Шахтный подъем по системе Копэ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПроФ. С. К. Конюхов-

Шатий! подъем ио системе Копа.

Подъемное устройство по системе Копэ в общих чертах можно описать так: на главном валу машины^ насаживается наглухо главный или ведущий желобчатый шкив и на этот шкив накидывается подъемный' металлический •канат, охватывающий шкив наполовину или. более-половины окружности. Два свободных конца каната отводятся в сторону на некоторую высоту и перекидываются через два направляющих шкива. Направляющие шкивы располагаются либо так, что их оси лежат в одной горизонтальной плоскости, либо так, что их средние плоскости лежат в одной плоскости с средней плоскостью ведущего шкива. Последнее, расположение направляющих шкивов благоприятнее для работы каната, ибо в этом случае угол девиации каната равен нулю, и таким образом устраняется возможность перегиба каната и истиранеел ег<> о режущую кромку желоба.

К свободным концам каната подвешиваются подъемные клети, а к укрепленному дну последних прикрепляется уравновешивающий нижний канат. Все это устройство схематически предствавлено - на .рисунки 1, тде средние-плоскости шкивов расположены в,однойшшскости. ,■■■? А главный или-ведущий шкив .

В и В! два' направляющих щкива

•'С- и-'"01'^аюШ(.:Л-'ворожняя влети • у

9-Б-10 уравновешивающий нижний хвостовыЙ канат 7-1-2-5-6-4-3 рабочий верхний головной канат.

Придерживаясь общей принятой терминологии, обозначим через Ь мегр вый груз или тару (вес клети и вес вагонеток); через 8 обозначим вес каната головного, а через 8! хвостового, а через N полезный поднимаемый груз. Все веса берутся в килограммах, а длины и площади в метрах я квадратных метрах, если не делается соответствующих оговорок. Подъем, "полезного груза в системе Копэ совершается исключительно .¡а счет трення, которое возникает под влиянием движущихся грузов между канатом и поверхностью огибаемого им ведущего шкива.

Вот эта, зависимость подъема груза от коэффициента трения между канатом и поверхностью'ведущаго шкива и является основной причиной некоторой неуверенности в надежной работоспособности всего устройства. -

Отсюда и возникает первая задача теоретического характера, сводящаяся к должному обоснованию этой надежности подъема, путем выявления прнродк: коэффициента трения и его числовой величины.

Точное решение поставленной задачи представляет громадный интерес, с теоретической точки зрения, но еще большое значение решение этой задачи представлено для практики рудничного дела. Однако не следует закрывать глаз на, то, что выполнение этой задачи до чрезвычайности 1 трудно, а потому приходится ограничиваться приближенным решением. Эту цель и преследует настоящая статья. х

Прежде всего заметим, что при работе подъема по систиме Копэ приходится поднимать только полезный груз К, ибо вес каната и м^твого груза у

поднимающейся клети взаимно уравновешиваются такими весами у клети опускающейся. Таким образом, полагается 8«=$,.

Если обозначить через" Й радиус ведущего шкива, то момент сопротивления при подъеме буде! оставаться все время постоянными. ■

, , . Д^КЕ kg.ini, ^ ' . .

Д действительности, величина этого, момента в течение всего Подъема будет постоянно меняться и если можно говорить о постоянстве момента сопротивления, то только в т^х пределах, 1согда установливается постоянная скорость перемещения, ТщС-казиваемая максимальная c&opbcxj>, при которой момент сопротивления'Максимальной величины, а'этот момент и дед-жен привлекать йаше вникание, так как при помощи ,его ведется рассчет мощности машины. Пусть у нас имеется неподвижный" шкив (чер. 2), к которому в точке А пра&реплея канат весом Sa. К этому канату прикреплена клеть, .вес которрй' е вагонетками будет La, а в вагонетках лежит полезный груз üíi >, - >■ j ■ /г.

^ При овиШгНио«"1 ¿условии. в точке А грузового каната возникает статическое напряжение, равномерно распределенное по поперечному сечению каната и равное сумие действующих весов Sa -f- La -j-. N.

