CC BY
34
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 7. ФИЛОСОФИЯ. 2020. № 5
ЛОГИКА
А.В. конькова*, В.И. Маркин**
силлогистика с двумя видами отрицания (реконструкция одной идеи н.а. васильева)***
В статье исследуется альтернативный вариант «воображаемой логики» Н.А. Васильева. Эта логическая теория представляет собой особую силлогистику с суждениями трех качеств: утвердительными и двумя типами отрицательных — суждениями с абсолютным отрицанием и с обычным отрицанием. Все суждения трактуются Васильевым в интенсиональном ключе: они фиксируют отношения между совокупностями признаков (содержаниями понятий). Для данной теории Д.В. Зайцевым и В.И. Маркиным была предложена формальная семантика и адекватное ей аксиоматическое исчисление IL2. А.В. Конькова ранее выделила корректные, с точки зрения IL2, модусы силлогизма. В статье сформулированы семь общих правил силлогизма для альтернативного варианта воображаемой логики. Все корректные в логике IL2 силлогизмы удовлетворяют каждому из этих семи условий, а любой некорректный не удовлетворяет хотя бы одному из них. Воображаемая логика, таким образом, может быть адекватно реконструирована с использованием как современных, так и традиционных логических методов.
Ключевые слова: воображаемая логика, Н.А. Васильев, отрицание, силлогистика, правила силлогизма, интенсиональная интерпретация суждений.
A.V. K o n k o v a, V.I. M a r k i n. Syllogistics with two kinds of negative statements (reconstruction of an idea of N.A. Vasiliev
The article is devoted to the alternative version of "Imaginary logic" of N.A. Vasiliev. This logical system is a special syllogistics with three types of statements qualities: affirmative and two kinds of negative statements — with
* Конькова Антонина Викторовна — аспирант кафедры логики философского факультета МГУ имени М.В. Ломоносова (119991, Ленинские горы, МГУ учебно-научный корпус «Шуваловский», г. Москва, Россия), тел.: +7 (495) 939-18-46; e-mail: antonia.konkova@gmail.com
** Маркин Владимир Ильич — доктор философских наук, заведующий кафедрой логики философского факультета МГУ имени М.В. Ломоносова (119991, Ленинские горы, МГУ, учебно-научный корпус «Шуваловский», г. Москва, Россия), тел.: +7 (495) 939-18-46; e-mail: markin@philos.msu.ru
*** Статья подготовлена в рамках работы Выдающейся научной школы МГУ имени М.В. Ломоносова «Трансформации культуры, общества и истории: фило-софско-теоретическое осмысление».
'absolute' and 'usual' negation. All statements are interpreted in an intensional manner, they fix different relations between two sets of characters (comprehensions of concepts). V.I. Mar kin and D.V. Zaitsev set out the formal semantics and adequate axiomatic calculus IL2 for this version. A.V. Konkova selected syllogistic modi which are valid in IL2. In the paper we formulate seven general rules of syllogism for the alternative version of Imaginary logic. All IL2-valid modi satisfy each of these rules, and every invalid modi doesn't satisfy at least one of them. So, Imaginary logic can be efficiently reconstructed by means of modern as well as traditional logical methods.
Keywords: Imaginary logic, N.A. Vasiliev, negation, syllogistic, rules of syllogism, intensional interpretation of statements.
Выдающийся российский логик-философ Николай Александрович Васильев широко известен прежде всего благодаря созданной им оригинальной логической теории, которую он назвал «воображаемой (неаристотелевой) логикой». Она представляет собой силлогистику особого типа, в которой, наряду с утвердительными и отрицательными, вводятся в рассмотрение суждения третьего качества: так называемые «индифферентные» (противоречивые) суждения. Они содержат предицирующую связку «есть и не есть», соединяющую утверждение и отрицание. Что же касается различения суждений по количеству, то при построении своей дедуктивной системы Васильев использует в качестве посылок и заключений общие и неопределенно-частные суждения, как это принято в традиционной силлогистике (и это несмотря на критическое отношение автора к стандартной, идущей от Аристотеля трактовке квантора существования как «некоторые, а возможно, и все»).
Таким образом, язык воображаемой логики включает формы атрибутивных суждений шести типов:
1) общеутвердительные — «Все S есть P»;
2) общеотрицательные — «Все S не есть P»;
3) общеиндифферентные — «Все S есть и не есть P»;
4) частноутвердительные — «Некоторые S есть P»;
5) частноотрицательные — «Некоторые S не есть P»;
6) частноиндифферентные — «Некоторые S есть и не есть P».
Воображаемая логика формулируется Васильевым в том же ключе, в котором Аристотель излагает свою силлогистику в начальных главах первой книги «Первой Аналитики»: постулируется исходный набор форм корректных рассуждений (принципы обращения, законы противоположностей, модусы первой фигуры силлогизма), а затем с помощью указанных постулатов обосновывается корректность других силлогистических умозаключений (модусов второй и третьей фигуры). Отличие состоит лишь в том, что помимо утвердительных
и отрицательных суждений Васильев рассматривает еще и индифферентные (в качестве возможных посылок и заключений).
Оба ученых не могли обойти стороной проблему семантического оправдания построенных ими логических теорий. Но если Аристотелю казалось достаточным указания на самоочевидность исходных постулатов силлогистики, то у Васильева была более сложная задача: найти приемлемую рациональную интерпретацию индифферентных суждений, содержащих связку «есть и не есть». Основная мысль Васильева состояла в том, что эти суждения ложны в нашем мире, где справедлив (трактуемый онтологически) закон непротиворечия, однако они могут оказаться истинными в некотором воображаемом мире, в котором существуют предметы, одновременно обладающие и не обладающие каким-то свойством. Воображаемая логика, как и силлогистика Аристотеля, по его мнению, это эмпирические логики. Но если стандартная силлогистика является логикой нашего мира, то васильевская система — это логика воображаемого мира, где не действует закон непротиворечия.
