CC BY
6
УДК 621.83.06
А. П. Прудников, А. Д. Бодунова
СИЛОВОЙ И ПРОЧНОСТНОЙ АНАЛИЗ ПЕРЕДАЧИ С ФИКСИРОВАННЫМ РАСПОЛОЖЕНИЕМ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ТЕЛ КАЧЕНИЯ
UDC 621.83.06
A. P. Prudnikov, A. D. Bodunova
POWER AND STRENGTH ANALYSIS OF TRANSMISSION WITH FIXED ARRANGEMENT OF INTERMEDIATE ROLLING BODIES
Аннотация
Представлен алгоритм определения сил, действующих на звенья передачи с фиксированным расположением промежуточных тел качения. Проанализированы факторы, влияющие на КПД передачи. Получены зависимости для определения геометрических параметров звеньев передачи исходя из действующих на них нагрузок. Адекватность полученных зависимостей подтверждена посредством метода конечных элементов.
Ключевые слова:
механическая передача, промежуточные тела качения, составной ролик.
Abstract
The paper presents an algorithm for determining the forces acting on transmission links with a fixed arrangement of intermediate rolling bodies. The factors affecting the transmission efficiency are analyzed. Dependencies are obtained for determining the geometric parameters of transmission links based on the loads acting on them. The adequacy of the obtained dependencies is confirmed by the finite element method.
Keywords:
mechanical transmission, intermediate rolling bodies, composite roller.
Введение
Силовой анализ передачи с фиксированным расположением промежуточных тел качения (составных роликов) [1] необходим для определения сил, действующих на звенья передачи, с целью дальнейшего ее расчета на прочность, а также анализа факторов, влияющих на коэффициент полезного действия передачи.
При выполнении силового анализа исходными данными являются геометрические характеристики передачи, передаточное число и, момент полезного сопротивления на ведомом валу М2.
© Прудников А. П. , Бодунова А. Д., 2020
С целью упрощения расчетов принимается следующая степень идеализации объекта исследования:
- режим работы передачи -устоявшийся;
- составные ролики взаимодействуют с беговыми дорожками, углы наклона рабочих участков которых постоянны;
- сила тяжести, действующая на ролики, не учитывается (поскольку масса ролика невелика).
При проведении силового анализа необходимо учесть некоторые конструктивные особенности передачи с фиксированным расположением про-
межуточных тел качения. В качестве промежуточных тел качения в передаче применяются составные ролики, состоящие из базового элемента и втулок, установленных на его концах. Базовый элемент фиксируется на ведомом валу и совершает в процессе работы передачи колебательные движения. При этом точка фиксации базового элемента располагается на середине его длины. Втулки, установленные на концах базового элемента и взаимодействующие в процессе работы передачи с беговыми дорожками, служат для замены трения скольжения на трение качения и, соответственно, для повышения КПД передачи.
Беговые дорожки на ведущем и неподвижном звене можно изготовить
только с помощью сферической фрезы, поскольку беговая дорожка должна быть спрофилирована с учетом траектории движения конца ролика, совершающего колебательное движение. Соответственно, наружная поверхность втулки, установленной на конце ролика и взаимодействующей с беговой дорожкой, выполняется сферической, что обеспечивает снижение контактных напряжений.
Силовой анализ
Схема сил, действующих на составной ролик, передающий нагрузку, представлена на рис. 1.
а)
РтР4зС08Дз
8"4 N"3
--<—
АТУРз^иш
РтрзоСОЗЖ
О
Ь/2
М"4
V N2
в)
Ртр43 ЭПШ № ?
хт- '
\
РтрЮ-СОБ/й
—►
N"1 X
7
Ртр41С08£Г1
КрЮ-ЭПШ
А РТР41 втд ^ КУсозя!
б)
К' >
N1
Г4[ср
00
N"1
Го
г)
Рис. 1. Схема действующих на составной ролик сил
Угол отклонения реакции, возникающей со стороны ролика при его взаимодействии с соответствующей беговой дорожкой, N (см. рис. 1, б) от плоскости, перпендикулярной оси цилиндрической поверхности составного ролика, при допущении о равномерности распределения нагрузки по линии контакта определяется по формуле
Уг
агс8т((Ь4 +84 )/r4i )+агсзт^ 4i /г41)
2
(1)
где h4i - расстояние от центра сферы, являющейся образующей для наружной поверхности втулки, до торцовой поверхности втулки, м; S4i - высота втулки, установленной на конце базового элемента составного ролика, м; Г41 - радиус сферы, являющейся образующей для наружной поверхности втулки, м; 1 - индекс, отражающий принадлежность параметра элементу составного ролика, контактирующего с беговой дорожкой на ведущем (1) или заторможенном (3) звеньях.
