CC BY
1
РАДИОФИЗИКА
УДК 519.7
DOI: 10.34680/2076-8052.2023.5(134).700-707
ГРНТИ 27.47 Специальность ВАК 1.3.4
Научная статья
СИММЕТРИЧНАЯ 2-АДИЧЕСКАЯ СЛОЖНОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ХОЛЛА
Едемский В. А., Гаврушко В. В., Петров В. М.
Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого (Великий Новгород, Россия)
Аннотация Исследуется симметричная 2-адическая сложность обобщенных циклотомических последовательностей Холла, период которых равен степени простого числа. Для определения последовательностей применяются обобщенные циклотомические классы. Показано, что рассмотренные последовательности обладают высокой симметричной 2-адической сложностью. Метод исследования основан на применении обобщенных гауссовых периодов.
Ключевые слова: симметричная 2-адическая сложность, обобщенные бинарные циклотомические последовательности, гауссовы периоды
Для цитирования: Едемский В. А., Гаврушко В. В., Петров В. М. Симметричная 2-адическая сложность обобщенных последовательностей Холла // Вестник НовГУ. 2023. 5(134). 700-707. DOI: 10.34680/2076-8052.2023.5(134).700-707
Research Article
Abstract We study the symmetric 2-adic complexity of Hall generalized cyclotomic sequences whose period is equal to the power of a prime. Sequences are defined based on generalized cyclotomic classes. It is shown that the considered sequences have high symmetric 2-adic complexity. The research method uses generalized Gaussian periods.
Keywords: symmetric 2-adic complexity, generalized binary cyclotomic sequences, Gaussian periods
For citation: Edemskiy V. A., Gavrushko V. V., Petrov V. M. Symmetric 2-adic complexity of Hall generalized cyclotomic sequences // Vestnik NovSU. 2023. 5(134). 700-707. DOI: 10.34680/2076-8052.2023.5(134).700-707
Псевдослучайные последовательности имеют множество характеристик, таких как автокрреляция, сбалансированность, сложность и другие. Сложность последовательности определяет её непредсказуемость, что важно для некоторых приложений. Бинарные последовательности относятся к наиболее часто изучаемым и применяемым. В [1] показано, что важной характеристикой непредсказуемости
SYMMETRIC 2-ADIC COMPLEXITY OF HALL GENERALIZED CYCLOTOMIC SEQUENCES
Edemskiy V. A., Gavrushko V. V., Petrov V. M. Yaroslav-the-Wise Novgorod State University (Veliky Novgorod, Russia)
Введение
бинарной последовательности является её 2-адическая сложность, которая определяется как наименьшая длина регистра сдвига с обратной связью с переносом. Согласно [1], 2-адическую сложность последовательности 5ю = (50,51, ,...) можно найти по следующей формуле:
ф(*") = ||о82(НОД(^.2»-1) + 1)], (1)
где 5(х) = Е^-1 е ^М - образующий многочлен последовательности, а [х] -целая часть числа х. Таким образом, задача исследования 2-адической сложности сводится к анализу НОД(5(2),2№ - 1). В общем случае это достаточно сложная задача. В [2] предложен метод вычисления данного НОД с применением циклического определителя, составленного из значений дискретного преобразования Фурье последовательности. Далее, метод анализа 2-адической сложности с использованием периодической автокорреляционной функции представлен в [3], также в [3] показано, что 2-адическая сложность бинарных последовательностей с идеальной периодической автокорреляцией достигает максимально возможного значения. Совсем недавно, в [4] предложен метод анализа 2-адической сложности на основе обобщенных гауссовых периодов. В этой работе будем использовать модификацию этого метода. Покажем, что обобщенные циклотомические последовательности Холла с периодом рп при р = Л2 + 352. А = 1(шоё 3), 5 = 0(шоё 3) и нечетном значении (р -1)/6 обладают большой 2-адической сложностью. В частном случае, для В = 3 это показано в [3]. Метод, применяемый здесь, отличается от подхода, используемого в [3].