Если привести рассматриваемую емстему в движение, заставляя вращаться шкив по направлению стрелки, то, полагая ускорение равным pmt/sec2. а ускорение от силы тяжести g = mt/.sce2, получим^ дополнительною нагрузку «аната - v,, '-1 >, --ai, -fi.. JH' 1 ' . ;

¡ ,, -м •-'-'Т < .g"'"'!;"- w л i , •

Но этим цело не кончается, тане как переход от ЬобтОЯщГя п^йоя к движению сопровождается возникновением сопротивления подъему,' которое1 растет с ростом скорости и охватывает потери на трение направляющих клети" Ь ПрЬ-водники, сопротивление от жестокости каната и т. д. ";

-,, Суммарная величина этих сопротивлений выражается различными авторам« -рййШГо. i ^

ЙрофессО|> фон 1"ауэр считает это сопротивление подъему постоянным

■¿^'.-.V* • - R = 0,04 (N-fLa + Sa) ' Профессор Ъщ^ШШт: — . ' ■ к'

• , R — 0,05 (К+ La-f За) Фон Рейхе допускает; что\

. ' R^0,04. (X + La + Sa)-f 0,06 fv2, где f площадь сечения'кд^.лшешравдении, перпендикулярном к направление движения, а Л—скорость клети (максимальная). , '

В последние годы перед: войной одновременно над выяснением величины R ¡занимались- Гавличек и Руте, * * По Гавличеку. ' ' -

R — 0,012- (S^La'-j-Sa)^-4fy 1,275, /

где f и у имеют те же значения, чю и. у Рейхе. По Рутеу - ■ " 5 5 ■ ' '

R== 0,015 N ^ 0,60f (w2--f у2),, если w < ,т R«0.01.5 íí J-l,20fiv.y, если ТУ^У.

Здесь тс—скорость йентйЭиденного/потока в подъемном стволе щахтц, а . у—скорость ходй клетей в' 'йебте их встречи. , ...

^ -fíe трудно видеть уже йз короткой справки, что конечные вывода б^дут рфзкитьея один от другого, в зависимости от того, на какой формуле"-^й Я остановиться* Однако характер общих выводов все же сохранит направление. - Чтобы- не- усложйить слишком внклаДок, останови мей на формуле, данной фон Гауэром., " .

Тогда напряжение нашего каната получит такой вид.

Й = N + Б а + Ь а + (Лт + Ьа'^ Б а) (О, I Р + 0,04) Здесь положено 10 вместо 9,81. , \ \

'Оставляя по-прежнему закрепление каната в точке А>(чер. 3), перемнем канат через направляющий шкяв и-йодвесим к свободному концу пустую клеть т. е. без полезного груза N. Тогда нагрузка каната'в-дочке В будет.

Если Заставить вращаться шкив в напривленйи стрелки, то оп^ь появятся дополнительные сойротиндевия, но так как клеть теперь оцу скаред,. то эти дополнительные сопротивления будут тормозить движение,, как бы уменьшать ; вес снускйющейся 'клети. > ^

В таком случае напряжение каката'в точке В будет. - " .

, 1 ■ • Б, ==в Ъ + Ь Ъ — (8 Ъ -{- ЬЬ). (ОД р + 0,04)

В момент перехода от равнозамедленного движения к движению установившемуся с достоянною скоростью наступает неблагоприятный момент для движения опускающейся клети.

Чтобы сохранилось натяжение опускающегося конца каната, необходимо, чтобы или .„:,... - -

• V, ' З^ф^Ъ^ саЪ-ЬЬ!)) (0,1р4-0,04)

Оттуда; р == 9,6 (точнее 9,78).

