Шифры замены как примеры дискретных автоматов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические структуры и моделирование 2008, вып. 18, с. 102-107

УДК 003.26:519.713

ШИФРЫ ЗАМЕНЫ КАК ПРИМЕРЫ ДИСКРЕТНЫХ

АВТОМАТОВ

Н.Ф. Богаченко

В статье обсуждается криптографический подход к изложению основных моделей теории автоматов. Представлены шифры замены, допускающие реализацию в виде комбинационных и последовательных автоматов.

Классическая теория автоматов представляет собой математический аппарат, предназначенный, в первую очередь, для синтеза (построения логических схем) дискретных устройств. Вместе с тем автоматные модели используются и в других областях, в частности в микропрограммировании, при построении трансляторов и т.д.

Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования для специальности 075200 - «Компьютерная безопасность» включает в дисциплину «Дискретная математика» раздел, посвященный теории автоматов. Это обусловлено тем, что теоретико-автоматные модели находят применение и в сфере обеспечения информационной безопасности. В частности, абстрактная модель шифратора может быть представлена в терминах автоматов с памятью [2,3], понятие детерминированного конечного автомата используется при построении моделей безопасности компьютерных систем [5]. Исходя из вышесказанного, преподавание теории автоматов при подготовке специалистов в области информационной безопасности должно включать в себя не только «инженерную» составляющую, но и «привязку» к классическим моделям криптографии. Данная статья демонстрирует пример такой интеграции.

Еще одна причина привлечения аппарата теории автоматов к построению шифров заключается в том, что большинство современных криптосистем базируется на теоретико-числовых моделях. Представляет интерес исследование других подходов к разработке и анализу алгоритмов шифрования.

1. Дискретные автоматы

Дискретный автомат - это математическая модель дискретного устройства, представленная в терминах входных, выходных и внутренних дискретных переменных. Дискретные автоматы подразделяются на два класса: автоматы без памяти (комбинационные) и автоматы с памятью (последовательные).

Copyright © 2008 Н.Ф. Богаченко. Омский государственный университет. E-mail: nfbogachenko@mail. ru

Математические структуры и моделирование. 2008. Вып. 18. 103

Если входные сигналы обозначить хх,...,хп, а выходные - ух,... ,ут, то функциональная модель комбинационного автомата представляется в следующем виде:

У1 = У1 (хх ,...,хп), . (1)

ут ут (х1, . . . , хп).

В отличие от комбинационного, последовательный автомат наделен множеством внутренних состояний. Пусть текущее состояние последовательного автомата определяется значениями переменных тх,... ,тк, тогда его функциональная модель имеет вид:

Ух = ух (хх,... ,хп ,тх,.. .,ти),

Ут = ут (хх ,...,хп, тх, . . . , тк). Рх = рх (хх ,...,хп ,тх ,...,т^ ),

, Рк = Рк (хх ,...,хп ,тх ,...,тк).

(2)

Здесь рх,..., рк - функции возбуждения памяти, отвечающие за смену внутреннего состояния автомата. Последовательный автомат, определенный системой (2), называется автоматом Мили [1,4].

На рисунке 1 представлены структурные схемы комбинационного и последовательного автоматов.

Рис. 1. Структурные схемы комбинационного (слева) и последовательного (справа) автоматов; КС - комбинационная схема (состоит из логических элементов и не имеет контуров); П1,..., Щ - элементы памяти

В рамках поставленной перед нами задачи - установить взаимосвязь между теоретико-автоматными моделями и алгоритмами шифрования - представляется целесообразным в качестве примеров комбинационных и последовательных автоматов рассматривать аппаратную реализацию шифров простой и многозначной замены. В такой постановке задача построения криптосистемы разбивается на две части: синтез шифратора и дешифратора.

2. Блок подстановок как комбинационный автомат

Пусть необходимо продемонстрировать процесс синтеза комбинационного автомата. Представляется возможным в качестве модельной задачи рассмотреть шифр замены, а именно блок подстановок.

