CC BY
203ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
СИЛОВЫЕ И УПРУГИЕ ПОСТОЯННЫЕ МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ
1Энхтор Л., 2Силонов В. М.
1Монгольский государственный университет, факультет естественных и гуманитарных наук, кафедра физики, http://www.num.edu.nm 210646, г. Улан-Батор, Монголия
^Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, физический факультет, http://wwwjphys.msu.ru 119991 Москва, Российская Федерация
Поступила в редакцию 15.06.2015
Дан обзор результатов теоретических и экспериментальных исследований упругих постоянных металлов и их сплавов. Рассмотрен метод расчета силовых и упругих постоянных металлов, проводившихся методом псевдопотенциала с использованием модельных псевдопотенциалов Хейне-Абаренкова-Анималу. При этом особое внимание уделено методикам расчета упругих постоянных, в которых связь между силовыми и упругими постоянными устанавливается из элементов динамической матрицы в длинноволновом приближении. Показано, что метод псевдопотенциала позволяет рассчитывать силовые и упругие постоянные металлов и сплавов.
Ключевые слова: металлы, сплавы, силовые постоянные, динамическая матрица, упругие постоянные, метод псевдопотенциала
УДК 539.1: 536.4_
Содержание
1. Введение (68)
2. Силовые постоянные в моделях Борна-Кармана и Де Аане (69)
3. Модель Борна-Бегби (70)
4. Методика расчета динамики решетки в модели Борна-Кармана (71)
5. Динамические матрицы ГЦК металлов и их связь с упругими постоянными (73)
6. Динамические матрицы оЦК металлов и их связь с упругими постоянными (74)
7. общие формулы расчетов динамической матрицы и упругих постоянных оЦК и ГЦК структур (75)
8. Расчет упругих постоянных гЦК и оЦК металлов постоянных методом псевдопотенциала (76)
9. Расчет упругих постоянных гпУ металлов методом псевдопотенциала (80)
10. Расчет силовых и упругих постоянных сплавов методом псевдопотенциала (82)
11. Заключение (83)
Литература (84)
1. ВВЕДЕНИЕ
Силовые постоянные межатомного
взаимодействия в твердых телах имеют важное
значение и в практическом, и теоретическом
плане, так как от них зависит упругость, твердость, теплоемкость тел и динамика кристаллической решетки [1]. Значения силовых постоянных несут информацию о природе и дальнодействии межатомных сил, характеризуют потенциал межатомного взаимодействия. Эти постоянные зависят от конфигурации решетки, поэтому важны в расчетах устойчивости кристаллических структур и энтропийного вклада во внутреннюю энергию кристаллической решетки. В расчетах динамики решетки и силовых постоянных межатомного взаимодействия наиболее широко применяются силовые постоянные Борна-Кармана, а также радиальные и тангенциальные силовые постоянные.
Теория псевдопотенциала предоставляет возможность расчета силовых постоянных межатомного взаимодействия, посредством которых в длинноволновом приближении можно получить выражения для расчетов упругих постоянных металлов из элементов динамической матрицы и применить их в расчетах упругих постоянных при сравнении с экспериментальными данными. В данной работе поставлена цель подытожить результаты исследований, проведенных в таком аспекте и сравнить с результатами, полученными другими
ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
методами расчета упругих постоянных, среди которых входит метод однородных деформаций и теория функционала плотности.
2. СИЛОВЫЕ ПОСТОЯННЫЕ В МОДЕЛЯХ БОРНА-КАРМАНА И ДЕ ЛАНЕ
Силовые постоянные в модели Борна-Кармана выражают силу, которая действует в г—ом направлении на находящийся в начале отсчета атом, когда ближайший т-ый атом перемещается на единицу длины в у—ом направлении (г, у = х, у, Поэтому массив силовых постоянных Ф1 [2]:
а; в в в а в
в в а (1)
В случае аксиально Ф1 симметричных сил набор силовых констант для любого
соседнего атома зависит только от двух независимых параметров, которые можно выбрать как радиальную ФГ и Ф1 тангенциальную силовые постоянные. Эти постоянные
имеют вид [3]:
ф1 =
Гд V ^
V
дг2
Л
Здесь V
; а (И; 1 + ИЦ + И^к ),
И, И2, К
(3)
силовых
9
постоянных
К.
на
первой сфере координата атома [110], и поэтому определяются три независимых силовых констант:
К„ К у о
КУ КУ 0
0 0 кв
На второй сфере координата атома [200], и определяются только две независимых постоянных:
К„ о о
}у представляется в виде
Ку 0
0 К,
На третьей сфере координата атома [211], и определяются четыре независимых постоянных:
(2)
межатомного
— потенциал взаимодействия, гт — равновесное положение . -ого соседнего атома относительно начала отсчета
— целые числа,
где а — параметр решетки, 1 1 к
'•" — орты вдоль направлений осей координат.
Силовые постоянные Ф1 можно записать в виде:
а2ЦК , ч
Ф1 =-(Ф1-Ф1) + £Ф1 (4)
'] 4(г1 )2 V г УГ)
где 8.. — символ Кронеккера. Существует также Ф1
обозначение К. — ' . Количество независимых
Кхх Кху Кху КУ КУ К У Кху КУ, КВ
Таким образом, можно определить силовые постоянные Борна-Кармана на произвольной сфере, и при этом максимальное количество независимых постоянных равно шести.
В модели Де Лане [4] учитываются силовые постоянные Гука радиальных и тангенциальных сил межатомного взаимодействия. Для расчета упругой силы, которая действует между атомом О, находящимся в начале отсчета, и его соседом с индексом п нужно рассмотреть их относительное смещение. Возьмем единичный вектор еп, который направлен вдоль линии, соединяющей равновесные положения этих атомов (рис. 1). Обозначим через апостоянную Гука силы взаимодействия этих атомов, которую можно назвать радиальной силовой постоянной. На рис. 1 векторы 80 и 8п соответственно обозначают смещения атомов О и п от положений
конкретной
координационной сфере, как видно из выражения
К И1 И1
(4), зависит от координат 2' 3 атома на данной сфере. Например, для ГЦК структуры на
Рис. 1. Смещения атомов с индексами 0 и п из положений равновесия.
ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
равновесия. Если 80 — 8п = 0, то расстояние между этими атомами не будет меняться. В общем случае расстояние между атомами меняется, и компонента этого изменения вдоль е будет еп^(80 — 8п). Поэтому радиальная упругая сила, действующая на атом О от атома п, равна Р = -ап[е^(80 — 8п)]еп. Если обозначить направляющие косинусы е через X , ц , V , то компоненты силы
1 п ^ п 1 п п
будут равны
X = — а X [X (и — и ) + ц V — V) + V (ж — ш)],
п п ^ п4- 0 п 1 п^ 0 п п^ 0 п'-1'
У = — а ц [X (ип — и) + ц V — V) + V (ш — ш)], (5)
п п1 ^ п^ 0 п 1 п^ 0 п п^ 0 п'-1' ^ '
X = — а V [X (и — и ) + ц V — V) + V (ж — ш)],
п п ^ п4- 0 п 1 п^ 0 п п^ 0 п'-1'
где и0, v0, ш0 — компоненты вектора 80; ип, vn, шп — компоненты вектора 8 . Компоненты X, У, X
^ п п п п
радиальной упругой силы, действующей на атом О от атома с индексом п, входят в уравнения движения вдоль осей координат:
Ми0 = I„ Хя;М0 = I„Уп;Ш0 = 1„2„, (6)
где сумма берется по всем п-ым соседним атомам.
Для учета тангенциальных сил мы должны выразить компоненты смещений векторов 8 и 8 , которые перпендикулярны линии, соединяющей равновесные положения атомов с индексами О и п. Сначала рассмотрим вектор 8 . Компонента этого вектора, перпендикулярная к линии соединения равновесных положений рассматриваемых атомов, дается как епХ80. Но это векторное произведение перпендикулярно к плоскости умножаемых векторов. Если дополнительно векторно умножим (е Х80)хеп, то получим нужное направление и величина | епХ80| сохранится. В целом, результат смещений рассматриваемых атомов будет [епХ(80 - 8п)]хеп и упругая сила выразится как Б = -р [е х(80 - 8)]хе (7)
где вп — тангенциальная силовая постоянная между атомами с индексами О и п.
Применяя формулу Ах(ВхС) = В(А-С) — С(А-В), получим
Б = —в(80 — 8) + в[е (80 — 8 )]е , которое в виде компонентов можно представить в виде:
X = — В \и„ — и — X [X (и — и) + ц V — V) + V (ж — ш)],
п ' п ^ 0 п п^- п^ 0 п 1 п^ 0 п п^ 0 п7-1'
Уп = — № - - цШ — ип) + ^0 — ^ + ^0 — шп)](8)
X = — В — и> — V [X (и — и) + ц V — V) + V (ж — ш)],
п ' п ^ 0 п п1- п^ 0 п 1 п^ 0 п п^ 0 п'-1'
Эти компоненты упругой силы можно подставить в уравнение движения (6).
Таким образом, комбинируя радиальные и тангенциальные компоненты упругой силы получим: X = - р (« - u) -
n ' n v О n
- К - Ю^ЯК - «J + tn(V0 - О + Vn(^c - WJ], Y = - в (v0- v) -
n ' n v 0 n
- К - Ю^ЯК - un) + tn(V0 - 0 + Vn(w0 - wn)],(9)
Z = — в (w - w) -
n ' n ^ 0 n
- (a — в )v [A (u — u ) + tx (v„ — v) + v (w — w)]. Для расчета движения атома О выражения (9)
нужно подставить в уравнение (6), суммировать по индексу n и решения ищутся в виде:
u0 = A1exp(2nivt); v0 = A2exp(2nivt); w0 = A3exp(2nivt); un = A1exp(2nivt - k-rj; vn = A2exp(2nivt - k-rn); wn = A3exp(2nivt - k-rj,
где k — волновой вектор, rn — радиус-вектор атома с индексом n. Так в [4] на примере двумерной решетки с учетом радиального взаимодействия с первыми двумя соседними атомами получено секулярное уравнение для расчета нормальных мод колебаний атомов, а затем то же проведено для ОЦК и ГЦК решеток.
