Сход снежных лавин и возникновение воздушных ударных волн. Текст научной статьи по специальности «Физика»

Сход снежных лавин и возникновение воздушных ударных волн.

Жекамухов М. К., Жекамухова И. М. ( Jekamuhova@mail.ru )

Кабардино-Балкарский государственный университет

Как известно, в высокогорных районах снежные лавины ежегодно наносят значительный материальный ущерб народному хозяйству и нередко уносят человеческие жизни. Поэтому одной из основных проблем физики снега является разработка методов прогноза места и времени возникновения лавин и предсказания возможных последствий схода лавин.

В настоящее время в решении этой проблемы достигнуты определенные успехи, разработаны достаточно эффективные методы профилактического спуска лавин, имеются технические рекомендации по горному строительству и т.д. Однако многие явления, связанные с снежными лавинами, остаются еще недостаточно изученными. Много непонятного таит в себе разрушительное действие лавин и воздушных потоков, возникающих при сходе лавин. Для уменьшения ущерба, наносимого снежными лавинами, и обеспечения безопасности эксплуатации туристических баз и игорно-спортивных сооружений необходимо дальнейшее углубление наших знаний о закономерностях схода лавин и о процессах, связанных с лавинами.

В данной работе рассматриваются отдельные аспекты этой проблемы.

Расчет движения снежной лавины. Существует ряд моделей движения лавин. Наиболее часто пользуются моделями, в которых лавина рассматривается как материальная точка, движущаяся по наклонной плоскости с переменной массой. Эти модели различаются лишь в деталях и дают в основном представление о скоростях схода лавин и о влиянии различных факторов на величину скорости движения лавин. В дальнейшем нам понадобится зависимость скорости движения лавин от времени. Чтобы получить эту зависимость рассмотрим простейшую модель схода лавины.

Будем рассматривать лавину как единую компактную снежную массу, движущуюся вниз по наклонной плоскости. Тогда, принимая во внимание, что абсолютная скорость снежных масс, присоединяющихся к лавине, равна нулю, уравнение движения лавины можно записать в виде

¿(шУ) dt

(п у- к^ cos у)-

ч ^ р БУ2

(1)

где т - масса лавины, V - скорость, t - время, g - ускорение свободного падения, р -плотность воздуха, Б - площадь миделя, у - угол наклона склона горы к горизонту, к^ -коэффициент трения скольжения, cf - коэффициент сопротивления. Уравнение (1) перепишем в виде

¿V ( . р ч рV2 Б V 1 dm

—- = g У-fcOs у)"^ —---^^--—. (2)

dt 2 т т dt

Пусть X - длина лавинного снега, h - его средняя высота, Н - ширина захвата лавины. Тогда отношение

А =

т рs X'

где ря - плотность лавинного снега.

Закон изменения массы лавины можно записать в виде

¿т

dt

■ = XPs0h0HV>

где ря0 - плотность снежного покрова на склоне горы, х - коэффициент захвата снега лавиной, ^ - мощность снежного покрова. При этом отношение

1 dm Ps0 h0 V

= x- 0

m dt ps hX Уравнение (2) теперь принимает вид

dV /. „ ч а V2

= g (sin у- f cos у)--, (3)

dt 7 X '

р Ps0h0 где а = ср — + —.

ря Psh

В дальнейшем предположим, что отношение остается постоянным при

движении лавины.

Приравнивая правую часть уравнения (3) к нулю, найдем установившуюся скорость движения лавины:

Vm = J — (sin у-f cos у) . V а

Введем также некоторое характерное время т, определяемое равенством Vmт = X,

т. е.

т =

X а

g sin у- f cos у

Тогда уравнение (3) примет вид

dV = 1 -V2, (4)

dt

где V = —— безразмерная скорость, t = — - безразмерное время.

Vm т

Решение уравнения (4), удовлетворяющее начальному условию V(0) = 0, имеет вид

V = Vmth - (5)

т

Отсюда видно, что скорость V стремится асимптотически к установившемуся значению Vm.

