CC BY
41
УДК 534.231.1
С.М. Балабаев, Н.Ф. Ивина, Дальрыбвтуз, Владивосток СИММЕТРИЧНЫЕ И АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ НОРМАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ В ВОЛНОВОДЕ ТИПА ПЛАСТИНЫ
Получены дисперсионные уравнения цилиндрических нормальных волн в изотропном волноводе типа пластины. Рассчитаны дисперсионные зависимости безразмерного волнового числа (действительные, мнимые и комплексные моды) для симметричных и антисимметричных нормальных волн в пластине.
При решении некоторых дифракционных задач, а также при ультразвуковом контроле материалов и построении точной теории резонаторов конечных размеров возникает необходимость вычисления полного набора корней дисперсионного уравнения нормальных волн волноводов различных типов, в частности, в виде пластины.
Рассмотрим в качестве волновода упругую пластину толщиной 2Л, в которой распространяются цилиндрические нормальные волны, вектор смещения которых имеет только осевую и радиальную компоненты и(иг,и2). Введем скалярный ф = ф(г,г) и векторный у/ = ^(г, г) = ^^(г, г) потенциалы смещения. Эти потенциалы должны удовлетворять уравнениям Гельмгольца
где о- круговая частота, с, - скорость продольной волны, с - скорость поперечной волны, аік - компоненты тензора напряжений.
Выразим компоненты смещения и напряжений, которые понадобятся в дальнейшем, через потенциалы
А^ + к2р = 0, А^ + к2^ = 0
(1)
и граничным условиям
= 0, при г = ±їі,
(2)
к = о/с, к = о/с,
®rz = И
где Л, /и- упругие постоянные Ламе.
С учетом осевой симметрии задачи решения уравнений (1) можно записать в виде
а2 = к2 - к,2, Ь2 = к2 - к(2, (г) - функция Бесселя первого рода
п-го порядка, к - волновое число нормальной волны,Д -
произвольные постоянные.
Подставив решения (3) в граничные условия (2), получим систему четырех линейных однородных уравнений для определения произвольных постоянных. Нетривиальное решение системы должно удовлетворять условию
Уравнение (4) распадается на два независимых дисперсионных уравнения, соответствующих симметричным и антисимметричным нормальным волнам. Уравнение для симметричных волн запишем в виде
<p(r, z) = {Afhaz + A2shaz)j0 (kr). ^(r, z) = (Ashbz + AAchbzJ^ (kr).
(3)
(4)
% = a43 = 2kbchbh, % = -a44 = 2kbshbh.
4k 2cd sin ch cos dh + (2k2 - kf2 )2 sin dh cos ch = 0,
(5)
а для антисимметричных нормальных волн в виде
4k2cd sin dh cos ch + (2k2 - k(2)2sin ch cos dh = 0, (6)
c2 = kf - k2, d2 = kf - k2.
Уравнения (5), (6) определяют возможный спектр волновых чисел как функций частотного параметра, а также физических и геометрических параметров волновода.
Дисперсионные уравнения даже в простейшем случае изотропной пластины требуют довольно громоздких численных расчетов, поэтому желательно найти наиболее простые точки дисперсионных кривых, либо некоторые асимптоты, позволяющие ориентироваться в поведении всего семейства.
В полном наборе нормальных волн обычно выделяют нулевую нормальную волну, для которой волновое число действительно на всех частотах. Для всех остальных нормальных волн волновое число действительно только на частотах выше некоторых критических значений, определяемых либо условием к = 0, либо равенством нулю групповой скорости.
Критические частоты симметричных нормальных волн определяются уравнениями cosch = 0, sin dh = 0.
Для пластины из керамики титаната бария получаем следующие наборы критических частот:
kth = жп = 0; 3,14; 6,28;... и kth = 1/^(ж/2 + жп)= 2,87; 8,60; 14,34;...
Критические частоты антисимметричных нормальных волн определяются уравнениями sinch = 0, cos dh = 0.