В вышеприведенном определении (2)
радиальные и тангенциальные силовые
ф4 ф*
постоянные обозначены через r и ', а в модели Де Лане мы обозначили их как a и в (n
= s).
3. МОДЕЛЬ БОРНА-БЕГБИ
В модели Борна-Бегби [5] элементы динамической матрицы ОЦК структуры выражаются через упругие постоянные c c и c44 с помощью выражений
1 - cos
D11 = 2ac44
aq, aq2 aq3 —^CO^—^- """ 2 2
cos
+a(c„ - C44)[1 - cos(aqi)],
D11 = D22 = D33 ,
^ ^ ^ ч • aq, . aq2 . aq3
D12 = 2a(c12 + c44)si^-^Lsi^—^si^-^3
D12 = D21 = D13 = D31 = D23 = D32-
Тоже самое для ГЦК структуры
ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
Ип = аси
ад1 . ад2 ад3. 2 - соб —^ (сое —— + сое —-)
+а(2с44 - сп)[1 - соБ ^^соБ
В11 В22 В33,
ад, . ад2
Д2 = а(с12 + с44)б1п—Шп
В12 В21 В13 В31 В23 В32-
Чх' & = Чу' Чз
\Вп — ры21|,
(12)
где
а1
а1'
(14)
до 1—го атома, К — вектор, проведенный от I— го атома до ¿'-го атома. При подстановке (2) в уравнение (1) получим:
Мт2 =У£Фаа(£, 1')ехр(гц • Еа' ).
' (15)
Последнее уравнение можно преобразовать следующим образом:
(11)
В этих выражениях а - постоянная кристаллической решетки. Частоты
длинноволновых фононов (звуковых волн в кристалле) находятся с помощью секулярного уравнения
Мт2 =У , Фг
1 - СоБ
пад
где р - плотность кристалла, ы - циклическая частота фононов, I - единичная матрица. Из дисперсии звуковых волн ы(у) можно выразить скорости волн в кристалле через упругие постоянные С , С , С44.
4. МЕТОДИКА РАСЧЕТА ДИНАМИКИ РЕШЕТКИ В МОДЕЛИ БОРНА-КАРМАНА
В рамках модели Борна-Кармана упругая сила между двумя атомами линейно зависит от их относительного смещения. Для конкретной колебательной моды при конкретном направлении симметрии уравнение движения 1-го атома (атома 1-й примитивной ячейки) имеет вид [6]:
М«а/=-Е/'Фаа ^>ае , (13)
и „ — смещение 1-го атома вдоль а-го
(16)
где а — параметр решетки, у — | q |, Фп есть линейная комбинация Ф (1,1), для которых фаза qRг, постоянна. Фактически ф представляет силу между конкретным атомом и плоскостью (их две, симметрично расположенных), которая перпендикулярна q и расплоложена через п таких плоскостей. В сумму входит N членов и Ф — 0 для п > N. При длинноволновом приближении q ^ 0 разница в квадратной скобке в уравнении (4) преобразуется как
1 - СоБ
12 2 2 = — п а д .
В итоге уравнение (16) приобретает вид:
N 1
Мт2 = £- п2 а2 д2 Ф п -
п=1 8 (17)
Уравнение (17) наряду с моделью Борна-Бегби можно применить для выражения упругих постоянных металлов и сплавов через межплоскостные силовые постоянные Ф . Из
п
модели Борна-Бегби можно выразить скорость продольных волн в направлении [100] в кубических кристаллах:
направления (поляризации), М — масса атома, Ф (I, I) — упругая сила, действующая на 1-й атом в направлении а, когда 1*—ый атом смещается на единицу в направлении а. (Здесь обозначенно Ф1
' — Фаа(1,1), а — и s — I — I). Суммирование содержит член I = I и ^Ф (I, I) — 0, так как при однородном смещении кристалл должен быть стабилен. Решение уравнения (1) имеет вид бегущей волны:
т
д
(г V
. р Л
где q — волновой вектор фонона (2п/длина волны), Я1 — радиус вектор от начала отсчета
или ры2 — Су2.
Для ОЦК кристалла с учетом р = и (6) получаем:
Г- 1 -^п'
г=2а 5 п* п •
Аналогично для поперечных направлении [100]
1 N п2
С44=2а п -
2М
а
(18) из (5)
(19)
волн в
(20)
ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
Вдоль [110]
1 ^ —
СЦ + Ca + 1С44 = — X „Ф „ .
„-1 2 (продольная L ветвь ); (21)
С =—Х-ф
4a „= 2 (поперечная T ветвь );
(22)
1 N — С11 - С12 = — X ^Ф „.
2a „-1 2 (поперечная T ветвь). (23)
Вдоль [111]
1 N —
С11 + 2Сц + 4С44 = — X -Ф „ ,
2a„=1- (продольная L); (24)
1 N — С11 - С12 + С44 = — X—Ф„
2a „-1 2 (поперечная T). (25)
Для ГЦК структур правые части уравнений (21) - (25) нужно умножить на два.
Уравнение (16) широко применяется для описания фононных спектров с использованием теоретически рассчитанных силовых постоянных Ф (1,1), а также при оценке силовых постоянных Ф (1,1) из экспериментально измеренного фононного спектра методом наименьших квадратов. Так в [6] для свинца с ГЦК структурой в направлении [Z00] с учетом пяти плоскостей и того, что q = 2nZ/2 и Z6 [0,1], уравнение (16) записано в виде:
Мы2 = (4а1+4р1+8а2+8а3+4а5+4у5)(1-^о^пС) + (2p2+8p3+4a4+4p4)(1-cos2ng+(4p5+4y5X1-cos3roO (26) с применением которого из экспериментально измеренного фононного спектра
свинца найдены методом наименьших квадратов силовые постоянные на первой координационной сфере — a1~4x103 дин/см и в ~-2х103 дин/см. При оценке этим методом силовых постоянных на далее отстоящих сферах теряется значимость результата, что отметили авторы [6]. В [6] из фононного спектра свинца, измеренного в направлениях симметрии, рассчитаны межплоскостные силовые постоянные Ф для первых восьми
n L
соседних плоскостей. Там же отмечено,
что значения Ф не зависят от количества
n
учитываемых плоскостей в сумме уравнения (16).
Следуя вышеприведенной методике в [7], с использованием уравнений (20) - (25) из экспериментально измеренного фононного спектра a-Fe [8], рассчитаны межплоскостные силовые постоянные Ф, упругие постоянные и их комбинации, которые приведены в табл. 1 при сравнении с экспериментальными значениями [9]. Видно, что для достижения согласия результатов расчета упругих постоянных с экспериментом в правых частях уравнениий достаточно двух-трех первых членов за исключением уравнения (24), где для описания суммы C +2C +4C понадобилось семь членов Ф . Отсюда можно заключить, что для описания дисперсионных кривых a-Fe по направлениям [100] и [110] с применением формулы (16) достаточно первых двух-трех гармоник, a для описания продольной ветви по [111] необходимы первые семь гармоник. Поэтому авторы [7] заметили, что эта ветвь может быть наиболее информативной для расчета силовых постоянных a-железа.
В [10] приведен вывод динамической матрицы для ГЦК кристаллов в модели Борна-Кармана, выведена формула, аналогичная формуле (16), и написаны следующие соотношения между упругими постоянными и силовыми постоянными на первых трех координационных сферах:
aCn = 4a1 +4a2 + 16a3 + 8p3,
aC44 = 2at + 2(3! + 4^ + 4a3 + 20^, (27)
a(Cu+CJ = 4у1 + 8Y3 + 3283.
Б.Уоррен отметил, что в теории Борна-Кармана упругие постоянные и дисперсии упругих волн выражены через межатомные силовые постоянные. Поэтому из кривых w(q)
Результаты расчетов межплоскостных силовых постоянных, упругих постоянных и их комбинаций монокристалла a-Fe из фононного спектра [7].
Направления Межплоскостные силовые постоянные (Н/м) Упругие постоянные и их комбинации (1010Н/м2)
ф1 Ф2 ф3 Ф4 Ф5 ф6 Ф7 Расчет Эксперимент [9]
[100]L 138.8 34.3 - - - - - C11 = 24.06 C,, = 23.31
[100] Г 134.0 -0.5 - - - - - C44 = 11.53 C44 = 11.78
[110]L -53.9 184.7 - - - - - C11 + C12+2C44 = 59 75 C11 + C12+2C44 = 60 41
[110]Г2 -62.7 113.8 -13.7 - - - - C44 = 11.75 44 C44 = 11.78 44
[111] L 44.3 30.8 91.8 6.3 1.8 -0.06 -0.52 C11+2C,2+4C44 = 97.06 C11+2C12+4C44 = 97 51
[111] Г 127.8 29.0 - - - - - C11- C12+ C44 = 2127 C11- C12+ C44 = 2158
ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
упругих волн для трех направлений, полученных из измерений теплового диффузного рассеяния рентгеновских лучей, с использованием соотношений (27), можно получить численные значения девяти независимых силовых постоянных. Этот способ применен для алюминия в работе [11], результаты которого приведены в табл. 2. Для сравнении там же приведены силовые постоянные А1, полученные из фононного спектра в [3], а также рассчитанные методом псевдопотенциала в [12]. За исключением в2, а3 и у3 наблюдается удовлетворительное согласие сравниваемых результатов.
В [3] экспериментально исследован фононный спектр алюминия при температурах 80К и 300К и проведен анализ в модели Борна-Кармана с использованием аксиально симметричных силовых постоянных на первых восьми координационных сферах. С применнием полученных силовых постоянных рассчитаны функция плотности фононных состояний g(ы) и термодиначеские свойства алюминия. Расчитанная зависимость удельной темлоемкости от температуры хорошо согласуется с экспериментом в диапазоне температур от 20К до 80К. Такое поведение было обнаружено и для фактора Дебая-Уоллера. Сделан вывод, что данные неупругого рассеяния нейтронов и рассчитанные термодинамические характеристики
согласуются при низких температурах, при которых отклонения от квазигармонических приближений малы.