Для закона движения снежной лавины получаем формулу

x = Vm т Inch—. (6)

т

Одним из сложных и нерешенных вопросов в лавиноведении является вопрос о возникновении воздушных потоков и воздушных ударных волн впереди движущейся лавины. Неоднократно наблюдались случаи, когда впереди сошедшей лавины лес был повален, а местами деревья были "срублены", но при этом в зоне лесоповала снега не было. На основании таких наблюдений многие специалисты по лавинам считают, что во время схода лавин впереди них возникают воздушные ударные волны, которые отрываются от массы снега и, двигаясь впереди лавины, вызывают большие разрушения. Однако, механизм возникновения ударных волн при этом остается неясным. Поэтому большой интерес представляют оценка интенсивности воздушных потоков и установление возможности образования воздушных ударных волн впереди лавин. Для решения этой проблемы мы будем исходить из идеализированной схемы движения лавины, рассматривая ее как поршень, который толкает впереди себя воздух.

Как известно [1], впереди поршня, толкающего воздух в трубе, профиль волны в каждый момент времени описывается формулой

x = ( С0 + YT u ] t +f(u), (7)

где u - скорость течения, c0 - скорость звука в воздухе, f(u) - произвольная функция, зависящая от скорости, у = 1,4 - показатель адиабаты воздуха.

В случае, когда поршень движется с постоянным ускорением, время и место образования ударной волны определяются формулами

t = 2С0 . x = 2c02 . (8) a (у +1) a (y +1)

Рассмотрим теперь случай, когда скорость поршня задается формулой (5). Поскольку равенство (7) удовлетворяется для частиц газа, непосредственно примыкающих к поршню, то, подставляя (5) и (6) в (7), получим

Утт 1псЬТ = 1 со УтШТ 11 + f (УтШТ1 .

(9)

t z Обозначим Ут т Ш— = z, тогда t = т arcth — тУ

т

Подставляя значение t в равенство (9) и учитывая соотношение

сь! = ■

1

1

т 1 - *2 т

1 - th

2 z

У

т

1псЬ— = -11п т 2

( 2 1 1 --?-

V ут у

будем иметь

Ут! т

1 -Д 1

V ут у

( У +1 1 „ . = 1 со +--z 1т arcth--+ г^).

2

У

т

Отсюда получим

f(u) =-Утт 1п 2

( ..2 1 1-

и

V ут у

( У +1 1 , и -I со +--и 1т arcth

2

У

т

Равенство (7) теперь принимает вид

( У +1 1 X = I с0 +--и 11 -

V 0 2 у 2

Ут т 1п

( 2 1 1 - и

У

т

( У +1 1 , и -I с0 +--и 1т arcth

2

У

т

Время образования разрыва (ударной волны) может быть найдено из условия [1]

= 0.

( дх 1

У t

и=0

Оно приводит к равенству

!±11 - = 0. 2У

т

Таким образом, получаем формулы, определяющие время и место образования ударной волны

2

t = ■

2с,

0

а\

(+1)

х = cоt = ■

2с

0

а\

(+1)

(10)

2

2

где а =

На рис.1 схематически показано распределение скорости воздуха между поршнем и фронтом ударной волны в произвольный момент времени t.

V

Ут т 1пЛ

х

Рис. 1 Распределение скорости газа перед поршнем в момент времени 1.

Приведенные выше количественные формулы относятся к движению поршня внутри бесконечно длинной трубы. При движении лавин ситуация совершенно другая -лавина обтекается воздушным потоком. Следовательно, условия возникновения лавин будут более жесткими. Но если даже допустить, что лавина толкает весь воздух, находящийся впереди нее, как это имеет место в случае движения поршня в трубе, то подставляя в формулу (10) значение т = 5,5 с, получающееся при Ут = 18 м/с и Х= 100 м, получаем t = 84 с, х = 280 км; при максимально возможной скорости движения лавин, равной 50 м/с, t = 29 с, х =9 км.

