Симметрии уравнения Гойна и преобразования Окамото для уравнений Ковалевской-Пенлеве Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 4. 2009. Вып. 4

УДК 517.589, 517.923, 517.926 А. Я. Казаков, С. Ю. Славянов

СИММЕТРИИ УРАВНЕНИЯ ГОЙНА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОКАМОТО ДЛЯ УРАВНЕНИЙ КОВАЛЕВСКОЙ-ПЕНЛЕВЕ

Штрихи к портрету В. А. Фока. (Этот раздел написан вторым автором.) Последние два года учёбы в университете я часто бывал в университетском флигеле - в отделе теоретической физики и наблюдал Владимира Александровича вблизи. Конечно, даже наши преподаватели относились к нему с большим пиететом, а мы, студенты, не рисковали вступать в беседу с ним, тем более, что его слуховой аппарат по большей части был отключён. Хотя Владимир Александрович был заведующим отделом теоретической физики, но я не видел, чтобы он с кем-либо говорил начальственным тоном. Он был как бы не над нами, а в параллельном миру.

Вместе с тем Владимир Александрович всё время сохранял чувство собственного достоинства. Я наблюдал это, когда мы были в конце 1960-х гг. в Харькове на конференции по дифракции и распространению волн (кстати, слово «дифракция» он всегда писал с двумя «ф» в полном соответствии с латинским diffractus). Конференция проходила в военной академии, вход в которую шёл через подвал. Начальник академии лично встретил Владимира Александровича, но тот жёстко определил свои «правила игры», потребовав открыть нормальный вход. Вход так и не был открыт, а Владимир Александрович на конференцию так и не пришёл.

Впоследствии все болели за Владимира Александровича, когда он боролся с ректоратом, закрывшим на замок входную калитку в университетский двор с набережной Невы. Здесь Владимир Александрович частично победил - ему выдали собственный ключ от калитки. Полную победу он праздновал, когда в советской печати появились статьи о том, что начальник управления внешних сношений Академии наук Пеньков-ский оказался английским шпионом (настоящим!), а именно он отказал Владимиру Александровичу в поездке в Великобританию (к Дираку).

На физическом факультете в те годы работало несколько академиков, но Владимир Александрович Фок и Владимир Иванович Смирнов были действительно известны во всём мировом сообществе физиков. Тем, кто с ними общался - им повезло.

Одной из любимых своих работ Фок считал статью о симметрии атома водорода. Первый доклад на эту тему он сделал на научном семинаре Физического института 8 февраля 1935 г., а впоследствии на сессии Академии наук 23 марта. Статья была опубликована в двух журналах: «Известия АН СССР» [1] и «Zeitschrift fur Physik» [2]. В основе исследования лежало интегральное преобразование Фурье - переход к импульсному пространству. Далее было доказано, что получившееся интегральное уравнение имеет решениями четырёхмерные шаровые функции. Следствием стал вывод, что задача имеет симметрию группы 0(4) и значения энергии не зависят от орбитального числа. Впоследствии данная работа послужила базой для многочисленных исследований по связи симметрии динамических уравнений с теорией групп.

© А. Я. Казаков, С. Ю. Славянов, 2009

Авторы настоящей публикации ищут симметрию уравнений Гойна - уравнений с четырьмя регулярными особыми точками и связывают эту симметрию с симметрией уравнений Пенлеве. Ранее последние были известны как преобразования Окамото.

Уравнение Гойна. Гипергеометрическое уравнение имеет три регулярные особые точки 0, 1, то. Многие задачи квантовой механики, в частности задача об атоме водорода, имеют решения в терминах решений уравнений гипергеометрического класса. Если добавить ещё одну регулярную особую точку Ь, получится уравнение Гойна с четырьмя регулярными особыми точками (К. Неип, 1889). Дополнительному параметру можно в ряде задач приписать смысл параметрически введённого времени. Различные вырожденные и редуцированные формы этого уравнения и их решения также хорошо известны в задачах квантовой механики, к ним принадлежат, например, сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции. Можно добавить ещё одну (пятую) особую точку - ложную. В ложной точке матрица монодромии тривиальна, она пропорциональна единичной матрице. Соответствующее уравнение назовём деформированным уравнением Гойна (Неип1). Интегральные преобразования Эйлера для уравнения Гойна известны. В данной работе описаны интегральные соотношения для решений уравнения Неип1, а также соответствующие симметрии уравнения Пенлеве.

Преобразование Эйлера линейной системы. Исходным объектом рассмотрения удобно взять систему 2 х 2 уравнений первого порядка с четырьмя регулярными особыми точками 0, 1, Ь, то (система Шлезингера):

Здесь А,В,С,Е - 2 х 2-матрицы, не зависящие от г; Ш(г) - 2-вектор функция. При различном выборе матричных коэффициентов этой системы можно получить, редуцируя систему к уравнению второго порядка, уравнение Гойна, уравнение Гойна с дополнительной одной ложной особой точкой, уравнение Гойна с двумя дополнительными ложными особыми точками. Здесь мы обсуждаем вариант с одной ложной особой точкой, т. е. систему, которая сводится к деформированному уравнению Неип1. Интегральное преобразование Эйлера для системы вычисляется относительно просто.