Эта величина, ^ и представляет критическое успорение для системы Копэ. V , Совместим теперь оба шкива, отбросим закрепление в точке. А и подвесим снизу клети уравновешивающий хвостовой канат С. Тогда и полу^ится нростейшая схема под'ема Копэ. Уоль закрепленная .канат в; точке , Добудет в этом случае играть тренде, ^и^рб^м^лнвива

жод влиянием нагрузки на.оба. кон1^, щнй,та.. ■ Можно положить, «йо. ■ ' . ,

; ,,-;/ 8 = 8,+Р '

С другой стороны, еще Эйлер показал, что. - , т

' •■■ ^ 8 = 8, е г Где Г — коэффициент тренинг, в — длина дуги, охватываемой канатом по шкиву, а г — радиус шкива,. Если отнести дугу обхвата к радиусу г=1, то получится. ,

'; ' : _ : ; ; ; 8 = 8,61а ' • ' Тогда для величины Р подучим такое выражение. ;

й ^ ' - • (е,в-1) • ь

Если положить Г =0,28' то получим такие числовые величины для е я . - а = 0,4 тс — 0,6 тс — 0,8 тс — тс — 1,2 тс — 1,4 тс ■— 1,6 тс — 1,8 тс — 2 тс

' с{а = 3,42 — 3,69 — 2,02 — 2,41 — 2,87 — 3,43 — 4,09 — 4,87 Не будем входить в тонкости рассматриваемого вопроса и учитывать жо-иравку Рэнкина в натяжении набегающего конца каната (натяжение несколько «больше, чем получается по формуле Эллера, вследствие действия центробежной силы), оставим в стороне и поправку французского инженера Кретца на скольжение каната по шкиву. До известной степени эти поправки укладыва-ются в предположение 0,5. Тогда для величины Р при а —тс, подучим лнлражение. \ . . , . ч . ' 4 ;

' - . Р = 1,566 Б, . , ,

' ; ТаКйт обравом^ полагая Ь& ==Ьь и 8 а=Э ь, подучим . .

. Р = 8 — Э, = N -(- (ОД р 0,04) (Ы —{— 2 Б а 2 Ь а)

Отсща будем .иметь

■ Р =

10

■0,04

Чтобы блище нодойти к системе Копэ, обратимся к черт. I. . В этой схеме мы видим Два дополнительных направляющихся шкива В и В^ массы которых будут получать ускорение от маната и сопротивление движению которых; тоже должно быть преодолено канатом. Эти дополнительные члены вырвут в свою очеред изменение в напряжении канатов, которое можно учесть по уже знакомому нам методу. , -

Предположим, что приведенный к середине каната вес каждого шкива

будет Q. Тогда сила для ускорения каждого шкива будет , а сопротив-

ление движению =0,04(3.

Прибавим действие этих дополнительных агентов к найденным намж напряжениям концев каната:

Тогда для поднимающегося конца каната будем иметь .

8 == N4-Ьа + (К + Ьа + ва ф 0) (0,1 р +0,04)

Для опускающегося^ конца каната. ' ,

. ' Б 8а — (8а | Т.а • - 0) (0,1 р -0,04)

Соответствующая величина ускорения р получит такое выражение.

- Г Р — N ■ . ' р —10-------0,04

[X2 8а-г 2 Ьа-:-2 О

Эта формула является простейшей для подсчета ускорения для всякого подъема. В ней неизвестной является величина <3 приведенного веса шкива.

Чтобы выявить эту неизвестность, можно остановиться на средних зна-. чения приведенных весов, наблюдающихся в осуществленных установках. Следующая таблица и дает интересующие нас числа приведенных весов.

/ ДдалёТр, канатного. дива аМац. V'" 11 : ' гчТ-Г' ■^- ••-С V 1 / . , Г • ... . ■ г.й1 ..... . ¿V Ч - Q ДЛЯ обода.

•Р - V - <• я «;й. '> « • . Литого железа.

3500 шш 1150 кйг 1100 к|г >

4000 >. 1550 > 1400 » -

4500 » 2050 •».-■■ I 1850 »

* 5000 > 2450 » / 2250 »

- 5500 » 2750 . 2500 » Г

6000 . > • , 3050 2750 » 1

Обращаясь к последнему выраженикг Для р, не трудно усмотреть, что ве-личима р, характеризующая подъемную способность шкива Копэ, бедбт тем больше, чем больше разница Р — К, а так как Р = ва + Ьа, то значит, чем больше вес каната и мертвого груза по сравнению с полезным грузом N. Зачтем величина р будет больше, чем меньше приведенный вес 0. 1

Первый вывод на практике находит подтверждение в том, что систему Копэ предпочитают ставит при глубоких шахтах. ,

Второй вывод прямо указывает на то, что выгоднее брать шкивы из ла?ого железа, а не чугунные, хотя разница в этих весах и не такая: значительная. •■. . . * ■ • •

- Явно из. формулы для р ничего больше извлечь нельзя, но обходным» путями можно добиться получения и других интересных ответов.

