CC BY
16
УДК 533.6
СЕТОЧНО-ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МЕТОД ДЛЯ РАСЧЕТА КВАЗИОДНОМЕРНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ РЕАГИРУЮЩЕГО ГАЗА
Н.С. Северина
Описывается сеточно-характеристический метод для численного решения квазиодномерных нестационарных уравнений физической газовой динамики. Сеточными линиями являются траектории частиц газа, характеристик, контактных разрывов, ударных волн и др. Точно решаются задачи, возникающие при пересечении сеточных линий. Приводится сравнение результатов решения тестовых задач с бессеточным методом. Разработанные вычислительные алгоритмы и программный комплекс используются для моделирования течений многокомпонентного реагирующего газа в ударной трубе, в задачах с цилиндрической и сферической симметрией, а также в качестве иллюстратора к лекционному курсу по физической газовой динамике.
Ключевые слова: физическая газовая динамика, сеточно-характеристический метод, выделение разрывов, многокомпонентные смеси.
Рассматривается квазиодномерное нестационарное течение реагирующего газа в каналах с пологими стенками и при наличии цилиндрической и сферической симметрии, влиянием эффектов вязкости, теплопроводности и диффузии пренебрегается. В областях непрерывности рассматриваемые течения можно описать квазилинейной системой дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, записанной в характеристической форме [1]:
dx
— = u ± a, dt
du ± —dp ± a pa
N ,
u
d ln F - hrpg-
dx
phj
dt = 0,
— = u, dh-—dp = 0, dgi - — Wjdt = 0, i = 1,..., N, dt p p
2
a
phT
phT p p +pT (1 -php )
Здесь p, u, p, a, h - плотность, скорость, давление, скорость звука, удельная энтальпия газа, соответственно; g i - мольно-массовые концентрации; N - число рассматриваемых компонент; F=F(x) - заданная зависимость площади канала от продольной координаты или F = xn, n = 0,1,2 при плоской, цилиндрической и сферической симметрии соответственно;
Wi - скорость образования i-го компонента в единице объема в результате химических реакций. Нижние индексы T, p, g обозначают дифференцирование по соответствующему параметру.
127
Рассматриваются три вида течения: "замороженное" - скорость химических реакций равна нулю, концентрации химических компонент не меняются, g i = const, Wj = 0; "равновесное" - химические реакции протекают с бесконечно большими скоростями g, Wj (p, T, g) = 0 ; "неравновесное" - скорости химических реакций конечные Wj (p, T, g) Ф 0 .
В случае наличия в поле течения сильных разрывов (ударная волна, контактный разрыв) выполняются соотношения Ренкина - Гюгонио, являющиеся следствием интегральных законов сохранения: (нижний индекс Д соответствует состоянию газа перед волной, З - за фронтом разрыва):
Рд (D - ид ) = Рз (D - uз ),
Рд +Рд (D - uд )2 = рз +Рз (D - u3 )2,
(D - u Д )2 (D - u, )2
Рд(D - uД)(hД + к 2 д; ) = р3(D - uЗ)(h3 + ( 2З) ).
При переходе через ударную волну данные соотношения обычно дополняются в "замороженном" или "неравновесном" случаях условиями
неизменности концентраций gд/ = g3/ и условиями химического равновесия в "равновесном" случае (концентрации можно рассматривать как неявно заданные функции давления и температуры).
Термодинамические свойства реагирующего газа описываются с помощью модели многокомпонентного совершенного газа в рамках допущения о равновесной заселенности энергетических уровней, отвечающих всем внутренним степеням свободы молекул и атомов [2]. В указанном случае удельный термодинамический потенциал Гиббса имеет следующий вид:
G(p,T,g) = Igj[RTln(pgj /po I gj) + G0(T)]. /=1 j=l
Здесь po = 101325 Па - стандартное давление, G;°(T) - известная температурная часть стандартных молярных потенциалов Гиббса отдельных компонент [2]. Другие термодинамические величины, используемые при математическом моделировании, выражаются стандартным образом [2] через потенциал Гиббса и его частные производные.
В начальный момент времени считаются заданными во всей рассматриваемой области течения распределения трех газодинамических параметров (скорость, давление, температура) и химический состав газа. В качестве краевых условий для газа используется условие равенства нулю скорости на неподвижном закрытом конце канала (условие "непротекания") или уравнение движения стенки в случае подвижной границы, или равенство давления атмосферному на границе «канал - атмосфера».
128
Алгоритм сеточно-характеристического метода подробно описан в [3]. Сеточными линиями являются траектории частиц газа, характеристик, контактных разрывов, ударных волн и др. Точно решаются задачи, возникающие при пересечении сеточных линий. Например, при пересечении сильных разрывов (ударная волна, контактный разрыв) решается задача Римана. Вновь образующиеся разрывы становятся сеточными линиями в последующие моменты времени.