Далее, в [5] было показано, что для оценки непредсказуемости бинарных последовательностей предпочтительнее использовать смметричную 2-адическую сложность Ф(5ю), которая определяется как Ф(5ю) = шт(Ф(5ю),Ф(5ю)), где = (5№-1,5№_2....я0) - последовательность, обратная к 5ю. Поэтому в этой статье исследуем также симметричную 2-адическую сложность обобщенной последовательности Холла. Ранее, 2-адическая сложность и симметричная 2-адическая сложность циклотомических последовательностей простого периода и кратного ему изучалась в [6-9]; сложность обобщенных бинарных циклотомических последовательностей с периодом рп, п > 1 , сформированных на классах второго порядка, исследовалась в [10], шестого в [11], при другом определении последовательностей.
Определение последовательностей
Пусть р - простое число, такое что р = 7(шоё 12) , и п > 1 - целое число. Обозначим через д примитивный корень по модулю рп. Хорошо известно, что он всегда существет и его порядок по модулю рп равен значению функции Эйлера, то есть порядок д равен рп-1(р - 1).
Для каждой степени простого числа рк, к = 1,2,..., п определим Динга-Хеллесета обобщенные циклотомические классы шестого порядка по этому модулю:
= {д!+61 (шойрк) | 0 <1 < рк-1(р - 1)/б}, ) = 0,1, .,5.
Обозначим через Ърк кольцо классов вычетов по модулю рк, а через Ърк группу его обратимых элементов. Тогда справедливы разбиения:
грк = и5=0 ^ и чрП = иъ=г и5=0 р*-^ и {0}.
Пусть с0 = ц%=г Рп-к (о(рк) и о[рк) и я3(Л) апс1 Сг = Ц%=г рп-к (о{рк) и о4рк) и о5рк)) и {0}.
Обобщенная последовательность Холла = ($о, 52,.) с периодом рп определяется следующим образом:
= г0, к/(шоа рп) ЕС0, 51 (1, к /(шоа рп) е с1ш (2)
Когда п = 1, последовательность 5ю является последовательностью шестеричных вычетов Холла. Её линейная сложность исследована в [12]. Хорошо известно, что, если период последовательности Холла равен р = А2 + 27, А = 1(шоё 3), то она обладает идеальной автокорреляцией. Следовательно, как отмечено во введении, её 2-адическая сложность достигает максимально возможного значения и равна периоду последовательности. Здесь исследуем её 2-адическую сложность для В = 0(шоё 3), в том числе, для п >1. С этой целью в следующем разделе рассмотрим свойства обобщенных гауссовых периодов.
Обобщенные гауссовы периоды
Обобзначим через Н^ циклотомические классы третьего порядка по модулю р, тогда Щ = £((р) и 1 = 0,1,2.
Пусть Ц)(а) = ^ен} а1, ) = 0,1,2 и ^(а) = £1ео(р) а1, ] = 0,1, .,5. Когда а -
комплексный или алгебраический корень р - ой степени из единицы, то эти суммы называются гауссовыми периодами третьего и шестого порядков, соответственно. Суммы по циклотомическим классам четвертого порядка с а = 2 использовались в [4] для исследования 2-адической сложности последовательностей Динга-Хеллесета-Мартинсена. Авторы назвали их обобщенными гауссовыми периодами. Здесь для изучения свойств обобщенных гаусовых периодов потребуются циклотомические числа (к,/)3 третьего порядка и (и,})6 шестого порядка. По определению, (к,/)3 = 1(Нк + 1) п Нг| и (и,))3 = |(1>£р) + 1) п л(р)|1 к,/,и,] е Ъ
Следующие свойства обобщенных гауссовых периодов обсуждались в ряде статей, в частности, в [11]. Имеют место следующее утверждения.