Н.А. Васильев постоянно подчеркивает, что отношение между созданной им логикой и логикой Аристотеля подобно отношению между геометриями Лобачевского и Эвклида. Известно, что существует эмпирическая интерпретация геометрии Лобачевского в евклидовом мире. Васильев, по аналогии, ставит вопрос о существовании подобной интерпретации воображаемой логики в нашем, а не воображаемом мире: «Мы можем дать реальное истолкование для неевклидовой геометрии, можем найти в нашем евклидовом пространстве образования, геометрия которых будет неевклидовой... Реальным истолкованием геометрии Лобачевского будет геометрия на поверхности с постоянной отрицательной кривизной, на так называемой псевдосфере... Так точно можно найти в нашем мире образования, логика которых будет аналогична воображаемой» [Н.А. Васильев, 1989, с. 81].
Первая из таких интерпретаций трактует суждения воображаемой логики как модальные: утвердительные — как содержащие модальность «необходимо», отрицательные — как содержащие модальность «невозможно», индифферентные — как содержащие модальность «случайно». Вторая интерпретация базируется на идее использования отношений сходства, абсолютного различия, частичного сходства и различия при истолковании суждений разных качеств.
Третья и наиболее интересная интерпретация воображаемой логики основывается на интенсиональной трактовке атрибутивных суждений. Суть ее состоит в следующем. С субъектом и предикатом связываются не множества индивидов, а совокупности признаков, т.е. не объемы понятий, а их содержания. Напомним, что в традици-
онной логике под содержанием понятия понималась именно совокупность признаков, позволяющая выделить некий класс предметов (объем понятия), обладающих каждым из этих признаков. Сами же атрибутивные суждения при таком подходе выражают мысль об отношении между содержаниями, а не объемами субъекта и предиката. Разным отношениям между содержаниями двух понятий соответствуют различные типы атрибутивных суждений.
Общеутвердительное суждение вида «Все S есть P» заключает в себе информацию о том, что содержание предиката P является частью содержания субъекта S, т.е. каждый признак в составе содержания P входит и в содержание S. Васильев был не первым, кто предложил такую трактовку общеутвердительных суждений. Данный подход детально развивал Лейбниц, на возможность подобной интерпретации указывал и Кант.
Какую же информацию, согласно Васильеву, несут отрицательные высказывания? Следует обратить внимание на то, что в содержание понятия могут включаться признаки двух типов — позитивные, указывающие на наличие свойства у предмета (например, «быть белым»), и негативные, указывающие на отсутствие свойства у предмета (например, «не быть белым»). Если позитивный и негативный признаки указывают на наличие и на отсутствие одного и того же свойства, то эти признаки назовем противоречащими друг другу (таковыми являются, например, признаки «быть белым» и «не быть белым»). Негативный признак (в некотором особом смысле) «отрицает» противоречащий ему позитивный признак.
Общеотрицательное суждение при интенсиональной интерпретации означает, что в содержаниях S и P имеются противоречащие друг другу признаки. Васильев выражает эту мысль так: «Чтобы отрицать предикат у субъекта, достаточно отрицать у субъекта хотя бы один признак предиката» [там же, с. 87]. Здесь вовсе не обязательно, чтобы для каждого признака в составе предиката в субъекте нашелся бы противоречащий ему. Достаточно, чтобы таковой нашелся у одного из признаков, составляющих предикат: «В суждении "Собака — не человек" отрицается не все содержание понятия человек, напр., вовсе не отрицается, что собака — млекопитающее» [там же].
И далее Васильев высказывает идею о том, что возможны две отрицательные внутренние связки: одну он называет «абсолютным» (сильным) отрицанием, а вторую — «нашим» (слабым) отрицанием: «Но можно создать концепцию... абсолютного отрицания. Можно представить себе такое non A, которое бы не имело ни одного из признаков A. Если понятие A состоит из признаков p, q, r, s,. тогда понятие non A должно состоять из признаков non-p, non-q, non-r, non-s и т.д. Наряду с этим можно мыслить сохранившимся и наше
отрицание, которое отрицает не все признаки A, а только некоторые» [там же, с. 87-88].
Следует обратить внимание, что в приведенном фрагменте имеется некоторая двусмысленность: «наше» отрицание отрицает только некоторые признаки предиката, а значит, какие-то признаки предиката в субъекте утверждаются. В то же время чуть ранее Васильев пишет, что в обычном отрицательном суждении в субъекте отрицается хотя бы один признак предиката, т.е. такое суждение не исключает ситуации, когда отрицаются все признаки. Поэтому «наше» отрицание (у Васильева) все же не совпадает по смыслу с «обычной» отрицательной связкой.
В то же время далее Васильев четко указывает три разновидности суждений по качеству: «Вообще мы можем или 1) утверждать все признаки A, или 2) отрицать все признаки A, 3) некоторые признаки утверждать, некоторые отрицать. 1-й случай дает утвердительное суждение, 2-й случай — абсолютное отрицание, 3-й случай — наше отрицание. Всего будет три подразделения суждений по качеству» [там же, с. 88]. Таким образом, при данном подходе суждения по качеству делятся на три типа: помимо утвердительных суждений имеется две разновидности отрицательных суждений1.
Н.А. Васильев отмечает, что данной интерпретации трех типов суждений соответствует логика, отличная от основного варианта его воображаемой логики. В ней становятся корректными некоторые силлогизмы, которые не являются правильными с точки зрения основного варианта логики Василева: «Так, напр., нетрудно видеть, что при последней интерпретации возможна 1-я фигура силлогизма с абсолютным отрицанием малой посылки» [там же]. В качестве примера такого силлогизма Васильев приводит умозаключение:
A есть P
S есть non A
S есть non P,
причем форма «S есть non A» должна читаться так: «A абсолютно отрицается относительно S», т.е. «non» — это не терминное отрицание
1 Васильев пишет: «...класс наших отрицательных суждений, объявляющих утвердительное суждение ложным, распался бы на 2 класса: на суждения об абсолютной ложности и на суждения простой ложности утвердительного суждения» [Н.А. Васильев, 1989, с. 88]. Здесь, конечно, возникает «соблазн» истолковывать данный фрагмент в духе идеи многозначности, может показаться, что Васильев, наряду с истиной и (обычной) ложью, допускает еще одну истинностную оценку — абсолютную ложь. Заметим, что Васильева первоначально считали предтечей именно многозначной логики. Однако детальный анализ его текстов свидетельствует о том, что данная идея нигде больше не развивается; в своих логических построениях Васильев обходится, как правило, двумя истинностными оценками.
