Симплектические динамические системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

MSC 37J05

СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ SYMPLECTIC DYNAMICAL SYSTEMS

А.В. Субботин, Ю.П. Вирченко A.V. Subbotin, Yu.P. Virchenko

Белгородский национальный исследовательский университет, Россия, 308015, г.Белгород, ул. Победы, 85 Belgorod National Research University, 85 Pobedy St, Belgorod, 308015, Russia

E-mail: virch @ bsu.edu.ru;

Аннотация. В работе вводится понятие симплектической алгебры дифференцируемых функций и на основе этого понятия определяется класс симплектических динамических систем, который является расширением, в некотором смысле максимальным, класса гамильтоновых систем аналитической механики. Доказывается, что для каждойсимплектической системы существует диффеоморфизм, который переводит эту систему в гамильтонову, и, наоборот, каждый диффеоморфизм, который преобразует фазовоепространство

R2n переводит гамильтонову систему в некоторую симплектическую.

Resume. The concept of symplectic algebra of differentiable functions is introduced. On the basis of this concept, the class of of symplectic

dynamical systems is defined. It is an extension of the hamiltonian systems class which is an investigation object of analytical mechanics. The introduced

class is maximal in a sense. It is proved that there is a diffeomorphism that for each symplectic system translates the

system into a hamiltonian one. Otherwise, each diffeomorphism that transforms the phase space R2n translates the hamiltonian system into a symplectic one.

Ключевые слова: динамическая система, гамильтониан, симплектическая матрица, каноническое преобразование, тождество Якоби, тождество Лейбница

Key words: dynamical system, hamiltonian, symplectic matrix, canonical transformation, Jacobi's identity, Leibniz' identity.

Введение

Известно, что основой одного из вариантов формализации классической механики является их запись в гамильтоновой форме (см., например,

[1]), которая является объектом исследования одного разделов математической физики, который называется аналитической механикой (см. [2]). Формализм гамильтоновых динамических систем и связанный с них лагранжев формализм, обобщенные на случай бесконечномерных (пространственно распределенных) динамических систем, являются, в настоящее время, основой при построении фундаментальных динамических уравнений современной теоретической физики (см., например, [3]). В разное время производились попытки представления установленных к тому времени базовых уравнений динамики сплошных сред при пренебрежении в них диссипативными членами, в гамильтоновой или лагранжевой форме. Более того, с определенного момента времени [4-6], стали считать, что гамильтонова (лагранжева) форма эволюционных уравнений механики сплошных сред, в условиях отсутствия диссипативных механизмов, управляющих динамикой, должна быть руководящим принципом при построении этих уравнений в тех случаях, когда локальное мгновенное состояние среды характеризуется набором параметров, не имеющих простой геометрической интерпретации так, что их изменение

при малом изменении времени довольно затруднительно описать «естественным образом» руководствуясь только феноменологическими соображениями (см., например, [7, 8]). Вместе с тем, при дальнейшем развитии этого направления теоретических исследований физических систем было установлено, что требование гамильтоновости (лагранжевости) формы эволюционных уравнений является, все-таки, довольно стеснительным и не позволяет сконструировать адекватные уравнения для описания динамики нематических жидких кристаллов [9], не говоря уже о более сложных по внутреннему устройству жидкокристаллических средах: смектических и холестерических. В связи с этим нами была выдвинуто предложение [10], расширить разумным образом класс тех динамических систем - объектов изучения аналитической механики, на основе которых могли бы

конструироваться эволюционные уравнения в указанных случаях. В настоящей работе мы предлагаем результаты изучения, с математической точки зрения, простейших свойств класса динамических систем, которые мы назвали симплектическими. Этот класс является довольно естественным расширением класса гамильтоновых систем, которое было предложено в уже процитированной работе [9].