Лемма 1. Пусть а = 2рТ". Тогда:
1. (а) • (а) = (fc, /)з^/+г (а) + 5i(mod ар - 1), где fc, / = 0,1,2 и
_ ((р — 1)/3, если к = 0,
51 / п 1 ( 0, иначе.
2- <и(а) • <"u+v(а) = (и,))б<у+и(а) + ^(mod ар — 1), где и, v = 0,1, .„,5 и
!р — 1
—6—, если р = 1(mod12), к = 0 или р = 7(mod12), к = 3, 0, иначе.
Воспользовавшись леммой 1 и соотношением (а) = <"г (а) + <"г+з(а), / = 0,1,2, получаем,что
№) • (4(a) = (2,0)6^0(а) + (0,0)6^i(a) + (1,0)6^(а) + ^ (mod а? — 1). (3)
6
Известны следующие формулы для циклотомических чисел третьего порядка
[13]:
(0,0)з = (р — 8 + L)/9, (0,1)з = (2,2)з = (2р — 4 — L — 9М)/18, (0,2)з = (1,1)з = (2р — 4 — L + 9М)/18, (1,2)з = (р + 1 + L)/9, где М,L : 4р = L2 + 27М2, L = 1(mod 3), знак определяется М выбором д.
Лемма 2. Пусть a = 2рТ". Тогда разности обобщенных гауссовых периодов ^0(а) — ^(а), ^1(а) — ^2(а) и ^2(а) — ^0(а) удовлетворяют сравнению:
X3 — рХ — рМ = 0(mod (ap — 1)/(a — 1)).
Для доказательства леммы 2 воспользуемся теоремой Виета. Ясно, что сумма ^0(а) — ^1(а), ^1(а) — ^2(а) и ^2(а) — ^0(а) равна нулю. Далее, пусть F = (^o(a) — ^i(a))(^i(a) — ^2(а)) + (^2(а) — ^0(а))(^0(а) — ^i(a)) + (^ (а) — ^(«Ж^О!) — ^0(а) = ^0(a)^i(a) + ^(а)^2(а) + ^а^о) — ^2(а) — ^(а) — ^а)2. Согласно [9], ^0(a)^i(a) + ^i(a)^2(a) + ^(a)^(a) = —(р — 1)/3(mod (ap — 1)/(a — 1)), значит ^2(a) + ^2 + = (2p + 1)/3 (mod (ap — 1)/(a — 1)). Тогда F = —p.
Наконец, если F = (^0(a) — ^1(a))(^1(a) — ^2(a)) (^2(a) — ^0(a)), то, применяя лемму 1 и упомянутые выше формулы для циклотомических чисел третьего порядка, получаем, что
^=((0,1)з — (0,2)з)( ^0(a)^i(a) + ^(^(a) + faO^O!) —^2(a) — ^ — = Mp,
что завершает доказательство леммы 2.
Лемма 3. Пусть У(а) = <"0(a) + <'1(a) + <"з(а) и t7(a) = <"0(a) + (4(a) + <"з(а).
Тогда
У(а)У(а) = (5 — 3)(^(а) — ^(a))/6 + (p + 1)/4 (mod (ap — 1)/(a — 1)). (4)
Доказательство. Так как <"0(a) + <"з(а) = ^0(a), то ^(a)t7(a) = ^2(а) + ^0(а)^1(а) + ^(аХ4(а). Далее, для р = 1(mod 6) справедливо разложение р = Л2 +
3В2, А = 1(mod 3), которое определяет формулы для вычисления циклотомических чисел шестого порядка [13]. В частности, для р = 7(mod 12) и В = 0(mod 3) имеем, что (0,0)6 = (р - 11 - QA)/36, (1,0)6 = (р - 5 + 4А + 65)/36, (2,0)6 = (р - 5 + 4А -6В)/36. Кроме этого, известно, что L = -2А, -3М = 2В [13]. Применяя лемму 1 и данные формулы, получаем, что U(a)U(а) = (В - 3)(rj2(а) - rj0(а))/6 + (р + 1)/4 (mod ( ар - 1)/( а - 1)), что и доказывает лемму 3.
