CC BY
36
Дискретная математика
УДК 519.72:004.056.55
ШИФРОВАНИЕ НА ОСНОВЕ СУММ СО СЛАГАЕМЫМИ -ПРОИЗВЕДЕНИЯМИ ВЕСОВЫХ И СВОБОДНЫХ КОМПОНЕНТОВ
А. И. Никонов
Самарский государственный технический университет,
443100, Россия, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
E-mail: nikonovai@mail. ru
Рассмотрены математические средства шифрования исходного текста, позволяющие обеспечить простоту соответствующей расшифровки, которая восстанавливает последовательность целочисленных весовых коэффициентов. Составитель шифра проверяет, как выполняется условие выделимости этих коэффициентов. Правило выделения предусматривает использование операций нижнего или верхнего округления. Сформированный шифр представляется значениями конечных сумм.
Ключевые слова: шифр, конечная сумма, весовой коэффициент, свободный множитель, условие выделимости.
Настоящая статья посвящена рассмотрению математических средств шифрования исходного (первичного текста), позволяющих успешно обеспечить простоту его расшифровки, которая производится адресатом. Общий подход к созданию указанных математических средств заключается в следующем.
Составитель шифра, имея исходный текст, задает основное математическое выражение ME, составленное из определенных компонентов. Согласно правилу составления ME в него включается множество независимых друг от друга параметров — факторов скрытности, обладающих статусом ключевых. Их значения уже имеются у адресата — штатного получателя данного шифра.
Адресат вместе со всеми знает упомянутое правило составления ME и переданное значение ME, но скрываемые от посторонних ключевые значения известны ему, согласно правилу Керкхоффса [1], лишь совместно с шифровальщиком. Выполняя задачу расшифровывания очередного У-того полученного значения ME, адресат применяет к нему определенное преобразование Р, последовательно изменяя натуральное д. При этом из видоизменяемого объекта Р (VMEg-i) выделяются значения соответствующих компонентов, превосходящих заданный количественный порог либо сниженных сравнительно с этим порогом. Таким образом, образуется конечная последовательность, строка чисел, а затем и знаков первичного алфавита, и эта строка придает расшифрованному сообщению законченный вид.
Александр Иванович Никонов (д.т.н., проф.), профессор, каф. электронных систем и информационной безопасности.
Если оказывается, что какой-либо фактор скрытности в пределах диапазона его изменения никак не влияет или слабо влияет на результат произведенного преобразования Р, то такой фактор признается неэффективным. В свою очередь, шифротекст с увеличенным числом эффективных факторов скрытности и с увеличенными числами элементов, находящихся в диапазонах их изменения, если и поддается раскрытию, то с большими трудностями, нежели обычный шифр.
Применим изложенный подход в отношении математического выражения конечной суммы
р
Ф = Ф(р) = ^ Ьщ, ЗЬг Ф 0; (1)
1=1
Ьг € N0 = N и {0} — весовой коэффициент; с\ € М \ {0} — свободный, то есть не зависимый от весовых коэффициентов, множитель. Таким образом, исследуемая сумма состоит из слагаемых — произведений весовых и свободных компонентов. Суммирование слагаемых из (1) предусматривает наличие хотя бы одной операции сложения, и поэтому р € N \ {1}. Строка весовых коэффициентов несет информацию о смысле шифра.