Представим решение системы (1) в виде

где Ф(Ь) - 2-вектор функция, а контур интегрирования Ь располагается на комплексной плоскости подходящим образом. Интегрируя по частям, нетрудно показать, что Ф(Ь) при этом будет решением системы, аналогичной (1), с коэффициентами {А, В, С, (а — 2), Е+(а — 1)В} вместо {А, В, С, —а, Е}. Таким образом приходим к цепочке: Неип1 - (связь с помощью редукции) - система 2 х 2 -(интегральная связь (2)) - система 2 х 2 - (связь с помощью редукции) - Неип1. В новом уравнении Неип1 параметры будут известными функциями от параметров исходного уравнения Неип1, причём зависимость будет рациональной - это связано с тем, что данный факт выполняется для каждого звена указанной цепочки. Таким способом мы приходим к интегральным симметриям Неип1. Интегральные симметрии уравнения Неип1, в свою очередь, приводят к симметриям матриц монодромии этого уравнения [3]. Напомним, что матрицы монодромии описывают глобальное поведение решений линейного дифференциального уравнения - их преобразование при аналитическом продолжении вдоль различных

(г2А + гВ + С) — = (~агА + Е)\¥.

(1)

(2)

ь

контуров на комплексной плоскости. В совокупности матрицы монодромии образуют группу монодромии данного уравнения.

Уравнения Пенлеве. Изомонодромными деформациями линейных дифференциальных уравнений называют такие деформации его параметров, которые не меняют его группу монодромии. Хорошо известно, что изомонодромными деформациями систем линейных уравнений «управляют» системы нелинейных дифференциальных уравнений [4]. В частности, изомонодромными деформациями уравнения Heunl «управляет» уравнение Пенлеве P6 (R. Fuchs, 1906, см. [5]), так что параметры уравнения Heunl при изомонодромной деформации связаны с решениями уравнения P6. Сами уравнения класса Пенлеве появились на 10 лет раньше как уравнения, для которых рима-нова поверхность решений определяется только положением особых точек уравнения и не зависит (по структуре) от начальных данных (свойство Ковалевской-Пенлеве) (S. Kovalevskii; 1886. P. Painleve, 1898). Недавно один из авторов (С. Ю. Славянов, 1996) показал, что уравнения класса Пенлеве возникают как результат «антиквантования», т. е. формальной замены в гамильтониане квантовых переменных на классические, уравнений класса Гойна [6].

Преобразования Окамото. Окамото (Okamoto, 1986) предложил свои преобразования уравнений Пенлеве (сохраняющих свойство Ковалевской-Пенлеве) - бираци-ональные преобразования - вне связи с линейными уравнениями. Совокупность этих преобразований индуцирует группу Окамото. Как было указано выше, интегральные симметрии уравнения Heun1 индуцируют симметрии монодромии уравнения Heun1, так что изомонодромная деформация исходного уравнения Heun1 приводит к изомо-нодромной деформации конечного уравнения Heun1. В силу указанной выше связи, уравнения Heun1 с решениями уравнения P6, интегральные симметрии Heun1, индуцируют симметрии уравнения Пенлеве. Так как параметры исходного и конечного уравнений Heun1 связаны бирациональными соотношениями, возникающие таким образом симметрии уравнения Пенлеве также являются бирациональными и представляют собой частные случаи преобразований Окамото. Детальное изложение представленных результатов можно найти в [7].

Литература

1. Фок В. А. Атом водорода и неевклидова геометрия // Изв. АН СССР. 1935. № 2. С. 169-179.

2. Fock V. A. Zur Theorie des Wasserstoffatoms // Zs. f. Phys. 1935. Bd. 98. S. 145-154.

3. Казаков А. Я. Интегральные симметрии, интегральные инварианты и матрицы монодромии для обыкновенных дифференциальных уравнений // Теор. мат. физика. 1998. Т. 116. № 3. C. 323-335.

4. Iwasaki K., Kimura H., Shimomura S., Yosida M. From Gauss to Painleve: a modern theory of special functions. Braunschweig: Vieweg, 1991.

5. Sibuya Y. Linear differential equations in the complex domain: problem of analytic continuation. Providence: AMS, 1985.

6. Славянов С., Лай В. Специальные функции: единая теория, основанная на анализе особенностей. СПб., 2002.

7. Казаков А. Я., Славянов С. Ю. Интегральные симметрии Эйлера для деформированного уравнения Гойна и симметрии уравнения Пенлеве PVI // Теор. мат. физика. 2008. Т. 155. № 2. C. 252-264.

Принято к публикации 1 июня 2009 г.