Симметричные цилиндрические нормальные волны в анизотропном волноводе типа пластины Текст научной статьи по специальности «Физика»

ПРОМЫШЛЕННОЕ РЫБОЛОВСТВО. АКУСТИКА

УДК 534.231.1

С.М. Балабаев, Н.Ф. Ивина

Дальневосточный государственный технический рыбохозяйственный университет,

690087, г. Владивосток, ул. Луговая, 52б

СИММЕТРИЧНЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ НОРМАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ В АНИЗОТРОПНОМ ВОЛНОВОДЕ ТИПА ПЛАСТИНЫ

Получено дисперсионное уравнение цилиндрических нормальных волн в анизотропном волноводе типа пластины. Рассчитаны дисперсионные зависимости безразмерного волнового числа (действительные, мнимые и комплексные моды) для симметричных нормальных волн в анизотропной пластине из пьезокерамики двух типов. Рассмотрено влияние анизотропии на дисперсионные соотношения. Показано, что учет этого влияния для материалов со значительной анизотропией приводит к существенным изменениям спектра волновых чисел.

Ключевые слова: нормальные волны, анизотропный волновод, дисперсионное уравнение.

S.M. Balabaev, N.F. Ivina SYMMETRICAL CYLINDRICAL NORMAL WAVES IN ANISOTROPIC PLATE WAVEGUIDE

Dispersion equation of cylindrical normal waves in anisotropic plate waveguide is obtained. Dispersion dependences of undimensional wave number (real, imaginary, and complex modes) for symmetrical normal waves in anisotropic plate from two types piezoceramics are calculated. The influence of anisotropy on dispersion correlations is considered. It is shown that calculation of this influence for materials with considerable anisotropy leads to essential changes of spectrum of wave numbers.

Key words: normal waves, anisotropic waveguide, dispersion equation.

При построении точной теории пьезоэлектрических преобразователей произвольных размеров и решении ряда дифракционных задач, а также при неразрушающем контроле материалов и проектировании ультразвуковых линий задержки возникает необходимость предварительного вычисления полного набора корней дисперсионного уравнения нормальных волн волноводов различных типов, в частности, в виде пьезо-пластины, являющейся анизотропной по своим акустическим и электрическим характеристикам.

Нормальные волны в твердом изотропном волноводе типа пластины рассмотрены в классической монографии [1]. Волны в стержневом волноводе исследованы в статьях [2, 3]. Симметричные и антисимметричные цилиндрические нормальные волны в пье-зопластине в изотропном приближении рассмотрены в работе авторов [4]. Целью данной статьи является изучение влияния анизотропии пьезокерамики на характеристики нормальных волн пьезопластины.

Рассмотрим в качестве волновода пьезопластину толщиной 2h, в которой распространяются цилиндрические нормальные волны, вектор смещения которых имеет только радиальную и осевую компоненты u (u , u ).

Учет упругой анизотропии (как будет показано ниже) не приводит к принципиальным изменениям характеристик нормальных волн, однако выделение продольной и поперечной составляющих в структуре нормальной волны уже неправомерно; поэтому задача решается относительно вектора смещения и (иг, иг).

Уравнения движения в цилиндрических координатах (г, р, г) запишем в виде [5]

д 2и да да

а -а

р_,_ __г +__г + гг рр

дt2 дг дг г

д 2и да а да

Р_^ _ _^ Г2 +__г^

дt2 дг г дг

(1)

где р - плотность, t- время, а к - компоненты тензора напряжений. Закон Гука для анизотропной пьезокерамики (симметрия да тт ):

ди

а _ е-

рр 12

иг

+ еп^- + е

ди

ди

и

ди

13

а _ е13

13

дг г дг

(ди и Л ди —^ + + е

V дг г

а _ е11—- + + е13—^

гг 11 _ 12 13 _

дг г дг

(ди ди Л

33

дг

а _ е55

гг 55

V дг дг )

(2)

где е к - компоненты матрицы упругих постоянных пластины.

Временная зависимость предполагается гармонической ехр(-¡о), о - круговая частота.

Подставив выражения для компонент тензора напряжений (2) в уравнения движения (1), получим

( д 2 и 1 ди и

V дг2 г дг г2

| + (е13 + е55>

д2и д2и -+ е„

дгдг дг2

- + к2и _ 0,

I г 5

(д 2и 1 ди Л д2

+ -

V дг2 г дг

дг2

д2и 1 ди Л

+ е,„ + е.