л

" Ы ■' • I i

На практике предпочитают работать со щкивами-бОлыного диаметра, ибо тут замечается увеличение работоспособности шкива. Между чем, величина диаметра'шкива не фигурирует в формулах для определения ускорения.

Инженер М. Кауфхольд в Эссене ставит этот вопрос- в такой неприемлй- . мой форме для теории, что обойти молчанием его вывод ^нельзя.

Вот, что он пишет по этому - случаю: Hier steht -und Praxis in

einem gt4vis$en 'Widerspruch, denn letztere behauptet ' au^j&Wd Wahrnehmungen. dass das nicht Fall sei, viehiiehr mit Yergrösserung, d«r¡Sc]№Íbe auch eine Steigerung der Leistung'verbunden sei....» и т. д. :

, Чтобы оправдать теорию он прибегает к такому доводу: углубйбдая между отдельными проволоками" каната хотя и заполняются смазкой, но все. жена рабочей CTopoSè каната можно ответить- почти что каждую проволоку расположенную наклонно к горизонту от свивки в пряди. Эти отдельное наклон* лые проволоки, соприкасаясь с «ягдрй футеровкой ййщва (обычно деревянной или кожанной), оставляют под'влиянием сильной нащшш на канат угдуб- ; ления в "футеровке. И .в конце концов получается нечто вроде зубчатого зацепления. Чем меньше кривизна обода шкива, тем больше будет находиться в сцеплении пар таких мелких зубьев:-Чт00ы сделать эти зубья и впадины на ободе более глубокими, располагают, отдельные трости или планки футеровке' подокнами,поперек к канату, а не/вдоль.

Все это совершенно верно. Но никакого противоречия теории с практикой тут lie, наблюдается* ,

Начнем с того, что существует хорошо обоснованное соотношение ,между диаметром отдельных проволок и диаметром шкива,- Так для канатов., дз железной проволоки, у которой kz •= 6 — г? kg /min2, Д =={100P где 'X—диаметр нгкива в min, а о—диаметр»

минимальным и оно обусловлено tfpo&wiofty из-

гибу в возможно модщ^ц^реч^ ^■■ч

Для стальных др&вада ^О'СОйтшщеншберется,еще больше' Д = (1200 — т— 1400) а. специальной стали Д = (1400-т- 1600)- -

Чем глубже шахта, тем толще берется канат и тем больше проволока бу-Зает подвергаться' перегйбу, на что тратится работа. На эту работу будет затрачиваться часть, нагрузки, а следовательно, сила трения между шкивом -и ' канатом, равная коэффициенту трения на нагрузку, будет меньше. Вот и все . Относительно коэффициента трения надобно» сказать еще следующее,' -- В новых установках оно принимается равным 0.15 — 0 2(5, но .часто^ его берут •0.3—0,4. - . ,£" - уу

Лучше держаться предела ^<0,3. , ' ^

В этом отношении практика могла бы С усрехом г^ритти н%'помощь теории путем введения соответствующей поправки в выборе величины коэффициентов трения на основании разницы ускорений, получаемых по'формуле и наблюдаемых в действительности. , .' Путь к этому.согласному действию теории и п^здака,-мо^ет ¡быть такой. Пусть ,р—ускоренно,, подученное вычислением ^фермуде^.н р,—ус$от>6-н'иё, наблюдаемое ;в выполненнбй установке. Тегда отношение р1: р = дет коэффициентов поправки на работоспособность.прдъе^ника. , Инженер М4, Кауфхольд. дает* для. вдчасления р, такое выражение»-;'.^

1.566 (S УХ)— N-'

0,04

it-fbvîmv -

3.566 <8 У £

Если-бы установив на ряде установок - ведй-Шну ть то,; получено 'было бг.т простое и верное средство для определения работоспособности шкива Коере в каждом отдельном случае. При-этом устранен >6Ш- бы произвол при-' выборе коэффициента-трения, а, значит, и Принимаемое ©^противление подъёму.

