CC BY
22
УДК 621.316
Е. Р. БОДРЯКОВ, С. А. КУРГАНОВ
СИМВОЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПО ЧАСТЯМ МЕТОДОМ НЕЗАВИСИМЫХ СХЕМНЫХ МИНОРОВ
Метод независимых схемных миноров обобщён на неравновесные подсхемы, что позволяет применить его для формирования как знаменателя, так и числителя передаточной функции. Это многократно уменьшает число раскрываемых схемных миноров и снижает время анализа.
Ключевые слова: неравновесные подсхемы, нуллор, схемный минор, тождества Якоби.
Метод схемных миноров (СМ) позволяет формировать символьные передаточные функции и выражения токов и напряжений для сложных электрических цепей по частям [1]. При этом искомые функции формируются в дробно-рациональном виде, удобном для аналитического исследования. Недостатком метода является многократный рост числа СМ, необходимых для получения результата, при увеличении числа полюсов подсхемы. Так, подсхема с тремя полюсами имеет 6, а подсхема с восемью полюсами - уже 3432 схемных минора [1].
В работе [2] предложено раскрывать часть СМ, которые названы независимыми СМ, а остальные получать c помощью тождеств Якоби. Так, для подсхемы с восемью полюсами достаточно раскрыть 51 независимый СМ, а остальные 3381 СМ можно получить с помощью тождеств. Однако такие СМ формируются только для равновесных подсхем, содержащих одинаковое число нораторов и нуллаторов, которые характерны для знаменателей искомых откликов.
В то же время при нахождении числителей откликов чаще используются неравновесные подсхемы, в которых число нораторов (нуллато-ров) на единицу меньше, чем нуллаторов (нора-торов) [3]. Это связано с тем, что независимый источник воздействия и нагрузка, которые в методе СМ заменяются норатором и нуллатором соответственно, находятся в разных частях схемы, и, следовательно, в разных подсхемах.
Схемно-минорные тождества по теореме Якоби для неравновесных подсхем
По теореме Якоби «минор 5-го порядка присоединённой матрицы Ä равен произведению (5-1)-й степени определителя А на 5-кратное алгебраическое дополнение данной
матрицы A» [4, с. 170]. Порядок матрицы
© Бодряков Е. Р., Курганов С. А., 2013
равен п. Индексы 7ь..., 78 ирь...,р8 - любые перестановки из различных целых чисел 1...п. Присоединённая матрица получается из исходной матрицы заменой элементов а7р алгебраическими дополнениями элементов ар.
Формирование схемно-минорных тождеств по теореме Якоби для равновесных подсхем изложено в работе [2]. При этом независимыми СМ являются миноры 0-го и 1-го порядков. Остальные СМ - зависимые и определяются через независимые СМ с помощью указанных тождеств.
Основные правила формирования тождеств сохраняются и для неравновесных подсхем. Особенности построения тождеств для неравновесных СМ по сравнению с равновесными СМ заключаются в следующем. Во-первых, для этого нужен неполный комплект независимых СМ, так как к собственному полюсу подсхемы всегда должен быть подключён норатор или нуллатор. Во-вторых, отпадает необходимость нахождения СМ при всех замкнутых полюсах, так как данный СМ не используется ни в формуле бисекции для неравновесных подсхем [3], ни в формулах по теореме Якоби [2].
Например, для одного из миноров второго порядка четырёхполюсной подсхемы (рис.1, а) уравнение по тождеству Якоби имеет вид
^1234 (00110110) = _ Д(00100010)Д(00010100) - Д(00100100)Д(00010010)
= Д(00000000) '
(1)
где цифрами 1, 2 и 3 обозначаются общие полюса подсхемы на рис. 1, а, цифрой 4 узел, соответствующий подключению в подсхеме независимого источника воздействия Е; А - схемный определитель, при этом позициям нулей и единиц в двоичном векторе схемного определителя соответствуют узлы подключения 1-4.
Е
а б в
Рис.1. Четырёхполюсная подсхема (а) и её СМ: Д(00100010) (б) и СМ Д(00010100) (в)
Окончательная схемно-минорная формула, соответствующая (1), имеет вид:
(2)
Схемный минор, соответствующий определителю Д (00100010) в формуле (1), изображён на рис.1,б, он получается из исходной подсхемы (рис.1, а) подключением к третьему узлу нора-тора и нуллатора относительно базисного узла, что сооветствует позициям нулей и единиц в обеих половинах двоичного векора определителя. Остальные СМ, приведённые в выражении (1), получаются аналогично (на рис.1, в приведён также СМ Д(00010100) ).
Число схемно-минорных тождеств определяется числом различных схемных миноров порядка от 2 до п (п - число полюсов подсхемы, не считая базисного узла) и определяется по формуле [3]:
п
'Фп+1 = ^^п 1 ^п, (3)
¿=2
где / - индекс суммирования - порядок схемного минора; С^, 1- число сочетаний из п элементов по / и (/-1) соответственно. Формула (3) получена из формулы для общего числа схемных миноров неравновесного (п+1)-полюсника путём выбора схемных миноров 2, 3, ..., п-го порядка [3].
Независимые схемные миноры для неравновесных подсхем
Число независимых схемных миноров определяется числом СМ первого порядка за вычетом из этого числа ряда СМ этого же порядка, в которых положение единиц в первой и второй половине двоичного вектора совпадают, а также числом СМ нулевого порядка.