Таблица 2
Силовые постоянные Борна-Кармана для алюминия (10-3 Н/м)
Силовые постояннные Борна-Кармана [11] [3] [12]
a, 8450 10107 9769.6
ß, -930 -1337 -87.6
Y, 10670 11444 9857.2
a2 2140 2454 1781.8
ß2 400 -529 8.2
a3 270 -625 -887.3
ßs -310 -182 -149.9
Y3 100 -296 -491.5
63 -190 -148 -245.7
5. ДИНАМИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ ГЦК МЕТАЛЛОВ И ИХ СВЯЗЬ С УПРУГИМИ ПОСТОЯННЫМИ
Динамическая матрица D(q) случае ГЦК кристаллических решеток имеет размерность 3х3. Ее элементы D (q) в модели Де Лане с учетом радиальных а и тангенциальных ß (n = 1, ..., 10) силовых постоянных на первых десяти координационных сферах имеют вид [13]: Dn = 2(a+ß1X2-CiC>CiQ + 4^1-ОД + 2(а2- ß^
a-Q +2ß2(3-Q-C;2-C23) + (V3)^^^-^ед-^ОД + 8e3(3-ccf2icc2f2ic2c2Q
+^да-^-ед+ад-ед^С/ед
+ ав^-в^-ад-ед + (2/5)(а5-в5)(2-С,С32-С1С33) + 4в5(6-СС-СС-С1С2-С1С3-СС-С2С,3) +
(^KW^AQ + ВДССА) + (36/1)
(а1-в1)(2-С31С22С3-С31С2С2^ + {16/7){а1-в1){2-С21С32Съ-
С21С2С3=) + (4/1)(ai-ßl)(2-C,C22C33-C,C32C23) + Bßl(6-
С С С -С С С -С С С -С С С -С С С -С С С )
31 22 3 ^31 2 23 21 32 3^21^2^33 ^ 1^22^33 ^ 33^21/
+ 2(ав-вв)(1-С41) + 2вв(3-С41-С42-С43) + (4/9)(o9-ß9) (21-С1С2С43-С1С42С3) + (64/9)^9X1-^/3 ) + Вв9{3-С1С2С43-С1С42С3-С41С2С) + 2{а9-в9){2-С31С32-
С31С33) + 4в9(3-С31С32-С31С33-С32С33) + (^ЖЛо)
(2-С21С42-С21С43) + а^К-М^Лед +
4в9(6-С21С42-С21С43-С41С22-С41С23-С22С43-С42С23). (2В)
D12=2 {^l-ß1)S1S2+{4/3){aii-ß:){S1Sf?2+2S1S2f?+2S2S2C^) + {afß)S2S22 + ^(o^^-S^ + (8/3) M^ACJ + (24/1)(a1-ß1)(S31S22C3-S21S32C3)
+ (8/1) (o,^) (S2S2C33+S22S1C33) + (12/1)(a1-ß1)
(S1S32C23+S2S31C23) + 2{o9-ß9)S31Si2 + (4/9)(09-ß9)
S1S2C43 + {16/9){09-ß9){S41S2C3+SSC + (8/5)
(O10-ß10)(S21S42-S41S22), (29)
где
C. = cos(aqJT), S. = sin(aq./2), C2i = cosaq, S2i = sinaq., C3i = cos(3aq./2), S3i = jin(3aq./2), C4i = cos2aq., S4i = sin2aq., i = 1, 2, 3.
Для расчета упругих постоянных с использованием элементов динамической матрицы D(q) применяется длинноволновое приближение. В результате перехода к пределу при ^ —> 0 получаются следующие соотношения [13]:
Cjj = - (2« + 2ß + 4«2 + 12«3 + 12ß3 + 8«4 + 8 a
164 328 „ 16 32
+— «5 —5- ß5 + у «6 + у ß6
226 136 й 256 144
16ß8 + ~«9--3-ß9 + ~«10 + ~До)'
+ 56«7 + 56ß7 + 32«8
(30)
ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
(31)
Сп = 1(«1 - 5в1 - 4в2 + 6а3 - 30в + 4а4 - 20в4 +
а
54 „16 64 д 268 124 „
+У « + 22Д + у «6- у в —у а +—в -
49 139
-16Д + у«9 - —в + 80вю)-
С44 = 1(а1 + 3Д + 4а2 + 6а3 + 18Д + 4а4 + 12Д +
44 а 1 1 2 3 3 4 4
18 182 „ 16 32 „„
+ у«5 в + у «6 + у в + 28«7 + 84в +
49 41 64 336
+1 в8 + ~Т« -~Тв + ^"«10 + ^в0>
3 3 5 5 (32)
Эти выражения позволяют по значениям радиальных и тангенциальных силовых постояных проводить расчет упругих постоянных металлов и сплавов с гранецентрированной кубической решеткой.
6. ДИНАМИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ ОЦК МЕТАЛЛОВ И ИХ СВЯЗЬ С УПРУГИМИ ПОСТОЯННЫМИ
Согласно модели Де Лане в [14] для ОЦК структур записаны элементы динамической матрицы О (у) с учетом взаимодействия на первых трех координационных сферах через "связь растягивающие" — Ап и "связь сгибающие" — В (п — 1, 2, 3) силовые постоянные:
Би = 3 4(1 - орр,) + 2 4(1 - Са) +
+44(2^2 + + -2S?Sl -2]2) +
+8В(1 - СГГ) + 2В2(3 - С - С] - С) +
+16£3(52 + + ---8
= 3 А^С +8455СС > 3 (33)
где С — шт((1/2)ау.), Х — я'п((1/2)ау.), С2 — сот(ау.), г —1, 2, 3 и значению 1 соответствует ось х, значению 2 — осьу, значению 3 — ось Заметим, что в обозначении радиальных и тангенциальных постоянных А — а — в и О — В.
п п ' п п ' п
В концепции аксиально-симметричных сил в [14] выведены соотношения между упругими постоянными С , С , С и силовыми постоянными А , А В , В2 для ОЦК металлов: 2
аС11 = -4 + 24 + 2В1 + 2В2;
аС12 = 2 4 - 2В1 - 2В2; 2
аС44 = - А + 2В + 2В, . 44 3 1 1 2 (34)
Значения трех силовых постоянных вычислялись из уравнений (34), а значение
четвертого — через частоту
поперечной
фононной моды в направлении [100] на границе зоны:
4п2шУ2 = 16 ( A+ 3B),
где m - масса атома.
С использованием вышеописанной методики авторы [14] для щелочных меаллов Li, Na, K и Rb рассчитали A A B B2 через соответствующие каждому металлу экспериментальные значения C , C , C44 и vT. Расширяя аксиально-симметричную модель и учитывая шесть типов силовых постоянных Ai, A A3, B B2, B3, авторы [14] рассчитали через них фононные спектры рассматриваемых металлов и пришли к выводу, что в общем случае учет межатомного взаимодействия до третьей сферы не улучшает описание фононного спектра щелочных металлов, и это указывает на доминирование двухчастичного взаимодействия в этих металлах.
Компактные формулы расчетов упругих постоянных C C для ОЦК металлов через производные парного потенциала межатомного взаимодействия V(r) предложены в [15]:
" dV -1 dV. '
R dR
Сп = (6Q0)-1 S'a»
dR2
(35)
Ci2 = (6Qo)-1 SaßKn) xß(l )
d V
dR2
1 dV.
R dR
R=Rn
(36)
где 00 — атомный объем; Яп — радиус п—той координационной сферы; индексы а и В могут набирать значения 1, 2, 3, а значению 1 соответствует ось х, значению 2 — осьу, значению
3 — ось Обозначению х«(п) — соответствует проекция на ось а атома, находящегося на п—ой координационной сфере. Штрих у знака суммы означает, что исключается слагаемое с п — 0.
Для вычисления значения упругой постоянной С44 можно применить соотношение
[15]:
2C + C
_ 44 ^11
а = a-
М (37)
—2
где т — второй момент фононных частот; а — параметр решетки; М — атомная масса. Второй момент фононных частот выражается через производные парного потенциала V(r) следующим образом [15]:
V
ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
=(3М)-1 у N Гг™-+ ( ) У" кйк йк2 Лк=к (38)
Здесь N — число атомов на п-той координационной сфере радиуса Яп.
В выражениях (35), (36) и (38) фигурируют
первые и вторые производные парного
потенциала ^г), которые являются радиальными
и тангенциальными силовыми постоянными как
и в формуле (2):
' й'V ^ „ Г йУ «=1 — 1 ; в =
Для
вывода выражений для упругих
йк2
КйК
постоянных С11, С12, С в длинноволновом приближении (q ^ 0) записываются элементы динамической матрицы О в направлениях [100], [001], [110] в пространстве q и сопоставляются с аналогично расписанными элементами динамической матрицы в модели Борна-Бегби. В результате получаются следующие выражения
[17]:
Г 4 8Д „ „д 332 152 д —« + -Д + 4« + 8« + 8Д +-« +-в +
(39)
Описанная методика была применена для расчета упругих постоянных щелочных металлов, но удалось успешно рассчитать только значение С для калия, рубидия и цезия [16].
