Шаг за шагом к успеху - или как научить решать нестандартные задачи младших школьников Текст научной статьи по специальности «Математика»

rough invasion into the intimate world of the growing-up person. Roughness in relation to a child is inadmissible and disgusting. "It kills love sprouts, cultivates biliousness, envy, flattery, falsity, depression - the word, psychology of the slave or footman, sadist or callous person, indifferent both to a grief, and to pleasure - notes the psychologist A.G. Kovalyov" [5, pp. 31].

The process of socialization of a personality is promoted by intensive sociability, communicative skills of younger generation in the conditions of a family. The psychological relations in a family are to a certain extent caused by national features of parents. The nation psychology, national character an intrinsic expression of which is a temperament, emotionality of reactions, behaviour, a way of life of people of this nation, customs and traditions, specific culture, national prejudices. All this influences way of family life and family upbringing. Different confirmations of the facts above, it is possible to find in pedagogical views of Abkhazians.

References

1. Azarov Yu.P. Family pedagogy. Pedagogy of love and freedom. M.: Arguments and facts, 1993. 608 pp.

2. Dmitruk Yu.Yu. To a question of cultural and historical conditionality of types of identification processes in a married couple in modern Russian society//the KRAUNTs Bulletin. Humanities. 2004. No. 2. Pp. 116-125.

3. Harrasova R.Kh. Revival of ideas of national upbringing in a family//the Bulletin of University of the Russian Academy of Education. 2008. No. 5.

4. Ilyin I.A. About a family. Complete works. V.1. - M.: Russian book, 1993.

5. KovalyovA.G. Psychology of family upbringing. - Minsk, 1980. - 256 pp.

6. Pavlov B.S., Bessonova T.P. Family economy and a maternity capital as factors of reproductive behaviour of the population in the Urals // Region Economy. 2009. No. 2. Pp. 33-44.

7. Ushinsky K.D. Work in its mental and upbringing value / Complete works. - M.-L., prod. NPA of RSFSR, 1948, v.2.

8. Zavyalova S. V. Woman, religion, society in works of the Russian philosophers in the end of the XIX-XX centuries // State, religion, church in Russia and abroad. 2011. No. 3-4. Pp. 203-205.

Step by step to success - or how to teach juniors to solve a non-standard math problems Bezukladnikova N. , Sheremet G. (Russian Federation)

Шаг за шагом к успеху - или как научить решать нестандартные задачи младших школьников Безукладникова Н. И.1, Шеремет Г. Г.2 (Российская Федерация)

1 Безукладникова Нина Ивановна / Bezukladnikova Nina - заместитель директора, Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Гимназия № 17;

2Шеремет Галина Геннадьевна /Sheremet Galina - кандидат педагогических наук, доцент, кафедра фундаментальной математики,

Пермский государственный научно-исследовательский университет, г. Пермь

Аннотация: в статье рассматривается вопрос обеспечения каждого ученика развивающей интеллектуальной деятельностью на доступном уровне. Предлагается систематизированный подход к решению нестандартных математических задач, основанный на концепции Д. Пойа. Предлагаемый подход рассматривается на примере решения математической задачи.

199

Abstract: the article takes a view on the problem of providing developing intellectual activities to every pupil, on their available level. Systematic approach to such problem solution, based on the well-known concept by D. Poya, is proposed. Proposed approach is explained within the process of solution of a particular math task.

Ключевые слова: математические задачи, системный подход, нестандартные задачи, развивающее обучение, школьное образование.

Keywords: mathematical tasks, systematic approach, non-standard problems, developing education, school education.

В последние несколько лет все чаще поднимается вопрос о роли математики в школьном образовании, а также об эффективности самого школьного образования. Основным документом, принятым по итогам многочисленных активных дискуссий и отражающим текущее состояние данного вопроса, является принятая в конце 2013 года концепция развития математического образования в Российской Федерации. Согласно этой концепции, математическое образование призвано «обеспечивать каждого обучающегося развивающей интеллектуальной деятельностью на доступном уровне, используя присущую математике красоту и увлекательность». Необходимо отметить, что привить ученику любовь к математике, раскрыть ее «красоту и увлекательность» можно только в том случае, когда на протяжении всего периода обучения ученик остается заинтересованным и вовлеченным в максимально широкий спектр математической активности. При этом одним из наиболее важных, критических периодов обучения, формирующих такую вовлеченность, является начальная школа.

Согласно такому подходу, в начальной школе обучающемуся предлагается широкий спектр математической активности как во время уроков, так и в период внеурочной деятельности. Примерами такой активности, в первую очередь, могут служить: решение логических и арифметических задач, построение алгоритмов в визуальной и игровой среде [3] и т. д.

При этом если в ходе обучения учитель будет дополнительно пробуждать любознательность учащихся, предлагая им задачи, соразмерные с их возрастными способностями и знаниями, своими наводящими вопросами будет помогать им решать эти задачи, то он сможет привить им вкус к самостоятельному мышлению и развить необходимые для этого способности.

