СИЛОВОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ РАБОЧЕЙ СРЕДЫ НА ЭЛЕМЕНТЫ ПЕРЕМЕШИВАЮЩЕГО УСТРОЙСТВА ПРИ ПРЕЦЕССИОННОМ ДВИЖЕНИИ ВАЛОВ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК

Olga V. Stashevskaia, Nicolay A. Martculevich, Vladimir V. Fedotov

FORCE INFLUENCE OF FLUIDS ON ELEMENTS OF MECHANICAL MIXING SYSTEMS IN CASE OF PRECESSION MOTION OF SHAFTS

St. Petersburg State Institute of Technology (Technical University), Moskovsky Pr., 26, St Petersburg, 190013, Russia e-mail: tohm-ur@mail.ru

Ratios between characteristics of turbulent flows of liquids and stochastic parameters of random strains in elements of mechanical mixing systems (MMSs) have been obtained. It is shown that this process is subjected to the normal distribution law with expected value equal to zero. These aspects and ratios permit the use of the methods of complex strength and lifetime calculations of shafts and impeller's blades of industrial MMSs well known in strength mechanics.

Keywords: mechanical mixing system, precession motion of the shaft, turbulent mixing rate, strain characteristics in structural materials.

39.3

О.В. Сташевская1, Н.А. Марцулевич2, В.В. Федотов3

СИЛОВОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ

РАБОЧЕЙ СРЕДЫ

НА ЭЛЕМЕНТЫ

ПЕРЕМЕШИВАЮЩЕГО

УСТРОЙСТВА

ПРИ ПРЕЦЕССИОННОМ

ДВИЖЕНИИ ВАЛОВ

Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), Московский пр., 26, Санкт-Петербург, 190013, Россия e-mail: tohm-ur@mail.ru

Получены соотношения между характеристиками турбулентности и характеристиками случайного процесса изменения во времени напряжений в элементах перемешивающего устройства. Показано, что указанный процесс имеет нормальное распределение с математическим ожиданием равным нулю, что позволяет использовать известную методику для расчета лопастей мешалки и вала на усталость.

Ключевые слова: аппараты с механическим перемешиванием, прецессионное движение вала, турбулентные режимы перемешивания, характеристики напряжений в конструкционном материале

Введение

Опыт эксплуатации промышленных аппаратов с механическим перемешиванием показывает, что выход из строя аппаратов этого типа очень часто связан с усталостным разрушением элементов механического перемешивающего устройства (МПУ). Непосредственной причиной разрушения вала, его опор или мешалки является характер поведения напряжений в материале, которые в каждой точке МПУ меняются во времени. Наиболее сложная динамика изменения напряжений наблюдается в аппаратах большого диаметра, в которых используются либо перемешивающие устройства с прецессионным движением вала мешалки, либо планетарные механические перемешивающие устройства. В обоих случаях напряжение в конструкционном материале в общем случае представляет собой алгебраическую сумму трех напряжений: напряжения Тг, вызванного силами инерции, которые возникают при прецессионном движении вала; напряжения т2, обусловленного взаимодействием с осредненным полем скорости жидкости, и напряжения Тз, вызванного взаимодействием со всеми видами нерегулярного движения. Все три напряжения являются функциями времени с различной характерной частотой изменения. Первое напряжение меняется с частотой прецессионного движения вала О. Характерное время изменения второго напряжения обратно пропорционально угловой скорости ы вращения мешалки. Третье напряжение случайным образом зависит от вре-

мени, полностью определяясь характеристиками турбулентности рабочей среды.

Ранее [1-4] авторами проведен анализ силового воздействия на элементы МПУ, вызванного силами инерции и силами гидродинамического сопротивления со стороны осредненного движения рабочей среды. Однако, наибольшая сложность при расчетах на долговечность вала или лопастей мешалки связана с учетом силового взаимодействия элементов МПУ с нерегулярной составляющей поля скорости. Целью настоящей работы является установление связи между случайной составляющей силовых нагрузок на лопасти мешалок и характеристиками турбулентности перемешиваемой жидкости.