Эти грубые оценки, основанные на заведомо не реальных предположениях, показывают, что впереди движущейся лавины не могут возникать ударные волны. Однако при этом образуются мощные воздушные потоки, простирающиеся впереди лавины на довольно большие расстояния, которые способны на пути движения вызвать значительные разрушения.

Расчет удара снежной лавины о неподвижное препятствие. При проектировании мостов и линий передач, а также при строительстве противолавинных сооружений в лавиноопасных горных районах необходимо иметь расчетные данные о возможных значениях силы удара лавин о препятствие. Существует ряд эмпирических и полуэмпирических формул, с помощью которых такие расчеты проводятся. Наиболее распространенные из них приводятся, например, в [2]. Однако эти формулы физически обоснованы недостаточно, а расчетные значения силы удара лавин о препятствие по ним часто плохо согласуются с экспериментальными данными. Отсюда следует

х

необходимость дальнейшего усовершенствования методов расчета силы удара лавин. Одним из основных моментов при этом является аналитическое представление ударной адиабаты лавинного снега. При этом могут быть построены интерполяционные формулы, пригодные лишь для отдельных типов снега и при определенных интервалах давлений. Так, например, в выше процитированной работе [2] для представления ударной адиабаты снега в аналитическом виде используется интерполяционная формула вида

p = Арк, (11)

где А - своя постоянная для каждого типа снега, а показатель к меняется в пределах от 7 до 14, в зависимости от типа снега.

При проведении конкретных расчетов с использованием формулы (11) возникают большие неудобства из-за неопределенности в выборе значений параметров А и к. Кроме того, эта формула не отражает физики процесса сжатия снега. Поэтому желательно иметь физически более обоснованное представление ударной адиабаты лавинного снега в виде достаточно простой аналитической формулы, удобной при проведении практических расчетов.

В дальнейшем будем рассматривать лавинный снег, представляющий собой снего-воздушную массу. Лавины из такого снега обычно обладают наибольшей разрушительной силой. При ударном сжатии снега, в силу быстротечности процесса, можно пренебрегать выдавливанием воздуха из снежной массы. В зоне сжатия снега можно также пренебрегать сжимаемостью кристаллов льда, образующих скелет снега. Таким образом, за фронтом ударной волны снег можно уподобить продуктам детонации ВВ, т. е. снег можно наделять свойствами сильно сжатого газа. Уравнение состояния такой среды можно получить лишь экспериментально.

Будем задавать это уравнение в виде

P1 = Pо

( Л к

Pi ^0

V Pi

(12)

где pi - плотность льда, р^ - плотность снега и р1 - давление в ударной волне, параметр к играет роль показателя адиабаты снега. Хорошее совпадение с экспериментальными данными [2] получается, если показатель к принять равным 3,5.

Таким образом, ударная адиабата снежно-воздушной массы представлена в виде достаточно простой аналитической формулы; она справедлива до давлений, сравнимых с пределом прочности кристаллов льда, т.е. до 5 - 10 атм. При более высоких давлениях показатель к будет возрастать.

На рис.2 приводятся ударные адиабаты лавинного снега при различных значениях начальной плотности снега, построенные по формуле (12); сравнение кривых на этом рисунке с аналогичными кривыми [2], полученными экспериментально, показывает, что формула (12) достаточно хорошо описывает ударную адиабату снежно-воздушной массы и ею можно пользоваться при расчете удара лавины о препятствие.

Рис.2. Кривые зависимости давления в ударной волне от плотности снега.

Пусть снежная лавина длиной X ударяется о неподвижное препятствие, расположенное перпендикулярно к направлению ее движения. После удара по лавинному снегу бежит отраженная ударная волна; между препятствием и ударной волной возникает застойная зона.

Законы сохранения массы и импульса на фронте ударной волны можно записать в

виде

Ря0Бя = Ря1( -и1 ^ (13)

Р0 + Ря0^2 = Р1 + Ря1(-Б -и1 )2, (14)

где - скорость ударной волны в снеге, и1 - массовая скорость за фронтом ударной волны.

