Сглаживание и экстраполяция угловых координат при отсутствии измерений дальности Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 623.465

Кукин Николай Сергеевич

Межрегиональное общественное учреждение «Институт инженерной физики»

Россия, Серпухов1

Старший научный сотрудник, кандидат технических наук

E-Mail: n.s.kukin@mail.ru

Сглаживание и экстраполяция угловых координат при отсутствии измерений дальности

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 13-01-00978

Аннотация. Известные современные работы отечественных и зарубежных авторов предполагают применение различных нелинейных алгоритмов, а также численных методов, для решения задач сглаживания и экстраполяции угловых координат при отсутствии измерений дальности. В этом случае оценка точности сглаживания и экстраполяции определяется по результатам численного моделирования. Аналитически может быть получена лишь грубая оценка точности сглаживания и экстраполяции. Наличие лишь грубой аналитической оценки точности не позволяет синтезировать оптимальные системы наведения и сопровождения при наличии только угловых координат.

В данной работе рассматривается решение задач сглаживания и экстраполяции угловых координат с применением линейных подходов. Приведены недостатки известных линейных алгоритмов сглаживания и экстраполяции. Обоснована возможность применения линейных методов фильтрации угловых координат для определения с помощью квазиоптимального алгоритма параметров нелинейной функции изменения во времени углов визирования цели. С помощью квазиоптимального алгоритма фильтрации и экстраполяции угловых координат можно получать аналитические оценки точности и синтезировать квазиоптимальные алгоритмы управления систем наведения и сопровождения при наличии только угловых координат. Такие алгоритмы могут применяться для повышения эффективности существующих и перспективных пассивных локационных систем.

Ключевые слова: линейные алгоритмы фильтрации; экстраполяция координат; угловое сопровождение; оценка параметров траектории.

Идентификационный номер статьи в журнале 77ТУЫ414

1 142210, Московская обл., г. Серпухов, Большой Ударный пер., д. 1а

Введение

Применение пассивных методов локации в системах обнаружения, сопровождения или наведения обычно предполагает отсутствие измерений дальности до цели, что приводит к необходимости решения задачи фильтрации и экстраполяции угловых координат в условиях наличия неполной информации [1]. Известные линейные алгоритмы фильтрации и экстраполяции в этом случае могут быть использованы только при низких требованиях к точности определения сглаженных и упрежденных значений углов и угловых скоростей линии визирования. Другие подходы к синтезу субоптимальных алгоритмов предполагают применение различных нелинейных алгоритмов, а также численных методов, в частности стратегии перебора состояний [2], а также применения циклической многошаговой процедуры регулирования [3]. В этом случае оценка точности экстраполяции определяется по результатам численного моделирования. Аналитически может быть получена лишь грубая оценка точности экстраполяции [4]. Наличие лишь грубой аналитической оценки точности не позволяет синтезировать оптимальные системы сопровождения цели [5].

В условиях необходимости обеспечения малых ошибок фильтрации и экстраполяции необходимо использовать другие подходы. Данная работа показывает возможность применения линейных методов для оценки параметров нелинейной функции изменения во времени угловых координат. Это позволяет существенно снизить динамические ошибки сглаживания экстраполяции углов и угловых скоростей линии визирования.

1. Постановка задачи

Рассматривается проекция траектории цели в горизонтальной плоскости. Движение цели прямолинейное и равномерное. В начале координат расположен локатор, который измеряет углы визирования цели в горизонтальной плоскости:

(Рп (г ) = агсХ%

\ Х Ц V ))

где: 2Ц() = У2 ■ г + 20 и ХЦ () = УХ ■ г + Х0 - координаты цели.

^ Ц (* )

Хц (г)

(1)

В дискретные моменты времени ^ = (, — 1)-Т локатор производит измерения:

у, =рп(г,НДу, (2)

где: Ау, - ошибка , -го измерения пеленга цели.

После получения п дискретных измерений {у, },=1.п в условиях отсутствия информации о дальности необходимо определить экстраполированные значения угла и угловой скорости линии визирования цели.

2. Линейные алгоритмы фильтрации

В основе применения линейных алгоритмов для решения задач фильтрации и экстраполяции координат лежит представление системы «цель-локатор» в виде линейной системы:

\х = Ф • X

г-1'

у = Н • х + Ду ,

/ = 1..«

(3)

где:

х =

А

Ф =

V1 У

(1 Т

V0 1У

Н = (1 0) - при выборе линейной системы 1 -го порядка,

х =

(Ао ^ А

У

Ф =

1 Т — 2

0 1 т 0 0 1

V У

Н = (1 0 0) - при выборе системы 2-го порядка.