Симплектические системы

Любая гамильтонова система размерности 2п с набором динамических координат Х = (Р,0 е Я2п , определяемых наборами обобщенных импульсов Р = (р1,р2. ■ >Р„) и

обобщенных координат 0 = ($1,Ц2,■ ■ ■ ,Цп), которые составляют пары ■ ■ ■ ,(р„,д„)

канонических сопряженных пар переменных, и с гамильтонианом Н(Х) = Н(Р, О) представляется системой 2п обыкновенных дифференциальных уравнений

Р = -Н 0 = -Н

дО дО

(1)

определяющих изменение со временем этих динамических переменных. Она эквивалентна соответствующей ей невырожденной лагранжжевой системе из п уравнений второго порядка при условии отличия от нуля детерминанта

Г д2 Н Л

дpi др

* 0

(2)

1 У г,1=1

1=1+п

Вводя матрицу

3 = (0 - Л

1 0

система (1) записывается в терминах 2п-мерного вектора X динамических координат

г 4 дх.

где здесь и далее используется соглашение о повторяющихся индексах, принятое в тензорной алгебре. Система (з) кратко записывается в виде

X = (^ )Н(Х), где V = (д / дх};} = 1 - 2п) , и эту запись мы будем в дальнейшем

использовать. Невырожденные замены переменных У = Я(Х), которые не изменяют вида динамической системы (3), то есть такие, при которых динамическая система

дН(У)

дУ,

y t=J ijV^ - {H(R(X)) = H(X)

снова является гамильтоновои системой,

xt=(s_1 (X))ik J JSX)X

ГдН(У)Л

fyj

s_dR(X) ÔX

] УУ=Я(Х)

называются каноническими преобразованиями.

Матрица 3 обладает очень важными алгебраическими свойствами 32 = -1, 3Т = -3 . Наличие этих свойств дало повод к следующему расширению класса гамильтоновых систем.

Прежде всего введем в рассмотрение класс произвольных матриц-функций

I: Я2п ^ Я2п х Я2п , заданных на фазовом пространстве систем вида (з), таких, что все их значения -

матрицы 1(Х),Х е Я2п обладают алгебраическими свойствами, аналогичными указанным выше свойствам матрицы 3,

12 (Х) = -1, 1Т(Х) = -IX) (4)

Такие матрицы называются симплектическими. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Для любой симплектической матрицы I существует такая ортогональная матрица и, ииТ = иТ и = 1, что матрица I представляется формулой I = и1ит .

Введем, далее, в рассмотрение на пространстве дифференцируемых функций /: Я2п ^ Я,

заданных на фазовом пространстве Я 2п бинарную алгебраическую операцию, которую мы, следуя традиции, будем обозначать посредством фигурных скобок {.,.} и называть скобкой Пуассона. А именно, для каждой упорядоченной пары функций / и g из указанного класса результат

применения этой операции будем обозначать посредством Скобка Пуассона обладает, по

определению, следующими алгебраическими свойствами. Она антисимметрична, то есть для любой пары имеет место

{/,Я\= -{&/} (5)

Она линейна по первому аргументу и, автоматически, в силу антисимметрии, по второму аргументу,

k/l + a2f2 >g}= a ifl , g} + a2 if2 , g\ (6)

Она удовлетворяет тождеству Лейбница относительно произведения функций по первому

аргументу и, автоматически, в силу антисимметрии, по второму

аргументу,

i/l/2,g}= ifl, g}/2 + f 1 if2 , g } (7)

Наконец, она удовлетворяет тождеству Якоби для любой тройки дифференцируемых функций / , g и h,

if ig, h}}+ ih i/,g}}+ ig, ih,f}} = 0 . (8)

Наличие свойств (5), (6) и (8) указывает на то, что скобка Пуассона определяет на

пространстве дифференцируемых функций, заданных на R2п , бесконечномерную алгебру Ли. Наличие же дополнительного алгебраического свойства (7) позволяет говорить о специальном типе алгебр Ли, которые называются пуассоновыми алгебрами. Посредством операции скобки Пуассона определяются динамические системы

XX = iX,H(X)}. (9)

Каждая из таких систем может быть преобразована в гамильтонову систему посредством некоторого невырожденного преобразования R : R n ^ R 2n . Это утверждение составляет содержание теоремы Дарбу [11], которая утверждает, что:

Для любой операции скобки Пуассона, обладающей свойствами (5-8), найдется такой диффеоморфизм R , который переводит систему уравнений (9) в гамильтонову систему.

