CC BY
28
УДК 004.93 DOI: 10.25513/2222-8772.2018.4.154-161
СХЕМА ХАОТИЧЕСКОЙ МАСКИРОВКИ СООБЩЕНИЙ НА ОСНОВЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, Омск, Россия
Аннотация. В статье предложен метод хаотической маскировки дискретного сигнала. Предложенный подход не требует синхронизации хаотических генераторов и устойчив к шумам в канале связи. Эти свойства снимают основную проблему хаотической маскировки, связанную с рассинхрони-зацией управляющих параметров. Основная идея состоит в использовании кодирования сообщения с помощью ортогональных функций. Далее применяется простое суммирование скрытого сообщения с хаотическим сигналом. Извлечение сообщения может быть выполнено на основе свойства ортогональности без вычитания хаотической составляющей.
Ключевые слова: ортогональные функции, сигнал, маскировка.
Введение
Для скрытой передачи сообщений могут использоваться различные подходы на основе стеганографических алгоритмов, электронной цифровой подписи [1,2], динамического хаоса [3] и т.д. Эти методы отличаются друг от друга прежде всего контейнером, используемым для встраивания сообщения. Контейнер служит для маскировки факта передачи сообщения. В данной статье предложен алгоритм, основанный на маскировке сообщения с помощью динамического хаоса, получивший название хаотической маскировки.
Использование динамического хаоса для сокрытия передаваемого сообщения предполагает наличие двух связанных идентичных хаотичных генераторов. Разработаны несколько способов использования динамического хаоса в таких задачах: хаотическая маскировка [4], переключение хаотических режимов [5] нелинейное подмешивание передаваемого сообщения к хаотическому сигналу [6], модулирование управляющих параметров хаотического генератора [7]. На основе этих методов разработан ряд алгоритмов передачи данных.
Одним из первых методов использования динамического хаоса для сокрытия сообщения является хаотическая маскировка [4]. Схема использования хаотической маскировки для скрытой передачи сообщения приведена на рис. 1. Абонент, передающий сообщение m(t), добавляет его в сумматоре к хаотичному сигналу x(t). Далее сумма двух сигналов m'(t) = m(t) + x(t) передаётся
С.В. Белим
д.ф.-м.н., профессор, e-mail: sbelim@mail.ru Ю.С. Ракицкий
к.т.н., доцент, e-mail: yrakitsky@gmail.com
по каналу связи. Принимающий абонент синхронизирует свой хаотический генератор и(Ь) с помощью принимаемого сигнала. В результате синхронизации хаотические генераторы у передающего и принимающего абонента становятся идентичными и(Ь) = х(Ь). Переданное сообщение восстанавливается с помощью вычитания из полученного сигнала т'(Ь) синхронизированного хаотического сигнала и(Ь).
Передающее устройство
т
т ({)
Принимающее устройство
Рис. 1. Схема использования хаотической маскировки для скрытой передачи сообщения
Хаотическая маскировка сообщения эффективна при низком уровне шума в канале связи. При этом уровень шума превышает скрытый сигнал на 3565 дБ [8]. Наличие шума в канале связи резко снижает качество передаваемой информации. Также к ухудшению качества приёма сообщения приводит рассинхронизация управляющих параметров генераторов шума. Кроме того, хаотическая маскировка характеризуется низким уровнем конфиденциальности [9-11]. Эти недостатки делают метод хаотической маскировки малопригодным для практического применения. Следует отметить, что влияние шумов в канале связи является одной из основных проблем реализации устойчивых систем передачи информации. Достаточно большое количество работ посвящено реализации источников хаотического сигнала. Классификация динамических систем, которые могут быть использованы при генерации хаотического сигнала, несущего встроенное сообщение, приведена в работе [12]. В данной статье приведено условие на скорости выработки полезного сигнала и генерации хаотической несущей, позволяющей снизить вероятность искажения скрытого сообщения. Для них используется понятие оптимальных кодирующих систем. Получен критерий определения таких систем. Кроме хаотической маскировки разработаны системы передачи сообщений на основе модуляции хаотического сигнала [13]. Информационный сигнал используется для изменения параметров хаотического генератора. Такой подход позволяет существенно повысить скорость передачи информации и является устойчивым к шумам в канале связи. В данной статье предложена схема формирования передаваемого скрытого
сообщения, которая позволяет не проводить синхронизацию хаотических генераторов передающей и принимающей стороны.
1. Кодирование на основе ортогональных функций
Построим схему передачи скрытого цифрового сообщения, замаскированного в аналоговом шуме. Для этого на основе цифрового сигнала построим непрерывную функцию, по которой однозначно восстанавливается исходное сообщение. Используем семейство ортогональных функций — множество функций {/г(х)1% Е N} таких, что существует весовая функция т(х) и интервал [а,Ь], для которых
/ МХ)!з (х)ь)(х)(!х = Ьгу ,
о а
где 8гу — символ Кронекера.