Моделирование характеристик случайного процесса изменения

напряжений

Очевидно, что характеристики напряжения т3(0 непосредственно зависят от характеристик поля пульсационной составляющей ^ скорости жидкости, набегающей на лопасти мешалки. Последнее будем считать однородным в зоне мешалки в силу относительной малости этой области по сравнению с рабочим объемом аппарата. Тогда осредненные характеристики случайной функции ^ не будут зависеть от координат. Как

известно [5], наиболее полной характеристикой турбулентности является функция временной корреляции Q(s) = Ж'(г)Ж'(г + з), отражающая статистическую связь

1 Сташевская Ольга Владимировна, ст. преподаватель, каф. механики, e-mail: tohm-ur@mail.ru Olga V. Stashevskaya, Ph.D. (Eng.), senior teacher, Department of Mechanical Engineering

2 Марцулевич Николай Александрович, д-р техн. наук, профессор, зав. каф. механики, декан механического ф-та, e-mail: Mechanical_faculty@technolog.edu.ru Nicolay A. Martculevich, Dr Sci. (Eng.), Professor, Head of Mechanical Engineering Department, Dean of the Faculty of Mechanical Engineering

3 Федотов Владимир Васильевич, канд. техн. наук, доцент, каф. механики, e-mail: tohm-ur@mail.ru

Vladimir V. Fedotov, Ph.D. (Eng.), Associate Professor, Department of Mechanical Engineering, e-mail: tohm-ur@mail.ru

Дата поступления - 1 декабря 2016 года

между значениями пульсационнои составляющей скорости жидкости в различные моменты времени (черта над символом обозначает операцию статистического осреднения). При стационарном характере среднего движения она не зависит от момента времени t, а зависит лишь от величины промежутка э. Через функцию временной корреляции выражаются важнейшие характеристики турбулентности. Так, интенсивность турбулентности I равна:

I = Q (0).

(1)

Среднее время взаимодействия лопастей мешалки с наиболее крупными турбулентными образованиями:

1 х

.

(2)

,

о

.

(4)

(5)

К(э) = А р2 I Q(s),

(6)

где р - плотность перемешиваемой жидкости, А -безразмерный коэффициент, зависящий от геометрии элементов МПУ и местоположения точки, в которой действуют напряжения т().

Другим важным вопросом, решение которого необходимо для построения метода расчета элементов МПУ на прочность и выносливость, является вопрос об обоснованном выборе функции распределения амплитуд напряжения [9]. При силовом взаимодействии лопасти мешалки с отдельным турбулентным

образованием величина передаваемого импульса пропорциональна с учетом знака величине пульсации скорости №. В свою очередь напряжение в некоторой точке конструкционного материала (касательное или нормальное) линейно зависит от величины силового воздействия (момента или силы). Поэтому между случайными функциями т() и имеет место линейная связь. Следовательно, случайный процесс т() имеет нулевое среднее значение, поскольку по определению пульсации скорости жидкости ее среднее значение равно нулю: W' = 0. В этом случае значение корреляционной функции К(э) при э = 0 равно дисперсии случайной величины ТзО). Действительно,

К(0) = т1(1) = [тз«) - 0]2 = В(тз ).

(7)

Среднее время взаимодействия лопастей мешалки с самыми мелкими турбулентными образованиями оценивается величиной:

(3)

Спектральная функция распределения турбулентной энергии перемешиваемой среды по пульсационным движениям различной частоты связана с корреляционной функцией с помощью Фурье-преобразований [6,7]:

Далее, по центральной предельной теореме теории вероятностей пульсация М" скорости жидкости, набегающей на лопасть мешалки, подчиняется нормальному закону распределения как случайная величина, которая зависит от множества недетерминированных факторов [10]. Тогда случайная величина Т3 также имеет нормальное распределение с математическим ожиданием равным нулю и дисперсией равной D(тз). Следовательно, плотность распределения вероятности напряжения Т3 описывается соотношением:

1

/ (т3) =-, ехр

2£(г3)

(8)

а сам процесс изменения напряжений т() в некоторой точке конструкционного материала является нормальным стационарным процессом с нулевым средним значением. Для процессов этого типа известно соотношение [9], связывающее среднее количество нулей процесса в единицу времени По со значением корреляции К(э) и ее второй производной К"(э) при э = 0:

Аналогичным образом случайной функции напряжений т() отвечает временная корреляция К(э) = г3(/)г3(/ + 5), характеризующая статистическую связь между значениями напряжения в опасном сечении в различные моменты времени. Существующие методы расчета конструкций на прочность и выносливость в условиях их случайного нагружения могут быть реализованы, если явный вид функции К(э) известен [8]. Поэтому одним из наиболее важных вопросов при расчете элементов МПУ при турбулентных режимах перемешивания представляется вопрос о связи между корреляциями Q(s) и К(э).

