Сильный р-ичный интеграл и сильная Р-ичная производная Текст научной статьи по специальности «Математика»

ми простым степеням х, а Ёп(</) величина наилучшего приближения функции q алгебраическими полиномами степени < п, у которых коэффициенты при составных степенях х равны О

Утверждение теоремы 2 получается в результате предельного перехода при е —> 0 в соотношениях для величин E*n{q) и £„(</), имеющих место на отрезке [0,1 - е].

ТЕОРЕМА 3 Имеют место следующие соотношения:

E„{q)< cp(«K(<?)>

где ф(л) - некоторая функция, удовлетворяющая условию <р(и)—>0 при

Л —» 00

Утверждение теоремы 3 проводится сначала для случая характера Дирихле, а затем используется результат, доказанный В В. Глазковым [3], о том, что если an,an+i,...,ani_s - произвольные корни из единицы, то существует характер Дирихле х(и) такой, что х(л) = °n>- ••> х(и + s)= an+J.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Чудаков Н Г, Родосский К А. Об обобщённом характере // ДАН СССР 1950. Т. 73 С 1137 - 1139.

2 Кузнецов В Н К задаче описания рядов Дирихле, определяющих целые функции // Тр. 3-й Сарат зимней шк по теории функций и приближений. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1988. 4 2 С. 113-115

3. Глазков В В Характеры мультипликативной полугруппы натуральных чисел // Исследования по теории чисел. Саратов Изд-во Сарат ун-та, 1968 Вып 2 С. 3 - 40

УДК 517.5

С. С. Волосивец

СИЛЬНЫЙ F-ИЧНЫЙ ИНТЕГРАЛ И СИЛЬНАЯ Р-ИЧНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ*

Пусть Р ={PjlJ]eN, Pj = Pj. Положим

m = p\...p .при jeN,m0=\ и m . =—-при / e/V. J m

i

Каждому x e [0,+ да) можно сопоставить разложение

' Работа выполнена при поддержке программы «Ведущие научные школы», проект № 00-15-96123

* *

Оно определяется однозначно, если при х = — брать разложения с конеч-

т„

ным числом ненулевых х,. Коэффициенты разложения можно находить по формулам дг ■ =[jtmy](mod/7y) и х_} =[x/m;.1](mod/)y). Число АГ(дс) в (1) равно нулю при х< \, в противном случае наибольшему натуральному j , такому что х_, * 0. Если

+ Z7-.-.0 *y-j*yj<Pi* (П т,

то для jc, уе [0,+ аз), записанных в виде (1) и (Г), определим хф у равенством

х&у- 2-у y-i +Lj=\zj'mj• где z; е {О,1,..р] -1 j и z; = дг; + y;(mod) при всех у е Z . Для хв_у определение аналогично, только zj=xj-yJ[xnoApj). Определим также ядро х{х<у) равенством

Х(х,у) = ехр(2Xj y_J/pJ + yj/pJ

Для / е Ц R+) мультипликативное преобразование Фурье определим формулой

/(*)-*"[/](*) = \f(yW^)dy

Для / £ l} (R+) /•'[/] определяется как предел последовательности i'"' X У)/(>') в I1 (ß+) Кроме существования F[f\ имеет местс также равенство Планшереля )=II/|I/2(r ) П> с - 135]. Как и для обычного преобразования Фурье, из сходимости /„ к / из следует равномерная сходимость /„ к / на Я, Для /, £ е ¿[О, + оо] положим по определению

f*g{x)=[~f{l)g{xQl)dt. Далее через X F будем обозначать характеристическую функцию множества А', а через - полуинтервал Iк/т ,(£ + 1)/т ). Будем называть

* п п'

/(*) Р- непрерывной в точке хе R+, если

lim sup \f(x®h)-f(x) = 0 .