^Н+1 = (п + 1)2 + 1 - (П + 1) = (п - 1)2 - п. (4)
Это число независимых схемных миноров, начиная с числа полюсов (п+1)=5, многократно (в десятки и сотни раз) меньше общего числа равновесных схемных миноров (строка 3 из табл. 1). Следовательно, при их использовании затраты на формирование определителя сокращаются многократно.
^Н+1 = ^Н + 2п. (5)
Все вышеприведённые замечания справедливы лишь при подключении генератора ЭДС (тока) и приёмника напряжения (тока) к базисному узлу исследуемой схемы. В общем же случае, когда источник и приёмник подключаются между произвольными узлами, от начальной исследуемой схемы необходимо перейти к эквивалентной: при наличии генератора ЭДС и приёмника напряжения в такой схеме входное и выходное напряжение представляется в виде разности узловых напряжений; если же схема содержит генератор и приёмник тока, то входная воздействующая величина может определяться как разность токов, протекающих между узлами подключения и базисным узлом, или же генератор тока может быть заменён последовательным соединением генератора ЭДС и комплексного сопротивления и находиться по вышеизложенному алгоритму. Выходная величина тока в данном случае находится по закону Ома при известном выходном напряжении.
Число независимых СМ, необходимых для определения откликов в схемах с генератором и приёмником тока (напряжения), подключённым к произвольным полюсам (табл.1, строка 5), в два раза больше независимых СМ, находящихся по формулам (2) и (3), так как определение искомой переменной сопряжено с нахождением разности узловых напряжений или разности токов.
Таблица 1
Число независимых схемных миноров (СМ) и число неравновесных СМ
(п+1) -полюсника
Число полюсов п+1 3 4 5 6 7 8 9 10
Число независимых СМ для равновесных схем 'ф%+1 5 11 18 27 38 51 66 83
Число равновесных СМ +1 6 20 70 252 924 3432 12870 48620
Число независимых СМ для неравновесных схем 7 13 21 31 43 57 73 91
Число независимых СМ для неравновесных схем ^Н+1 при расположении источника и приёмника не относительно базисного полюса 14 26 42 62 86 114 146 182
Число неравновесных СМ +1 4 15 56 210 792 3003 11440 43758
При использовании независимых СМ для формирования символьных схемных функций (ССФ) путём бисекции с использованием неравновесных СМ, как и для метода двоичных векторов [1], изменяется только алгоритм нахождения символьных выражений СМ. Независимые СМ раскрываются как обычно методом схемных определителей [1], а для остальных требуемых СМ записываются схемно-алгебраические тождества. Их раскрывать не нужно, и в этом состоит экономия вычислительных затрат.
Для примера рассмотрена контурная сеть, которая состоит из шестнадцати контуров с четырьмя узлами каждый и имеет подключённые к базисному узлу источник ЭДС и приёмник тока. Для нахождения числителя (знаменателя) искомого тока применяется формула пятиузловой би-секции [3]. При использовании метода независимых СМ из 56-ти схемных миноров для каждой подсхемы, используемых в бисекционной формуле, достаточно найти только 21 независимый минор: определитель схемы (при разомкнутых полюсах) и 20 миноров первого порядка.
Двадцать четыре зависимых минора второго порядка первой (второй) подсхемы находятся через независимые схемные миноры с помощью схемно-минорных тождеств. Аналогично находятся СМ последующих порядков: 24 СМ третьего порядка и 4 СМ четвёртого порядка для первой (второй) подсхемы через найденные по формулам Якоби СМ более низкого порядка.
Обе последовательные формулы - на основе независимых СМ и полного набора СМ - тождественны. Однако число мультипликативных и аддитивных операций в формуле на основе независимых СМ в 3 и 2,6 раз соответственно меньше, чем в формуле, полученной путём раскрытия всех неравновесных схемных миноров. Следует отметить также большую разницу и в числе раскрываемых СМ для сравниваемых методов, так для метода независимых СМ для обеих подсхем необходимо найти 42 СМ, в то время как по методу неравновесных СМ их общее число равно 112, т. е. в 2,7 раз больше.
Вывод
Применение независимых схемных миноров и схемно-алгебраических формул на основе теоремы Якоби позволяет в десятки - сотни раз сократить число раскрываемых схемных миноров и значительно уменьшить вычислительные затраты при анализе электрических цепей по частям.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Филаретов, В. В. Метод двоичных векторов для топологического анализа электронных схем по частям / В. В. Филаретов // Электричество.-2001.- № 8.- С. 33-42.
2. Бодряков, Е. Р. Применение независимых схемных миноров для анализа линейных электрических цепей по частям / Е. Р. Бодряков, С А. Курганов // Синтез, анализ и диагностика электронных цепей: Международ. сб. науч. тр. - Ульяновск : УлГТУ, 2011. - Вып. 9. - С. 108118.
3. Курганов, С. А. Формирование передаточных функций электронных цепей по частям методом неравновесных двоичных векторов / С. А. Курганов, В. В. Филаретов // Схемно-алгебраи-ческие модели активных электрических цепей: Синтез, анализ, диагностика: Тр. международ. конф. КЛИН-2005 - Ульяновск : УлГТУ, 2005.Т. 3.- С. 106-116.
4. Сигорский, В. П. Анализ электронных схем / В. П. Сигорский.- Киев : Гос. изд-во техн. лит. УССР, 1963.- 176 с.
Бодряков Егор Романович, студент 4-курса энергетического факультета Ульяновского государственного технического университета. Курганов Сергей Александрович, доктор технических наук, профессор кафедры «Электроснабжение» УлГТУ.