При., одной установке фигурировали?такие шсда ^^=4400,^— 2500, 8-=6200. и Ь = 7000. Опытом установлено было, что р1 2,04, а вычисление по формуле дало р = 2,28. Таким образом, т) — 2,04:2,28 ==0.875. Вычисления можно облегчить следующим споеобом. Если ¡л = 0,3 и § = 9,81 со 10 т!г, то можно положить

'Тогда получим

¡¿а , ¡ла

е — 1 ==х и е 4-1 =»2

р ==9,81

д.)

Построим -диаграмму зависимости (фиг. 5) между Ъ — 1 и у, откладывая

по -оси'значение и., а по оси ординат е . Тогда можно обойтись б'за йыЧ1г€лейиЯ} беря' этой диаграммы значения

*>•?{••, ч ь ~~ ! ', ' г - '

• ., :.' [МС .

! - ( '1-е —1 и 2= е 4-1.

Пр'имер. Пусть 8 = 6200,Ь = 7200X — 4000 и^ = 2500.

Если взять ¡а 22, то по диаграмме этому значению ^ соответствует . , • ' '. -,-.■ ., ■■ е Следовательно, х = 1 ич2г==В, а р —1.37 т1т.

' чБольшой Интерес я. зтаченНФПредек^^Й? подсчет дополнительных напряжений, которым, подвергается' канат~ от действия мРаовеняых сил. Подсчет показывает, что эти напряжения зайимкют таксе, ;'вай£ивё'место, что их по всей справедливости нужно назвать не дополнительными, а главными напряжениями. ■

В основу такого подсчета кладутся, такие гипотезы: ••

1. Пропорциональность удлинения' маната величине действующей силы т. е. законе Гука. , ^ : ' !

2. Превращение* всей кинетической эпергаи в момент наибольшей деформации в потенциальную энергию растяжения.

З^Волноваядеория и др. I'

Необоснованность приложения к изучению деформации каната первой гиподезыг •^тщ'йЫщ^А тем, что закон, Гука 'приложим к телам, в которых возникают малые, деформации, а в канате эти деформации отнюдь не. малые..

Неприложимость второй гипотезы к изучению разбираемого явления можно мотивировать тем, что яри внезапных силах или остановке каната в нем появляются упругие N волны,1 энергия которых и потенциальная и кинетйче-ЬкШ.ш ' " \ 1 ' 1 \

-Вот почему н напряжения, вычисляемые по-этой теории, получаются болыпймй, чем по волновой' теории. Исключение представляют лишь, те участки, где проявляется. интерференция волн. Тогда волновая теория дает напряжения избыточные.

Если положить в основу волновой 'теории закон Гука, то,,.как показал профессор Динник, можно решить задачу о .вычислении напряжения каната очень проста; „ ■ ' . . :

Применим эте^. метод к рассчету дополнительных напряжений в канате ■ при посадке клети на;ку.тки. |>удем рассматривать х^ротовый уравновешивающий канат. ^ Л . ■ [ 4 .' » -V .-Дели шахта .значичэдьной; гдУбйны, то моадю сменю положить, что работа .д^дрмщии исключительно ео^редрточивается.наяашм»..\ ;г .

Пусть,верхняя • кдетл, «ел^. на яулаки со Скоростью Т.. Тогда верхний -конод, оетаиавди дадтся. вместе с влетвю^ нижний конец-продолжает

двигаться ¿то® же окрростью, какою обладаетцвся подвижная^сиотема,до но»

садки клети на кулаки. • Б результате в канате возникают, начиная сверху, растягивающие напряжения, распространяющиеся-вдоль каната со скоростью звука. ; '.■'■'•''■',"»■ ■ ч

Доказывается это следующим образам. , -

Положим, что на конец §дуока А Г)1 действует сжимающая сила Р (чер. 6). Это действие силы передается по длине бруска от слоя к слою, и, по существу говоря, является не чем иным, как движением. А если это так, то тут на лицо условие для приложения законов Динамир:,: Проще всего тут можно приложить закон количества движения, который формулируется тай: количество движения равняется импульсу силы