Как показано в работе [4], при принятии допущений о равных, некоррелированных между собой и распределенных по нормальному закону ошибках единичных измерений пеленга цели (2), а также об отсутствии априорной информации о характере случайной эволюции и априорных ошибках оценки вектора параметров системы (3), линейные методы оценки обеспечивают следующие динамические ошибки определения сглаженных значений угла и угловой скорости пеленга при выборе линейной системы (3) первого:

Дф (п)=ф (*„ )-Фц («) =

(« - ^ « ТА • ((4 •п2 -1>(5 •п - 3)Т-I2 + 7 - 21п)

210

Дф1 (п)=ф1 (*„ )- фц (Гп )

(4)

2

т • А 210

((180 •

п4 - 36 • п3 + 21 • п2 + 9 • п - б)т2 •А2 + 21 • п -14 -147 • п2),

и второго порядка:

ДФ2 (п Ьф2 {К )-Фц {К ) =

= (п -^п-Я ((15 • п3 - 39 • п 2 +15 • п + б)(п - 2>т2 •А2 +14 - 7 • п),

420

Д ф2 (п) = ф2 )-фЦ (К ) =

(5)

т2 • А 210

• ((105 • п4 - 81 п3 + 96 • п2 + 9 • п - б)т2 а2 + 21 п -14 - 42 • п2)

где: ф и ф - оценки угла и угловой скорости пеленга, полученные с помощью известных линейных методов (наименьших квадратов [7], максимального правдоподобия [8], фильтра Калмана [9] и др.),

А - отношение скорости цели к минимальной дальности пролета.

Из показанных значений динамических ошибок (4) и (5) видно, что они быстро растут с увеличением числа полученных измерений п. Динамические ошибки экстраполяции углов визирования цели будут превышать приведенные ошибки, т.к. ошибки сглаживания углов и

угловых скоростей имеют один знак. Это говорит о нецелесообразности применения линейных алгоритмов при необходимости обеспечения высокой точности экстраполяции угловых координат.

3. Квазиоптимальный алгоритм экстраполяции

Отсутствие динамических ошибок сглаживания и экстраполяции угла и угловой скорости пеленга может обеспечить оптимальный алгоритм фильтрации, учитывающий изменение во времени пеленга цели в виде нелинейной функции (1) [6]. Из-за отсутствия измерений дальности тангенс пеленга цели с учетом прямолинейного равномерного движения цели определен с точностью до отношения координат, поэтому выражение (1) необходимо переписать в виде:

^Ц (Х

(Рц (Х ) = агсг%

V X ц (х)

г

= агсХ%

= агсХ^

X 0 + Ух ■Х J

щ + щ • Х

Л

V 1 + що

Х

= aгcХg

р1(Щ, щ1,Х) V р2(йо,х) ,

(6)

= aгcХg (р (х, Х))

где:

У2 2о

щ2 = — , щ = —, и0 = — - параметры функции изменения угла,

X

х о хо

х = (щ, щ, щ ) - вектор параметров.

В этом случае задача сводится к нахождению оптимальной оценки вектора параметров х = (щ,щ,щУ функции (6) по результатам ¡=1..п измерений (2).

Если ввести в рассмотрение псевдоизмерение:

уп = tg[(pп (х, )], (7)

тогда оптимальная оценка вектора параметров функции (6) должна удовлетворять условию максимума функции правдоподобия (условной вероятности ошибок псевдоизмерений):

где:

Ап =[(уП - Р (х, Х1))

х = аг§шах Ьп (ая| х),

(уП - р (х, Х

(8)

вектор невязок.

Для существенного упрощения алгоритма и обеспечения возможности использования общих подходов нахождения линейных оценок целесообразно вместо оптимальной оценки (8) искать квазиоптимальную оценку, отличающуюся от оптимальной лишь тем, что невязки взвешиваются некоторой монотонно возрастающей функцией. Введение весов псевдоизмерений хотя и не позволит говорить об оптимальности оценки, но существенно расширит область возможного применения алгоритма фильтрации за счет обеспечения сходимости фильтра при некоторых отклонениях траектории реальной цели от прямолинейной. В этом случае возрастающий вес псевдоизмерений аналогичен ограничению минимального значения коэффициента усиления фильтра Калмана [9].

С учетом монотонно возрастающей функции Л * ) квазиоптимальная оценка:

тП

х = аг§ тах Ь

(уП - Р (х, ^ ))• 5 * &)

(уП -Р(х,/я)). 5*(К)

может быть также найдена из условия:

т

х = аг§ тах Ь

п

(УП • Р2 (и0 , Ч )- Р1 («2 , ии 11 ))• 5П1

(УП ■ ^2 («0, )-Р («2, «1, ))• ^ П »

х

(9)

(10)

пП ^ ггП

где: Л г < о ¿+1 для всех г.