Для простоты будем шифровать последовательности из трех бит. Допустим, необходимо реализовать подстановку, заданную таблицей 1. Данную подстанов-

Таблица 1. Шифр замены или таблица выходов комбинационного автомата бх

Вход ООО 001 010 011 100 101 110 111

Выход 010 111 100 110 001 000 101 011

ку можно интерпретировать как таблицу выходов некоторого комбинационного автомата $, функциональная модель которого в этом случае будет иметь следующий вид [4]:

Х{Х2%3 V V Х\Х2Хз V

х{Х2Хз V Х1Х2Х3 V Х1Х2Х3 V х\х^х^ (3)

~х 1X2^3 V Х1Х2Х3 V Х1Х2Х3 V Х1Х2Х3.

После минимизации система (3) преобразуется в уравнения:

Ух = ххх3 Уад,

у2 = х{х2 V х2хз, (4)

Уз = Х1Х2Х3 V хххз V Х1Х2.

Наконец, на рисунке 2 представлена логическая схема шифратора $1.

Рис. 2. Логическая схема комбинационного автомата $1, реализующего блок подстановок

Синтез обратного автомата - дешифратора - аналогичен. Достаточно в таблице 1 строки «вход» и «выход» поменять местами и повторить приведенные выше расчеты.

3. Шифр многозначной замены как автомат Мили

Перейдем теперь к автоматам с памятью. В качестве примера вновь обратимся к шифру замены. Рассмотренная криптосистема является очень слабой: частотные характеристики открытого сообщения сохраняются и в криптотексте.

Математические структуры и моделирование. 2008. Вып. 18.

105

Повысить криптостойкость позволяют шифры многозначной замены, в которых каждому символу (кодовой комбинации) открытого алфавита ставится в соответствие не один, а несколько символов шифра.

Преобразуем подстановку из таблицы 1 в шифр многозначной замены (см. табл. 2).

Таблица 2. Шифр многозначной замены или таблица выходов автомата Мили ¿>2

Входные сигналы

000 001 010 011 100 101 110 111

00 010 111 100 110 001 000 101 011

01 011 010 000 101 110 111 001 100

10 110 100 001 111 010 011 000 101

Состояния Выходные сигналы

Главная трудность, которая возникает при использовании шифров многозначной замены, заключается в запоминании ключа. В общем случае требуется построить функцию-распределитель, задающую порядок выбора подстановок.

Можно предложить следующий подход к решению данной проблемы. Будем интерпретировать таблицу 2 как таблицу выходов некоторого последовательного автомата, точнее, автомата Мили, $2. В этом случае необходимо определить и таблицу переходов [4]. Так как в нашем примере замена трехвариантная, то автомат должен иметь три состояния: а = 00, а2 = 01, а3 = 10. Пусть переходы автомата заданы таблицей 3. Теперь для запуска алгоритма шифрования остается определить начальное состояние, с которого стартует автомат.

Таблица 3. Таблица переходов автомата Мили ¿>2

Входные сигналы

000 001 010 011 100 101 110 111

00 01 00 10 00 01 01 10 00

01 10 10 00 10 00 01 00 10

10 00 01 01 01 01 00 10 01

Состояния Состояния перехода

Функциональная модель автомата $2 представляется системой булевых функций, зависящих от пяти переменных:

У1 = У1(Х1 ,Х2,Х3,Т1,Т2), У2 = У2(Х1 ,Х2,Х3,Т1,Т2),

< Уз = Уз(Х1 ,Ж2,Ж3,Т1,Т2), (5)

= ^1(ЖЬЖ2,Ж3 ,Т1,Т2), „ ^2 = ^2(Ж1,Ж2,Ж3 ,Т1,Т2).

Функции выходов и функции возбуждения памяти строятся стандартным образом согласно каноническому методу структурного синтеза [1,4]. Если в качестве

элементов памяти выбрать элементы задержки, то после минимизации каноническая система уравнений автомата $2 примет следующий вид1:

У1 = х{х2т{т2 V XiX3t2 V Х1Х2Т1Т2 V Х2Х3Г1Г2 V Х2Х3Т1Т2 V Х2Х3Г1Г2, у2 = Х1Х2Х3Т2 V xix2ri V Х1Х2Х3Т2 V x2rir2 V Х1Х2Т1Т2 V Х2Х3Г1Г2, Уз = Х1Х2Х3Г1Г2 V Х1Х2Х3Г1Г2 V Х1Х2Х3Г1Г2 V Х1Х2Т1Т2 V XiX2X3rir2V Х1Х3Г1Г2 V Х1Х2Х3Т1 V XiX2Tir2 V Х1Х3Г1Г2, = Х1Х2Г1Г2 V Х2Х3Г1Г2 V Х1Х2Х3Т2 V Х2Х3Г1Г2, (¿?2 = Х1Х2Г1Г2 V Х1Х3Г1Г2 V Х2Х3Г1Г2 V Х1Х2Х3Т2 V Х1Х2Х3Г1 V Х2Х3Г1Г2.