При этом учитываются следующие силы трения, возникающие на поверхностях составного ролика:
- силы трения качения Fтр4l, Fтр4з, возникающие при взаимодействии ролика с соответствующей беговой дорожкой;
- силы трения скольжения Fтрlo, Fтрзo, возникающие при взаимодействии соответствующей втулки, установленной на конце ролика, с базовым элементом;
сила трения скольжения при взаимодействии составного ролика с ведомым валом.
Воздействие сил инерции на составной ролик учитывается с помощью центробежной силы инерции, возникающей при вращении ролика вместе с ведомым валом, и момента сил инерции, возникающем при совершении роликом колебательного движения.
Центробежная сила инерции, действующая на составной ролик, определяется по формуле
ФГ = т4 • ю2 • R2,
(2)
где Ш4 - масса составного ролика, кг; Ю2 - угловая скорость вращения ведомого вала, рад/с; Яд - радиус цилиндрической поверхности ведомого вала, на которой фиксируется составной ролик, м.
Момент сил инерции, действующий на составной ролик, определяется по формуле
м Ш4 •12 • 84
2
(3)
где 14 - длина составного ролика, м; 84 - угловое ускорение составного ролика при совершении им колебательного движения, рад/с2.
Для нахождения неизвестных составляются уравнения проекций сил на соответствующие оси и суммы моментов относительно точки фиксации ролика:
I У = 0:
N • сов(ух) • (вт(ах) + сов(ах) • 8г - сов(ах) •бс) + + N • сов(у3) • (8т(а3) + сов(а3) • 8г - сов(а3) • 8с) = N
I х = 0:
N • (БШ(ух) • cos(ф2) + cos(y• 8с • sin(aх) • sin(ф2) -
- cos(y• cos(aх) • sin(ф2) - cos(y• 8г • sin(a• sin(ф2)) + + N3 • (cos(y3) • 8г • sin(a3) • sin(ф2) - sin(y3) • cos(ф2) -
- cos(y3) • 8с • sin(a3) • sin(ф2) - cos(y3) • cos(a3) • sin(ф2)) +
+ 84 • sin(ф2) - 844 • cos(ф2) = 0; (5)
I г = 0:
N • (^п(У 1) • sin(ф2) - cos(У 1) с • 1) • 2) +
+ cos(y 1) • 8г • sin(a 1) • cos(ф2) + cos(y 1) • cos(a 1) • cos(ф2)) + + N3 • (cos(y3) • cos(a3) • cos(ф2) - sin(y3) • sin(ф2) -
- cos(y3) • 8Г • sin(a3) • cos(ф2) + cos(y3) • 8c • sin(a3) • cos(ф2)) -
- 84 • ф2) - 84 • sin (ф2) = Ф£4п;
(6)
IМ01 = 0:
N • (cos(y 1) -8c • г0 - cos(y 1) ^г
• Г41ср ) +
+ N3 • (cos(y3) • 8г • Г43ср - ^(У3) • 8c • Г0) + М4 = 0; (7)
IМ02 = 0:
N1 • 2• (^(У1) • 8г • ^^ 1) - ^(У1) • 8c • cos(a 1) -
- 1) • бШ^ 1)) + N3 • ^ • (cos(y3) • БШ^3) +
+ ^Б^) • 8Г • cos(a3) - ^Б^) • 8c • cos(a3)) + М44 = 0; (8)
I М03 = 0:
N • 2 • (^Б(у 1) • cos(a 1) + 1) • 8г • sin(a 1) -
- COs(Уl) •8c •sin(al)) + N • у •(c0s(Уз) А •sin(aз) -
- cos(y3) • 8c • sin(a3) - cos(y3) • 3)) +
+ 84 • 8c • гст + 844 • 8c • гст = -Ми, (9)
где N1 и N3 - реакции, действующие на ствующей беговой дорожки или ведо-
составной ролик со стороны соответ- мого вала, Н; а1 и а3 - углы подъема
кривых синусоиды, являющейся образующей для соответствующей беговой дорожки, рад; 5с - коэффициент трения скольжения; 5г — коэффициент трения качения, 5г = &Лчц ф2 — угол наклона составного ролика относительно оси вращения ведомого вала при совершении роликом колебательного движения, рад; 84, 84, М4, М4 — составляющие реакции на базовый элемент составного ролика, зафиксированный на ведомом валу, со стороны ведомого вала, Н; го — радиус цилиндрической поверхности базового элемента составного ролика, на которой устанавливается втулка, контактирующая с беговыми дорожками, м; Г4юр — радиус наружной поверхности втулки, на котором располагается середина линии ее контакта с соответствующей беговой дорожкой, м; гст — радиус цилиндрической поверхности выступов на базовом элементе составного ролика, посредством которых он фиксируется на ведомом валу, м.