Симметричная 2-адическая сложность последовательностей
В этом разделе завершим исследование 2-адической сложности последовательности. Прежде всего, рассмотрим порождающий многочлен 5(х), последовательности, обратной к sm. Согласно определению этой
последовательности, имеем: 5(х) = Y^1 spn_1_i x 1 и 25(2) = Y^-i spn_i2l. Тогда
25(2) = YjJ— s_12i -s0 + s02pn и 25(2) = ^J-1 s_12*(mod 2Pn - 1). По условию, p =
7(mod12), значит -1 e D^ , следовательно,-/ e p mD(j+l)mod2 , когда iep mD(-pn^.
Таким образом,
25(2) = ~Zk_0 „ h^(pk) „(рк) „(pk\ 2l.
iepn-k(D(f )UD(H JVD3 ))
Следующая лемма может быть доказана тем же самым способом, что и лемма 5 из [11].
vn_ 1
Лемма 4. Пусть последовательность s°° определена по (2) и S(x) = Six1 её многочлен. Тогда
m о d^^-f),
2. 2S( 2) = рп_т_1U( 2vm) + (рп_т_ 1 - 1 )/ 2 (то
для т = 0,1 ,...,п - 1.
Теорема 1. Если последовательность sm определена по формуле (2) при р = 7(mod 12), В = 0(mod 3), то Ф(sm) > рп- рп_1 - 3 log2 р.
Доказательство. Согласно лемме 4 видим, что 5(2) =
U(2Pп1>) (modи 25(2) = U(2pn-1) (mod2^=_г). Пусть а = 2рП-1. В силу
соотношения (4) получаем, что
5(2)5(2) = (В- 3)(ri2(a) - По(о))/6 + (р + 1)/4 (mod (ар - 1)/(а - 1)). (5)
Рассмотрим два случая. 1) Пусть В = 3. Тогда, согласно сравнению (5), имеем, что 5(2)5(2) = ((р + 1)/4 (mod (ар - 1)/(а- 1)). Следовательно, любое натуральное число d Ф 1, что делит НОД(5(2), (ар - 1)/(а - 1)) или НОД(5(2),(а? - 1)/(а - 1)) должно делить также (р + 1)/4, что невозможно, так как по малой теореме Ферма d - 1 делится на
рп. Таким образом, НОД(5(2),(ар — 1)/(а — 1)) = НОД(5(2),(а? — 1)/(а — 1)) = 1. Это означает, что НОД(5(2), 2?" — 1) < 2Р"-1 — 1 и НОД(5(2), 2?" — 1) < 2Р"-1 — 1, тогда, воспользовавшись формулой (1), получаем следующие неравенства: Ф(5Ю) > рп— pn_1, Ф(5Ю) > pn — pn_1, таким образом Ф(sra) > pn —pn_1. Утверждение теоремы 1 доказано в первом случае.
2) Пусть 3 и d = НОД(5(2), (ар — 1)/(а — 1)). Тогда, воспользовавшись леммой 3, получаем следующее сравнение: (5 — 3)(^2(а) — ^0(а))/3 = — (р + 1)/2 (mod d). Согласно лемме 2, (5 — 3)(^2(а) — ^0(а))/3 удовлетворяет сравнению 7з — 36р(5 — 3)2Z — 216р(5 — 3)2М = 0(mod d). Следовательно, —(р + 1)з/8 + 9р(5 — 3)2(р + 1) — 36р(5 — 3)2М = 0(mod d). Так как —(р + 1)з/8 + 9р(5 — 3)2(р + 1) — 36р(5 — 3)2М* 0, то d <| — (р + 1)з/8 + 9р(5 — 3)2(р + 1) — 36р(5 — 3)2М|. Следовательно, d < рз и НОД(5(2),2№ — 1) < рз(2р"-1 — 1). Таким образом, Ф(5Ю) > pn — pn_1 — 3 log2 p.