(часть предиката), а часть особой — абсолютно отрицательной — внутренней связки.
Действительно, в большей посылке утверждается, что все признаки в составе P содержатся и в A, а меньшая посылка говорит о том, что каждый признак в составе A отрицается в S. Отсюда вытекает, что каждый признак в составе P отрицается в S.
Более того, при этой интерпретации суждений оказываются корректными и более «экзотические» силлогизмы: в ряде случаев из двух абсолютно отрицательных посылок следует утвердительное заключение! Рассмотрим пример подобного силлогизма, записав его в васильевской нотации:
A есть non P
S есть non A
S есть P.
Пусть с термином P связывается множество признаков {p1, p2, ..., pn}. Согласно большей посылке, в A содержатся признаки, противоречащие указанным, т.е. негативные признаки non-p1, non-p2, ..., non-pn. А согласно меньшей посылке, в S содержатся признаки, противоречащие входящим в A, в том числе и признаки, противоречащие nonp non-p2, ..., non-pn. Таковыми являются позитивные признакиppp2, pn. Следовательно, каждый из признаков, входящих в P, содержится и в S.
Современная реконструкция изложенного выше варианта воображаемой логики Васильева была осуществлена Д.В. Зайцевым и В.И. Маркиным в [Д.В. Зайцев, В.И. Маркин, 1999]. При этом использовались точные методы формальных семантик и логических исчислений.
Исходной семантической конструкцией является интерпретирующая функция d, которая каждому общему термину сопоставляет понятие, трактуемое в интенсиональном аспекте, т.е. как совокупность признаков. Понятие определяется как подмножество множества {p1, ~p1,p2, ~p2, .• •}, где символыp1,p2,... репрезентируют позитивные признаки, а ~p1, ~p2, ... негативные признаки (символ «~» является аналогом васильевского «non»). Признаки с одинаковым индексом — pi и ~pj — рассматриваются как противоречащие друг другу. На понятия накладываются два ограничения: (а) они не должны быть пустыми (т.е. содержат хотя бы один признак); (б) они не содержат противоречащих друг другу признаков pj и ~pi. На множестве всех понятий задается операция *, которая каждый позитивный признак pi в составе произвольного понятия заменяет на противоречащий ему негативный признак ~pj, а каждый негативный признак ~pj — на противоречащий ему позитивный признак pi.
Для формальной записи утвердительных суждений выбирается силлогистическая константа Лр для суждений с абсолютным отрицанием — константа Л2, для суждений со слабым отрицанием — константа Л3. Выделяются три вида атомарных формул, соответствующих васильевским суждениям различных качеств — Л1SP, Л2SP и ЛзSP) где S выступает в роли субъекта, а P — предиката суждения. Далее задаются условия значимости формул данных типов.
Формула A1SP значима при интерпретации ^ если и только если d(P) с d(S), т.е. каждый признак в составе понятия, связанного с P, входит в состав понятия, связанного с S. Формула Л^ значима при интерпретации d, если и только если d(P)* с d(S), т.е. для каждого признака в составе понятия, связанного с P, верно, что противоречащий ему признак входит в состав понятия, связанного с S. Формула ЛзSP значима при интерпретации d, если и только если d(P) п d(S) Ф 0 и d(P)* п d(S) Ф 0, т.е. существует признак в составе понятия, связанного с P, который входит также в состав понятия, связанного с S, и существует в составе первого понятия такой признак, что противоречащий ему признак входит в состав второго понятия.
Очевидно, что приведенные условия значимости формул A1SP, Л2SP и Л3SP адекватно передают ту информацию, которую сам Васильев связывает с суждениями трех качеств в анализируемом фрагменте его работы.
Д.В. Зайцев и В.И. Маркин [там же, с. 137] обоснованно считают, что формулы Л^, Л^ и ЛзSP являются формами общих суждений. Однако для формулировки системы воображаемой логики одних только общих суждений недостаточно. Излагая основную версию этой теории, Васильев рассматривает силлогизмы не только с общими, но и с неопределенно-частными посылками. В своем наброске альтернативного варианта воображаемой логики вопрос об интерпретации частных суждений Васильев даже не ставит. Упомянутые авторы сумели восполнить данный пробел, введя в язык дополнительные силлогистические константы для частных суждений (11 для утвердительного, 12 для абсолютно отрицательного и 13 для слабо отрицательного) и сформулировав подходящие условия значимости для новых атомарных формул I1SP, I2SP и IзSP.
Формула I1SP значима при интерпретации d, если и только если d(P)* п d(S) = 0, т.е. в составе понятия, связанного с P, отсутствуют признаки, противоречащие тем, которые входят в состав понятия, связанного с S. Формула I2SP значима при интерпретации d, если и только если d(P) п d(S) = 0, т.е. в составах понятий, связанных с S и P, отсутствуют одинаковые признаки. Формула IзSP значима при интерпретации d, если и только если d(P) \ d(S) Ф 0 и d(P)* \ d(S) Ф 0, т.е. в составе понятия, связанного с P, найдется признак, отсутству-
ющий в составе понятия, связанного с 5, и найдется такой признак, что противоречащий ему не входит в состав второго понятия2.
Хотелось бы обратить внимание на еще один важный момент. В основном варианте воображаемой логики имеются суждения трех качеств: утвердительные (с внутренней связкой «есть»), отрицательные (со связкой «не есть») и индифферентные (со связкой «есть и не есть»). В альтернативном варианте этой теории Васильев также рассматривает суждения трех качеств, но несколько иных: утвердительные, абсолютно отрицательные и слабо отрицательные. В то же время вторая версия воображаемой логики характеризуется им как интерпретация первой. Возникает вопрос, как соотносятся отрицательные и индифферентные суждения основного варианта с абсолютно и слабо отрицательными суждениями второго варианта. Зайцев и Маркин предлагают следующее решение этой проблемы: «Слабое отрицание, указывает Н.А. Васильев, по своим логическим свойствам аналогично обычной отрицательной связке аристотелевской силлогистики... Тем не менее, высказывания с абсолютным отрицанием естественно трактовать как аналог отрицательных суждений воображаемой логики, так как и те, и другие содержат исключительно негативную предикацию. Аналогом же индифферентных суждений, соединяющих утверждение с отрицанием, уместно считать высказывания со слабым отрицанием» [там же, с. 136]. Поэтому в дальнейшем суждения форм A1SP и ^Р будем считать утвердительными, суждения форм A2SP и ^Р — отрицательными, а суждения форм A3SP и ^Р — индифферентными.