Из теоремы сложения скоростей при сложном движении тел следует, что массовая скорость равна скорости удара: и1 = V.

Присоединяя к системе (13) - (14) уравнение ударной адиабаты (12), получим замкнутую систему уравнений относительно трех неизвестных величин : р1, р я1 и

Из равенств (13) и (14) легко получается известная формула С. А. Христиановича, выражающая зависимость между давлением и плотностью за фронтом ударной волны

Р! =-РЯ)Рр^2.

ря0 -ря1

Эта формула проста и удобна при оценочных расчетах. Из равенства (13) следует

V

=

1

_рб0,

Рб1

а из равенств (13) и (14) получим

Р1 = Р0 + Рб0^. Подставляя (15) в (16), будем иметь

_Р1 = 1+Р.50^2. Г11

Р0 Р0

Из равенства (12) выразим р через р1:

Рб1

(15)

(16)

(17)

V

рб1 =рi-(рi-рБ0 )| —

IР0,

Подставляя (18) в (17), получим уравнение, связывающее V и р1

Vs

_В1

Рб0

-1

(_ 1)(к -1 ^к -1 + М.

Pi

где $ = =

Р0 Pi

(18)

(19)

Р0

Vs « 10,5 м/с.

Подставляя значения р и V в (15), будем иметь

постоянная величина, имеющая размерность скорости,

1

V*

( ~ V

Pi РБ0

V Рб0 У Vрi -рБ0 У

(_1)

^1/к _ 1 + рб0

_Р1_

^ _ 1

(20)

Скорость распространения звука в снежной массе, сжатой ударной волной, определяется формулой

1 к+1

сб1 =

(^ ^ 2 V d Рб1 У

= сб0 \

2к

(21)

где сб0 =

' кР0 ^2 я _рб0

1

1

2

2

1

Заметим, что формулу (12) нельзя экстраполировать к малым амплитудам р1 ^ 0, при которых скорость звука в снеге определяется в основном жесткостью снежного каркаса, так, что ся0 не есть скорость звука в снеге при обычном его состоянии.

Таким образом, все параметры снежно-воздушной массы за фронтом ударной волны выражаются через давление.

На рис.3 приводятся кривые зависимости относительного давления ^^^ , где

А p = Рl - pо, от скорости удара лавины, построенные по формуле (19) при различных значениях плотности снега до удара.

Рис. 3 Зависимость давления в ударной волне от скорости удара лавины о препятствие.

Кривые 1, 2, 3, 4 - для ря = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 кг/м3 соответственно.

Из расчетов следует, что давления в зоне застоя, рассчитанные по формуле (19) при различных скоростях удара, превосходят динамические напоры, рассчитанные по

известной формуле p = рsоV , которой часто пользуются при расчетах противолавинных сооружений, примерно в 2 - 4 раза в интервале плотностей снега от ря0 = 200 кг/м3 до ря0 = 400 кг/м3.

На рис.4 приводятся кривые зависимости от скорости удара лавины,

построенные по формуле (20) при различных значениях ря0.

Рис. 4 Зависимость скорости ударной волны в снеге от скорости удара лавины о препятствие.

Кривые 1, 2, 3, 4 - для ря = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 кг/м3 соответственно.

Эффект действия лавины на неподвижное препятствие определяется величиной ударного импульса К = p•Аt, где Аt - длительность удара лавины о препятствие. Величина

Аt состоит из двух слагаемых: Аt = А^ + А^, где А^ - промежуток времени, в

течение которого ударная волна, отраженная от препятствия, достигает хвостовой части лавины, Аt2 = уС - промежуток времени, в течение которого волна разгрузки бежит по

сжатому снегу. После достижения волной разгрузки поверхности препятствия, давление в снеге быстро падает. Пренебрегая величиной импульса в этой последней стадии разгрузки снега, можем записать

(

К =

1 1

— + —

Л

2 А^х

(22)

Зная скорость удара V, по графикам 4 могут быть определены соответствующие значения а затем по формуле (22) и ударный импульс.