Отметим, что максимальных результатов в этом процессе можно достичь лишь с использованием продуманного, системного подхода. Одним из вариантов такого подхода, рассматриваемым в настоящей статье, является использование концепции, предлагаемой Д. Пойа [2], и основанной на тщательно разработанной системе вопросов, позволяющей разбить решение задачи на отдельные, явные и интуитивно понятные обучающемуся этапы. Общая методология предлагаемого подхода состоит из разбития процесса решения задачи на 4 основных шага и приведена на схематическом рисунке (рис. 1). Проиллюстрируем основные ее шаги на примере обсуждения одной из возможных задач [1, с. 13]:

200

Условие задачи: Расставьте в кружочки числа от 1 до 6 так, чтобы сумма чисел вдоль каждой стороны треугольника равнялась 12 (рис. 2).

1 шаг. Понимание постановки задачи

Основной целью первого шага является обеспечение понимания общей постановки задачи. В таблице 1 приведен перечень вопросов по Д. Пойа, ответ на которые приводит к достижению поставленной цели (пониманию условий задачи). Каждый ученик должен уметь четко ответить на них, так как эти вопросы относятся к главным элементам задачи - неизвестному, данным, условию.

201

Таблица 1. Вопросы для этапа понимания постановки задачи

Что дано? • Шесть чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 и шесть позиций (кружочков), куда их надо расставить. • Кружочки расположены по сторонам треугольника. • На каждой стороне треугольника расположены три кружочка. • Любые две стороны имеют общий кружок. • Три кружка лежат в вершинах и принадлежат двум сторонам, а другие три - только одной стороне.

Что неизвестно? • Расположение данных чисел в кружочках.

В чем состоит условие задачи? • Числа должны располагаться в кружочках так, чтобы их сумма вдоль каждой стороны треугольника равнялась 12.

Возможно ли удовлетворить условию? Достаточно ли условие для определения неизвестного? Или недостаточно? Или чрезмерно? Или противоречиво? • Что будет, если условие задачи изменить на следующее: Расставьте в кружочки числа от 1 до 6 так, чтобы сумма чисел вдоль каждой стороны треугольника была одна и та же. • В этом случае мы получили более сложную исследовательскую задачу, ответ на которую следующий: если сумма чисел вдоль каждой стороны треугольника одна и та же, то она может принимать любое значение от 9 до 12. Но это совсем другая история...

2 шаг. Составление плана решения

В ходе этого шага от ученика требуется найти связь между данными и неизвестным. Если это сразу не получается, возможно рассмотреть серию вопросов, предварительно сформулированных для аналогичной задачи. В таблице 2 представлены возможные типовые вопросы и их обсуждение.

Таблица 2. Вопросы для этапа составления плана решения

Известна ли вам какая-нибудь похожая задача? Нельзя ли воспользоваться ее результатом или методом решения? • Постарайтесь вспомнить, не встречалась ли вам о эта задача, возможно, в несколько в иной форме; о задача с таким же или похожим неизвестным

Нельзя ли иначе сформулировать задачу? Еще иначе? • Представить число 12 в виде суммы трех различных слагаемых (натуральных чисел), каждое из которых не больше 6

Нельзя ли придумать более доступную сходную задачу? Или более общую? Или более частную? • Представить число 12 в виде суммы двух слагаемых, одно из которых не больше 6?

Таким образом, на основании анализа полученных ответов можно выделить основную идею будущего решения: «Для получения ответа - решаем последнюю из сформулированных задач, затем переходим к решению предыдущей задачи и пытаемся применить полученное решение к решению исходной задачи»

3 шаг. Осуществление плана

Третий шаг посвящен непосредственному решению задачи. Описывая его в своей работе, Д. Пойа акцентирует свое внимание на следующем: «Осуществляя план решения, контролируйте каждый свой шаг. Ясно ли вам, что предпринятый шаг правилен? Сумеете ли доказать, что он правилен?» [2, с. 203].

Проиллюстрируем данный шаг, продолжая рассмотрение нашего примера:

202

Так, решить последнюю из перечисленных в ходе анализа, выполненного на предыдущем этапе, задач достаточно легко. Представим число 12 в виде суммы двух слагаемых, одно из которых не больше 6:

12 = 1 + 11; 12 = 2 + 10; 12 = 3 + 9; 12 = 4 + 8; 12 = 5 + 7; 12 = 6 + 6.

Поможет ли решение этой задачи справиться с предыдущей? Да, действительно, для ее решения остается второе слагаемое представить в виде суммы двух различных слагаемых, не превосходящих 6.

12 = 1 + 5 + 6;

12 = 2 + 4 + 6;

12 = 3 + 4 + 5;

12 = 4 + 2 + 6 (повторяет второе разложение);

12 = 4 + 3 + 5 (повторяет третье разложение);

12 = 5 + 1 + 6 (повторяет первое разложение);

12 = 5 + 2 + 5 (есть одинаковые слагаемые);

12 = 5 + 3 + 4 (повторяет третье разложение);

12 = 6 + 1 + 5 (повторяет первое разложение);

12 = 6 + 2 + 4 (повторяет второе разложение).