В модели Де Лане с применением формул (9) можно расписать элементы динамической матрицы для ОЦК структуры через силовые постоянные на первых десяти координационных сферах а и В (п — 1, 10) следуюшим образом [17]:
— ^Лед + (8/3)(а1-Р1)(1-С„С,2С13) +
2Р2(3-С2,-С22-С23) + ^а^1^) + 4в3(3-С21С22-С2М2С23) + 2(а3-в3)(2-С2М1С23) + 8?4(3-
^С^з^МС^ + (а4-РД72/11)
(^лСМ + (8/11)(2-С„С32Сг3-СггС,2С33)] + 8в5(1-^ВД + (8/3)(а5-в5)(1-С21С22С23) + ^(^Г С,2-С43) +2(а6-Р&)(1-С41) + т^С^И^С^з-^ВД + (а7-Р7)[(8/19)(1-С„С32С33) + (72/19)
С2,С42-С2,С43-С42С23-С22С43) + ^Л) [(4/5)
(2-С4,С22-С4,С23) + (1/5)(2-С2,С42-С2,С43)] + 8?9(3-С4,С22С23-С2,С22С43-С2,С42С23) + ^РЛ^3) (1-С4,С22С23)+(1/6)(2-С2,С22С43-С2,С42С23)] +
^ВД + (8/3)(а10-Р10)(1-Сз,Сз2С33) + 8Рю(3-
С51С12С13-С11С52С13-С11С12С5?) + (а«.-^^27)
(1-С51С12Сг3) + (8/27)(2-С1С52С13-С1С^ (40)
— (8/3) (а1-Р1)^11^12С13 + 2(а3-Р3)ЗД2 + [(1/11)^11^12С33+(3/11)(^31^12С13+^11^32С13)] + (8/3)
1
3
3
11
11
16 32 652 792
^^ «5 + У в + 16«6 + "¡9 «7 + в +
272 128
+———«8 +—~—в8 + 48«9 + 48Д + 12«10 + 12^10
(1/ а)(^Р1-4Р2-16в3-44Р4-16в5-16Р6-76в7-8Р8-96Р9-36Р1С); 4 8 0 ло л 76 408
3« + 3 в + 4в + « + 12в + —«4 + — в +
16 32д 316 1048 .
+Т«5 + ув + 16в +19«7 +у9в +
+—« + — в + 24« + 72 в +12«0 + 24 Д0 5 5 (42)
Апробация этих выражений проведена в [17] расчетами упругих постоянных щелочных металлов методом псевдопотеницала при сравнении с эксперментальными данными.
7. ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ РАСЧЕТОВ ДИНАМИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ И УПРУГИХ ПОСТОЯННЫХ ОЦК И ГЦК СТРУКТУР
Ж. Сквайрес [2] предложил общую формулу для расчета элементов динамической матрицы ГЦК и ОЦК кристаллов через силовые постоянные Борна-Кармана в виде:
Аи = ~МУ148У ]«■> {2 - С1-' [С]+и+1С]+2-' + 2 + С]+2-'+1С>+1-' + 2]};
8 и
= МУ 1ЛО У ]вСИ + 2[5]-+ 2,'+1 + 5 + 2,15]+1,1+1]}-
п
148""
(43)
в
(а^В^^^С^ + 8(а7-Р7)[(9/19)^31^32С13+(3/19) где ] и - силовые постоянные по определению
(^А2С33ЧА32С33)] + (8/5)(а8-Р8)(^41^22+^21^42) +
8 Ц^) [(1 /6)^21^22С43+(1 /3) (^^^С*)]
+ (8/3)(а10-Рю)^31^32С33 + 8(а10-Рю)[(1/27)
S11S12C53+(5/27)(S51S12C13+S11S52C1з)], (41)
где С. — сш(а^/2), А. — тг'п(ау;/2), С2 — сот(ау.), — тг'п(ау1), С31 — сот(3ау1/2), — я'п(3ау;/2), С41—coJ'(2аql), S4г=^г'n(2aql), С5г =í»J'(5aqi/2), S5.=sгn(5aqi/2), г —1, 2, 3 и а - параметр решетки.
(1),
С1' = со&(жаН1д1), = ^(паНд),
а- параметр
и;
решетки, ] — координат^1 атома на т-ой координационной сфере (3), г — 1, 2, 3, и когда г + 1 больше 3, оно соответствует г — 2, в аналогичном случае г + 2 соответствует г — 1, то же самое и для индекса у.
Соотношение между межатомными силовыми постоянными и упругими постоянными С , С
с,, = —
11
ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
и С получаются при стремлении | | к нулю и приравнением матрицы А с матрицей упругих волн в континууме [2]. Для ГЦК структуры эти соотношения имеют вид:
с-8У, ^1, щ У а
с-4У, ^1J [(л;+1)+(к;+2)2
а(си + С44) = 161, -1 Jh;+lh;+в.
д,
=-! N
к1^к2^13 12^к3 3
—Ск1С12Ск3 - С11Ск2Ск3 - С11Ск2Ск3] +
, О, -Рп
[к (2 Ск{Ск2С13 СИ1С12Ск3) +
к + к2 +!2
+к (2 - Ск1Ск2С13 - Ск1С12Ск3 ) +
+к (2 - СцСк2Ск3 - С11Ск2Ск3 )]
д, = д, = д,
(45)
д
Д У N ап -рп 6 ^ "к1 + к2 +!2
кк(Бк1Бк2С13 + Бк1Бк2С!3 ) +
+к1 (БМБ к2Ск3 + Б11Бк2Ск3 ) +
+к!(Бк1Б12Ск3 + Б11Бк2Ск3 )
Д2 = Д3 = Д,
параметр решетки.
Для вывода выражений постоянных С
(44)
Для ОЦК структуры результаты расчетов С , С , С44 нужно делить на 2. Последними выражениями пользуются при расчетах упругих постоянных ОЦК и ГЦК металлов и сплавов, когда известны значения силовых постоянных в модели Борна-Кармана.
В рамках модели Де Лане соответственно обобщены выше приведенные формулы (28) и (40), (29) и (41) для элементов динамической матрицы ГЦК и ОЦК структур и представлены в виде [18]:
(46)
где Хп — число атомов на ж—ой координационной сфере, набор h, ^ I - координаты атомов, как в формуле (3), Сь. = cos(haq.J2), Ск. = cos(kaq/2), С. = cos(laq./2), = sin(haq./2), = sin(kaq./2),
= si'n(lаq./2), j =1, 2, 3 qJ q2- q• q- q), а -
для упругих С , С в длинноволновом
11 127 44
приближении q ^ 0 находятся элементы динамической матрицы О.. в направлениях [100], [001], [110] в пространстве q и сопоставляются с аналогично записанными элементами динамической матрицы в модели Борна-Бегби. В результате для ОЦК структуры получаем [18]:
с 1- ¿а '+" ■+'2)+[а-в] };
^ 1 ^ лЛ«/,2 ,2 ,2ЧГ п-к к2 + к2!2 + к2!2 \
С44 = ШУ N' 1Д(к + к + ! )[а-в] к 2+к2 + !2 }
г ^г 1 V хгг Д1 к2к2 + к2!2 + к2!2
С12 + С44 = 6а У'N'[а-в ] к 2 + к 2 +! 2 . (47)
Для ГЦК структуры результаты расчетов С11, С12, С44 нужно умножить на 2.
Достоверность формул (47) проверялась в [18] расчетами упругих постоянных щелочных и некоторых переходных металлов методом псевдопотенциала при сравнении с эксперментальными данными.
8. РАСЧЕТ СИЛОВЫХ И УПРУГИХ ПОСТОЯННЫХ ГЦК И ОЦК МЕТАЛЛОВ МЕТОДОМ ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛА
Одним из наиболее успешно используемых модельных потенциалов в расчете физических свойств металлов и сплавов является модельный потенциал Хейне-Абаренкова-Анималу (ХАА) [19-21], параметры которого подбираются с использованием экспериментальной информации об энергетических уровнях свободных атомов и ионов [22]. В соответствии с [19] потенциал иона задается с помощью выражений
= —А1 при г < Ят,
= — X/г) при г > Кш, (48)
где й — модельный радиус, X—валентность иона, А — глубина ямы, I — орбитальное квантовое число, vион—потенциал взаимодействия электрона проводимости с ионом.
Матричные элементы формфакторов модельных псевдопотенциалов Хейне-Абаренкова-Анималу были рассчитаны в [19-21] для простых элементов
ШЬаге - ^^ + Р(д,к,к') +1(д),
е(ч)
где В(^) — локальная часть:
В(Д) - ^^[^(дЯт) - дЯп со%Я„)] - Псоъ)(дЯп) -
Е(д)
(49)
П Ес| 2Ак1аеЯ
^(дЯ) - дЯт сов(дЯс)]
Пд (дЯс )3
Р(д,к,к) — нелокальная часть: для к - к'
ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
р(д,к,к') = -4пЯ-(а -4)Iдат)-^^л(Я)}-
о
кЯ
-1-2ПЯ3(А1 -А2)(1 -Кл2(кЯт) - Уо(кЯт)М*Ят)},
к Ф к'
для Р(д,к, к')
ПЯ2
0(к2 - к '2)
(Ао - А, ) {¿/1 (кЯ„ )/ (к'Ят ) - к/ (к'Ят )/о (кЯ„ )} -
0(к2 - к'2)
2кк'
24жЯ ( к + к '2 - д
- -(4-А2)| —\ткЯт)А(кяш)-к/2(кят)/2(я)},
1(ф) — интеграл от нелокальной части:
32т*[1 -/(д)](1 + а...) 2
I(д) - —^ 2 \ " [(Ао - А2)Ьо+3(а - А2)ьж,
под е(д)
[к/!+1 (кЯт)/1 (к'Ят) - к/+1(кЯт)/ (кЯт )]р (соз^,у Зк
А - |
к2 - к' 2
X - крЯт, к - кр + дЯт , со®%-
к2 + к'2 - (дЯт )2 2кк'
е(д)
4пЯШ
соз( х)
Р(кр, кр + д)--^ (Ао - С) {/о (х) -^^(х)-
■(А1 - С) 11 - ^ \{/2(х) - /о( х)/2(х)}Р(С08^) -
о
2ОпЯШ о
2к2
(А, - С){/22(X) - /1(X)/3(х)}Р2(С08^),
Р (кр, кр + д) =
0( х2 - у2)
24пЯт2(А -С){х/2(х)/1(у) -у/2(у)/1(х)}Р(со8^) -
0( х2 - у2)
4°ПЯт2ЛА2 - С){х/3(х)/2(у) - у/3(у)/2(х)}Р2(соз^
использованием выражения (51) для 56 простых и переходных элементов, приведены в [23].
