Сходимость разностно-итерационных алгоритмов целочисленной обработки информации Текст научной статьи по специальности «Математика»

перспективных помехозащитных цифровых систем радиосвязи.

Литература

1. Варакин Л.Е. Система связи с шумоподобными сигналами. М., 1985.

Разработка программных средств для обработки целочисленной информации (особенно при использовании микропроцессоров) фактически превратилась в проектирование алгоритмов. Однако оперативное и успешное выполнение этого не всегда возможно только эвристическим путем и требует детерминированных методик.

В ориентации на микропроцессоры наиболее перспективными являются так называемые разностно-итерационные алгоритмы, интерес к которым со стороны проектировщиков программного обеспечения в последнее время возрос. Эти алгоритмы не используют умножения, деления и других «длинных» операций, нежелательных с точки зрения простоты технической реализации микропроцессоров, погрешностей округления при умножении и делении и быстродействия выполнения этих «длинных» операций.

Разностно-итерационные алгоритмы— это неаналитические алгоритмы, обеспечивающие на основе вычисления приращений (текущих разностей) итерируемых величин с участием логических операторов итерационный процесс, сходящийся к определенным величинам. Как раз одна из этих величин и является итогом прогона раз-ностно-итерационного алгоритма.

В общем случае структура разностно-итераци-онных алгоритмов такова. Она включает формулы для вычисления очередных приращений каждой из итерируемых величин в виде функции

ах; = Ф(к ,с ,е), (1)

где АХу = Xу -Xу_1; у = 1,2,3,... — (здесь и далее) номер итерации; V — множество, содержащее предыдущие значения данной итерируемой

2. Сныткин И.И. Теория и практическое применение сложных сигналов с нелинейной структурой. М., 1989. Ч. 2.

3. Свердлик М.Б. Оптимальные дискретные сигналы. М., 1975.

2006 г.

величины Ху_!,Ху_2,...,Х0 , а также других, вычисляемых параллельно с данной; С — множество числовых констант (обычно — начальных значений итерируемых величин); Q — множество, элементами которого являются так называемые индикаторы итерационного процесса Яц у _1), Я2( у _1),---, принимающие значения из набора {—1, +1}.

Преобразуем запись (1) к более естественному виду, который она имеет в разностно-итера-ционных алгоритмах

Ху = Ху _1 ,С Л). (2)

В этом виде имеем дело с накопленной суммой отдельных разностей, образующихся на каждой из итераций.

Относительно индикаторов заметим, что они должны быть легко вычисляемы на микропроцессорах и используемы для управления итерационным процессом. Их назначение — выполнять роль нелинейных операторов при организации нелинейных (функциональных) преобразований. Тем самым создается предпосылка выбрать остальные операции в разностно-итерационных алгоритмах линейными.

Это упрощает их реализацию на микропроцессорах. В качестве индикаторов используется функция знака

[+1, если у > 0;

Я-у_1 = ^п(Ту_1) = \ , „ п (3)

1 1 1_1, если Ту_1 < 0, (3)

где Т— некоторая итерируемая величина.

Потенциальная возможность построения алгоритмов функционального преобразования на базе разностно-итерационных алгоритмов, составленных из выражений (2), (3), состоит в организации сходящихся итерационных процессов, конечные

Ставропольский военный институт связи ракетных войск_14 ноября

УДК 681.5:518.5

СХОДИМОСТЬ РАЗНОСТНО-ИТЕРАЦИОННЫХ АЛГОРИТМОВ ЦЕЛОЧИСЛЕННОЙ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ

© 2007 г. И.Н. Булатникова

значения итерируемых величин которых равны значениям искомых функций при данных значениях аргументов.

Причем структура выражений (2), (3) и их взаимных связей определяется требуемым законом преобразования и областью изменения аргументов, а начальные значения итерируемых величин— текущими значениями аргумента(-ов).

Важным для разностно-итерационных алгоритмов является их сходимость. Другими словами — не при всяких начальных итерируемых величинах алгоритм сходится. Поэтому важно найти условие сходимости.

Разностно-итерационные алгоритмы бывают двух типов (по способу формирования конечного значения итерируемой величины): аддитивные и мультипликативные.