За частичную конечную сумму, соответствующую нашему МЕ, будем принимать величину
I*
Ф(Г) = £Чгсг,
1=1
Более того, для удобства представления рассматриваемой суммы, не допускающего превышения нижнего предела суммирования над верхним, будем по необходимости продлевать конечные последовательности (6|), (с^), начиная их со значений Ьо = Со = 0. Тогда, конечно,
I*
ф(п = 5>сг-
1=0
Выработаем следующую концепцию алгебраического преобразования величины Ф. Пусть за счет подбора уровней Ь[, С[ обеспечено выполнение такого условия выделимости очередного целочисленного весового коэффициента, что связано с определением отклонения ИеУр-д = Ф (р — д)/ср-д+1 от целого значения суммы (1):
Уд е1р = {1 :
Оеур-д € (0, 6+) = Оеу+_д, (2)
ИеУр-д = 0 = £>е-и°_й, (3)
ИеУр-д € М_,0) = Оеу-р-д, (4)
0 < £_|_, 6- < 1. (5)
Соотношение (2) или (4) применительно к произвольному индексу д выбирается в зависимости от полученного знака Иеир-д, чтобы участвовать в
определении (с помощью операции соответственно нижнего, верхнего округления [2]) искомой целочисленной величины Ьр-д-\-1', соотношение (3) выбирается в случае, когда Веур-д = 0, то есть
Величина отклонения ИеУр-д от целочисленного значения 1 может стать индикатором выбора конкретного типа операции округления для любого д € /р, во-первых, если оказывается известным только сам факт обеспеченности комплексного условия
где Рг+р-д, РГр_д1 Рг~р-д — положительное, нулевое, отрицательное отклонения частных вида (6) от целочисленных весовых коэффициентов вида Ър-д-ц, причем абсолютные величины отклонений, указываемых в соотношениях (8), удовлетворяют неравенству (7); в общем случае подобные отклонения станем обозначать через Ргр-д.
Теперь, преобразовывая с использованием (7) двойное неравенство, связанное с соотношениями (4), (8), находим:
Это преобразование позволяет определить саму дробную часть из <£>р_й+1, пристыкованную к числу {Ър-д^1 — 1). Производить проверку с участием величины отклонения ИвУр-д на принадлежность (рр_д+\ первому или второму интервалу единичной длины соответственно
здесь не требуется; форматы первого и второго интервалов установлены согласно соотношениям (2)—(5).
^р—д+1 — Ф(р 9 + 1)/Сдй) Сда — Ср—д-|-і.
(6)
Конечно же.
^р-д+1 — \.^р-д+і\ — Г^р—й+Л • ОеУр-д — 0.
(.ОеУр-д = Пеу+_д)\/ (БеУр-д = Веу°р_д)\1 (БеУр-д = ОеУр_д),
и, во-вторых, если соблюдается дополнительное неравенство
+ 5- < 1.
(7)
Тогда будем иметь
1 — 5- < 1 + РГ р-д < 1.
(Ьр-д+1 1)^р-5+і], [Ьр-д+1>Ьр-д-\-1 + 1)
В случае соблюдения неравенства (7) интервалы (1 — £_,1), (0,5+) не перекрывают друг друга, обеспечивая тем самым однозначность взаимного соответствия уровня Ргр-д и участка числовой оси, находящегося возле искомого значения Ьр_й+1- То есть само расположение каждого из интервалов положительного, нулевого или отрицательного отклонений указывает на его принадлежность к одному из двух интервалов единичной длины. Любое допустимое значение Ргр-д указывает на первый или второй интервалы единичной длины или на место их стыка, а вместе с тем определяет, операцию какого округления (в случае Ргр-д = 0 — никакого или безразлично какого) надо производить.
Если же условие (7) не выполняется, то сам по себе уровень ИвУр-д не способен указывать на определённый участок единичной длины, содержащий значение <Рр-д-1-1, что вызывает необходимость при задании очередного индекса д и нахождении очередного значения <~рр-д-ц уточнять расположение данного значения и обосновывать этим тип применяемого далее округления.
Поскольку
учитывая соотношения (6), (8) и округляя правую часть (9), будем иметь:
Представленная выше концепция алгебраического преобразования суммы Ф со слагаемыми вида {Ъ^) может быть осуществлена алгоритмически. Произвольный, д-тый шаг соответствующего алгоритма может быть выстроен на базе вышеприведенных соотношений, уточняющих и округляющих правую часть (9); д = 1,... ,р, Ър+1 = 0.
Рассмотрим план решения задачи (алгоритм) расшифровки. На д-том шаге производится вычисление очередного значения
1=0
Значения свободных компонентов вида ср_7-1_2, как и сам вид сг, известны нам изначально с формированием математического облика Ф, а значения
я
(9)
7=1
/
7=1
Я
7=1
^ф Ьр~7+2Ср~7+2^) /Сд, : 5- < РГр-д < 0.