Пусть информация, которую необходимо закодировать, представляет собой последовательность вещественных чисел к( = 1,...,п). Построим функцию
п
^(Х) = ^ Шх).
г=1
Исходные числа кг могут быть восстановлены из Р(х) на основе свойства ортогональности с помощью простого соотношения:
Гь
кг = (х)ы(х)йх.
о а
Описанный подход позволяет на основе взвешенной суммы функций и самих функций легко найти коэффициенты при слагаемых этой суммы. Кроме того, даже при искажении взвешенной суммы весовые коэффициенты могут быть восстановлены с удовлетворительной точностью.
В качестве примера рассмотрим семейство ортогональных тригонометрических функций
Ограничим множество возможных весовых коэффициентов двумя значениями: {0,1}. Определим функцию Р(х) = ¡]_(х) + ¡3(х) + ¡7(х) + ¡8(х). Возьмём 100 значений функции /(х) с равным шагом в интервале [0,1]. Исказим каждое значение функции равномерным шумом в диапазоне [-2;2]. На рис. 2 представлен график оригинальной и искажённой функций.
Результаты восстановления коэффициентов показаны на рис. 3, где восстановленные значения коэффициентов отмечены меньшими повёрнутыми квадратами. Из рисунка видно, что несмотря на значительный по сравнению с диапазоном значений уровень шума восстановленные коэффициенты имеют значения, близкие к исходным, а при округлении до ближайшего порогового значения (0 или 1) полностью с ними совпадают.
На основе рассмотренного выше подхода кодирование п-битовой строки (Ь1,Ь2,..., Ьп) сообщения состоит из двух шагов:
Рис. 2. Пример малого искажения передаваемого сообщения
1. Выбрать п функций: Д, /2,..., Д из семейства ортогональных функций;
2. Построить на отрезке ортогональности [а, Ь] функцию
^(Х) = £ ЬЛ(х).
г=1
Процедура извлечения скрытого сообщения состоит из последовательного вычисления интегралов
гь
^г = /г (Х)Р (х)™ (x)dx Ъ =(1,...,п).
^ а
Если > 0.5, то соответствующий бит ^ выходного сообщения равен единице, в противном случае ноль.
2. Компьютерный эксперимент
В компьютерном эксперименте было использовано семейство простых тригонометрических функций, обладающих свойством ортогональности на отрезке [0,1]:
{/га(х) = л/2с08(^пх)\п е N}.
Весовая функция для такого семейства ортогональных функций w(х) = 1. Для вычисления интегралов использовался численный метод трапеций. При дискретизации сигнала интервал ортогональности разбивался на 100 частей. Интенсивность скрываемого сигнала выбиралась равной единице. Интенсивность
j 5 Значение
ie коэффициента
♦ ♦
<>
II ■ ■ a
♦ ♦ ♦
■ ■о ■ ■
Номер к
Рис. 3. Исходные и восстановленные коэффициенты
шума варьировалась, начиная от нуля, до значении, не позволяющих извлечь скрытое сообщение с шагом 0.1. Хаотический сигнал моделировался с помощью генератора псевдослучайной последовательности с равномерным распределением. В качестве скрытого сообщения передавались все возможные значения, кодируемые 8-ю битами. Для всех значений передаваемого сообщения вычислялось максимальное количество неверно извлечённых битов при заданной интенсивности хаотического сигнала. График полученной зависимости представлен на рис. 4.
Рис. 4. Зависимость количества изменённых битов в извлечённом сообщении err в зависимости от интенсивности хаотического сигнала I
Как видно из рис. 4, если интенсивность хаотического сигнала превышает интенсивность скрытого сигнала не более чем в 8 раз, то сообщение восстанавливается без потерь. Если интенсивность хаотического сигнала превышает интенсивность сигнала сообщения не более чем в 18 раз, то неверно опреде-
ляется не более 2-х бит. Следует отметить, что 2 бита — это максимальное значение. Часть сообщений восстанавливается без потерь, а часть — с одним изменённым битом. Пример общего вида сигнала, кодирующего сообщение, и его суммы с хаотическим сигналом при отношении интенсивностей, равном 18, представлены на рис. 5.
Рис. 5. Сигнал скрытого сообщения Р (х) и его сумма с хаотическим сигналом N (ж).