Реконструкция альтернативного варианта воображаемой логики осуществляется Зайцевым и Маркиным на базе классической логики высказываний, поэтому в язык дополнительно вводятся пропозициональные связки и постулируются стандартные условия значимости сложных формул. Общезначимыми называются формулы, значимые при любой интерпретации общих терминов d. В этом же языке строится аксиоматическое исчисление ^2. Доказываются метатеоремы о его семантической непротиворечивости и полноте. Таким образом, класс доказуемых в ^2 формул совпадает с классом формул, общезначимых в приведенной выше семантике.
Логика ^2 представляет собой дедуктивную систему силлогистического типа, но построенную в соответствии со стандартами современной, символической логики. Тем не менее несомненный интерес представляет более традиционный взгляд на эту теорию.
2 Приведенные условия значимости для форм частных суждений не столь очевидны, как для форм общих. В статье Д.В. Зайцев, В.И. Маркин, 1999, с. 137-138] содержится подробная аргументация в пользу именно такой трактовки частных суждений.
Понять ее отличие от стандартной силлогистики можно, лишь сопоставив законы и правильные умозаключения этих систем. В традиционной позитивной силлогистике к ним обычно относят законы силлогистического тождества, принципы обращения, умозаключения, основанные на отношениях между атрибутивными суждениями с одинаковыми субъектами и предикатами (законы логического квадрата), а также двухпосылочные силлогизмы.
Формулы Л^ и доказуемы в ^2, т.е. законы силлогистического тождества традиционной силлогистики справедливы и в этом варианте воображаемой логики.
Суждения видов Л3SP, I1SP и I2SP обращаются в ^2 чисто (простой перестановкой терминов), а A1SP и Л2SP лишь с ограничением (в I1PS и в I2PS). Суждения вида IзSP не обращаются3.
Законы противоположностей в ^2 действуют в следующей редакции: любое общее суждение несовместимо ни с общим, ни с частным суждением иного качества, а любое частное суждение несовместимо лишь с общими суждениями иного качества.
Принципы подчинения аналогичны тем, которые выделяются в традиционной силлогистике: из общего суждения следует частное того же качества, но не наоборот.
Центральным для любой силлогистической теории является так называемое учение о силлогизме. Выделение корректных двухпосы-лочных силлогизмов рассматривается как главная задача этих теорий. Например, в традиционной силлогистике выделяют 256 видов такого рода умозаключений (различающихся количеством и качеством посылок и заключений, а также расположением терминов в посылках) и лишь 24 из них оценивают как корректные способы рассуждений.
Попытаемся далее развить подобное учение о силлогизме применительно к системе ^2, реконструирующей альтернативный вариант воображаемой логики Васильева.
Силлогизмом в воображаемой логике называется двухпосы-лочное умозаключение, в котором каждая посылка и заключение являются суждением одного из шести типов (Л1, Л2, Л3, !2, !3) и эти суждения содержат три термина: один из терминов входит в обе посылки и отсутствует в заключении, а два других входят в заключение и только в одну из посылок.
Понятия большего, меньшего и среднего термина, большей и меньшей посылки вводятся стандартно. Меньший термин — это
3 Именно принципы обращения свидетельствуют о том, что суждения со слабым отрицанием по своим логическим характеристикам сходны с обычными отрицательными суждениями традиционной силлогистики. Интересно, что суждения с абсолютным отрицанием подчиняются тем же принципам обращения, что и утвердительные суждения.
субъект заключения, больший термин — предикат заключения, средний термин — тот, который входит в обе посылки и отсутствует в заключении. Больший и меньший термины называют крайними. Большей посылкой называется та, которая содержит больший термин, а меньшей посылкой — та, которая содержит меньший термин. При записи силлогизма договоримся большую посылку указывать первой, меньшую — второй, а заключение — третьим.
Как и в традиционной силлогистике, силлогизмы распределяются по фигурам в зависимости от расположения среднего термина в посылках: в силлогизмах I фигуры средний термин является субъектом большей и предикатом меньшей посылки, в силлогизмах II фигуры он является предикатом обеих посылок, в силлогизмах III фигуры — субъектом обеих посылок, в силлогизмах IV фигуры — предикатом большей и субъектом меньшей посылки.
Модус силлогизма определяется типами большей посылки, меньшей посылки и заключения (в указанной последовательности). Поскольку каждое из трех суждений в составе силлогизма относится к одному из шести типов, общее количество модусов равно 63, т.е. 216. А учитывая, что каждый модус может относиться к одной из четырех фигур, общее количество форм силлогизма равно 864.
Поскольку любая логическая теория имеет дело не с конкретными суждениями, а с их формальными представлениями (формулами), то под силлогизмом будем далее понимать не само умозаключение указанного выше типа в естественном языке, а его логическую форму — метаутверждение «В1, В2 Н С», где В1, В2 и С — атомарные формулы языка воображаемой логики.
Какие же силлогизмы, с точки зрения ^2, следует принять, а какие отвергнуть?
Силлогизм В1, В2 Н С назовем П,2-валидным, если и только если формула (В1 л В2) ^ С доказуема в исчислении ^2 (общезначима в семантике для ^2).
А.В. Конькова показала [А.В. Конькова, 2019], что существует в точности 64 ^2-валидных силлогизма, из которых 52 являются совершенными (заключение в них — наиболее сильное следствие из данных посылок), а 12 несовершенными.