Из сравнения (10) и (9) видно, что Л * (tj ) = ЛП ¿.Р2 (и0, ), т.е. последовательность {Sj }.=1.я должна расти быстрее, чем убывает последовательность {р (м0,)}.=1.я. Последняя убывает при движении цели в сторону измерителя.

Таким образом, оценка (10) является квазиоптимальной оценкой, полученной с учетом реальной нелинейной функции изменения пеленга (1), и отличается от оптимальной лишь ограничением числа учитываемых измерений в виде весовой функции, присваивающей каждой последующей невязке больший вес.

Учет нелинейной функции пеленга позволяет существенно снизить динамические ошибки определения вектора параметров функции (6), а, значит, и динамические ошибки определения на основе (6) значений сглаженных и экстраполированных значений пеленга.

4. Реализация квазиоптимального алгоритма экстраполяции

Для простоты рассмотрим случай поступления через равные интервалы времени п дискретных независимых угловых псевдоизмерений (7) с ошибками Лг~Ы(0,5), распределенными по нормальному закону. Тогда, в соответствии с [10], оценка максимального правдоподобия вектора параметров функции (6) соответствует оценке, полученной по методу наименьших квадратов:

х =

ш^тп ]Г [ уП - р(х ^ )]2 .

(11)

В соответствии с (8)-(11) можно получить квазиоптимальную оценку вектора параметров из условия:

х* = тШ ]Г ((уП • Р2 (и0 , ^ )- Р (и2 , «1, 1г )) • Л П г ^

(12)

г=1

Для нахождения оценки (12) можно воспользоваться общеизвестным методом наименьших квадратов [7].

Таким образом, квазиоптимальная оценка х* =( «,«,« ) т, полученная из условия (12),

является оценкой, минимизирующей соответствующие суммы квадратов отклонений, при получении которой используется только линейные методы (в данном случае метод наименьших квадратов).

х

х

х

г=1

После получения п измерений экстраполированные на время (хи+т - Хп) значения угла и угловой скорости пеленга цели, с учетом найденной по (12) оценке вектора параметров (щ", щ, щ)Т, в соответствии с (6) определяются по формулам:

( Щ "Г 4-п " Л

(Ц (Хт+т ) = а^ I "• Х"+т + щ1 , (13)

V Щ • "+т + 1 )

(ц{хт+п) = ---—. (14)

щ" • Х"+т + щ" ) 2+(щ" • Х"+т + 1) 2

Заключение

Реализация квазиоптимального алгоритма была получена с учетом целого ряда допущений, которые не позволяют говорить об оптимальности оценки вектора параметров функции изменения во времени угла визирования цели в горизонтальной плоскости.

Представленный квазиоптимальный алгоритм позволяет существенное по сравнению с известными линейными алгоритмами снизить динамические составляющие ошибок экстраполяции угловых координат. Это обеспечивается использованием при выводе алгоритма реальной нелинейной функции изменения угловых координат.

В зависимости от выбора возрастающей последовательности в (10) или (12) квазиоптимальная оценка может стать оптимальной, т.к. при s*(х,) = sп, • р2(щ0,х{) = 1 квазиоптимальные оценки (9) и (10) эквивалентны оптимальной оценке (8).

ЛИТЕРАТУРА

1. Кукин Н.С. Новый метод экстраполяции углов визирования цели при отсутствии информации о дальности // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2007. № 1. С. 28-31.

2. Кукин Н.С., Некрасов И.В. Применение стратегии перебора состояний при оптимизации релейного управления дискретной системой // Известия Института инженерной физики. 2011. Т. 2. № 20. С. 28-31.

3. Кукин Н.С., Некрасов И.В. Синтез алгоритма оптимального управления дискретной системой по квадратичному критерию максимальной точности // Известия Института инженерной физики. 2012. Т. 4. № 26. С. 13-18.

4. Кукин Н.С., Нижниковский А.В., Коваленко М.П., Потапов С.Е. Использование линейных алгоритмов для фильтрации и экстраполяции угловых координат // Известия Института инженерной физики. 2013. Т. 3. № 29. С. 21-26.

5. Кукин Н.С. Квазиоптимальный алгоритм экстраполяции угловых координат цели в горизонтальной плоскости // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2014. № 2. С. 01-03.

6. Кузьмин С.З. Основы проектирования систем цифровой обработки радиолокационной информации. - М.: Радио и связь, 1986. - 352 с.

7. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений. - М.: Физматгиз, 1963. - 336 с.

8. Теория вероятностей: Учеб. для вузов. 2-е изд. / А.В. Печенкин, О.И. Тескин, Г.М. Цветкова и др.; Под ред. В.С. Зарубина и А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - 456 с.

9. Балакришнан А.В. Теория фильтрации Калмана: Пер. с англ.. - М.: Мир, 1988. -168 с.

10. Bar-Shalom, X. Rong Li, Kirubarajan Estimation with Applications to Tracking and Navigation // A Wiley-Interscience Publication / John Wiley & Sons, Inc. 2001.

Рецензент: Коровин Олег Вениаминович, МОУ «Институт инженерной физики», Начальник отдела, кандидат технических наук.

Nikolay Kukin

Interregional Social Foundation «Institute of Engineering Physics»

Russia, Serpukhov E-Mail: n.s.kukin@mail.ru

Filtering and extrapolation of the angular coordinates

in bearings-only tracking

This work is supported by Russian Foundation for Basic Research grant 13-01-00978

Abstract. Known modern works of domestic and foreign authors have suggested the use of various non-linear algorithms, and numerical methods for solving the problems of smoothing and extrapolation of the angular coordinates in bearings-only tracking. In this case, the accuracy of the smoothing and extrapolation can be estimated by means of numerical simulations. Analytically can be obtained only a rough estimation of accuracy. Avaliability of only a rough analytical estimation does not allow to synthesize optimal guidance system in bearings-only tracking case.

In this paper we consider the problem of smoothing and extrapolation of the angular coordinates using a linear approach. The disadvantages of known linear smoothing algorithms and extrapolation methods are presented. Substantiated the possibility of the use of linear filtering methods for design of suboptimal algorithm which based on the nonlinear angular-time function. Using this algorithm of suboptimal filtering one can obtain analytical accuracy estimates and can design the suboptimal control algorithms for guidance systems in bearings-only tracking case. Such algorithms can be used to enhance the performance of existing and perspective passive radar systems.

Keywords: linear filters; coordinate extrapolation; bearings-only tracking; trajectory estimation.

Identification number of article 77TVN414

REFERENCES

1. Kukin N.S. Novyj metod jekstrapoljacii uglov vizirovanija celi pri otsutstvii informacii o dal'nosti // Pribory i sistemy. Upravlenie, kontrol', diagnostika. 2007. № 1. S. 28-31.

2. Kukin N.S., Nekrasov I.V. Primenenie strategii perebora sostojanij pri optimizacii relejnogo upravlenija diskretnoj sistemoj // Izvestija Instituta inzhenernoj fiziki. 2011. T. 2. № 20. S. 28-31.

3. Kukin N.S., Nekrasov I.V. Sintez algoritma optimal'nogo upravlenija diskretnoj sistemoj po kvadratichnomu kriteriju maksimal'noj tochnosti // Izvestija Instituta inzhenernoj fiziki. 2012. T. 4. № 26. S. 13-18.

4. Kukin N.S., Nizhnikovskij A.V., Kovalenko M.P., Potapov S.E. Ispol'zovanie linejnyh algoritmov dlja fil'tracii i jekstrapoljacii uglovyh koordinat // Izvestija Instituta inzhenernoj fiziki. 2013. T. 3. № 29. S. 21-26.

5. Kukin N.S. Kvazioptimal'nyj algoritm jekstrapoljacii uglovyh koordinat celi v gorizontal'noj ploskosti // Pribory i sistemy. Upravlenie, kontrol', diagnostika. 2014. № 2. S. 01-03.

6. Kuz'min S.Z. Osnovy proektirovanija sistem cifrovoj obrabotki radiolokacionnoj informacii. - M.: Radio i svjaz', 1986. - 352 s.

7. Linnik Ju.V. Metod naimen'shih kvadratov i osnovy teorii obrabotki nabljudenij. -M.: Fizmatgiz, 1963. - 336 s.

8. Teorija verojatnostej: Ucheb. dlja vuzov. 2-e izd. / A.V. Pechenkin, O.I. Teskin, G.M. Cvetkova i dr.; Pod red. V.S. Zarubina i A.P. Krishhenko. - M.: Izd-vo MGTU im. N.Je. Baumana, 2001. - 456 s.

9. Balakrishnan A.V. Teorija fil'tracii Kalmana: Per. s angl.. - M.: Mir, 1988. - 168 s.

10. Bar-Shalom, X. Rong Li, Kirubarajan Estimation with Applications to Tracking and Navigation // A Wiley-Interscience Publication / John Wiley & Sons, Inc. 2001.