Предложенная схема обладает низкой конфиденциальностью. Злоумышленник, зная общий вид используемого семейства ортогональных функций, легко может определить как факт наличия скрытого сообщения, так и его содержимое. Данная проблема может быть решена с помощью использования семейства ортогональных функций с параметром. Причём параметр должен быть вещественным. Например, может быть использовано семейство функций:
{/п(х) = л/2со^(^пах)\п е N},
где а — вещественный параметр, который держится в секрете обоими абонентами. Как показал компьютерный эксперимент, изменение а на 10 % приводит в среднем к замене 12 % битов в извлекаемом на выходе сообщении. Прямой перебор практически невозможен.
Заключение
В данной статье показана возможность реализации метода хаотической маскировки скрытого сообщения без синхронизации генераторов, передающей и принимающей сторон. Рассмотренный пример простых тригонометрических функций не обеспечивает достаточного уровня целостности сообщения и конфиденциальности. Однако эти проблемы могут быть решены при дальнейшем развитии предложенного метода. Прежде всего при кодировании сообщения могут быть использованы коды, исправляющие ошибки, что существенно повысит устойчивость метода к уровню шума. Во-вторых, вместо тригонометрических функций могут быть использованы другие семейства ортогональных функций.
Проблема конфиденциальности также может быть решена с помощью выбора семейства ортогональных функций с параметрами. В этом случае для обнаружения и извлечения скрытого сообщения необходимо знать набор параметров, которые играют роль ключевых материалов и держатся в секрете. Предложенный метод хаотической маскировки обладает тремя существенными преимуществами перед остальными. Во-первых, не требуется синхронизация генераторов динамического хаоса передающей и принимающей сторон. Во-вторых, может быть использован любой генератор хаотического сигнала. В-третьих, схема устойчива к зашумлению в канале связи, что является большой проблемой для всех предложенных ранее схем.
Литература
1. Белим С.В., Федосеев А.М. Исследование скрытых каналов передачи информации в алгоритме цифровой подписи ГОСТ Р34.10-2001 // Известия ЧНЦ. 2007. № 2(36). C. 20-23.
2. Атмашкин М.И., Белим С.В. Скрытые каналы передачи информации в алгоритме электронной цифровой подписи ГОСТ Р 34.10-2001 // Проблемы информационной безопасности. Компьютерные системы. 2010. № 4. C. 26-35
3. Дмитириев А.С., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. М. : Физматлит, 2002.
4. Cuomo K.M. Oppenheim A.V., Strogatz S.H. Synchronization of Lorenz-based chaotic circuits with applications to communications // IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Analog and Digital Signal Processing. 1993. V. 40, No. 10. P. 626-633.
5. Dedieu H., Kennedy M.P., Hasler M. Chaos shift keying: modulation and demodulation of a chaotic carrier using self-synchronizing Chua's circuits // IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Analog and Digital Signal Processing. 1993. V. 40, No. 10. P. 634-642.
6. Dmitriev A.S., Panas A.I., Starkov S.O. Experiments on speech and music signals transmission using chaos // Int. J. Bifurcation and chaos. 1995. V. 5, No. 4. P. 12491254.
7. Yang T., Chua L. O. Secure communication via chaotic parameter modulation // IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications. 1996. V. 43, No. 9. P. 817-819.
8. Downes P.T. Secure communication using chaotic synchronization. // SPIE. 1993. V. 2038. P. 227-234.
9. Perez G., Cerderia H.A. Extracting Messages Masked by Chaos // Phys Rev. Lett. 1995. V. 74. P. 1970-1973.
10. Short K.M. Unmasking a modulated chaotic communication scheme // Int. J. Bifurcation and chaos. 1996. V. 6. No. 2. P. 367-375.
11. Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Extracting information masked by the chaotic signal of a time-delay system // Phys. Rev. E. 2002. V. 66. 026215.
12. Baptista M.S., Macau E.E., Grebogi C. Conditions for efficient chaos-based communication // Chaos. 2003. P. 145-150.
13. Дмитриев А.С., Панас А.И., Старков С.О. Динамический хаос как парадигма современных систем связи // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 1997. No. 10. C. 4-26.
CHAOTIC MASKING SCHEME FOR MESSAGES BASED ON ORTHOGONAL
FUNCTIONS
S.V. Belim
Dr.Sc. (Phys.-Math.), Professor, e-mail: sbelim@mail.ru Y.S. Rakitskiy
Ph.D. (Eng.), Associate Professor, e-mail: yrakitsky@gmail.com Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia
Abstract. The method of chaotic masking of a discrete signal is proposed in the article. The proposed approach does not require the synchronization of chaotic generators and is resistant to noise in the communication channel. These properties remove the main problem of chaotic masking associated with the desynchronization of control parameters. The basic idea is to use message coding using orthogonal functions. Next, a simple summation of a hidden message with a chaotic signal is applied. The extraction of the message can be performed on the basis of the orthogonality property without subtraction of the chaotic component.
Keywords: orthogonal functions, signal, masking.
Дата поступления в редакцию: 20.11.2018