В рамках теории псевдопотенциала энергию межатомного взаимодействия атомов кристалла можно представить в виде:
V(г) - ^-^ Го{д)^п(яПд
г п дг (52)
Здесь X — валентность, е — заряд электрона, q — модуль волнового вектора, г — межатомное расстояние, О(д) — нормированная характеристическая функция:
О(д) -
4п7в1 оо д2
ГЬагв (д)2
1 -1 (д)
(1 -1/ е(д)),
Для переходных металлов в [21] было предложено использовать следующие выражения для расчета формфактора экранированного модельного псевдопотенциала (МППМ Анималу)
В(д) + Р (кр, кр + д)
, (51)
(53)
где WЬare(q) — неэкранированный ионный потенциал, О — атомный обьем,
2кР + д
4ж7е2 ( 2 в(д) - 1 + [1 - Г(дяП^ 12Ер
О0д \ 3
Е - к К
1 4кр - д, - + —р—— 1п
2 8кРд
2к р-д
(54)
где B(q) имеет тот же вид, что и (50), а остальные члены в (51) записаны в квазилокальном приближении: для \кР + Щ - кр
2ш — импульс Ферми, т* — эффективная масса электрона, е*2 = (1 + а^е2, /(д) — поправка на обмен и корреляцию электронов.
В случае центральных взаимодействий, исходя из межатомного потенциала ^(г), можно определить два типа силовых постоянных [12]: 1 dV 72 в2 272в2
г dг dг2
"Г °(д) | со® дг -
81п дг
дг
dд,
(55)
27 2в2 27 V
1о
2 зш дг 2 со® дг
дг
- д з1п дг \д.
(56)
обозначены в
где х = cosв = 1 — ф2^^, P1(cosff) = со^й, Р2(ж0) = (3cos26 — 1)/2, у0(х) = (тх)/х, ^(х) = (^гПх)/^2 — (со^х)/ х, у2(х) = (3/х2 — 1/х) sinx — 3(со^х)/ х2. Для | кР + д кр
8пЯш :(4) -С){х/'1(х)/о(у) -улОШх)}-
0( х2 - у2)
х - крЯт, у + д | Ят, соз^-[х2 + у2 - (дЯт )2]/ (2 ху).
В квазилокальном приближении выражение (49) приводится к виду (51). Таблицы значений формфакторов модельных псевдопотенциалов, рассчитанных в квазилокальном приближении с
Эти силовые постоянные формуле (39) как в и а.
В работе [24] по вышеописанной методике с применением МППМ Анималу были рассчитаны радиальные и тангенциальные силовые постоянные переходных металлов N и Рй, с использованием которых построены фононные спектры с использованием элементов динамической матрицы, выраженных через (28)-(29), а также рассчитаны упругие постоянные этих металлов по формулам (30)-(32). Результаты [24] расчета упругих постоянных N и Рс1 приведены в табл. 3 при сравнении с экспериментальными данными [25], [26]. Из данных табл. 3 видно, что для никеля результаты расчетов [18] упругих постоянных С и С по формулам (47) лучше совпадают с экспериментом [25], чем результаты [24], хотя в обоих случаях использовался МППМ Анималу
ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
[20] и значения радиальных и тангенциальных силовых постоянных никеля, рассчитанные в [18], почти совпадают с соответствующими значениями, рассчитанными в [24], что видно из данных табл. 4. Для Pd результаты расчетов радиальных и тангенциальных силовых постоянных, полученных в [24] и [18] с применением МППМ Анималу, хорошо согласуются, и поэтому рассчитанные через них значения упругих постоянных близки к экспериментальным данным [26]. Для сравнения в табл. 5 приведены значения силовых постоянных Pd, рассчитанные в [27], где парное взаимодействие атомов расписано с учетом s-s, d-d, s-dвкладов, а наложение dсостояний соседних ионов и s-d гибридизация учтены в приближении
[28]. При этом эффективный потенциал выбран быстросходящимся. При таком подходе авторы
[29] рассчитали фононные спектры Cu, Ag, Au,
Таблица 3.
Результаты расчетов упругих постоянных некоторых
Таблица 4.
Радиальные и тангенциальные силовые постоянные Ni, (10-3Н/м2).
Номер сферы i [24] [18]
ai в а Pi
1 4764.7 -310.6 4762.1 -311.1
2 940.7 72.5 943.9 72.5
3 -163.2 7.4 -164.6 7.4
4 20.5 -0.1 20.7 0.0
5 22.39 0.8 21.9 1.0
6 -13.7 1.2 -13.7 1.3
7 -11.2 -0.1 -11.4 0/0
8 -7.0 -0.3 -7.2 -0.3
9 5.3 -0.3 5.1 -0.3
10 4.6 0.0 4.6 0.1
11 - - 5.1 -0.2
Ni, Pd, Pt и a-Fe в модели Борна-Кармана. Для всех этих металлов обнаружено хорошее согласие между рассчитанными и экспериментально полученными значениями частот нормальных мод. Можно заметить, что рассчитанный фононный спектр для ОЦК Fe самый неудачный, так как в направлении [110] поперечные ветви расходятся от экспериментальной ветви, а в направлении [111] также обнаружено значительное расхождение и для продольной, и для поперечной мод. В табл. 3 приведены упругие постоянные Cu, Ag, Au, Ni, Pd, Pt и a-Fe, рассчитанные по формулам Сквайреса (44) с учетом силовых постоянных на первых 32 координационных сферах, откуда видно, что в
Таблица 5.
Радиальные и тангенциальные силовые постоянные Pd, (10-3Н/м2)
металлов при сравнении с экспериментальными _данными, (1010Н/м2)._
Металл Ссылка С11 С12 С44
Ni [18] 23.25 15.08 8.54
[24] 22.78 17.84 8.70
[29] 21.11 19.14 14.48
Эксп.[25] 24.60 15.00 12.20
Pd [18] 23.48 17.65 6.93
[24] 24.37 17.57 8.55
[29] 17.07 13.38 11.42
Эксп.[26] 22.70 17.59 7.17
Cu [18] 16.68 13.20 9.05
[33] 16.11 11.82 7.70
[29] 14.66 12.74 8.03
Эксп.[30,31] 16.84 12.14 7.54
Ag [18] 12.10 9.74 3.85
[30] 11.82 10.21 4.99
[29] 11.52 8.19 5.19
Эксп.[27,28] 12.40 9.37 4.61
Au [33] 18.88 16.34 4.85
[29] 14.09 9.07 6.02
Эксп.[21,22] 18.6 15.7 4.20
a-Fe [34] 24.8 24.8 12.9
[29] 19.97 19.97 6.58
[36] 23.0 23.0 12.7
Эксп.[35] 23.31 13.54 11.78
Y-Fe Эта статья 15.95 16.49 6.41
[38] 18.10 18.10 8.32
[36] 21.0 21.0 13.8
[37] 15.4 15.4 7.7
Номер сферы i [24] [18] [27]
а. в а. в а. в
1 46123.4 -5817.9 45933.6 -5732.3 43169.6 -2240.9
2 1482.9 21.7 1454.9 23.9 -2632.1 269.5
3 -504.3 99.2 -515.4 98.7 162.1 52.4
4 -518.0 -14.6 -501.7 -15.0 -222.1 48.9
5 419.8 -10.6 417.7 -9.9 -225.8 14.5
6 51.4 17.9 46.9 18.0 -8.4 3.8
7 -319.4 2.9 -310.7 2.5 20.1 5.0
8 -28.7 -10.4 -27.4 -10.5 - -
9 220.6 -2.9 213.7 -2.6 - -
10 74.3 6.0 72.2 6.2 - -
11 - - -113.5 3.9 - -
ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
целом расчетные значения упругих постоянных согласуются с экспериментальными данными.
Успех расчетов упругих постоянных зависит от выбора модельного потенциала. Так в [18] для Cu с применением потенциала ХАА [19-21] не удалось достичь согласия с экспериментом [30, 31], но с применением потенциала Мориарти [32] удалось приблизиться к экспериментальным данным, что представлено в табл. 3. Из результатов расчетов упругих постоянных меди методом однородной деформации с использованием голого ионного модельного потенциала с одним параметром [33] видно, что расчетное значение C44 ближе к экспериментальным, чем результат [18] для C44. А для серебра подходящим оказался потенциал ХАА, так как результаты [18] для C , C12 ближе к эксперименту [30, 31], чем результаты расчетов, полученные при использовании голого ионного потенциала с одним параметром [33]. Результаты расчетов упругих постоянных Au методом однородной деформации с использованием потенциала [33] лучше согласуются с экспериментом [30, 31], чем результаты выше упомянутой работы [29].
Упругие постоянные a-Fe, рассчитанные в [34] по формулам (35)-(38), представлены в табл. 3 в сравнении с экспериментом [35] и с результатами расчетов [29], [36]. Радиальные и тангенциальные силовые постоянные a-Fe на первых десяти коордиационных сферах, расчитанные в [34] с применением МППМ Анималу и использованные в расчетах
Таблица 6.
Радиальные и тангенциальные силовые постоянные a-Fe и Re, (10'3Н/м2)
Номер a-Fe [34] Re [34]
сферы i a i Pi a i Pi
1 63274.0 -6956.0 461452.7 -67507.0
2 15090.0 -1608.0 240034.5 -13643.5
3 -2234.0 237.5 23131.7 -1505.6
4 -5.4 -62.8 -19863.3 824.9
5 894.4 -38.8 -21092.0 -158.0
6 -541.1 31.- 8872.0 367.9
7 -299.2 -22.5 -10709.9 -49.8
8 71.5 -24.4 -5329.2 -264.1
9 278.6 10.3 5191.8 152.2
10 -295.9 7.8 -6296.8 53.9
упругих постоянных, приведены в табл. 6. Результаты [34] расчетов упругих постоянных a-Fe в целом удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными, и близки к результатам расчетов [36], где исходили из первых принципов в приближении локальной плотности (LDA) в рамках теории функционала плотности и динамической теории усредненного поля, которые позволяют рассчитывать электронные и структурные свойства материалов с учетом корреляции электронов и в парамагнитной, и в магнитноупорядоченной фазе. При этом авторы [36] рассчитали фононный спектр a-Fe в направлениях [100] и [110], и оценив скорости звуковых волн, получили значения упругих постоянных C , C12, C44, которые приведены в табл. 3. Можно заметить, что расчетные значения упругих постоянных превышают экспериментальные значения [37]. Тоже самое можно сказать и про результаты расчетов упругих постоянных a-Fe [38]. В [27] приведены радиальные и тангенциальные силовые постоянные a-Fe (табл. 7), которые применялись в расчетах упругих постоянных в [38]. Для сравнения там же приведены силовые постоянные a-Fe, рассчитанные нами с применением МППМ Анималу. Видно, что только на первой сфере сравниваемые величины находятся в согласии. С применением силовых постоянных, приведенных в табл. 6, мы рассчитали упругие постоянные a-Fe и представили в табл. 3, откуда видно, что полученные значения C , C близки к экспериментальным данным.