(6)

Структурная схема автомата $2 представлена на рисунке 3. Последний этап

Рис. 3. Структурная схема автомата Мили $2, реализующего шифр многозначной замены

синтеза - построение комбинационной части схемы (КС) по системе булевых функций (6) - не представляет сложности, но в силу громоздкости итоговой логической схемы будет опущен.

Отметим, что для однозначности расшифрования (для существования обратного автомата) необходимо и достаточно, чтобы в шифраторе в каждом наборе выходных сигналов, соответствующих одному состоянию, все значения были различны [3]. По таблице 2 несложно проверить, что это требование выполнено (в пределах одной строки кодовые комбинации не повторяются). Мы не будем подробно останавливаться на вопросах синтеза дешифратора. В работе [3] описан алгоритм построения таблиц обратного автомата, дальнейшие расчеты аналогичны.

Проверка правильности синтеза шифратора $ и дешифратора $-1 сводится к последовательному применению их к некоторому открытому тексту а:

а = $-1 ($ (а)). (7)

4. Преимущества автоматной модели шифратора

Предложенная в работе криптографическая составляющая основных моделей теории автоматов помимо методического интереса дает инструмент для исследования алгоритмов шифрования.

1 Для упрощения логических функций использовался программный пакет для моделирования электронных схем Electronics Workbench. В пакете реализован метод Квайна - Мак-Класски, позволяющий минимизировать булевы функции, заданные таблицей истинности или совершенной дизъюнктивной нормальной формой.

Представленный шифрующий автомат S2 обладает всеми преимуществами шифров многозначной замены: одинаковые фрагменты входной последовательности в общем случае шифруются различными блоками. Например, кодовая комбинация «000» может быть зашифрована одним из трех способов: «010», «011» или «110», в зависимости от того, в каком состоянии находится автомат.

Пусть в качестве начального выбрано состояние a1 = 00 и открытый текст представляет собой последовательность «000 000 101 010 000 000 100 000». Тогда шифротекст - это реакция автомата S2 на данное входное слово (см. табл. 4). Как видно из примера, биграмма «000 000» шифруется по-разному: «010 011»

Таблица 4. Пример работы шифратора ¿>2

Открытый текст 000 000 101 010 000 000 100 000

Состояния 00 01 10 00 10 00 01 00 01

Шифротекст 010 011 011 100 110 010 110 010

или «110 010», а подпоследовательность «110 010» может быть шифротексом двух различных биграмм: «000 000» или «100 000».

Вопрос о более серьезном анализе шифра, построенного на основе последовательного автомата, выходит за рамки данной работы. Скорее всего, как и все шифры замены, он не сможет противостоять частотному анализу при шифровании больших сообщений на одном ключе (в нашем случае - на одном автомате). Представляется целесообразным использовать «автоматное» шифрование как одну из составляющих какой-либо комбинированной (состоящей из нескольких процедур шифрования разных типов) криптосистемы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Баранов С.И. Синтез микропрограммных автоматов. Ленинград: Энергия, 1974. 216 с.

2. Белов Е.Б., Зубов А.Ю., Погорелов Б.А., Проскурин Г.В., Черемушкин А.В., Шанкин Г.П., Шурупов А.Н. Криптографические методы защиты информации. Учебно-методическое пособие для курсов повышения квалификации преподавателей вузов учебно-методического объединения по образованию в области информационной безопасности. Часть 2. Москва. 2003.

3. Богаченко Н.Ф. Применение теоретико-автоматных моделей в криптографии // Математические структуры и моделирование. 2007. Омск: ООО «УниПак». Вып. 17. С. 112-120.

4. Богаченко Н.Ф., Файзуллин Р.Т. Синтез дискретных автоматов. Учебно-методическое пособие. Омск: Издательство Наследие. Диалог-Сибирь, 2006. 150 с.

5. Девянин П.Н. Модели безопасности компьютерных систем. М.: Издательский центр «Академия», 2005. 144 с.