В I фигуре 12 совершенных ^2-валидных силлогизма (А^А^
А1А2А2, А2А1А2, А2А2А1, A3A1A3, A3A2A3, A1I1I1, A1I2I2, A2I1I2, А2!211,
A3I1I3, А31213) и шесть несовершенных ^2-валидных силлогизма
(A1A1I1, A1A2I2, А2А1!2, А2А2!1, А3АА, А3А2!3).
Во II фигуре восемь совершенных ^2-валидных силлогизма (АзА1Аз, А3А2А3, А1А3А3, А2А3А3, Аз111з, Аз^з, А^з!^, А21з1з) и четыре несовершенных ^2-валидных силлогизма (А3А113, А3А213,
А1А3!3, А2А3!3).
В III фигуре 18 ^2-валидных силлогизма (AjAjIj, AjA2I2, A2AjI2,
A2A2I1, A3A1I3, A3A2I3, A1I1I1, A1I2I2, A2I1I2, A2I2I1, A3I1I3, A3I2I3, I1A1I1,
IjA2I2, I2A1I2, I2A2I1, I3A1I3, I3A2I3), и все они совершенные.
В IV фигуре 14 совершенных ^2-валидных силлогизма (A1A1I1,
A1A2I2, A1A3A3, A2A1I2, A2A2I1, A2A3A3, A3A1I3, A3A2I3, A3I1I3, A3I2I3,
I1A1I1, I1A2I2, I2A1I2, I2A2I1) и два несовершенных ^2-валидных силлогизма (A1A3I3, A2A3I3).
Известно, что в традиционной логике проверка силлогизмов осуществлялась иными методами. Самый популярный из них состоит в формулировке общих правил силлогизма — набора критериев, позволяющих отличать корректные силлогизмы от некорректных. Предварительно вводится понятие распределенности субъектов и предикатов в атрибутивных суждениях (субъекты распределены в общих, а предикаты в отрицательных суждениях). Сам набор общих правил силлогизма может быть разным. Приведем один из известных его вариантов: (1) по крайней мере одна из посылок является утвердительной; (2) если одна из посылок отрицательная, то заключение отрицательное; (3) если обе посылки утвердительные, то заключение утвердительное; (4) средний термин распределен по крайней мере в одной посылке; (5) крайний термин, не распределенный в посылке, не распределен в заключении.
В традиционной силлогистике 24 силлогизма удовлетворяют всем пяти критериям и оцениваются как корректные (правильные), а остальные 232 силлогизма не удовлетворяют хотя бы одному правилу и оцениваются как некорректные (неправильные).
Возникает вопрос, можно ли сформулировать аналогичные критерии, которые позволили бы выделить 64 ^2-валидных силлогизма из множества всех 864-х силлогизмов воображаемой логики. Остальная часть статьи как раз и посвящена решению данного вопроса.
Прежде всего, для шести типов суждений воображаемой логики потребуется несколько видоизменить правила распределенности терминов:
РТ-1. Субъект распределен в общих суждениях и не распределен в частных суждениях.
РТ-2. Предикат распределен в индифферентных суждениях и не распределен ни в утвердительных, ни в отрицательных суждениях.
Распределенность субъектов и предикатов может быть зафиксирована в таблице:
A1 S+ P-, A2 S+ P-, A3 S+ P+, I1 S- P-, I2 S- P-, I3 S- P+.
Распределенный термин отмечается знаком «+», а нераспределенный — знаком «-».
Мы предлагаем следующую систему общих правил силлогизма для рассматриваемого варианта воображаемой логики:
ОП-1. По крайней мере одна из посылок не является индифферентной.
ОП-2. Если одна из посылок индифферентная, то заключение индифферентное.
ОП-3. Если обе посылки утвердительные, то заключение утвердительное.
ОП-4. Если обе посылки отрицательные, то заключение утвердительное.
ОП-5. Если одна посылка утвердительная, а другая отрицательная, то заключение отрицательное.
ОП-6. Средний термин распределен по крайней мере в одной посылке.
ОП-7. Крайний термин, не распределенный в посылке, не распределен в заключении.
Назовем силлогизм воображаемой логики правильным (корректным), если и только если он удовлетворяет каждому из семи общих правил силлогизма.
Цель дальнейших рассуждений — доказать, что правильными являются все ^2-валидные силлогизмы и только они: каждый ^2-валидный силлогизм удовлетворяет всем семи сформулированным выше критериям, а любой силлогизм, который не является ^2-валидным, не удовлетворяет хотя бы одному из этих критериев.
Предварительно имеет смысл обосновать наличие некоторых общих свойств у правильных силлогизмов каждой из четырех фигур (в традиционной логике подобные свойства обычно называют правилами фигур силлогизма):
I фигура
Ф1-1. Большая посылка общая.
Ф1-2. Меньшая посылка не является индифферентной.
II фигура
Ф2-1. Большая посылка общая.
Ф2-2. Одна из посылок индифферентная.
III фигура
Ф3-1. Меньшая посылка не является индифферентной.
Ф3-2. Заключение частное.
IV фигура
Ф4-1. Если большая посылка не является индифферентной, то меньшая посылка общая.
Ф4-2. Если одна из посылок индифферентная, то большая посылка общая.
Ф4-3. Если меньшая посылка не является индифферентной, то заключение частное.
В процессе обоснования этих утверждений мы будем опираться на семь общих правил силлогизма, особенности расположения терминов в посылках той или иной фигуры и на правила распределенности субъектов и предикатов суждений.
Метатеорема 1. В правильном силлогизме I фигуры
меньшая посылка не является индифферентной (Ф1-2).
Покажем, что любой силлогизм I фигуры с меньшей индифферентной посылкой некорректен.
Рассмотрим произвольный силлогизм I фигуры, в котором меньшая посылка индифферентная. Тогда, согласно ОП-1, большая посылка этого силлогизма не является индифферентной, а согласно ОП-2, его заключение индифферентное. В силлогизмах I фигуры больший термин является предикатом и в большей посылке, и в заключении. Предикат распределен только в индифферентных суждениях (РТ-2), поэтому больший термин не распределен в посылке, но распределен в заключении. В соответствии с ОП-7, данный силлогизм некорректен.
Метатеорема 2. В правильном силлогизме I фигуры
большая посылка является общей (Ф1-1).