.дгдг г дг )

+ к2и _ 0,

I г 5

к _о/ е, К _о/ е, е2 _ е33/ р, е? _е 55/ р.

(3)

В уравнениях (3) и далее упругие постоянные нормированы на е33 , т. е. являются безразмерными.

Учитывая осевую симметрию задачи, в качестве пробного решения системы уравнений (3) возьмем симметричную по толщине пластины цилиндрическую волну, распространяющуюся в радиальном направлении

иг (г, г) _ А1J0 (к1г) зт к3г, иг (г, г) _ А2 J1 (к1г) соз к3 г,

г

г

г

е

и

г

г

г

г

е

55

где Jn (г) - функция Бесселя первого рода п -го порядка, А. - произвольные постоянные.

Подстановка пробного решения в систему (3) дает линейную однородную систему алгебраических уравнений относительно произвольных постоянных А1, А2

Г ап А + «!2 А2 = О,

К А1 + а22 А2 = 0

а = 1 - И - а = - С13 + С55 и к

11 '12 Г 3'

11 к2 к2 к2

(4)

к2 к32

а21 = а22 = 1 - С11---•

21 12 22 11 к 2 к 2

I г

Нетривиальное решение системы (4) должно удовлетворять условию ¿е1;[а.к ] = О, которое сводится к уравнению Кристоффеля:

р=к

к34 + рк32 + д = О,

2 ^ к2к2 / ч Ч

- к] + ^ (+ с„ )2),

^ -1

к

2

к

2

V г У I

д = (к2 -к2)(к2 -спк12).

Корни уравнения Кристоффеля допускают предельный переход к случаю полной изотропии (к321 = к2 - к12, к322 = к2 - к12), поэтому соответствующие волны можно считать

квазипродольной и квазипоперечной.

Структура волн полностью определена

и =а ^ (кгН1п к. .2, и =а (к, г)е°8 к. 2,

21 1 0 4 1 7 3г ' п 2г 1 4 1 7 3г '

где а1. = А1 а2. = А12- алгебраические дополнения матрицы, взятые при соответствующих корнях к • Общее решение рассматриваемой краевой задачи запишем в виде

= '70(к1Г )(В1а11 Й1П к 312 + В2а12 Й1П к 32 2),

= ^ (к1п)(В1а21 с08 к312 + В2а22 с08 к322). (5)

Для определения постоянных В. используем следующие граничные условия: а = а = 0, при г = ±к.

Подстановка решения (5) в граничные условия дает систему линейных однородных алгебраических уравнений для определения постоянных В. с матрицей коэффициентов Ь

Ь11 = (11к31 + С13к1а21 )с°8 ^Л Ь12 = (а12к 32 + с13 к1а22 )с°8 к32 ^ Ь21 = (а11к1 +а21к31 )§1П ^Л Ь22 = (а12к1 +«22к32 )§1П к32К

Нетривиальное решение системы должно удовлетворять условию det[6.k ]= 0, которое дает дисперсионное уравнение симметричных нормальных волн для анизотропного волновода. Дисперсионное уравнение определяет возможный спектр волновых чисел как функций частотного параметра, а также физических и геометрических параметров волновода.

Дисперсионные уравнения даже в простейшем случае изотропной пластины [4] требуют довольно громоздких численных расчетов, поэтому желательно найти наиболее простые точки дисперсионных кривых, либо асимптоты, позволяющие ориентироваться в поведении всего семейства.

В полном наборе нормальных волн обычно выделяют нулевую нормальную волну, для которой волновое число действительно на всех частотах. Для всех остальных нормальных волн волновое число действительно только на частотах выше некоторых критических значений, определяемых либо условием к1 = 0, либо равенством нулю групповой скорости.

Численные результаты расчетов полного спектра нормальных волн для анизотропного волновода выполнены для пластин из двух типов пьезокерамики: ЦТС (цирконат титанат свинца, с55 = 0,2 ) и ВаСаТЮз (титанат бария, с55 = 0,3 ). Параметры пьезокерамики соответствуют справочным данным [6]. Учет упругой анизотропии не приводит к изменению критических частот, определяемых из условия к1 = 0.