Для пластины из керамики титаната бария получаем такие наборы критических частот:
kth = ж/2 + жп = 1,57; 4,71; 7,85;. и kth = жп / 0; 5,74; 11,47;.
Для организации численных расчетов спектра волновых чисел и для определения их асимптотики важно выяснить низкочастотные пределы дисперсионных кривых, т.е. точки выхода дисперсионных кривых на плоскости комплексного переменного к при kt = 0.
Низкочастотный предел фазовой скорости основной симметричной волны зависит от модуля Юнга пластины, низкочастотный предел фазовой скорости основной антисимметричной волны равен нулю.
Точки выхода симметричных дисперсионных кривых высшего порядка определяются корнями уравнения sh2kh + 2kh = 0. Это уравнение имеет асимптотическое решение
kh = 0,5!пж(3 + 4п) + ж/2(3/2 + 2п)п = 0,1, 2,...
Первые пять корней равны
kh = 1,12 + 2,36/; 1,54+5,50 i; 1,77+8,64 i; 1,93+11,78 i; 2,04+14,92 i.
Точки выхода антисимметричных дисперсионных кривых высшего порядка определяются корнями уравнения sh2kh- 2kh = 0. Уравнение имеет асимптотическое решение
kh = 0,5 ln ж(1 + 4п)+/ж / 2(1/ 2 + 2п)п = 1, 2,...
Первые пять корней равны kh = 1,38 + 3,93/; 1,67+7,07i; 1,86+10,21 i; 1,99+13,35i; 2,10+16,49/.
Высокочастотным пределом нулевых нормальных волн является рэлеевская волна; волны же высших порядков вырождаются в поперечные волны.
Спектр безразмерных волновых чисел рассчитывался по трем отдельным программам: комплексные моды; действительные моды; мнимые моды. Для уточнения действительных и мнимых корней использовалась библиотечная программа MREGF - вычисление действительного корня трансцендентного уравнения внутри интервала модифицированным методом Regula falsi. Для уточнения комплексных корней применялась библиотечная программа CTEML - вычисление заданного числа комплексных корней трансцендентного уравнения методом Мюллера.
На рис. 1 представлены дисперсионные кривые: частотные зависимости безразмерного волнового числа kh симметричных нормальных волн от частоты (безразмерного частотного параметра kth). Материал пластины - пьезокерамика титаната бария, параметры которой соответствуют справочным данным [3]. Аналогичные дисперсионные кривые для антисимметричных мод представлены на рис. 2. Действительные и чисто мнимые ветви дисперсионных кривых изображены сплошной линией, а комплексные - пунктирной.
Яп/СЛ 1<3 в 6 V Z 3 ч 6 -tz ZeX£
нормальных волн изотропного волновода
Лп,КА.-ю в б V г о ч а 12 %еКЛ
Рис. 2. Дисперсионные кривые безразмерного волнового числа антисимметричных нормальных волн изотропного волновода
Приведенные зависимости для симметричных нормальных волн принципиально не отличаются от соответствующих зависимостей, ранее полученных в статье [4] для волновода из пьезокерамики типа ЦТС (цирконат титанат свинца). Антисимметричные же нормальные волны в статье [4] не исследовались.
Библиографический список
1. Физическая акустика / Под ред. У. Мэзона. М.: Мир, 1966. 592 с.
2. Меркулов Л.Г., Рохлин С.И., Зобнин О.П. Расчет спектра волновых чисел для волн Лэмба в пластине // Дефектоскопия. 1970. № 4. С. 12-17.
3. Пьезокерамические преобразователи / Под ред. С.И. Пугачева. Л.: Судостроение, 1984. 256 с.
4. Балабаев С.М., Касаткин Б.А. Численный анализ дисперсионных соотношений нормальных волн пьезоэлектрического волновода типа пластины с электродами на торцах // Дефектоскопия. 1984. № 6. С. 20-23.