В [17, 18] на примере щелочных металлов Li, Na, K, Rb и Cs с помощью расчетов
Таблица 7.
Радиальные и тангенциальные силовые постоянные Y-Fe, (10-3Н/м2).
Номер Эта статья [27]
сферы i ai Pi ai Pi
1 46963.3 -5135.6 42707.5 -4250.9
2 2314.9 316.5 -886.2 149.9
3 -1951.6 1.4 4.0 45.3
4 1059.5 2.8 -196.6 27.5
5 -581.2 30.0 -89.5 7.3
6 -157.8 -22.8 3.7 4.1
7 - - -13.1 3.7
ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
упругих постоянных с использованием модельного потенциала Ашкрофта [39, 40] были апробированы формулы (30) для ОЦК металлов и общие формулы (35). Результаты этих работ идентичны и приведены в табл. 8 при сравнении с результатами других авторов и с экперименальными данными. Из этих данных можно сделать вывод, что модельный потенциал Ашкрофта приемлем для расчета упругих постоянных щелочных металлов. В случае Тг авторы [17] варьировали параметр потенциала Ашкрофта г до наилучшей сходимости результатов расчета упругих постоянных с экспериментальными значениями [41] и выбрали значение г = 1.284, при котором получены упругие постоянные, приведенные в табл. 8. Из данных этой таблицы видно, что значения упругих постоянных лития С , С2, рассчитанные в [12] по формулам Сквайреса (44) с применением потенциала Ашкрофта, сильно расходятся с экспериментом, что можно объяснить выбранным значением параметра г = 1.678. В [42] рассчитаны упругие постоянные лития с применением модифицированного встроенного аналитического потенциала, которые похуже согласуются с экспериментом [41], чем упругие постоянные, рассчитанные в
Таблица 8.
Результаты расчетов упругих постоянных щелочных металлов, (1010 Н/м2)
[17, 18]. Авторы [42] не указали, каким методом рассчитаны упругие постоянные, хотя они пользовались силовыми постоянными Борна-Кармана. Из данных табл. 8 видно, что для Na, К, ЯЬ и Cs результаты [17, 18] расчетов упругих постоянных С , С , С44 близки к соответствующим результатам [12] и согласуются с экспериментальными данными [43-46]. Значения радиальных и тангенциальных силовых постоянных для каждого из этих металлов, рассчитанные в [17, 18] и [12] с применением модельного потенциала Ашкрофта очень близки, что продемонстрировано на примере натрия в табл. 9. Авторы [12] преобразовали значения радиальных и тангенциальных силовых постоянных в силовые постоянные Борна-Кармана и по формулам Сквайреса (44) рассчитали упругие постоянные Na, К, ЯЬ и Cs, которые приведены в табл.8. Ввиду того, что значения последних согласуются с соответствующими результатами расчетов по общим формулам (47), можно констатировать адекватность формул (44) и (47).
9. РАСЧЕТ УПРУГИХ ПОСТОЯННЫХ ГПУ МЕТАЛЛОВ МЕТОДОМ ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛА
Как отмечалось в [47], в гармоническом приближении для расчета упругих постоянных элементов со структурой гексагональной плотной упаковки (ГПУ) можно ограничиться рассмотрением координационных сфер до
Таблица 9.
Радиальные а: и тангенциальные силовые постоянные №, (10-3 Н/м).
Металл Ссылка С11 С12 С44
и [17, 18] 1.480 1.297 1.056
[12] 4.055 3.377 1.562
[42] 1.362 1.151 0.901
Эксп.(78К)[41] 1.486 1.274 1.048
№ [17, 18] 1.005 0.834 0.633
[12] 1.008 0.842 0.637
Эксп.(78К)[43] 0.993 0.823 0.560
К [17, 18] 0.414 0.350 0.262
[12] 0.413 0.345 0.268
Эксп.(4.2К)[44] 0.416 0.341 0.286
Rb [17, 18] 0.296 0.259 0.194
[12] 0.283 0.235 0.190
Эксп.(80К)[45] 0.296 0.250 0.171
ОБ [17, 18] 0.218 0.183 0.142
[12] 0.221 0.185 0.143
Эксп.(78К)[46] 0.247 0.209 0.148
Номер в:
сферы / [17, 18] [12] [17, 18] [12]
1 -311.1 -310.6 4762.1 4764.7
2 72.5 72.5 943.9 940.7
3 7.4 7.4 -164.6 -163.2
4 0.0 -0.1 20.7 20.5
5 1.0 0.8 21.9 22.4
6 1.2 1.2 -13.7 -13.7
7 0.0 -0.1 -11.4 -11.2
8 -0.3 -0.3 -7.2 -7.0
9 -0.3 -0.3 5.1 5.3
10 0.08 0.0 4.6 4.6
11 -0.2 - 5.1 -
ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
четвертой включительно. В этом приближении упругие постоянные Си, С12, С13, С33 и С44 могут быть рассчитаны с использованием выражений [48, 49]:
73(3«- а - ь)
-, (57)
Сц =■
2с
Сп = Си - [3« - 34) - 3В - Ь2 - 12в - 402 + Р], (58) л/3с
С^3 = -(2в4 -Б4) - С4,
С33 = [-3(Б3 + в3) + 45],
л/3,
С44 = (3 А + Б3 + 4в3),
(59)
(60) (61)
Ь =
Р =
(2 Б2 + в2 + 3в1 )(3Б1 + Б2 + 8в2) + 2в2 (3Б1 + Б2) 3(Б1 + Б2 + в1 + в2) '
(Б1 - Б2 - 2в1 + 2в2)2 Б1 + Б2 + в1 + в2 ,
« = -[к, (1)+св (1)], А = А = Св (1), а = 0,
Б = Св (2),В2 = |(^1(2) + 3Св (2)),В3 = 2Б2 - В„В4 = ^2(Б2 - БД
в! = Св (3), в2 = 3(2^(3) + 3Св (3)), в3 = !(в + в2), в4 =
5 = -(К1(4) + СВ (4)), ) = («-в' )>, СВ (5) = (в, )>.
В этих выражениях а и с — параметры кристаллической решетки, а и В (г — 1, 4) — тангенциальные и радиальные силовые постоянные.
Расчеты упругих постоянных М Хт и Тг с ГПУ структурой проведены с применением МППМ Анималу в [50]. В табл. 10 приведены радиусы первых четырех координационных сфер и значения
Таблица 10.
Расчетныезначения радиальных а. итангенциальных р. силовых постоянных Мд, Zr и 77, (10-3 Н/м).
Номер сферы 1 Мд Т гг
а. В. а. В. а. В.
1 14100 12 29500 2000 24200 1100
2 10400 10 12300 1200 11700 700
3 1200 -330 2400 -720 3700 -1300
4 -520 -60 700 -190 1200 430
радиальных и тангенциальных силовых постоянных для М¿г и Тг. Из таблицы видны следующие характерные особенности: силовые постоянные, соответствующие первой и второй координационным сферам, для каждого из элементов имеют близкие значения, что является следствием близких значений радиусов этих сфер. Радиальная силовая постоянная для каждой координационной сферы больше тангенциальной постоянной.
В табл. 11 приведены упругие постоянные для М£,, ¿г и Тг, рассчитанные выше приведенным методом в [50] при сравнении с экспериментальными значениями [51-53]. Для магния также приведены упругие постоянные, рассчитанные методом, использующим функции распределения электронной плотности [47].
В [50] сделан вывод, что расчет упругих постоянных М^ методом модельного потенциала дает так же, как и расчет с использованием функции распределения электронной плотности [47], удовлетворительное совпадение с экспериментом. Для Тг и Хт также получено удовлетворительное сходство рассчитанных значений упругих постоянных с экспериментальными данными. В то же время, более близкими с экспериментом оказались значения упругих постоянных С12, С13, С33. Расхождение для упругих постоянных С и С44 не превышает 15%. Отмечено, что это расхождение может быть обусловлено ограничением лишь четырьмя координационными сферами.
Таблица 11. Упругие постоянные Мд, Zr и 77, (1010Н/м2).
Ссылка С11 С12 С13 С33 С44
Мд [50] 7.1 3.2 3.4 8.4 1.7
[47] 5.9 2.6 2.1 6.2 1.6
эксп.[53] 8.3 3.2 1.9 9.7 1.8
77 эксп.[51] 6.3 2.5 2.1 6.6 1.8
[50] 21.7 8.1 7.5 20.6 5.9
Zr эксп.[51] 16.2 9.2 6.9 18.1 4.6
[50] 17.5 6.3 6.1 19.8 2.5
эксп.[51] 14.4 7.2 6.5 16.5 3.2
эксп.[52] 14.3 7.3 6.5 16.5 3.2
ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
10. РАСЧЕТ СИЛОВЫХ И УПРУГИХ ПОСТОЯННЫХ СПЛАВОВ МЕТОДОМ ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛА
Методика расчетов силовых и упругих постоянных ГЦК сплавов методом псевдопотенциала в рамках модели Де Лане предложена в [13, 24], где МППМ Анималу [19, 20] применен для сплавов Со0 92Ре008 и Ы10 55Р^45. При этом радиальные и тангенциальные силовые постоянные сплава рассчитывались методом усреднения силовых постоянных компонент. С использованием таким образом рассчитанных силовых постоянных были построены фононные спектры, функции плотности фононных состояний, температурные зависимости теплоемкости и дебаевской температуры сплавов Со Ее и N1 Pd . Рассчитанные в [13, 24] значения упругих постоянных сплавов Со Рв и Ni0 55Pd0 45 приведены в табл. 12. Там же приведены значения упругих постоянных сплава Со Ее , расчитанные через силовые постоянные Борна-Кармана на первых четырех координационных сферах, которые извлечены из экспериментально измеренного фононного спектра [54]. Значение упругой постоянной С1, расчитанное в [13], близко к результату [54], а для остальных двух постоянных наблюдается удовлетворительное согласие с результатам
[54].