Воздушные ударные волны, возникающие при ударе снежной лавины о препятствие. Обширный материал наблюдений за сходом снежных лавин показывает, что сход мощных лавин часто сопровождается возникновением воздушных ударных волн. При этом имеются случаи, когда лесоповалы и другие разрушения происходят не впереди лавины, а в стороне от нее [3]. Эти разрушения уже не связаны с воздушными потоками, образующимися вокруг лавины, а являются следствием действия ударных волн. Однако до настоящего времени механизм образования этих волн остается неясным. Ниже предпринята попытка установления механизма возникновения воздушных ударных волн при ударе лавин о препятствие.

Будем исходить из упрощенной схемы удара лавины о неподвижное препятствие, рассмотренной в предыдущем пункте. После выхода ударной волны на тыльную поверхность лавины начинается процесс разгрузки сжатой снежно-воздушной массы, происходит разгон поверхностного слоя снега. При этом слой воздуха, непосредственно примыкающий к поверхности снега, получает резкий толчок (импульс), который передается окружающей воздушной среде в виде ударной волны. Движущаяся поверхность снега играет роль поршня, который толкает воздух впереди себя.

На рис.5 схематически показана разгрузка снега в ударной волне.

I

\/

Л

Р1

Сз1

1

Р2

Р3

2

из 3

Б 4 ро

Рис. 5 Схема разгрузки сжатой снежно-воздушной массы.

1 - масса снега, сжатого ударной волной; 2 - волна разрежения; 3 - воздушная ударная волна; 4 - невозмущенный газ (воздух); ab - фронт разгрузки снега; cd - передний фронт разгрузки, который играет роль поршня; ef - фронт воздушной ударной волны; стрелками на рисунке показаны направление движения среды и перемещения слабых разрывов, ограничивающих волну разрежения.

Волна разгрузки бежит по сжатому снегу со скоростью са, а передний фронт волны разрежения движется вправо со скоростью У2, толкая как поршень воздух; зона 3 между cd и ef охвачена воздушной ударной волной, передний фронт которой движется со скоростью Б по невозмущенному воздуху.

Скорость течения в зоне разгрузки определяется формулой [4]

Р1

и2 = |

Р2

Pscs

(23)

где р2 - давление на стыке между снежной массой и сжатым ударной волной воздухом,

Г

^ = ^0

к+1 2к

1

V Р0 у

- местная скорость звука в снеге, ps = Pi - ( - ря0 )

( ~ V

V Р0 у

Подставляя значения ^ и ря в (23), получаем

и2 =

2к Р0 к +1 р^

Pi -Р0

Р1

z

к-1 к

кР0

( Л -|1 -М| zk+1

(24)

Pi

у

к+1

где z = Е, 2к .

При к = 3,5 интеграл в равенстве (24) точно не берется. Однако, если произведем к -1

замену отношения

к +1

= 0,556 на 0,5, то при этом интеграл раскрывается, а ошибка,

возникающая при такой замене, не превосходит 10%. Таким образом, можем записать

и2 =

4к Р0 к +1 р^

Pi -ря0

У

кР0

Л

И

Р0

Р2 Р0

л

(25)

d

На линии сопряжения cd выполняются условия щ = щ, p2 = p3, где ш и p3 -массовая скорость и давление за фронтом воздушной ударной волны.

Давление и скорость за фронтом ударной волны выражаются через число Маха

М = — и параметры невозмущенного газа известными формулами [1]

Р3 = Ро

2 У

у +1

(

М2

2 У

Л

u3 =

2с^

у +1

(

М

1-

1

\

М2 )

где c0 - скорость звука в воздухе.

Подставляя значения р3 и щ в (28), получим трансцендентное уравнение относительно М:

2сд

у +1

(

М

1-

1

\

М2 )

V

2

^о

Р1

-3

Ро 1

2 У

(

у +1

М2-Ш 2 У

Л

(26)

Обычно ударные волны, возникающие при сходе лавин, являются слабыми, поэтому число М можно представить в виде

М = 1 + а, (27)

где а << 1.