При решении системы уравнений (4)—(9) матричным методом указанную систему можно представить в виде
ак1 ■ N1 + ак2 ■ N3 + ак3 ■ 84 + + ак4 ■ 84 + ак5 ■ М4 + акб ■м4 = bk, (10)
где к — номер строки, к = 1.. .6; ак1, ..., акб — коэффициенты при реакциях N1, N3, 84, 8"4, М4, М"4 в системе уравнений (4)—(9); Ьк — выражения, стоящие в правых частях системы уравнений (4)—(9).
Вводятся следующие матрицы:
Г N1
N3
4
м;
V м4 У
Л„=
Г а11 а12 а13 а14 а15 а*]
а21 а22 а23 а24 а25 а26
а31 а32 а33 а34 а35 а3б
а41 а42 а43 а44 а45 а46
а51 а52 а53 а54 а55 а56
V аб1 аб2 аб3 аб4 аб5 а66 У
Г Ь11
вт=
V Ь6 У
(11)
Решение системы уравнений (4)—(9)
-1 ■ Вт . (12)
т т
Для нахождения КПД передачи по
м
известной зависимости ^ = 2
_ необ-
М1 ■ и
ходимо определить величину вращающего момента на ведущем валу М1 по формуле
М1 = N ■ cos(Y1) ■ cos(a1) х х tan(a! + фтр) ■ R1,
(13)
где фтр — угол трения, рад; Rl — радиус цилиндрической поверхности, на которой располагается точка контакта составного ролика с беговой дорожкой, м.
На базе полученной математической модели определим силы, действующие на составной ролик, и КПД передачи.
В качестве исходных данных принимаем момент полезного сопротивления М2 = 50 Нм; передаточное число и = 4; R2 = 25 мм; 14 = 35 мм; 5г = 0,002; 5с = 0,075.
Получаем следующие результаты: N1 = 1237 Н; N2 = 1000 Н; N3 = 1617 Н;
8'4 = 1440 Н; 8'4 = 290,11 Н; М4 = 0,08 №м; М4 = 13,91 Н-м; М1 = 15,15 №м; п = 0,825.
Анализ полученных результатов показывает, что максимальные нагрузки действуют на составной ролик в месте его фиксации на ведомом валу и со стороны зафиксированного звена, КПД передачи соответствует червячным редукторам.
Анализ математической модели действующих в передаче сил позволяет
установить, что на КПД передачи из факторов, которые можно варьировать, главным образом влияет длина составного ролика 14. Сферическая форма наружной поверхности втулок (размеры Г41 и Б40, контактирующих с беговыми дорожками, на КПД передачи влияет незначительно.
На рис. 2 представлена зависимость КПД от длины составного ролика.
кпд
36 ММ 40
Рис. 2. Зависимость КПД передачи от длины составного ролика
Как видно из графика, чем меньше длина составного ролика, тем выше КПД.
Прочностной анализ
Полученные силовые зависимости позволяют выполнить прочностной анализ передачи.
где R4i - радиус сферической фрезы, с помощью которой нарезается соответствующая беговая дорожка, м; Е1, Е2 - модули упругости материала контактирующих деталей, Па; Ц1, Ц2 - коэффициенты Пуассона материала контактирующих деталей; [ош] -допускаемое контактное напряжение, МПа.
Нагрузочная способность передачи с промежуточными телами качения определяется контактными напряжениями в зоне взаимодействия составного ролика с беговыми дорожками с учетом того, что беговая дорожка и контактирующий с ней элемент составного ролика имеют сферическую форму.
(14)
Для базового элемента составного ролика характерно возникновение напряжений смятия и среза в местах установки на нем втулок и его фиксации на ведомом валу (рис. 3).
Напряжения смятия и среза для цапф базового элемента, на которых устанавливаются втулки, определяют их минимальные размеры:
ст ш=0,386
N • ^
4i
Г«) • Е2
R4i • ((1 2) • Е 2 + (1 2) • Е1)2
* [стHi],
Г0 =
N.
• [т]'
10 =
N.
2 • Г0 • [0см]
(15)
(16)
где [т] - допускаемое напряжение среза, МПа; 10 - длина цапфы, м; [осм] - допускаемое напряжение смятия, МПа.
Рис. 3. Базовый элемент ролика
Минимальные размеры выступов, посредством которых составной ролик фиксируется на ведомом валу, определяются также исходя из напряжений смятия и среза, на которые влияет реакция 84 =д/842 + :
г_ =
1 =
84
2•п •[т]
8,
4 • Гст • [°см]
(17)
(18)
где 1ст - длина цилиндрической поверхности выступов на базовом элементе
составного ролика, посредством которых он фиксируется на ведомом валу, м.
Создаваемое реактивным моментом М4 напряжение изгиба, действующее на выступы ролика, можно не учитывать, поскольку момент, как видно из расчетов, составляет небольшую величину и возникающее напряжение к тому же снижается действием силы N2.