7=1
Я
7=1
что равно
весовых коэффициентов вида Ьр_7+2 (7 ^ 9) найдены в рамках предыдущих шагов данного алгоритма. Нам также известно, что для данного шага
Тогда, руководствуясь полученным д-тым промежутком допустимых значений ИвУр-д, применяем соответствующее выражение для уточнения правой части (9).
В некоторых частных случаях комплекс применяемых таким образом выражений может быть уменьшен. Если для каждого р € 1Р обеспечено соблюдение двойного неравенства
Покажем теперь, каким образом следует обеспечить выполнение условия выделимости весовых коэффициентов, для определённости имеющее вид (10). При этом в качестве выражения МЕ будем рассматривать конечные степенные суммы, слагаемые которых содержат свободные множители, представляемые степенями с основаниями и показателями — линейными многочленами:
Максимум задаваемых весовых коэффициентов, зависящий от объёма первичного алфавита, обозначим через Ът. Практически Ът> 1.
Сумма значений последовательности (а™г, I = 1,... ,р) есть значение многочлена от одной переменной [3], когда такая переменная последовательно принимает целочисленные значения.
Заметим сразу, что при а\ = т\ = 0, когда становится константой, а™0 ф 0 и условие (10) всегда нарушается для какого-либо слагаемого — отношения из суммы Ф(р — д)/Ср-д^ 1, используемой в проверке (10). В самом деле, хотя среди весовых коэффициентов вида могут встречаться и нулевые, но ф 0, а следовательно, их множество содержит хотя бы один коэффициент, имеющий значение, не меньшее единицы. Тогда и для всей суммы
(0 < ОвУр-д < 5+)\/ (ВеУр-д = 0) \/(1 - 5- < ОвУр-д < 1).
(10)
то коэффициент Ър-д^ 1 может быть представлен как
9
7=1
9
7=1
или в виде
9
7=1
Р
МЕ = Ф = ^Ь1С1, кеПо, З^ф 0;
1=1
С[ = а™1, щ = ао + а\1, пц = то + т\1] ао, а 1 € М+, то, т\ € N0.
Ргр-д в целом как объекта правого неравенства (10) указанное условие также выполняться не будет.
Далее рассмотрим два типовых случая, возникающих при задании свободных компонентов, и укажем возможности соблюдения в их рамках условия
(10). Первым таким случаем является задание как члена геометрической прогрессии
0 : / = 0, а™11 : 1е1р.
Здесь факторы скрытности — это параметры ао ф 0, т\, а также р — верхняя граница интервала 1р.
В данном случае условие (10) рассматривается применительно к максимуму дробночастного отклонения
шах Ргр-д = (ът/а™1(р_й+1))
1=0
само же двойное неравенство (10) приобретает вид
1л грР Я -- 1
0 ^ тах = —— •-----------<1, х = аТ1.
Р 9 X — 1 ХР-9 0
Оно выполняется при х — 1 >0, когда разность хр~д — 1 также положительна либо имеет нулевой уровень; далее здесь потребуется выполнение соотношения х > Ът + 1.
Второй специально рассматриваемый нами случай — это задание свободных компонентов, слагаемых из суммы Ф как одинаковых степеней членов арифметической прогрессии вида
0 : 1 = 0,
(ао + а11У ■ I € 1р,
Факторами скрытности в данном выражении а\ ф 0, V. Условие (10) представляется здесь как
Р-9
0 < шах Ргр-д = Ът ^ сЧ/сар_д+1 =
1=0
(0 : 1 = 0, д £1р,
А = < («о + а\1)/{ао + аг{р - д + 1)) = 1 -[ I = 1,...,р-д, де1р\{р}
где га = а0/аь Ад = р - д + 1.
Данное условие выполняется при соблюдении неравенств
га + Ай>0, га > тах(-Ай) = -1.
V € N.
выступают параметры ао,
ЬтХ>Г<1, (11) 1=0
(Ад - V)/(га + Ад) :
Тогда
lim D\ = 0, Ът lim D\ = О, I = 0,... ,р - д, д € 1р.