Покажем, что любой силлогизм I фигуры с большей частной посылкой некорректен.
Рассмотрим произвольный силлогизм I фигуры, в котором большая посылка частная. Субъект в частных суждениях не распределен (РТ-1). Значит, субъект большей посылки не распределен, а этим субъектом в силлогизмах I фигуры является средний термин. Согласно Метатеореме 1, меньшая посылка не является индифферентной. Значит, ее предикат не распределен (РТ-2), а таковым в силлогизмах I фигуры является средний термин. Таким образом, средний термин оказывается нераспределенным в обеих посылках. В соответствии с ОП-6, данный силлогизм некорректен.
Метатеорема 3. В правильном силлогизме II фигуры
одна из посылок является индифферентной (Ф2-2).
Согласно ОП-1, любой силлогизм (в том числе и II фигуры) с двумя индифферентными посылками не является правильным. Покажем, что силлогизм II фигуры с двумя неиндифферентными посылками также некорректен.
Рассмотрим произвольный силлогизм II фигуры, в котором обе посылки не являются индифферентными. В утвердительных и отрицательных высказываниях предикат не распределен (РТ-2), а предикатом в обеих посылках II фигуры является средний термин. А согласно ОП-6, средний термин должен быть распределен хотя бы в одной посылке, поэтому данный силлогизм некорректен.
Таким образом, в правильном силлогизме II фигуры ровно одна посылка должна быть индифферентной.
Метатеорема 4. В правильном силлогизме II фигуры
большая посылка является общей (Ф2-1).
Покажем, что любой силлогизм II фигуры с частной большей посылкой некорректен.
Рассмотрим произвольный силлогизм II фигуры, в котором большая посылка частная. Согласно РТ-1, ее субъект не распределен, а субъектом большей посылки в силлогизмах II фигуры является больший термин. Согласно ОП-7, больший термин не распределен и в заключении. Он там является предикатом, поэтому заключение неиндифферентное (РТ-2). Но, согласно Метатеореме 3, одна из посылок должна быть индифферентной. Тогда в соответствии с ОП-2, заключение также индифферентное. В рассуждении получено противоречие. Поэтому силлогизм II фигуры с частной большей посылкой некорректен.
Метатеорема 5. В правильном силлогизме III фигуры
меньшая посылка не является индифферентной (Ф3-1).
Покажем, что любой силлогизм III фигуры с меньшей индифферентной посылкой некорректен.
Рассмотрим произвольный силлогизм III фигуры с меньшей индифферентной посылкой. В этом случае, согласно ОП-1, большая посылка не является индифферентной, а согласно ОП-2, заключение индифферентное. В силлогизмах III фигуры больший термин является предикатом и в посылке, и в заключении. Так как большая посылка не является индифферентной, то больший термин в ней не распределен (РТ-2). Заключение же силлогизма индифферентное, поэтому в нем больший термин распределен (РТ-2).
Силлогизм, в котором больший термин не распределен в посылке и распределен в заключении, некорректен в соответствии с ОП-7.
Метатеорема 6. В правильном силлогизме III фигуры
заключение является частным (Ф3-1).
Согласно Метатеореме 5, в правильных силлогизмах III фигуры меньшая посылка не является индифферентной. Следовательно, ее предикат не распределен (РТ-2), а предикатом меньшей посылки здесь
является меньший термин. Поскольку меньший термин в посылке не распределен, он не распределен и в заключении (ОП-2). Суждение, в котором не распределен субъект, является частным (РТ-1). Следовательно, заключение частное, ведь его субъект — нераспределенный меньший термин.
Метатеорема 7. Если в правильном силлогизме IV фигуры большая посылка не является индифферентной, то меньшая посылка общая (Ф4-1).
Покажем, что любой силлогизм IV фигуры с большей неиндифферентной посылкой и меньшей частной посылкой некорректен.
Рассмотрим произвольный силлогизм указанного вида. В силлогизмах IV фигуры средний термин является предикатом в большей посылке и субъектом в меньшей. Предикат в неиндифферентных суждениях не распределен (РТ-2), а субъект не распределен в частных суждениях (РТ-1). Таким образом, в данном силлогизме средний термин не распределен в обеих посылках. Согласно ОП-6, такой силлогизм некорректен.
Метатеорема 8. Если в правильном силлогизме IV фигуры одна из посылок индифферентная, то большая посылка общая (Ф4-2).
Покажем, что любой силлогизм IV фигуры с одной индифферентной посылкой и большей частной посылкой некорректен.
Рассмотрим произвольный силлогизм указанного вида. В силлогизмах IV фигуры больший термин является субъектом большей посылки, а поскольку она частная, то он в ней не распределен (РТ-1). При наличии индифферентной посылки заключение, согласно ОП-2, также будет индифферентным. Следовательно, его предикат — больший термин — распределен в заключении (РТ-2). Силлогизм, в котором крайний термин не распределен в посылке, но распределен в заключении, согласно ОП-7, некорректен.
Метатеорема 9. Если в правильном силлогизме IV фигуры меньшая посылка не является индифферентной, то заключение частное (Ф4-3).
Рассмотрим произвольный силлогизм IV фигуры, в котором меньшая посылка не является индифферентной. Согласно РТ-2, предикат этой посылки не распределен. В силлогизмах IV фигуры предикатом меньшей посылки является меньший термин. Поскольку он в посылке не распределен, он также не распределен и в заключении, в силу ОП-7. Заключение с нераспределенным субъектом является частным (РТ-1).
Правильные силлогизмы всех четырех фигур обладают еще двумя важными свойствами:
ОС-1. По крайней мере одна из посылок является общей. ОС-2. Если одна из посылок частная, то заключение частное. Приведем доказательства этих двух утверждений.
Метатеорема 10. В любом правильном силлогизме по крайней мере одна из посылок является общей (ОС-1).
Покажем, что данное утверждение справедливо для правильных силлогизмов всех четырех фигур.
В правильных силлогизмах I и II фигуры, согласно Ф1-1 и Ф2-1, большая посылка общая, а значит, по крайней мере одна из посылок общая.