Напряжение смятия, создаваемое силой N2, можно не учитывать, т. к. реакция 84 значительно больше по величине.
Напряжение кручения, возникающее в базовом элементе, можно не учи-
тывать, т. к. реакция М4 имеет небольшую величину.
Диаметр базового элемента ролика dр необходимо проверять по возникающим напряжениям изгиба, создаваемым реакцией со стороны беговой дорожки,
=
N3 ■ с08(у3) ■ 14
0,2 ■ а3р
4 ■ N.. ■ вт(у3)
^ и]. (19)
На базовый элемент ролика также будут действовать моменты М4, М4, однако поскольку они
значительно меньше по величине напряжений изгиба, создаваемых реакцией со стороны беговой дорожки, то при расчете диаметра dр их можно не учитывать. Совместное влияние указанных сил можно учесть с помощью эквивалентных напряжений по четвертой теории прочности.
Для проверки полученной математической модели силового и прочностного анализов воспользуемся методом конечных элементов. Расчет модели пе-
редачи с фиксированным расположением тел качения, геометрические параметры которой были приняты при расчете КПД передачи, выполним в программном пакете Ansys, реализующим метод конечных элементов [2].
Прочностной анализ передачи показал, что ее прочность определяется контактными напряжениями в зоне взаимодействия составного ролика с беговыми дорожками и эквивалентными напряжениями (по четвертой теории прочности), действующими на базовый элемент ролика. Остальные напряжения, возникающие в деталях передачи, значительно меньше допускаемых.
В качестве материала для составных роликов, ведущего и неподвижного звена принимается сталь 40Х, термообработка — улучшение и закалка токами высокой частоты, полученная твердость деталей передачи — 48 НКС [3].
На рис. 4 и 5 изображены сетка разбиения на конечные элементы, действующие сила и ограничения, заданные при расчете в программном пакете Ansys.
Рис. 4. Сетка разбиения на конечные элементы
Рис. 5. Действующие сила и ограничения
На рис. 6 и 7 представлены результаты расчета:
- распределение контактного давления при взаимодействии состав-
ного ролика с многопериодной беговой дорожкой;
- эквивалентные напряжения, действующие на базовый элемент.
Рис. 6. Распределение контактного давления
Рис. 7. Эквивалентные напряжения
Расхождение между результатами расчета, определенными с помощью метода конечных элементов и разработанной математической модели силового и прочностного анализа, не превышает 5 %.
Заключение
В результате силового анализа получена математическая модель, позволяющая определять силы, действующие на звенья передачи, а также ее КПД. Анализ полученных в ходе силового анализа результатов показывает, что максимальные нагрузки в передаче возникают в зоне взаимодействия составного ролика с ведомым валом и с беговой дорожкой на зафиксированном звене, КПД передачи соответствует червячным редукторам. Основным
варьируемым фактором, влияющим на КПД передачи, является длина составного ролика, которую для повышения КПД необходимо принимать минимально возможной.
В ходе прочностного анализа получены зависимости для определения размеров наиболее нагруженных звеньев передачи исходя из допускаемых напряжений. Компьютерное моделирование в программном пакете Ansys подтверждает адекватность полученной математической модели, позволяющей находить геометрические параметры передачи с фиксированным расположением тел качения исходя из сил, действующих на ее звенья. Представленная модель обеспечивает, таким образом, малые габаритные размеры и высокую нагрузочную способность передачи.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Прудников, А. П. Передача с фиксированным расположением промежуточных тел качения / А. П. Прудников // Вестн. Белорус.-Рос. ун-та. - 2019. - № 3 (64). - С. 75-83.
2. Прудников, А. П. Рациональная конструкция составного ролика для передачи с промежуточными телами качения / А. П. Прудников, О. В. Пузанова, С. Л. Шостак // // Вестн. Белорус.-Рос. ун-та. -2017. - № 4 (57). - С. 60-68.
3. Древаль, А. Е. Краткий справочник металлиста / А. Е. Древаль, Е. А. Скороходов, А. В. Агеев; под общ. ред. А. Е. Древаля, Е. А. Скороходова. - Москва: Машиностроение, 2005. - 960 с.
Статья сдана в редакцию 12 мая 2020 года
Александр Петрович Прудников, канд. техн. наук, доц., Белорусско-Российский университет. E-mail: prudnikov_a@tut.by.
Анастасия Дмитриевна Бодунова, ассистент-стажер, Белорусско-Российский университет. E-mail: bodunok.98@mail.ru.
Aleksandr Petrovich Prudnikov, PhD (Engineering), Associate Prof., Belarusian-Russian University. E-mail: prudnikov_a@tut.by.
Anastasiya Dmitrievna Bodunova, trainee assistant lecturer, Belarusian-Russian University. E-mail: bodunok.98@mail.ru.