V—уоо V—Уоо
Сумма конечного числа пределов вида Ът lim D\ также имеет нулевое значение:
р-9
У^ Ьт lim D\ =0, д € 1р.
V—>оо
1=0
Следовательно, не подлежит сомнению тот факт, что существует и может быть найдено такое минимальное значение г/, начиная с которого выполняется условие (11).
При задании величины Ф во втором рассматриваем случае стоит, в частности, иметь в виду вариант её представления со значениями параметров ао = 0, a\ = 1, когда q = lv [4,5]. Факторами скрытности здесь выступают р, г/; условие (11) также выполняется.
Итак, в итоге выработана концепция шифрования с использованием математического выражения — конечной суммы со слагаемыми — произведениями весовых и свободных компонентов. Сформировано условие выделимости целочисленных весовых коэффициентов — носителей передаваемой информации, причем выявлена реалистичность выполнения указанных условий.
Предложен также алгоритм расшифрования принятого закодированного сообщения, то есть алгоритм формирования конечной последовательности восстановленных значений весовых коэффициентов, соответствующей первичному тексту данного сообщения. Алгоритм обеспечивает простоту расшифрования, требующего для начала знания нескольких ключевых параметров и числа или блока чисел (в зависимости от объёма передаваемой информации) — значения или значений суммы Ф, вбирающей в себя количественное обобщение искомой конечной последовательности (bi, I = 1 ,...,р). Наличие указанной простоты подтверждается уже самим видом выражений, определяющих выполнение шагов предложенного алгоритма.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Рябко Б. Я., Фионов А. Н. Основы современной криптографии для специалистов в информационных технологиях. М.: Научный мир, 2004. 173 с. [Ryabko В. Ya., Fionov А. N. The basis of the modern cryptography for IT practitioners. Moscow: Nauchniy Mir, 2004. 173 pp.]
2. Anderson J. A. Discrete Mathematics with Combinatorics. New Jersey: Prentice Hall, 2000. 799 pp.; русск. пер.: Андерсон Дж. Дискретная математика и комбинаторика. М.: Вильямс, 2004. 960 с.
3. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука, 1994. 320 с. [Kostrikin A.I. Introduction to algebra. Foundations of algebra. Moscow: Nauka, 1994. 320 pp.]
4. Никонов А. И. Преобразование суммы взвешенных степеней натуральных чисел с одинаковыми показателями // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2010. №1(20). С. 258-262. [Nikonov A.I. Converting the Sum of Weighted Degrees of Natural Numbers with the Same Parameters // Vestn. Samar. Cos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2010. no. 1(20). Pp. 258-262].
5. Никонов А. И. Приведение суммы взвешенных одинаковых степеней к явному комбинаторному представлению// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2012. №3(28). С. 163-169. [Nikonov A. I. Reduction of the sum of the weight equal powers
to explicit combinatorial representation// Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2012. no. 3(28). Pp. 163-169].
Поступила в редакцию 09/X/2012; в окончательном варианте — 23/XI/2012.
MSC: 68Р25; 05А10
ENCIPHERING ON THE BASIS OF THE SUMS WITH PRODUCTS OF WEIGHT AND FREE COMPONENTS AS SUMMANDS
A. I. Nikonov
Samara State Technical University,
244, Molodogvardeyskaya St., Samara, 443100, Russia.
E-mail: nikonovai@mail. ru
The purpose of the given paper is reviewing of mathematical resources of enciphering of the source text, allowing to ensure the simplicity of appropriate decryption; the source text is a sequence of integer weight coefficients. The composer of the cipher checks how the condition of separability of these coefficients is satisfied. The selection rule provides usage of operations of the lower or upper roundoff. The generated cipher is represented by the values of the finite sums.
Key words: cipher, finite sums, weight coefficients, free multipliers, separability condition.
Original article submitted 09/X/2012; revision submitted 23/XI/2012.
Alexander I. Nikonov (Dr. Sci. (Techn.)), Professor, Dept, of Electronic Systems and Information Security.