А теперь ответим на самый главный вопрос: как полученные представления числа 12 в виде суммы трех различных слагаемых, не превосходящих 6, помогут справиться с исходной задачей? Вновь вернемся к исходным данным задачи. Три кружка (см. рис. 2) лежат в вершинах и принадлежат двум сторонам, а другие три - только одной стороне. Обратим внимание на полученные разложения: три числа (4, 5, 6) встречаются в двух суммах, а другие три числа (1, 2, 3) только в одной. Соответственно в искомых вершинах треугольника будут стоять числа 4, 5, 6. Все, решение найдено! (рис. 3)

Рис. 3. Решение поставленной задачи

4 шаг. Взгляд назад

Четвертый шаг посвящен ретроспективному взгляду на полученное решение, а также на все предыдущие шаги, приведшие к нему. Использование такого ретроспективного взгляда позволяет учащемуся осуществить закрепление полученного материала, а также развить критическое мышление и, возможно, найти альтернативные, более красивые решения поставленной задачи. Необходимо заметить, что данный шаг очень часто опускается при решении учителем задач совместно с учениками, что приводит к значительному снижению дидактического эффекта. В таблице 3 приведены типовые вопросы, которые помогают в процессе обсуждения результатов полученного решения на данном шаге.

203

Таблица 3. Типовые вопросы для этапа обсуждения результатов

Нельзя ли проверить результат?

Проверим, все ли условия выполнены. В кружочках на сторонах треугольника расставлены все числа от 1 до 6 и сумма чисел на каждой стороне равна 12

Найдем сумму всех чисел от 1 до 6. Как лучше всего ее вычислить?

1 вариант: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) + (2 + 5) + + (3 + 4) = 7 + 7 + 7 = 3 ■ 7 = 21. 2 вариант: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (4 + 6) + (2 + 3 + 5) + 1 = 10 + 10 + 1 = 21. Сумма чисел, стоящих на одной стороне треугольника, равна 12.

12 ■ 3 = 36.

Нельзя ли получить тот же результат иначе?

Но 36 превосходит сумму чисел от 1 до 6 на сумму чисел, стоящих в вершинах

треугольника.

36 - 21 = 15.

Значит, сумма чисел, стоящих в вершинах треугольника, равна 15, и это различные числа, не превосходящие 6.

Единственное представление числа 15 в виде такой суммы 15 = 4 + 5 + 6 (Обоснуйте, почему).

_________________И мы опять приходим к найденному решению___________________

Полученный результат можно использовать при решении, например, следующей

задачи:

Коля, Толя, Ваня, Аня, Света и Даша собирали грибы. Известно, что все собрали различное количество грибов. При этом никто не собрал больше 6 грибов. Общее число грибов, собранных вместе Колей, Толей и Аней такое же, как и у Коли, Светы и Вани, и такое же, как у Толи, Вани и Даши. И это число равно 12. Сколько грибов

_______собрали девочки вместе? А сколько грибов собрали вместе мальчики?____

Аналогичный метод можно применить при решении следующих задач:

- Расставьте в кружочки числа от 1 до 9 так, чтобы сумма чисел вдоль

каждой стороны треугольника равнялась 23 (рис. 3).

Нельзя ли в какой-нибудь другой задаче использовать полученный результат или метод решения?

- Расставьте числа от 1 до 8 в вершинах куба так, чтобы сумма чисел на каждой грани куба была одинаковой (или менее сложный вариант - была равна

18).

- Расставьте числа от 1 до 11 так, чтобы сумма трех чисел на каждом из

десяти отрезков была одна и та же (рис. 4).

Рис. 5.

204

Сколько различных решений имеет эта задача? Что в них общего и чем они отличаются?

Рис. 10.

Рис. 11.

Задача имеет шесть различных решений (рис. 5-10). Эти решения получаются один из другого с помощью движений, переводящих правильный треугольник сам в себя. Но это также совсем другая история ...

В заключение статьи можно отметить, что приведенный метод решения задач, несмотря на свою эффективность, в принципе является достаточно простым универсальным и может быть легко адаптирован для применения как в рамках других учебных предметов, так и для решения произвольных задач в целом. Кроме того, использование такого подхода позволяет развить критическое восприятие, а также навыки логического мышления, которые являются крайне востребованными в процессе школьного обучения, а также остаются таковыми и в течение всей жизни.

Литература

1. Керова Г. В. Нестандартные задачи по математике. 1-4 классы. - М.: ВАКО, 2015. - 240 с. - (Мастерская учителя).

2. Пойа Д. Как решать задачу / Д. Пойа. - М.: гос. уч.-пед. изд-во министерства просвещения РСФСР, 1959. - 207 с.

3. Распоряжение Правительства РФ № 2506-р от 24 декабря 2013 г. «Концепция развития математического образования в Российской Федерации».

205