В силлогизмах III фигуры средний термин является субъектом в обеих посылках. Согласно ОП-6, в правильном силлогизме он должен быть распределен по крайней мере в одной из них. А субъекты распределены в общих суждениях (РТ-1). Следовательно, и в этом случае по крайней мере одна из посылок общая.
Рассмотрим, наконец, произвольный корректный силлогизм IV фигуры. Его большая посылка либо является индифферентной, либо не является таковой. Если она индифферентная, то меньшая не является индифферентной (ОП-1). Тогда одна из посылок индифферентная, и, согласно Ф4-2, большая посылка в этом силлогизме общая. Если же большая посылка не является индифферентной, то, согласно Ф4-1, меньшая посылка этого силлогизма общая. Таким образом, в каждом из этих двух случаев хотя бы одна из посылок является общей.
Метатеорема 11. Если в правильном силлогизме одна из посылок частная, то его заключение является частным (ОС-2).
Покажем, что данное утверждение справедливо для правильных силлогизмов всех четырех фигур.
В правильных силлогизмах I и II фигуры, согласно Ф1-1 и Ф2-1, большая посылка общая, а значит, частной может быть лишь меньшая посылка. Субъектом меньшей посылки в силлогизмах I и II фигуры является меньший термин. Если эта посылка частная, то меньший термин в ней не распределен (РТ-1). Но тогда меньший термин, согласно ОП-2, не распределен и в заключении. Поскольку меньший термин является субъектом заключения, то оно тоже должно быть частным.
В правильных силлогизмах III фигуры обосновываемое импли-кативное утверждение верно в силу истинности его консеквента: заключение в этих силлогизмах, согласно Ф3-1, является частным.
Рассмотрим произвольный корректный силлогизм IV фигуры. Допустим, что одна из его посылок частная.
Если частной является большая посылка, то в этом силлогизме нет индифферентных посылок (данное утверждение получается из Ф4-2 по контрапозиции). Если же частной является меньшая посылка, то большая посылка индифферентная (данное утверждение получается из Ф4-1 по контрапозиции). Но тогда, в силу ОП-1, меньшая посылка не является индифферентной. В любом случае, при наличии частной посылки в правильном силлогизме IV фигуры меньшая посылка не будет индифферентной.
Предикатом меньшей посылки в силлогизмах IV фигуры является меньший термин. И поскольку меньшая посылка не является индифферентной, то меньший термин в ней не распределен (РТ-2). Но тогда он не распределен и в заключении (ОП-2). Меньший термин является его субъектом, а значит, заключение будет частным (РТ-1).
Приступим, наконец, к обоснованию основного тезиса данной работы — утверждения о том, что множество правильных и множество ^2-валидных силлогизмов совпадают.
Метатеорема 12. Все ^2-валидные силлогизмы,
и только они, являются правильными.
Несложно убедиться в том, что каждый из 64-х ^2-валидных силлогизмов является правильным, поскольку удовлетворяет всем семи критериям ОП-1 — ОП-7.
Остается показать, что все остальные (не являющиеся ^2-валидными) силлогизмы некорректны.
Если учитывать типы большей и меньшей посылок (их количество и качество), то существует 36 их возможных комбинаций. Четыре комбинации с двумя индифферентными посылками — Л3Л3, Л3!3, !3Л3, у3 — дают, независимо от того, каково заключение, для всех четырех фигур неправильные силлогизмы, так как в них нарушается правило ОП-1. Также неправильными, в силу свойства ОС-1, будут силлогизмы любой фигуры со всевозможными комбинациями двух частных посылок: ^^ !2!2, !2!3, ^^ !3!2, !3!3 (последняя
комбинация посылок входит в оба списка отбрасываемых силлогизмов). Для остальных 24-х комбинаций вопрос о существовании правильных силлогизмов с посылками соответствующих типов должен решаться для каждой фигуры в отдельности.
I фигура. В ней, в силу Ф1-1 и Ф1-2, неправильными являются модусы с большей частной посылкой и модусы с меньшей индифферентной посылкой. То есть к перечисленным выше 12-ти комбинациям посылок, дающим при любом заключении неправильный силлогизм, добавляются еще 12: ^Л^ ^Л2, ^Л3, !2Л^ !2Л2, !2Л3, !3Л^
^А^ А1А3, А2А3, A1I3, A2I3. Таким образом, правильными в I фигуре могут оказаться лишь модусы со следующими двенадцатью комбинациями посылок: А1А1, А1А2, А2А1, А2А2, А3А1, А3А2, A1I1, А^, A2I1, A2I2, A3I1, A3I2. Корректность или некорректность этих модусов теперь уже зависит от типа заключения.
В тех случаях, когда обе посылки правильного силлогизма утвердительные или же обе они отрицательные (А1А1, А^, А2А2, А^), заключение, согласно ОП-3 и ОП-4, должно быть утвердительным. Поэтому силлогизмы с указанными комбинациями посылок и заключениями типов А2, А3, I3 некорректны. В случаях, когда одна из посылок правильного силлогизма утвердительная, а другая отрицательная (А1А2, А2А1, A1I2, A2I1), заключение, в силу ОП-5, должно быть отрицательным. Поэтому силлогизмы с данными комбинациями посылок и заключениями типов А1, А3, I3 некорректны. В случаях, когда большая посылка правильного силлогизма является индифферентной (А3А1, А3А2, А3^, A3I2), заключение, в соответствии с ОП-2, также должно быть индифферентным. Поэтому силлогизмы с такими комбинациями посылок и заключениями типов А1, А2, I2 некорректны. В правильных силлогизмах, содержащих частную посылку (а таковой в I фигуре может быть только меньшая посылка), заключение, в силу ОС-2, должно быть частным. Поэтому силлогизмы А^А^ А^А^ А^А^ А^А^ А3^А3, А3^А3 некорректны.
Таким образом, все силлогизмы I фигуры, за исключением 18-ти ^2-валидных, не являются правильными.