л->+оо o<A<l/m„

Имеет месю следующая лемма

ЛЕММА 1 [1, с. 134] Пусть f е L{R+) и / eL(Rj Тогда в каждой точке Р- непрерывности /(дс) имеет место равенство

Пусть SY (/)(х) = jj j\l)%{х,t)dt. Следующая лемма является аналогом теоремы 10 из [2, с 429]

ЛЕММА 2. Если/ е L(R + ), то lim ||.S'm (/)-/!, -0 и

ЛЕММА 3. Пусть

— mj, (2) tn

где k&N, n&Z+ Тогда äkn = X[t/mn-(t+i)/mn) = X/; .

ЛЕММА 4 Если keN, neZ+, то существует единственное reZ, такое что Ik с [тг ,тг+{)

Рассмотрим теперь ступенчатую функцию Wn, равную рх + .,.рп + + ...рк -(п + к + l) на ^¡тк+х,\1тк) при ¿>0, а при -п<к< 0 Wn =P|*i+1 +.-Р„ -(w-|*l+1) на На [т„,+ оо) пусть

Wn - 0. При условии рк ¿С мы можем гарантировать Wn е ¿[0,+ ю).

Если для некоторой feL(R+) найдется geL(R^), такая что lim \j ~ ё\[(К - т0 Я = ■•'(/) назовем модифицированным силь-

п +оо V + /

ным мультипликативным интегралом (МСМИ) для /.

ТЕОРЕМА 1. Пусть f, g е L(R + ) Тогда g = ■/(/) в том и только в том случае, когда g(0)=0 и g(х)= f(x)h(x) при х>0, где h(x)=\lmn при xe[mn,mn+x), n&Z

ТЕОРЕМА 2 Каждая из функций ак „, определяемых равенством

(2), имеет МСМИ и является собственной функцией оператора J с собственным значением \/тг, где г по лемме 4 однозначно определяется вложением 1к с \тг ,тг+х).

СЛЕДСТВИЕ 1. j[ciyn )= тп а, „

В самом деле \\!mn ,2/mn)c: [l//w„ ,1/тп_{), то есть г = -п . СЛЕДСТВИЕ 2. Линейный оператор J неограничен на своей области определения

Если для /еЬ(Я^) существует <ре/.(К + ), такая что !ип II/* Л„ — ср И - ч = 0, то ф =/)(/) назовем модифицированной силь-

п+ ОО /

ной мультипликативной производной (МСМП) для /, где

А» — >•* |x[o,mt)(*H2 - последовательность ядер.

( > J _ V /„\_-2

ТЕОРЕМА 3. Если у / е L(R +) существует МСМПср е ¿(R+), то ф(о)= 0 и ф(х) = f(x)/h(x) при jc > 0, где h(x) определена в теореме 2.

СЛЕДСТВИЕ 3. Если для / е /„(R + ) существует МСМП D(j) и при этом /(0)= 0, то для ¿)(/) существует МСМИ, причём J(D(/))= / .

ТЕОРЕМА 4. Если для / существует МСМИ ./(/) и при

этом /(О) = 0, то для j{jf) существует МСМП, причём

СЛЕДСТВИЕ 4. Каждая из функций ак п, где к е N, пе Z+, является собственной функцией оператора D , причём 1){ак„)= тг ак „, где г определяется вложением 1к с[/лг,отг+1) по лемме 4.

СЛЕДСТВИЕ 5. Оператор D неограничен на своей области определения

При рк = 2 результаты работы получены Б. И. Голубовым [3].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Голубое Б.И., Ефимов А В., Скворцов В А Ряды и преобразования Уолша. М.: Наука, 1987.

2. Schipp /•' , Wade W.R , Simon Г. Walsh series Budapest.: Akademiai Kiado, 1990.

3 Голубое Б.И. О взаимной обратимости сильного двоичного интеграла и производной // Современные проблемы теории функций и её приложения. Саратов Гос. УНЦ, «Колледж», 2002 С. 51 - 52

УДК 517.518.82

И. Ю. Выгодчикова

ОБ АЛГОРИТМЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ ДИСКРЕТНОГО МНОГОЗНАЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ПОЛИНОМОМ

1. Постановка задачи. Пусть 0 < /0 < Г, <... < < 1, Ф() - дискретное многозначное отображение с образами в виде отрезков

Ф('*)=1да причём Уг.к*У1,к, А е [0: Л'];