Очевидно, что характер затухания обеих корреляций должен быть одинаков, поскольку изменения пульсаций напряжения т3(^ следуют за изменениями пульсаций скорости №({). При этом абсолютная величина напряжений должна быть пропорциональна интенсивности турбулентности жидкости. Эти соображения, а также согласование размерностей функций К(э) и Q(s) приводят к следующему соотношению между ними:

1

-К '(0) К(0)

(9)

Величину п0 с определенными оговорками можно рассматривать как удвоенное математическое ожидание числа циклов изменения напряжения т3А) в единицу времени, которое необходимо при расчете на усталостную долговечность. Для конкретного уровня напряжений т среднее число Пт превышения по абсолютной величине процессом тзО) этого уровня в единицу времени определяется формулой:

щ = щ ехр

2К (0)

(10)

Плотность распределения вероятностей максимумов нормального стационарного случайного процесса т() с нулевым средним также выражается через значения корреляционной функции К(э) и ее производных в нуле [9]:

ДА) =

1

427:

и _ >1

уе~2,'! + 2 Ф

1 Х -—

где И = тГ1 /К(0), Ф(х) = — \е 2 Л>

2 л •

, (11)

функция

распределения нормально распределенной случайной величины. Параметр V в предыдущем соотношении полностью определяется значениями корреляции К(э) и ее производными:

п„ = —

п

v= 1-

[K '(0)]2 K(0)KV (0)

( 12 )

КТшах ) =

2п

1 KV (0)

K (0)

(13)

n = I I-в'(0) п0 ~

п

в(0)

или с учетом (1) и (3)

1 [2 n0 =-J■

п \ T

(14 )

( 15 )

Таким образом, частота пересечения случайным процессом т() нулевого уровня, как и следовало ожидать, целиком определяется взаимодействием лопастей мешалки с мелкомасштабной турбулентностью.

Среднее в единицу времени число пересечений процессом ТэЬ) уровня ± т равно:

1

в'(0) в(0)

exp

2 Лр112

(16 )

n(Tmax ) =

(0) в "(0)

(17)

Параметр V, от значения которого зависит форма кривой распределения максимумов напряжений т(), также выражается через значения функции Q(s) и ее производных в нуле:

[в"(0)]г Q(0)QV (0)

(18)

Наконец, среднее число максимумов процесса т() в единицу времени может быть вычислено по формуле:

Приведенные соотношения (8) - (13) показывают, что все основные характеристики случайного процесса изменения напряжений в произвольной точке конструкции могут быть рассчитаны, если явный вид корреляции К известен. Поэтому соотношение (6), связывающее корреляции Ки Q(s), имеет ключевое значение для анализа напряженного состояния конструкционного материала элементов МПУ.

Используя указанное соотношение, выразим характеристики процесса Тз(() через временную корреляцию нерегулярной составляющей скорости жидкости, набегающей на лопасти мешалки. Для среднего числа нулей процесса в единицу времени имеем:

При т = 0 величина Пт совпадает с По. Однако с увеличением т она быстро убывает. При этом скорость убывания зависит от интенсивности турбулентности перемешиваемой среды: чем больше интенсивность турбулентности, тем вероятнее превышение мгновенным значением напряжения заданного уровня. В свою очередь интенсивность турбулентности согласно (1) определяется в основном пульсационными движениями низкой частоты, т.е. крупномасштабной турбулентностью. Таким образом, частота достижения процессом Тз(() достаточно больших значений опасных с точки зрения потери прочности определяется взаимодействием лопастей мешалки с крупными вихрями.

Среднее число максимумов случайной функции ТзО) в единицу времени может быть определено по формуле:

Соотношения (14) - (18) позволяют определить все необходимые для расчета на прочность и долговечность элементов МПУ осредненные характеристики случайного процесса изменения напряжений при работе аппаратов с прецессирующими валами в условиях турбулентных режимов. При этом, однако, необходимо располагать явным видом функции временной корреляции Q(s). Экспериментальное определение последней представляет собой значительно более простую задачу, чем нахождение корреляции K(s). Она решена для различных типов гидродинамических потоков многими исследователями, в том числе и авторами настоящей работы [11, 12]. В [13, 14] приведены результаты экспериментального исследованияхаотическогодвижения среды в аппаратах с механическим перемешиванием. Методом визуализации потоков жидкости с последующей компьютерной обработкой видеосъемки получены определены основные характеристики хаотического движения среды, в том числе функция временной корреляции Q(s).