Подставляя (27) в (26) и ограничиваясь линейными по а членами, получим

а=

У +1 Vs

8 У ^0

Р1 3

VРо у

-1

(28)

Из формулы (31) видно, что а действительно является малой величиной. Значения Б, V;? и р3 выражаются через а следующими формулами

^ л ч 4^ 2 у

Б = ^(1+а); uз =—та; Р3 = Ро—г

у +1 у + 1

2 а +

у +1

"27

Чтобы получить представление о характерных значениях параметров воздушных ударных волн, возникающих при ударе лавин о препятствие, примем ря0 = 300 кг/м3,

V = 36 м/^ при этом отношение р1Р = 10, а = 0,016, Б = 1,016^, ш = 9 м/^ а амплитуда

ударной волны Ар = 0,037, р0 = 370 кг/м2.

Для сравнения укажем, что динамическое давление, которое создается при натекании воздушного потока на неподвижное препятствие, составляет при скорости потока V = 20 и V = 50 м^ соответственно 40 и 250 кг/м3 .

1

2

Эти расчеты показывают, что резкие толчки, которые передаются воздуху в момент выхода ударной волны на поверхность снега, могут создавать в окружающем воздушном пространстве ударные волны, обладающие большой разрушительной силой.

Выше мы рассматривали прямой удар лавины о плоскую поверхность препятствия. В случае косого удара внутри снежно-воздушной массы будут возникать отраженные ударные волны, наклоненные к поверхности препятствия под некоторым углом, отличным от прямого. При выходе таких волн на боковую поверхность снежной лавины возникают боковые воздушные ударные волны, направления движения которых не совпадают с направлением движения лавины. Такие волны могут возникать, например, при косом ударе лавин о скальные препятствия, при выходе лавин со склона горы на горизонтальную поверхность, т. е. при любых резких поворотах лавин, движущихся с большой скоростью.

Таким образом, установлена принципиальная возможность возникновения воздушных ударных волн во время схода лавин. При этом, в зависимости от особенностей рельефа, по которому движется лавина, ударные волны могут иметь всевозможные направления по отношению к траектории движения лавин.

Обозначения.

к^ - коэффициент трения скольжения; у - угол наклона склона горы к горизонту; -коэффициент сопротивления; р - плотность воздуха; Б - площадь миделя лавины; У -скорость лавины; т - масса лавины; g -ускорение свободного падения; t - время; h -средняя высота лавины; Н - ширина захвата лавины; X - длина лавины; ря - плотность снега; ря0 - начальная плотность снега (до удара); ря1 - плотность снега после удара; х -коэффициент захвата; ^ - мощность снежного покрова; а - безразмерный коэффициент; Ут - максимальная скорость лавины; т - характерное время; У - безразмерная скорость; I - безразмерное время; аl - характерное значение ускорения лавины; х - координата; у -показатель адиабаты воздуха; ^ - скорость звука в воздухе; а - ускорение поршня; u -скорость течения воздуха; р0 - плотность воздуха в порах снега до удара; р1 - плотность воздуха в порах снега после удара; р; - плотность льда; р0 - атмосферное давление; р1 -давление в сжатом снеге; к - показатель адиабаты снега; - скорость ударной волны в снеге; щ - массовая скорость за фронтом ударной волны в снеге; Уя - постоянная

величина, имеющая размерность скорости; Е = Р/Р ; К - ударный импульс; ^ - местная

скорость звука в снеге; щ - скорость передней границы зоны разрежения снега; ш -скорость газа за фронтом воздушной ударной волны; р2 - давление на стыке снега и

воздушной ударной волны; р3 - давление в воздушной ударной волне; М - число Маха; Б - скорость ударной волны в воздухе; а - малый безразмерный параметр.

Литература.

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.

2. Долов М.А., Халкечев В. А. Физика снега и динамика снежных лавин. Л.: Гидрометеоиздат, 1972.

3. Фляйг В. Внимание, лавины!. М.ИЛ, 1960.

4. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических течений. М.: Наука. 1966.