Естественно, если система вида (9) не является гамильтоновой и, на основании теоремы

Дарбу, посредством преобразования R переводится в гамильтонову, то преобразование R, согласно данному выше определению, не является каноническим. Поэтому динамические системы вида (9), строго говоря, не являются гамильтоновыми и составляют более широкий класс динамических систем по сравнению с классом гамильтоновых систем. Мы называем такие системы пуассоновыми. Однако, в процитированных выше работах [7, 8], посвященных их применению при конструировании эволюционных уравнений механики сплошных сред, они также называются гамильтоновыми системами.

Определим теперь класс динамических систем, который является еще более обширным по сравнению с классом пуассоновских систем и который является объектом изучения настоящей работы. Системы этого класса мы называем симплектическими системами.

Определение. Динамическую систему X = F(X) , определяемую диффеоморфизмом F : R2n ^ R2n , будем называть симплектической, если она является четномерной и отображение F определяется посредством формулы

F(X) = (I(X),V)H(X). (10)

на основе некоторой дифференцируемой функции H: R2п ^ R и симплектической матриц-функцией I : R2п ^ R2n х R2n , значения которой являются симплектическими матрицами,

12 (X) = -1, IT(X) = -IX).

В следующем разделе мы изучим простейшие свойства симплектических динамических

систем.

Основные свойства симплектических динамических систем

Пусть имеется матриц-функция I(X),X е R2n . Определим бинарную алгебраическую операцию на пространстве дифференцируемых функций, которую будем обозначать посредством {,.}. Эту операцию определим сначала на константах и функциях - образующих алгебры

x ■, j = 1 ^ 2n посредством следующих формул

[1,X] = [1,1]= 0, [x„xj\=Ij(X) . (11)

При применении к этим функциям операция обладает свойством антисимметрии, так как матрицы Iy(X) антисимметричны при всех X е R2n .

Далее распространим это определение на произвольные мономы

/(Х) = Хш,ш = 1щ1 Хт = х?.^ ,g(X) = Xl, ¡ = {11 ,...,¡2^ X1 = х;1^11

так, чтобы выполнялось тождество Лейбница (7). А именно, положим, индукцией по степени

мономов 1 и т, положив X1 = х ,■ ■ ■, X

г1 Ч

[х1,Хт]=1^ Х1 ...хп , + ■■■+ х: ...хп , /ч , = 4(Х)УкХт

1 г л 1Jl 12 1\т\ 11 1\т\-1 У | т \ У * ' к

где \т\ = т + ■■■ + ш2n. За счет антисимметрии операции {,■} это правило распространяется на выражения [х1 ]. Тогда

имеет место

[Xl,Xm ]=Ij (X)(VtXl)(V jXm ), (12)

которое содержит в себе, в частности, значения (11) при I1 0 , Пусть теперь функции / и g определяются рядами

f = T%Xl, g = T-mXm,

I и mm!

где H=^!..J2n!, m!=ml!...m2n!, a =а / , а—т m ■ Продолжим определение операции

h,■ ■ ■ ' zn v'"' 2n

{.,.} на функции f и g по линейности

\f,g \=T Ori [X'Xm \=T a-Ъ(х)( v v ,xm) =

imrnum! imrnum!J 7

а л

= Ij(X)( Vt T 1fX')( v 7 T -mLXm) = Ij (X)( VJ( V jg).