Заключение

Нахождение характеристик случайного процесса изменения напряжений в конструкционном материале через аналогичные характеристики движения жидкости представляется перспективным методом анализа влияния силового воздействия рабочей среды на работоспособность технологического оборудования. В настоящей работе указанный метод реализован применительно к аппаратам с механическим перемешиванием при прецессионном движении вала мешалки. Важно отметить, что параметры, определяющие долговечность n0 и прочность Пт элементов МПУ, почти полностью зависят от взаимодействия с крупными турбулентными образованиями (соотношения (15) и (16)), поскольку поведение корреляции Q(s) в окрестности нуля связано с крупномасштабной турбулентностью. Мелкие турбулентные образования важны для самого процесса перемешивания рабочей среды и оказывают слабое силовое воздействие на лопасти мешалки.

Литература

1. Сташевская О.В., Марцулевич Н.А., Федотов В.В. Учет инерционных нагрузок в аппаратах с прецессионным движением валов перемешивающих устройств // Материалы II междунар. заочной научно-практ. конф. «Автоматизированное проектирование в машиностроении». НОЦ «МС». 17-18 ноября 2014 г. Новокузнецк: Центр СибГИУ, 2014. № 2. С. 106-107.

2. Сташевская О.В., Марцулевич Н.А., Федотов В.В. О гидродинамическом взаимодействии мешалки и перемешиваемой среды. В сб. науч. тр.: Экологическое образование и охрана окружающей среды. Технические университеты в формировании единого научно-технологического и образовательного пространства СНГ / под ред. А.А. Александрова. Часть II. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014. С. 229-232.

3. Сташевская О.В., Марцулевич Н.А., Федотов В.В. О взаимосвязи между мощностью перемешивания, крутящим моментом и осевой гидродинамической силой, воздействующих на трехлопастную с наклонными лопастями мешалку в момент пуска // Междунар. научно-техн. конф. 9-10 октября 2015 г., Курск. Сб. тр. Курск, 2015. С. 353-356.

4. Сташевская О.В., Марцулевич Н.А., Федотов В.В. Расчет пусковых мощности и крутящего момента на валу типовой быстроходной мешалки // XIX Междунар. Форум по проблемам науки, техники и образования. 22-25

1

V

n= —

к

декабря 2015 г. Москва. Сб. тр. / под ред. В.В.Вишневского. М.: Академия наук о Земле, 2015. С. 89-90.

5. Хинце И.О. Турбулентность. Ее мехенизм и теория / под ред. Г.Н. Абрамовича. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1963. 680 с.

6. Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика, Ч. 1. М.: Наука, 1965. 639 с.

7. Рейнольдс А.Дж. Турбулентные течения в инженерных приложениях. М.: Энергия, 1979. 408 с.

8. РД РТМ 26-01-72-82. Руководящий технический материал. Валы вертикальные аппаратов с перемешивающими устройствами. Методы расчета. Л.: Минхиммаш, 1982.

9. Когаев В.П. Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени. М.: «Машиностроение», 1977. 232 с.

10. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1976. 648 с.

11. Марцулевич Н.А., Протодьяконов И.О., Ро-

манковП.Г. О связи между характеристиками хаотического движения фаз в дисперсных двухфазных потоках // Журн. прикл. химии. 1983. Т. 61. № 8. С. 1910-1912.

12. Марцулевич Н.А. Хаотическое движение частиц в турбулентном потоке газа // Теор. основы хим. технологии. 1987. № 3. С. 362-367.

13. Луцко А.Н., Павлова Э.А., Марцулевич Н.А. Обработка параметров визуализированных потоков жидкости в аппарате с мешалками // Материалы междунар. науч. конф. «Математические методы в технике и технологиях» МНК ММТТ-17. Кострома. Сб. трудов в 10 т. Кострома, 2004. Т. 10. С. 102 -103.

14. Павлова Э.А., Луцко Ф.Н., Луцко А.Н., Марцулевич Н.А. Компьютерная обработка видеосъемки визуализированных потоков жидкости в аппаратах с мешалкой, // Материалы междунар. науч. конф. «Математические методы в технике и технологиях» МНК ММТТ-19. Воронеж. Сб. трудов. Воронеж: изд-во, 2006. Т.8. С. 72-73.