Как уже отмечалось, 2S(2) = t7(2p"-1) (mod(ap — 1)/(a — 1)). Следовательно, снова применяя сравнение (4), можем показать таким же самым способом, что НОД(^(2), (ap — 1)/(а — 1)) < рз и Ф(5Ю) > pn — pn_13log2р, что завершает доказательство теоремы.
Теорема 1 показывает, что симметричная 2-адическая сложность рассмотренных последовательностей больше половины периода, то есть они обладают высокой сложностью.
Заключение
В работе изучена симметричная 2-адическая сложность обобщенных циклотомических последовательностей Холла. Показано, что рассмотренные последовательности обладают высокой 2-адической сложностью. Результаты обобщают полученные ранее в [5, 11]. Применяя метод, разработанный в [11], полученную оценку можно улучшить при увеличении п.
Благодарности
Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда, проект № 2221-00516.
Список литературы
1. Goresky M., Klapper A. Algebraic Shift Register Sequences. Cambridge University Press, 2012. 498 p.
2. Xiong H., Qu L., Li C. A new method to compute the 2-adic complexity of binary sequences // IEEE Transactions on Information Theory. 2014. 60(4). 2399-2406. DOI: 10.1109/TIT.2014.2304451
3. Hu H. Comments on "A new method to compute the 2-adic complexity of binary sequences" // IEEE Transactions on Information Theory. 2014. 60(9). 5803-5804. DOI: 10.1109/TIT.2014.2336843
4. Zhang L., Zhang J., Yang M., Feng K. On the 2-adic complexity of the Ding-Helleseth-Martinsen binary sequences // IEEE Transactions on Information Theory. 2020. 66(7). 4613-4620. DOI: 10.1109/TIT.2020.2964171
5. Hu H., Feng D. On the 2-adic complexity and the k-error 2-adic complexity of periodic binary sequences // IEEE Transactions on Information Theory. 2008. 54(2). 874883. DOI: 10.1109/TIT.2007.913238
6. Xiao Z., Zeng X., Ke M. On the symmetric 2-adic complexity of periodic binary sequences // Advances in Mathematics of Communications. 2022. DOI: 10.3934/amc.2022088
7. Sun Y., Yan T., Chen Z., Wang L. The 2-adic complexity of a class of binary sequences with optimal autocorrelation magnitude // Cryptography and Communications.
2020. 12(3). 675-683. DOI: 10.1007/s12095-019-00411-4
8. Sun F., Yue Q., Li X. On the 2-adic complexity of cyclotomic binary sequences of order four // Applicable Algebra in Engineering Communication and Computing (AAECC). 2023. DOI: 10.1007/s00200-023-00598-3
9. Sun F., Yue Q., Li X. On the 2-adic complexity of cyclotomic binary sequences of order three // Advances in Mathematics of Communications. 2022. 16(4). 985-999. DOI: 10.3934/amc.2022049
10. Xiao Z., Zeng X., Sun Z. 2-Adic complexity of two classes of generalized cyclotomic binary sequences // International Journal of Foundations of Computer Science. 2016. 27(7). 879-893. DOI: 10.1142/s0129054116500350
11. Edemskiy V. A., Koltsova S. A. Symmetric 2-adic complexity of generalized cyclotomic sequences of order six with period pn // Journal of Physics: Conference Series.
2021. 2052. 012009. DOI: 10.1088/1742-6596/2052/1/012009
12. Kim J.-H., Song H.-Y. On the linear complexity of Hall's sextic residue sequences // IEEE Transactions on Information Theory. 2001. 47(5). 2094-2096. DOI: 10.1109/18.930950
13. Холл М. Комбинаторика / перевод с английского С. А. Широковой. Москва: Мир, 1970. 424 с.