I I! mm! J 7

Таким образом, нами получена формула

\f,g ]=hX)(vj(v jg), da)

которая позволяет явным образом применять операцию {.,.} к произвольным аналитическим функциям. Затем посредством замыкания продолжаем эту операцию на произвольные дифференцируемые функции f и g. Операция, определяемая формулой (13), обладает свойствами (5-7). Например, для произвольных функций f,g1,g2 , имеем

\f,g1 g 2 ]=I13(X)( VJ( v jgg ) = ij(X)(g 2 (VJ( v jg! )+g,( VJ( v jg 2

Введение операции {.,.} (симплектической скобки) позволяет записать с ее помощью симплектическую динамическую систему (10) в виде

X = \х ,H(X] (14)

Операция {.,.} превращается в скобку Пуассона, если для нее дополнительно выполняется тождество Якоби. Следующая теорема устанавливает критерий для матриц-функции I(X), выполнение которого превращает симплектическую скобку в скобку Пуассона. Теорема 1. Если матриц-функция I(X) удовлетворяет тождеству

in (XV (X)+1ji Xvj^+Ijxvjjjx = 0, (15)

то операция {.,.}, определенная посредством этой матриц-функции, удовлетворяет тождеству Якоби.

Возьмем произвольные три дифференцируемые функции f,g,h и рассмотрим выражение \f, \ghb \h,\f,g Ц+\g,\h,f ц=

= \f,Ij(X)( V ig)( V jh)\+ \h,Ij(X)( VJ( V jg)\+ \g,Ij(X)( Vh)( V jJ)\ = = Iki(X)[( Vkf)V1 (Ijj (X) (Vjg) (V jh)) +

+ (Vkh)V1(I1j(X)( V if)( V jg)) +

+(^^(¡^ V

= \IJXV гЦх№ к$( vгg)(v ]к)+^^^ ^+

{Iк1(Х)1/Х)1( Vkj)( V ¡( V1g)( V ]к)) + ( Vkg)( V ¡( V1h)( V $) + ( V кИ)( V ¡( V г $( V

Заменой индексов суммирования первые три слагаемых приводятся к виду

(Vк$ (Vig) (V к){(1к (XV ¡¡1 (X))+(¡11XV ¡к к (X))+(I 1 1 (XV ¡¡к (X))) = 0,

согласно условию теоремы. Остальные слагаемые записываются в виде

{IШ(Х)Ц (Х\ ^ V(V г^)( V к)) + ( кЕ)( V/V гк)( V !$)+( ^ кк)( V ( V V ]Е))\ = = {¡к1 (Х)1кк х)[( Vк$ (V ^ (VIV к)+(V Л (V к) (VI г&) + +( Vкg)( V1 к)( VIV ^ + ( Vkg)( V VIVI к) + +$с*1 V ^+(Vк)(У V, м.

После замены индексов суммирования, например, для третьего слагаемого 1 ^ 1, и по такому же принципу для пятого и шестого слагаемых, в результате, получим

Ikl(X)Ij (X)((V гVJh)[(Vkf) (У,g) - (V J (Vkg)] +

+ (VtVjg)[(Vkh)(vj - (Vh)(vj] +

+ (VIVjf)[(Vkg)(VIh) - (V,g)(Vkh)\).

Затем заменим i k , j ^ l и при этом каждая из квадратных скобок меняет знак, а остальные составляющие этого выражения остаются неизменными. Это означает, что это выражение равно нулю.

Очевидно, что класс симплектических систем, хотя и является более широким по сравнению с классом гамильтоновых систем. Существенно, что среди симплектических систем существуют такие, которые приводятся некоторым преобразованием фазового пространства, связанным с системой, к гамильтоновым системам. Такие симплектические системы будем называть приводимыми. Найдем критерий приводимости симплектической системы.

Теорема 2. Если матриц-функция I(X), порождающая симплектическую систему представима в виде

I(X) = ST(X)J(X)S(X), (16)

где матрицы S(X) ортогональны при любом X е R2n и для матриц функции S(X) выполняется условие

j _ ôsJX) dxk dxj

(17)

то такая симплектическая система является приводимой.