В [55] была сделана попытка распространения методики [13,24] на расчеты упругих постоянных некоторых многокомпонентных сплавов, результаты которой приведены в табл. 13 при сравнении к экспериментальными данными. Обозрев данные таблицы, можно сделать вывод, что результаты расчетов находятся в удовлетворительном согласии с экспериментальными данными [56-63].
Таблица 13.
Результаты расчетов упругих постоянных некоторых ГЦК сплавов с применением МППМ Анималу, (1010 Н/м2).
Сплав Ссылка С11 С12 С44
CU0.75Zn0.25 [55] 14.7 13.0 5.0
Эксп.[56] 14.5 10.7 7.1
Ni Cr 0.804 0.196 [55] 24.5 19.1 8.8
Эксп. [57] 24.7 15.4 12.2
Ni0.502Fe0.498 [55] 20.7 14.1 7.4
Эксп. [58] 20.5 14.6 10.8
Ni0.738Fe0.262 [55] 22.4 16.3 7.8
Эксп. [59] 23.0 14.4 11.9
Ni0.892Fe0.108 [55] 23.0 18.1 8.6
Эксп. [60] 25.5 15.3 13.0
Fe0.76Cr0.12Ni0,2 [55] 22.9 15.0 8.2
Эксп. [61] 23.3 16.3 12.3
Fe Cr Ni 0.705 0.175 0.120 [55] 22.2 15.2 8.2
Эксп. [62] 21.6 14.4 12.9
Fe0.685Cr0.145Ni0.145M 00.025 [55] 22.6 12.9 7.3
Эксп. [57] 20.4 13.4 12.9
Расчеты силовых и упругих постоянных ОЦК сплавов Fe-Re 3, 5 и 7 ат.%Ве с применением МППМ Анималу по формулам (35)-(38) проведены в [63], результаты которого показаны в табл. 14. Силовые постоянные данных сплавов усреднялись из радиальных и тангенциальных силовых постоянных Fe и Re, которые приведены в табл. 6. При этом силовые постоянные Re считались в матрице железа. Рассчитанные значения упругих постоянных сплавов Fe 3,5,7 ат.%Re успешно применены для обработки интенсивности диффузного рассеяния рентгеновских лучей данных сплавов и расчетов параметров ближнего порядка и энергий упорядочения
[63].
Упругие постоянные сплавов Pdf Fe^ (x = 0.04, 0.1, 0.28) с ГЦК структурой
Таблица 14.
Значения упругих постоянных сплавов Fe 3,5,7 aT.%Re [63].
Таблица 12.
Упругие постоянные сплавов Co0 92Fe0 08 и Ni0 55Pd0 45, (1010 Н/м2). ' '
Сплав Ссылка С11 С12 С44
C00.92Fe0.08 [13] 21.83 16.70 8.30
эксп.[54] 22.1 14.7 12.4
Nin „Pdn ^ 0.55 0.45 [13] 22.45 19.43 7.48
Сплав Упругие постоянные (1010н/м2)
____2]2__С44
Fe Зат^е 24.9__15.2__12.8
Fe 5ат^е 24.1__147__12.2
Fe 7ат^е 23.3 14.1 12.1
ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СИЛОВЫЕ и уго™ тосгояжьш
-—--МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ
Таблица 15.
Упругие постоянные (1010 н/м2) сплавов Pd1_xFex при Т = 300К. Значения в скобках указывают расхождения расчетных значений от экспериментальных в
рассчитывались по формулам Ж.Сквайреса (44) в [27]. При этом силовые постоянные сплава находились усреднением силовых постоянных компонент по концентрации. Рассчитанные в [27] радиальные и тангенциальные силовые постоянные Рй представлены в табл. 5, а ¥в — в табл. 7. Эти величины рассчитывались методом псевдопотенциала с учетом вкладов s и d электронов, и их достоверность проверялись расчетами фононных спектров и упругих постоянных соответствующих металлов. Рассчитанные значения упругих постоянных сплавов Рйг приведены в табл. 15 при сравнении с экспериментальными данными [64, 65], и автор [27] заключил, что учет вкладов s и й электронов в сплавах на основе железа правомочен.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе дан обзор двух методик расчета динамики кристаллической решетки: модели Борна-Кармана и модели Де Лане. Эти модели отличаются определениями силовых постоянных межатомного
взаимодействия. В модели Борна-Кармана силовые постоянные имеют вид тензора, а в модели Де Лане они определяются через первые и вторые производные парного потенциала межатомного взаимодействия, которые именуются как тангенциальные и радиальные силовые постоянные. Однако между этими двумя определениями существует взаимосвязь, которой можно пользоваться при сравнении результатов двух методик расчета. Так на примере расчетов упругих постоянных щелочных металлов показана адекватность формул Сквайреса (44), в
которых фигурируют силовые постоянные Борна-Кармана, и общих формул (47) для расчетов упругих постоянных ГЦК и ОЦК металлов. Результаты расчетов упругих постоянных никеля и палладия, проведенные по формулам (30)-(32) расчетов упругих постоянных ГЦК металлов, согласуются с результатами расчетов по общим формулам (47). Таким образом можно сделать вывод, что обобщение формул для расчета упругих постоянных ГЦК и ОЦК металлов правомочно.
Сравнение результатов расчетов силовых постоянных для конкретного металла с использованием различных видов модельного потенциала показывает, что наборы радиальных и тангенциальных силовых постоянных в общем случае различаются, за исключением силовых постоянных на первой координационной сфере. Этот факт можно объяснить тем, что взаимодействие атома, находящегося в начале отсчета, и его ближайшего атома наиболее сильное. Доказательством достоверности теоретически определенных силовых постоянных является расчет через них фононного спектра данного металла и сравнение с экспериментальным спектром. Из рассчитанного фононного спектра в длинноволновом приближении можно оценить упругие постоянные металла и сравнить с их экспериментальными значениями. В общем случае можно констатировать, что метод псевпотенциала позволяет оценить силовые и упругие постоянные металлов и сплавов.
Из приведенных результатов расчетов упругих постоянных кубических металлов и сплавов методом псевдопотенциала можно заключить, что значение С11 почти всегда близко к экспериментальному значению, а какое-либо из С и С44 заметно отличается от экспериментального значения. Причину этого можно объяснить, например, формулами (32) и (35), где суммы упругих постоянных С и Свыражены через линейные комбинации силовых постоянных.
процентах.
х = 0.04 х = 0.10 х = 0.28
расчет[27] эксп.[64] расчет[27] эксп.[64] расчет[27] эксп.[65]
С11 17.16(-25) 23.0 17.24(-25) 22.9 17.91(+28) 14.0±0.2
С12 12.76(-17) 15.3 12.92(-22) 16.5 13.8(+3) 13.4±0.2
С44 10.15(+30) 7.8 10.04(+14) 8.6 9.92(+24) 8.00±0.02
ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
На примере расчетов упругих постоянных Fe показано, что теория псевдопотенциала не уступает теории функционала плотности электронных состояний в расчетах динамики решетки, а также предоставляет информацию о силовых постоянных межатомного взаимодействия.
ЛИТЕРАТУРА
1. Born M. and Huang K. Dynamical Theory of Crystal Lattice. Oxford University Press, New York, 1954, 488 p.
2. Squires GL. The relation between the interatomic forces and the frequencies for symmetry phonons in cubic crystals. Arkhiv Physics, 1963, 25:21-32.
3. Gilat G, Nicklow RM. Normal Vibrations in Aluminum and Derived Thermodynamic Properties. Phys.Rev., 1966, 143(2):487-494.
4. De Launay J. The theory of specific heats and lattice vibrations. Solid State Physics, 1956, 2:219303.
5. Кривоглаз МА. Дифракция рентгеновских лучей и нейтронов в неидеальных кристаллах. Киев, Наукова думка, 1983, 408 с.
6. Brockhouse BN, Arase T, Gaglioti G, Rao KR, Woods AD. B. Crystal Dynamics of Lead.I. Dispersion Curves at 100K. Phys. Rev., 1962, 128(3):1099-1120.
7. Dulmaa A Tsogbadrah H Galbadrah R. The calculation of the elastic constants of alpha iron. Scientists Notes Mongolian State University, 2015, 25(9):35-38.
8. Minkewitz VJ, Shirane G, Narans R. Phonon Dispersion Relation for Iron. Phys. Rev., 1967, 162:528-531.
9. Rayne JA, Chandrasekhar BS. Elastic Contants of Iron from 4.2 to 300K. Phys. Rev., 1961, 122(6):1714-1716.
10. Warren BE. X-ray Diffraction. MIT. Adison-Wesley PC, 1968, 377 p.
11. Walker CB. X-Ray Study of Lattice Vibrations in Aluminum. Phys.Rev., 1956, 103:547-558.
12. Shyu WM, Gaspari GD. Screened Interionic Potential of the Simple Metals. Phys.Rev., 1968, 170:687-693.
13. Shyam R, Upadhyaya SC, Upadhyaya JC. First-Principles Calculation of the Lattice Dynamics
of the Co0 92Fe0 08 Alloy. Phys.Status Solidi B, 1990, 161:565-574. '
14. Khanna RN, Rathore RP.S. Phonon dispersion in Alkali Metals. Nuovo cimento, 1979, 54B, (1):171-184.
15. Лейбфрид Г. Микроскопическая теория механических и тепловых свойств кристаллов. М., ГИЛ, 1963, 312 с.