II фигура. В ней, в силу Ф2-1 и Ф2-2, неправильными являются модусы с большей частной посылкой и модусы, в которых нет индифферентной посылки. То есть к перечисленным выше 12-ти комбинациям посылок, дающим при любом заключении неправильный силлогизм, добавляются еще 16: ^А^ ^А^ ^А3, ^А^ ^А^ ^3, IзAl, IзA2, А1А1, А1А2, А2А1, А2А2, AlIl, AlI2, A2Il, ^A.2I2. Таким образом, правильными во II фигуре могут оказаться лишь модусы со следующими восьмью комбинациями посылок: А1А3, А2А3, А3А1, А3А2, А^3, A2I3, A3I1, А3^. Корректность или некорректность этих модусов теперь зависит от типа заключения.
В правильных силлогизмах II фигуры одна из посылок является индифферентной (Ф2-2), поэтому, в силу ОП-2, их заключение должно также быть индифферентным. Следовательно, силлогизмы с посылками каждой из указанных восьми комбинаций и заключениями типов А1, А2, ^ некорректны. В правильных силлогизмах, содержащих частную посылку (а таковой во II фигуре может быть только меньшая посылка), заключение, в силу ОС-2, должно быть частным. Поэтому силлогизмы А^3А3, А^3А3, А3^А3, А3^А3 некорректны.
Таким образом, все силлогизмы II фигуры, за исключением 12-ти ^2-валидных, не являются правильными.
III фигура. В ней, в силу Ф3-1, неправильными являются модусы с меньшей индифферентной посылкой. То есть к перечисленным выше 12-ти комбинациям посылок, дающим при любом заключении неправильный силлогизм, добавляются еще шесть: A1A3, A2A3, A1I3, A2I3, I1A3, I2A3. Таким образом, правильными в I фигуре могут оказаться лишь модусы со следующими восемнадцатью комбинациями посылок: A1A1, A1A2, A2A1, A2A2, A3A1, A3A2, A1I1, A1I2, A2I1, A2I2, A3I1,
A3I2, I1A 1, I1A2, !^2A1, I2A2, I3A1, I3A2. Корректность или некорректность
этих модусов зависит от типа заключения.
Поскольку в правильных силлогизмах III фигуры заключение должно быть частным (Ф3-2), силлогизмы с каждой из 18-ти упомянутых комбинаций посылок и заключениями типов A1, A2, A3 некорректны. В тех случаях, когда обе посылки правильного силлогизма утвердительные или же обе они отрицательные (A1A1, A1I1, I1A1, A2A2, A2I2, I2A2), заключение, согласно ОП-3 и ОП-4, должно быть утвердительным, т.е. не может иметь тип I2 и I3. В случаях, когда одна из посылок правильного силлогизма утвердительная, а другая отрицательная (A1A2, A2A1, A1I2, A2I1, I1A2, I2A1), заключение, в силу ОП-5, должно быть отрицательным, т.е. не может иметь тип I1 и I3. В случаях, когда большая посылка правильного силлогизма является индифферентной (A3A1, A3A2, A3I1, A3I2, I3A1, I3A2), заключение, в соответствии с ОП-2, также должно быть индифферентным, т.е. не может иметь тип I1 и I2.
Таким образом, все силлогизмы III фигуры, за исключением 18-ти IL2-валидных, не являются правильными.
IV фигура. К 12-ти комбинациям посылок, дающих при любом заключении неправильный силлогизм, добавляются, в силу Ф4-1, шесть таких, где большая посылка не является индифферентной, а меньшая является частной (A1I1, A1I2, A1I3, A2I1, A2I2, A2I3), а также, в силу Ф4-2, четыре таких, где одна из посылок индифферентная, а большая частная (I1A3, I2A3, I3A1, I3A2). Таким образом, правильными в IV фигуре могут оказаться лишь модусы со следующими четырнадцатью комбинациями посылок: A1A1, A1A2, A1A3, A2A1, A2A2, A2A3, A3A1, A3A2, A3I1, A3I2, I1A1, I1A2, I2A1, I2A2. Корректность или некорректность этих модусов зависит от типа заключения.
В тех случаях, когда обе посылки правильного силлогизма утвердительные или же обе они отрицательные (A1A1, A2A2, I1A1, I2A2), заключение, согласно ОП-3 и ОП-4, должно быть утвердительным, а в силу Ф4-3 оно должно быть частным. Поэтому силлогизмы с указанными комбинациями посылок и заключениями типов A2, I2, A3,
I3, Aj некорректны. В случаях, когда одна из посылок правильного силлогизма утвердительная, а другая отрицательная (AJA2, A2AJ, IJA2, I2AJ), заключение, в силу ОП-5, должно быть отрицательным, а в силу Ф4-3 оно должно быть частным. Поэтому силлогизмы с данными комбинациями посылок и заключениями типов Aj, Ij, A3, I3, A2 некорректны. В случаях, когда одна из посылок правильного силлогизма индифферентная (AJA3, A2A3, A3AJ, A3A2, A3IJ, A3I2), заключение, в силу ОП-2, должно быть индифферентным. Поэтому силлогизмы с этими комбинациями посылок и заключениями типов Aj, Ij, A2, I2 некорректны. Некорректными также являются модусы A3AJA3, A3A2A3 (в них заключение общее при меньшей неиндифферентной посылке, что не согласуется с Ф4-3) и A3IJA3, A3I2A3 (в них заключение общее при наличии частной посылки, что не согласуется с ОС-2).
Таким образом, все силлогизмы IV фигуры, за исключением 16-ти ^2-валидных, не являются правильными.
Подведем итог. Необычная дедуктивная система, идея которой была высказана Н.А. Васильевым, может быть реконструирована как современными, так и традиционными логическими методами. С одной стороны, можно задать точную семантику ее суждений и адекватное ей исчисление. С другой стороны, можно сформулировать эту теорию в соответствии со стандартами, принятыми в традиционной силлогистике.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Васильев Н.А. Воображаемая логика: Избр. труды. М., 1989.
Зайцев Д.В., Маркин В.И. Воображаемая логика-2: реконструкция одного из вариантов знаменитой логической системы Н.А. Васильева // Труды научно-исследовательского семинара Логического центра Института философии РАН. 1999. Вып. 13. С. 134-142.
Конькова А.В. Воображаемая логика-2 Н.А. Васильева как силлогистическая теория // Логические исследования. 2019. Т. 25, № 2. С. 94-113.