На основе матриц-функции 8(Х) определим преобразование Я(Х) фазового пространства

Я2п на себя такое, которое является решением дифференциального уравнения

?RXL = S(X) dB)

dX

и начального условия R( 0 ) = 0. Ввиду выполнимости условия (17), это уравнение разрешимо, так

как при каждом значении i = 1 ^ 2n правая часть S/X) представляет собой потенциальное поле

относительно векторного индекса j = 1 ^ 2n .

Используя (16) и условие ортогональности матриц S(X), S(X)ST(X) = 1, подсчитаем значение симплектической скобки

г 1 dR(X) dR,(X

[R,(X),R j(X\=Imn (X) -jX) = Im (X)Sim (X)Sjn (X) =

j дхт dxn

= (S(X)I(X)ST (X)) =Ij.

Вычислим теперь производную по времени для вектора Y = R(X) . Согласно определению,

имеем

Y = s(x)X = (s(x)i(x), v X )H(X).

Так как Vx = (sT(X), Vy)h(RT1 (Y)), то, определив H(Y) = H(RTl(Y)) , получим

Y- = (s(X)I(x), Vy )H(Y) = J,v y W(Y).

Список литературы

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики / М.: Наука, 1989. - 472 с. Arnold V.I. Matematicheskie metody klassicheskoi mekhniki / M.: Nauka, 1989. - 472s.

2. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике / М.: Наука, 1966. - 300 с. Gantmakher F.R. Lektsii po analiticheskoi mekhanike / M.: Nauka, 1966.- 300s.

3. Тирринг В. Курс математической и теоретической физики. Часть 1. Классические динамические системы / Киев: TIMPANI, 2004. - 264 с.

4. Волков Д.В., Желтухин A.A., Блиох Ю.П. Феноменологический лагранжиан спиновых волн // ФТТ. - 1971. - 13, № 6. -С.1668-1678.

Volkov D.V., Zheltukhin A.A., Bliokh Yu.P. Fenomenologicheskii lagranzhian spinovikh voln //FTT, - 1971. - 13. № 6.- P.166B-167B.

5. Волков Д.В., Желтухин A.A. Феноменологический лагранжиан спиновых волн в пространственно-неупорядоченных средах // ФНТ. - 1979. - 5, №11. - C.1359-1363.

Volkov D.V., Zheltukhin A.A., Fenomenologicheskii lagranzhian spinovikh voln v prostranstvenno-neuporiadochenykh sredakh // FNT. - 1979.- 5, № 11. - P.1359-1363.

6. Андреев А.Ф., Марченко В.И. Симметрия и макроскопическая динамика магнетиков // УФН. - 19B0. - 130, № 1. - C.37-63.

Andreev A.F., Marchenko V.I. Symmetria I makroskopicheskaya dinamika magnetikov // UFN. -1980.- 130, №1. - P.37-63.

7. Dsyaloshinskii I.E., Volovick G.E. Poisson brackets in condensed matter physics// Ann. Phys. -19B0. - 125:1. - P.67-97.

8. Исаев А.А., Ковалевский М.Ю., Пелетминский С.В. О гамильтоновом подходе к динамике сплошных сред // ТМФ. - 1995. - 102:2. - C.2B3-296.

Isayev A.A., Kovalevskii M.Yu., Peletminskii S.V. O gamiltonovom podkhode k dinamike sploshnykh sred // TMF. - 1995. - 102: 2. - P.2B3-296.

9. Кац Е.И., Лебедев В.В. Динамика жидких кристаллов / М.: Наука, 1988. Kats E.I., Lebedev V.V. Dinamika zhidkikh kristallov / M.: Nauka, 1988.

10. Вирченко Ю.П., Субботин А.В. О понятии обратимости динамических систем // Belgorod State University Scientific Bulletin. Mathematics \& Physics. - 2015. - \No5(202); 38. - С.138-147.

11. Дарбу Ж.Г. Избранное по механике / Ижевск: Удмуртский государственный университет, 2012. - 256 c.