14. Cusick T., Ding C., Renvall A. Stream Ciphers and Number Theory. North-Holland mathematical library. Elsevier, 2004. 474 p.
References
1. Goresky M., Klapper A. Algebraic Shift Register Sequences. Cambridge University Press, 2012. 498 p.
2. Xiong H., Qu L., Li C. A new method to compute the 2-adic complexity of binary sequences // IEEE Transactions on Information Theory. 2014. 60(4). 2399-2406. DOI: 10.1109/TIT.2014.2304451
3. Hu H. Comments on "A new method to compute the 2-adic complexity of binary sequences" // IEEE Transactions on Information Theory. 2014. 60(9). 5803-5804. DOI: 10.1109/TIT.2014.2336843
4. Zhang L., Zhang J., Yang M., Feng K. On the 2-adic complexity of the Ding-Helleseth-Martinsen binary sequences // IEEE Transactions on Information Theory. 2020. 66(7). 4613-4620. DOI: 10.1109/TIT.2020.2964171
5. Hu H., Feng D. On the 2-adic complexity and the k-error 2-adic complexity of periodic binary sequences // IEEE Transactions on Information Theory. 2008. 54(2). 874883. DOI: 10.1109/TIT.2007.913238
6. Xiao Z., Zeng X., Ke M. On the symmetric 2-adic complexity of periodic binary sequences // Advances in Mathematics of Communications. 2022. DOI: 10.3934/amc.2022088
7. Sun Y., Yan T., Chen Z., Wang L. The 2-adic complexity of a class of binary sequences with optimal autocorrelation magnitude // Cryptography and Communications.
2020. 12(3). 675-683. DOI: 10.1007/s12095-019-00411-4
8. Sun F., Yue Q., Li X. On the 2-adic complexity of cyclotomic binary sequences of order four // Applicable Algebra in Engineering Communication and Computing (AAECC). 2023. DOI: 10.1007/s00200-023-00598-3
9. Sun F., Yue Q., Li X. On the 2-adic complexity of cyclotomic binary sequences of order three // Advances in Mathematics of Communications. 2022. 16(4). 985-999. DOI: 10.3934/amc.2022049
10. Xiao Z., Zeng X., Sun Z. 2-Adic complexity of two classes of generalized cyclotomic binary sequences // International Journal of Foundations of Computer Science. 2016. 27(7). 879-893. DOI: 10.1142/s0129054116500350
11. Edemskiy V. A., Koltsova S. A. Symmetric 2-adic complexity of generalized cyclotomic sequences of order six with period pn // Journal of Physics: Conference Series.
2021. 2052. 012009. DOI: 10.1088/1742-6596/2052/1/012009
12. Kim J.-H., Song H.-Y. On the linear complexity of Hall's sextic residue sequences // IEEE Transactions on Information Theory. 2001. 47(5). 2094-2096. DOI: 10.1109/18.930950
13. Hall M. Combinatorial Theory. Blaisdell, Waltham, MA, 1967. 310 p. (Russ. ed.: Kholl M. Kombinatorika. Moscow, Mir Publ., 1970. 424 p.)
14. Cusick T., Ding C., Renvall A. Stream Ciphers and Number Theory. North-Holland mathematical library. Elsevier, 2004. 474 p.
Информация об авторах
Едемский Владимир Анатольевич - доктор физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой, Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого (Великий Новгород, Россия), ORCID: 0000-0003-1368-3827, Vladimir.Edemsky@novsu.ru
Гаврушко Валерий Владимирович - доктор технических наук, профессор, профессор, Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого (Великий Новгород, Россия), ORCID: 0000-0002-8704-6751, Valery.Gavrushko@novsu.ru
Петров Владимир Михайлович - доктор технических наук, профессор, профессор, главный научный сотрудник, Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого (Великий Новгород, Россия), ORCID: 0000-0002-7733-1030, Vladimir.Petrov@novsu.ru