Для организации численных расчетов спектра волновых чисел и для определения их асимптотики важно определить низкочастотные пределы дисперсионных кривых, т. е. точки выхода дисперсионных кривых на плоскости комплексного переменного при kt = 0. За начальное приближение точек выхода дисперсионных кривых брались точки

выхода для изотропного волновода [4].

Спектр безразмерных волновых чисел рассчитывался по трем отдельным программам: комплексные моды; действительные моды; мнимые моды. Для уточнения действительных и мнимых корней использовалась библиотечная программа MREGF - вычисление действительного корня трансцендентного уравнения внутри интервала модифицированным методом Regula falsi. Для уточнения комплексных корней применялась программа CTEML - вычисление заданного числа комплексных корней трансцендентного уравнения методом Мюллера.

На рис. 1 и 2 представлены дисперсионные кривые: частотные зависимости безразмерного волнового числа kft симметричных нормальных волн от частоты (безразмерного частотного параметра kh ). Действительные и чисто мнимые ветви дисперсионных кривых изображены сплошной линией, а комплексные - штриховой.

Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы.

1. Учет анизотропии для действительных ветвей приводит к увеличению фазовой скорости нормальных волн. Аналогичная закономерность для стержневого волновода отмечена ранее в работах [2, 3].

2. Для пьезокерамики со слабой анизотропией (например, титанат бария) учет анизотропии для комплексных ветвей не приводит к существенным качественным изменениям. Аналогичный результат получен в статье [7] для антисимметричных колебаний пьезоэлектрической плиты.

3. Для пьезокерамики со значительной анизотропией (например, ЦТС) отличия от изотропного варианта [4] в области мнимых значений волновых чисел весьма существенны. Сильная анизотропия приводит к значительному сдвигу точек выхода диспер-

сионных кривых на плоскости комплексного переменного. Более того, часть мод зарождается с чисто мнимыми значениями постоянной распространения и, минуя область комплексных значений постоянной распространения, переходит в область действительных значений постоянной распространения на критических частотах.

KtTi

1—1—-—и-— .Л-1--LJ—_____till___J___

-я? в 6 4 z 0 Ч 8 ¿г ЯеАЛ.

Рис. 1. Дисперсионные кривые безразмерного волнового числа симметричных нормальных волн для анизотропного волновода, с55 = 0,2 Fig. 1. Dispersion curves of undimensional wave number of symmetrical normal waves for anisotropic waveguide, с55 = 0,2

Рис. 2. Дисперсионные кривые безразмерного волнового числа симметричных нормальных волн для анизотропного волновода, с55 = 0,3 Fig. 2. Dispersion curves of undimensional wave number of symmetrical normal waves for anisotropic waveguide, с55 = 0,3

Список литературы

1. Физическая акустика / под ред. У. Мэзона. - М.: Мир, 1966. - Т. 1. - Ч. А. - 592 с.

2. Ивина Н.Ф., Нормальные волны в анизотропном пьезоактивном волноводе [Текст] / Н.Ф. Ивина, Б. А. Касаткин // Дефектоскопия. - 1975. - № 4. - С. 27-32.

3. Ивина Н.Ф. Численный анализ дисперсионных соотношений для нормальных волн пьезоактивного волновода [Текст] / Н.Ф. Ивина, Б. А. Касаткин // Акустический журнал. - 1982. - Т. 28, № 4. - С. 516-520.

4. Балабаев С.М. Симметричные и антисимметричные цилиндрические нормальные волны в волноводе типа пластины [Текст] / С.М. Балабаев, Н.Ф. Ивина // Научные труды Дальрыбвтуза. - Владивосток: Дальрыбвтуз, 2010. - Вып. 22. - Ч. 1. - С. 112-116.

5. Ландау Л. Д. Теоретическая физика. Т. 7. Теория упругости [Текст] / Л. Д. Ландау, Е М. Лифшиц. - М.: Наука, 1965. - 203 с.

6. Пьезокерамические преобразователи / под ред. С.И. Пугачева. - Л.: Судостроение, 1984. - 256 с.

7. Мадорский В. В. Построение системы однородных решений и анализ корней дисперсионного уравнения антисимметричных колебаний пьезоэлектрической плиты [Текст] / В.В. Мадорский, Ю.А. Устинов // Журнал прикладной механики и технической физики. - 1976. - № 6. - С. 138-145.

Сведения об авторах: Балабаев Сергей Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор;

Ивина Наталья Федоровна, доктор технических наук, профессор.