МУ=РД

Если* скорость передачи сжатия обозначить через к, то по истечении времени t сжатие передается на участок k t = А В. С этого момента чаеть бруска А В С 1>, сжатая до предела силой Р, будет двигаться, ка|, неизменяемое тело, все точки которого обладают одной скоростью V, определить которую не -представляет никакого труда. В самом деле, в течение безконечно малаго промежутка времени dt сжатие передается от'плоскости ВС к плоско-сто ЕТ! Называя длину В Е через d s, получим . '' ~

'.■■ ' , " . dl ... ...... , ■

В левей части закона количества движения осталась неопределенной только масса М. Найдем ее. 1 - : ,

Если обозначить поперечное сечение бруска через <*>> то объем АВС В будет • __ . . ✓ .. - >-v ;

ш.k.t. ' „

Называя плотноссь тела бруейа- чер^з' С получим ей" Bé'ç

: , ' ^ '«» rï »V '.'Д ' -

а деля этот-вес4 яа ускорение ейлы тяжести g, узнаем и массу

g • .

Для безконечно малой массы, заключающейся в объеме BÇEF, можно "написать , . ,■'

, '«kdt.8 " ■■ '

По известной формуле" сопротивления материалов для безконечно малого сжатия ds можно написать такое выражение ; . ■

Р . k dt ,

ds^Vdt:

Еш

Откуда V =

Имея теперь все данные, напишем закон количества движения

g' . Е<о . г 8 --

Таким образом в свое время получено было выражение для скорости распространения упругих деформаций в твердых телах знаменитым Ньютоном, неувядаемой славе которого поется теперь отходная физиками.

В акустике дается совершенно такое же выражение ра определения скорости распространения звука в стержнях или проволоках. •

л

Если положить, что за время t упругая деформация распространится на участок А В = kt, а часть бруска за сечением ВС вправо еще не деформируется, продолжая двигаться со скоростью У, то относительное удлинение на участке А В будет 4

Vt:kt=V:k -

Чтобы получить напряжение бруска в части АВ, нужно умножить относительное удлинение на модуль Юнга. ,

Итак, будем иметь _

. , . р = Е V :k = V }/------ ■

Сила F, растягивающая гранат или вообще деформируемое тело, будет

F =s р со = У о ' j/———

Формула для напряжений дает основание к выводу, что данамическоб напряжедпе не зависит от длины деформируемого тела. Оно прямо пропори цнонально скорости и корню квадратнрму из величины модуля Юнга и плот-? ности тела.

Применим эти выводы к нашему подъемному устройству по системе Еоере.

Пример: Глубина шахты Н =-800 mm, поднимаемый груз Q = 1200 kgv. Еанат стальной равного сечения (k z <=15 kg/mm2). Число проволок в канате п = 36. Диаметр проволоки 8 =2,5 mm. Диаметр каната d=24mm. Вес одного погонного метра каната = 1,76 kg. Вес каната длиною 400-}-25 метров, будет 750 kgv. Сечение а> = оо 15 кв. сент. •

Модуль Юнга для стали Е-= 2.000.000 kg./cm2.

Скорость посадки клети на кулаки по данным профессора М. М. Федорова У = 0,20 — 0,30 метра в секунду.

В таких условиях скорость продольной волны будет

1/Ю00 . 9,81 . 20000 +

k - V -—-- = о048 mtr.

1 - ' " 7 • 7

Напряжение , .

'" '.' >=Е У : к = 2000.000 X 0,25 •: 5048 ~ со 60 kg/cm2.

■Сила ■

Ff=p . w — 60 X 15«=f900 kgg.

Если прибавить к динамическому напряжению каната еще статическую нагрузку = (1200 -f- 750): 15 = 130, то получим полное напряжение на кв. сент.

р 60 -f 1 ВО —190 kgg.

Из этого подсчета видно, какую большую роль играет в напряженки каната скорость посадки крети на кулаки. Вот почему машинист при подъемной- машине шахты должен обладать большой опытностью в управлении движением, чтобы не вызвать, даже помимо своей воли, катастрофы, а в лучшем случае порчи подхватов клети. '

г