1),
(2)
где к - параметр, определяющий ширину эргодического слоя.
В качестве перемешивающей системы взята кусочно-линейная функция (Википедия) вида:
Г ( х ) =
к х + Ь^,
X < X
к^ х + Ь, х < х < Х2
(3)
к„х + Ь
х_ < х,
где х1 < х2 < ... < хп - точки смены формул. Кусочно-линейную функцию задают на каждом из интервалов (-да; х1), (х1; х2), ..., (хп; отдельной формулой.
Для случаев аддитивного и мультипликативного перемешивания систем (2), (3) на базе математической модели (1) и, используя итерационный алгоритм, представленный в [4, 6, 8, 16, 17], проведены серии экспериментов, реализующие цели системы.
Аддитивное перемешивание
Так, на рис. 1а представлена траектория системы с перемешиванием.
12 — 10 -
4
2
а)
0
50
100
<1= 1.7396
Ф) е)
Рис. 1. Результаты анализа системы с аддитивным перемешиванием
1Ь - диаграмма Пуанкаре (матрица расстояний); 1с - рекуррентная диаграмма. На базе 1с, Ф определены средние времена возврата Пуанкаре 1е. Оказалось, что в результате в результате обучения системы по параметру С,* выявилась эквивалентность времен возврата в ограниченном интервале, что говорит о не расщеплении сепаратрисы.
Мультипликативное перемешивание
Ь)
с)
<1 1.749
Ф) е)
Рис. 2. Результаты анализа системы с мультипликативным перемешиванием
На рис. 2 продемонстрирован результат мультипликативного перемешивания, в результате которого сформировался хаотический режим.
Заключение
В заключении необходимо отметить, что в результате использования схемы «степень перемешивания-времявозврата Пуанкаре», в функции г-окрест-ности, был сделан вывод, что степень перемешивания (слабое возмущение) непосредственно не регулирует поведение систем с перемешиванием, а лишь формирует механизм их самоорганизации, т.е. формирование новых структур.
Список литературы:
1. Кузнецов А.П., Савин А.В., Савин Д.В. Отображение икеды: от диссипа-тивного к консервативному случаю // Изд. вузов «ПНД». - Т. 14, № 2. - С. 1-13.
150
50
00
100
50
50
0
50
00
0
50
100
50
2. Лоскутов А.М. Математические основы хаотических динамических систем // УФН. - 2007. - Т. 177, № 9. - С. 989-1015.
3. Шарипов О.В. Детерминированный хаос и случайность [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http//filosoph.historic.ru/books/item/fao/sao/ xaaa242T.
4. Владимирский Э.И. Времена возврата Пуанкаре при взаимодействии хаотических и стохастических систем // Восточно-Европейский журнал передовых технологий. - 2012. - № 6/4 (6). - С. 4-8.
5. Афраймович В., Угальде Э., Уриас. Фрактальные размерности для времен возвращения Пуанкаре. - М.; Ижевск: НИИ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. - 292 с.
6. Анищенко В.С., Астахов С.В. Теория возвратов Пуанкаре и ее приложение к задачам нелинейной физики // УФН. - 2013. - Т. 183, № 10. -С. 1009-1027.
7. Eckmann Y.P., Oliffson S., Kamphorst O., Ruelle D. Recurrence plots of dynamical systems // Europhysic Lett. - 1987. - № 4. - Р. 973-977.
8. Владимирский Э.И., Исмайлов Б.И. Нелинейный рекуррентный анализ как математическая модель управления хаотическими процессами // Информационные технологии. - 2011. - № 5. - С. 42-45.
9. Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Турбулентный хаос // Современная математика и ее приложения. - 2009. - Т. 64. - С. 39-53.
10. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников А.А. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. - М.: Наука. 1991. - 229 с.
11. Shadden S., Lecien F., Marsden J. Definition and properties of Lograngi-an coherent structures from finite time Lyapunov exponents in two dimensional aperiodic flows // Physica. - 2005. - D 212. - Р. 271-304.
12. Haller G., Yuan G Lagrangian coherent structures and mixing in two dimensional turbulence // Physica. - 2000. - D 147. - Р. 352-???
13. Отлино Джулио М. Перемешивание жидкостей // Scientific American. -1989. - № 3, март. - С. 34-44. - Издание на русском языке.
14. Лоскутов А.Ю. Динамический хаос. Системы классической механики // УФН. - 2007. - Т. 177, № 9. - С. 989-1013.
15. Вячеславов В.В. Подавление динамического хаоса в гамильтоновых системах // ЖЭТФ. - 2001. - Т. 119, вып. 4. - С. 853-861.
16. Владимирский Э.И., Исмайлов Б.И. Синергетические методы управления хаотическими системами. - Баку «ELM», 2011. - 240 с.
17. Мамедов Р.К., Владимирский Э.И., Мустафаева С.Р. Аномальная диффузия и ее влияние на хаотические системы // Информационные технологии. - 2013. - № 3 (199). - С. 15-19.
18. Чириков Б.В. Резонансные процессы в магнитных ловушках // Атомная энергия. - 1959. - Т. 6, № 6. - С. 630-638.