В настоящей работе речь будет идти о сходимости аддитивных разностно-итерационных алгоритмов. В качестве такого взят предложенный нами так называемый базовый алгоритм, используемый для вычисления практически любой функции одного аргумента разрядности п [1]

qj-1 = sign(Xj-1 - У;-!) • sign(u + w); Х0 = X, X; = X;-1 - q;-1 • W • 21-1 \ = X • и + у • w

Хп = -;

и + w

Уо = У, У; = У;-1 + «1-1 • и • 21-1;

X • и + у • w

Сходимость этого алгоритма обеспечивается при условии 2 • |u + w| > |x - y\. Докажем это (кстати, ни в одной работе нет строгого доказательства сходимости тех или иных разностно-итера-ционных алгоритмов [2, 3]).

Последовательности Xj и Yj имеют конечные пределы, так как абсолютные величины приращений AXy = Xj - Xj-1 и AFy = Yj - Yj-1 убывают как члены геометрической прогрессии со знаменателем 0,5. Одноименные члены этих последовательностей отстоят друг от друга на величину

KI = lX; - Y;l = |X;-1 - Yj-1 - (« + w) •21- j • -J =

= |AZj-i - (u + w) • 21- j • sign AZj-J.

Заметим, что величина (u+w) либо положительна, либо может быть сделана таковой умножением на «—1» числителя и знаменателя дроби

xu + yw

-, если u + w < 0. От этого дробь не изме-

u + w

нится, а величина (u+w) станет положительной. Это позволяет заменить на

sign( X;-1 - У;-1 )= signAZ1• -1. На каждом шаге эта величина уменьшается на

AZ1 -1 =

= |AZj• - |AZj• -1 - (и + w) • 21-; • sгgn(AZj• -1) =

= -1 --1 • sгgn(AZ^• -1) --(и + w) • 21-; • sгgn(AZj• -1) | = = |AZj• - |szgn(AZj• -1) • ||AZj• - (и + w) • 21-= = -1 - ||AZl-1 - (и + w) • 21-^. (4)

Из (4) видим, что если - (и + w) • 21-• > 0,

то отклонение между X; и У; уменьшилось на

-1 = = - (|Z;- (и + w) • 21-;)| =

(2 ^^ - (и + w) • 21-;) = (и + w) • 21-;,

а если |AZ1• — (и + w) • 21_;' < 0, то уже после (; 1) -го шага отклонение будет

-^-(и + w) • 21-•. А, значит, на -м шаге

|К--1 -К1|=

= -1 - (- -1 + (и + w) • 21-; )| = = |2 ^ - (и + w) • 21-• < (и + w) • 21-

Следовательно, можно утверждать, что после каждого ;'-го шага расстояние между членами последовательности X и У либо становится меньше предыдущего на (и + w) • 21-•, либо уже является меньшим величины (и + w) • 21-•.

Если наблюдается начальное отклонение |AZо|, равное х - у, которое меньше 2(и + w), равного (и + w)(20 + 2-1 + 2-2 + 2-3 +...), то в любом случае последовательность сходится к нулю, по-

скольку на каждом шаге |AZ1•| < (и + w) • 21-; .

Следовательно, обе последовательности X и У, задаваемые по алгоритму, при ; ^ п (п— разрядность двоичных чисел х, у, и, w) сходятся к одному и тому же пределу, т. е. алгоритм сходится.

Правильное определение условия сходимости разностно-итерационных алгоритмов позволяет установить их работоспособность, а главное, позволяет составить математические модели алгоритмов и по ним синтезировать новые алгоритмы. Причём сделать это удаётся детерминированным, а не эвристическим (как ранее) путём.

Это повышает эффективность и расширяет применимость разностно-итерационных алгоритмов, особенно, в связи с широким распространением микропроцессорных систем уп-

равления техническими и технологическими системами.

Литература

1. Булатникова И. Н. и др. Алгоритмизация микропроцессорной АСУ ТП в молочной промышленности // Изв. вузов. Пищевая технология. 1995. № 5—6. С. 60—61.

2. Оранский А. М. Аппаратные методы в цифровой технике. Минск, 1977.

3. Байков В. Д., Смолов В. Б. Специализированные процессоры: итерационные алгоритмы и структуры. М., 1985.

Кубанский государственный технологический университет,

г. Краснодар_9 октября 2006 г.