16. Портной КИ, Богданов ВИ, Фукс ДЛ. Расчет взаимодействия и стабильности фаз. М., Металлургия, 1981, 248 с.
17. Энхтор Л, Силонов ВМ. Методика расчета упругих постоянных щелочных металлов. Известия РАН. Серия Физическая, 2014, 78(11):1431-1436.
18. Enkhtor L, Silonov VM, Galbadrakh R. New general equation for calculations of elements of dynamical matrix and elastic constants of BCC and FCC metals. IJARPS, 2015, 2(4):10-14.
19. Animalu AOE, Heine V. The screened potential for 25 elements. PhiLMag, 1965, 12(20):1249-1270.
20. Animalu AOE. Electronic structure of transition metals.1. Phys.Rev., 1973, 8(8):3542-3554.
21. Animalu AOE. The total electronic band structure energy for 29 elements. Proc.Roy. Soc, 1966, A294:376-392.
22. Moore CE. Atomic energy levels. National Bureau of Standarts. Washington D.C. 1949, Vols.I, II and III.
23. Силонов ВМ. Таблицы формфакторов псевдопотенциалов Анималу. Деп. ВИНИТИ, 1976, N 1171, 25 с.
24. Upadhyaya SC, Upadhyaya JC, Shyam R. Modelpotential study of the lattice dynamics and elastic constants of the Ni0 55Pd0 45 alloy. Phys.Rev., 1991, 44:122-129.
25. Rayne JA. Elastic Constants of Palladium from 4.2-300K. Phys. Rev., 1960, 118:1545-1549.
26. Ghatak AK, Kothari LS. Introduction to Lattice Dynamics. London, Addison Wesley, 1972, 234p.
27. Singh N. Phonon dispersion curves in iron-based fcc alloys using microscopic force constants. Phys. Rev. B, 1990, 42(14):8882-8884.
28. Harrison WA, Wills JM. Interionic interaction in simple metals. Phys.Rev. B, 1982, 35:5007-5017.
29. Singh N, Banger NS, Singh SP. Phonon spectra and isothermal elastic constants of transition metals: A dynamical treatment. Phys. Rev. B, 1988, 38(11):7415-7420.
30. Bacon B, Smith SC. Single crystal elastic
ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СИЛОВЫЕ и уго™ тосгояжьш
-—--МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ
constants of silver and silver alloys. Acta metall, 1956, 4:337-341.
31. Goens E. Hauptelastizitatskonstanten des einkristalls fon kupfer, gold and blei. Physikalische Zeitschrift., 1936, 37:321-327.
32. Moriarty JA. Total Energy of Copper, Silver,and Gold. Phys. Rev.B, 1972, 6(4):1239-1252.
33. Khwaja FA, Razmi MSK. Calculation of Binding Energies and Elastic Constants of Cu, Ag, and Au Using a One-Parameter Model Potential. Phys. Status Solidi B, 1986, 138:K95-99.
34. Силонов ВМ, Энхтор Л. Ближний порядок в твердых растворах Fe-5 ат.% Re. Вестник Московского Университета. Сер. Физ. Астр., 1997, 3:37-38.
35. Rayne JA, Chandrasekhar BS. Elastic Constants of Iron from 4.2 to 300K. Phys. Rev., 1961, 122(6):1714-1716.
36. Leonov I, Poletaev AI, Anosimov VI, Vollhardt DV. Calculated phonon spectra of paramagnetic iron at the a-y phase transition. Phys. Rev. B, 2012, 85:020401(R)-1-4.
37. Zaretsky J, Stassis C. Lattice dynamics of y-Fe. Phys. Rev. B, 1987, 35(9):4500-4502.
38. Singh N. Lattice Dynamics of y-Iron at 1428K. Phys. Stat. Sol. B, 1989, 156:K33-K36.
39. Ashcroft NW Electron-ion pseudopotentials in metals. Phys.Letters, 1966, 23:48-50.
40. Ashcroft NW, Langreth DC. Compressibility and binding energy of the simple metals. Phys. Rev., 1967, 155:682-685.
41. Nash HC, Smith CS. Single-crystal elastic constants of litium. J. Phys. Chem. Solids, 1959, 9:113-118.
42. You Xie, Jiang-Min Zhang. Atomistic simulation of phonon dispersion for body-centered cubic alkali metals. Can.J.Phys, 2008, 86:801-805.
43. Huntington HB. The elastic constants of crystals. Solid State Physics, 1958, 7:213-351.
44. Marquart WR, Trivisonno J. Low temperature elastic constants of potassium. J. Phys. Chem. Solids, 1965, 26:273-278.
45. Gutman EJ, Trivisonno J. Temperature dependence of the elastic constants of rubidium. J. Phys. Chem. Solids, 1967, 28:805-809.
46. Kollarits FJ, Trivisonno J. Single-crystal elastic constants of cesium. J. Phys. Chem. Solids, 1968, 29:2133-2139.
47. Magana LF, Vazquez GJ. Ab initio calculation
of the elastic constants of magnesium. J.Phys.: Condenc. matter, 1995, 7:L393-L396.
48. Shukla RC. Simple method of deriving the elements of the tensor-force matrix for monoatomic cubic crystals. J.Chem. Phys., 1966, 45:4178-4181.
49. Collins MF. Lattice dynamics of magnesium. Proc.Phys.Soc, 1962, 80:362-372.
50. Силонов ВМ, Гляненко ИА. Расчет упругих постоянных металлов с гексагональной плотной упаковкой. Вестник Московского Университета, Сер. Физ. Астр, 1998, 3:38-40.
51. Францевич ИН, Воронов ФФ, Бакута СА. Упругие постоянные и модули упругости металлов и неметаллов: справочник. Киев, Наукова думка, 1980, с. 286.
52. Сavakheiro R, Shukla MM. Extended de Launey model for the lattice dynamics of HCP metals. Nuovo cimento, 1975, 30B(1):163-181.
53. Slutsky L, Garland CW Elastic constants of magnesium from 4.2K to 300K. Phys. Rev., 1957, 107:972-976.
54. Shapiro SM, Moss SM. Lattice dynamics of face-centered-cubic Con Fen Phys. Rev. B, 1977,
0.92 0.08
15(5):2726-2730.
55. Силонов ВМ, Родин СЮ, Энхтор Л. Расчет упругих постоянных многокомпонентных твердых растворов. Вестн. Моск. ун-та. Сер. Физ.. Астрон, 2000, 3:28-30.
56. Rayne JA. Elastic constants of a-Brasses: Variation with Solute Concentration from 4.2-300K. Phys. Rev., 1958, 112:1125-1230.
57. Lekkery JT. Measurements of elastic moduli of face-centered cubic alloys of transition metals. J.Phys. F, 1981, 1:1991-1996.
58. Hausch G, Warlimont H. Single crystalline elastic constants of ferromagnetic face centered cubic Fe-Ni invar alloys. Acta Met., 1973, 2:401-409.
59. Einspruch NG, Claiborne LT. Elastic constants of 73.8%Ni, 26.2%Fe ferromagnetic alloy. JAppl. Phys, 1964, 35:173-176.
60. Bower DI, Claridge E, Tsong IS. Low-Temperature Elastic Constants and Specific Heat of F.C.C. Nickel-Iron Alloys. Phys.Stat.Sol, 1968, 29:617-625.
61. Salmuter VK, Stangler F. Elastizitat und Plastizitat eines austentischen Chrom-NickelStahls. Zeitschrift fur Metallkunde, 1960, 51:544550.
86 энхтор л, силонов Вм ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
62. Bradfield G. Comparison of the elastic anisotropy of two austenitic steels. J.Iron and Steel Inst, 1964, 202:616-621.
63. Энхтор Л, Силонов ВМ. Ближний порядок в твердых растворах системы железо-рений. Поверхность: рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 2015, 10:1-8.
64. Maliszevski E, Sosnovski J, Bednarski S, Szachor A, Holas A. Lattice dynamics of Pdt xFex system. J.Phys. F, 1975, 5:1455-1465.
65. Sato M, Grier BN, Shapiro SM, Miyajima H. Effect of magnetic ordering on the lattice dynamics of FCC Pd1-xFex. J.Phys. F, 1982, 12:2117-2129.
Энхтор Лхамсурэнгийн
профессор
Монгольский гос. ун-т, факультет естественных и гуманитарных наук, кафедра физики 210646, г. Улан-Батор, Монголия [email protected]
Силонов Валентин Михайлович
д.ф.-м.н, проф., действительный член РАЕН МГУ им. МВЛомоносова, физический факультет, гл.н.с. 1/2, Ленинские горы, Москва 119991, Россия +7 495 939 4308, [email protected]
FORCE AND ELASTIC CONSTANTS OF METALS AND ALLOYS
Enkhtur Lkhamsurengiyn
National University of Mongolia, School of Arts and Science, Department of Physics, http://www.num.edu.nm
210646, Ulaanbaatar, Mongolia
Silonov Valentin M.
Lomonosov Moscow State University, Faculty of Physics, Department of Solid State Physics, http://www.phys.msu.ru
119991 Moscow, Russian Federation
A review of theoretical and experimental investigations of elastic constants of metals and alloys is done. It is considered method of calculations of force and elastic constants of metals by using model potential of Heine-Abarenkov-Animalu within pseudopotential theory. Thus, it is paid especially attention to methods of calculations of elastic constants, in which established a relation between force constants and elastic constants according a long wave approximation. Shown, that pseudopotential method allows to calculate force and elastic constants of metals and alloys.
Keywords: metals, alloys, elastic constants,dynamical matrix, force constants, pseudopotential method PACS 61.10.Eq
Bibliography - 65 references Received 15.05.2015 RENSIT, 2015, 7(1):68-86_DOI: 10.17725/RENSITe.2015.07.068