Ниже приводится сравнение результатов решения тестовой задачи взаимодействия двух ударных волн, введенной Вудвордом [4], которые получены бессеточным методом [5], с результатами моделирования данной задачи с использованием метода, развиваемом в данной работе [3,6] (рис. 1 - 3). В начальный момент времени давление задается как кусочно-постоянная функция:
' 1000, 0 < X < 0.1,
р = <¡0.01, 0.1 < X < 0.9, и = 0, р = 1, 100, 0.9 < х < 1.
Газ нереагирующий, расчет ведется до момента времени ? = 0,04 с.
1,С
0.01
д /' \ у > . ' к Дм к/ ТшШ- * жту \У
/' ч. ,■• Л V 5? X'' ""> У у ч >у у - Ж У / ..-■ Ч. У?/ уКу , ..- ■■ ' / / ,..'...... / м у/у% шш И^Г, X ) ...... -V ■■ \ \ х Ч ч Лл\
X У* "V-"' V > >■•■""' У / 'V ч Л .-■■' , У / -"К /А А \д Ш А /УУ Л УУ - 1 У ./л / .- "V /У /уу -Л. • • •. \ \ \ ' ■);■ Л \ \ V Ч ч \ 1 \
>:; "ж с' "х" X" ,>:. X X у.;"' Ч V < \ \ N \Ч \ ЛЛу/к /.у,- Ь'л у уУ у/ у \ \\\\\\\\\\ \\у-0чу;су\
■■*' >:;- 'ч >.•■" Ч. ■ "'■•■.. ч "ч V ч ч •■. ч, ч ч Ч 4 у>$< ^ ч ч ч \ N Ч> \ \ ,/; г ; х УЖул-У У \ \ \ » \ 1 \ \ V \\\;0 \ \ \ ' ч\"4 ч\\\У УУ\х
■V Ок. >■' ■ш / у 'у 1 % 1 1 \ \ \ \ \ * \ * \ 1 еда чШД щ
Щ: Ч\У /У ' * ^ * ж \\ \1 \1 V* \| ' 1 ш ■ Шш шш
у V
КОпткТпнп рырм
УШСны юпча
Х*р|п*ристи«
X. М
Рис. 1. Временная развертка течения:
--результаты, полученные с использованием
сеточно-характеристического метода; ..................... -результаты,
полученные с использованием бессеточного метода
Рис. 2. Распределение давления Рис. 3. Распределение скорости при ^ = 0,038 с при ^ = 0,038 с
(д) г = 0.03 с
(е) г = 0.034 с
Рис. 4. Распределение плотности в различные моменты времени
В начальный момент времени после решения задачи о распаде разрыва число характеристик в веере бралось равным 10. При взаимодействии характеристики с контактным разрывом, помимо существующей, зарождалась новая характеристика противоположного семейства. На больших временах расчета это приводит к неоправданному увеличению числа сеточных линий. Поэтому в реальных расчетах, как правило, предусматривается процедура "гибели" сеточных линий, аналогичная используемой в
[5].
0,1 0,2 0,3
Рис. 5. Временная развертка течения (РЛ = 5 МПа)
Рис. 6. Зависимость температуры на правой стенке от времени (РЛ = 3, 4, 5 МПа)
Соотношения, используемые при реализации сеточно-характеристического метода, записаны для случая многокомпонентного реагирующего газа, в частности, теплоемкости индивидуальных веществ зависят от температуры. Тем не менее, результаты сравнения с бессеточным методом, ориентированным на расчеты течений идеального газа, показали его высокую точность и универсальность.
Также для демонстрации разработанной методики моделирования рассматривалось течение, возникающее в канале длиной 1 м с закрытыми торцами, после распада разрыва в середине. В начальный момент времени газ в канале покоился и находился при нормальной температуре. Камера высокого давления (слева) была заполнена аргоном, камера низкого давления (справа) - горючей смесью 0.08 Н2 + 0.16 О2 + 0.76. Химические превращения моделировались с использованием кинетического механизма [7], по методике, аналогичной [8 - 11]. В результате распада разрыва образовывались ударная волна, распространяющаяся по горючей смеси, и веер волн разрежения, распространяющийся по инертному газу (рис. 5). В результате серии отражений ударной волны (рис. 5) газ на правом торце нагревался (рис. 6). Расчетным путем было определено давление в камере высокого давления Рд = 5 МПа, при котором происходило воспламенение
горючей смеси. При давлении в камере высокого давления 3 и 4 МПа воспламенение горючей смеси не происходило, так как отраженный веер успевал достичь правого торца и охладить горючую смесь.
Работа выполнена при выполнении государственного задания № 9.7555.2017/БЧ.
Список литературы
1. Пирумов У.Г., Росляков Г.С. Газовая динамика сопел. М.: Наука, Физматлит, 1990. 368 с.
2. Л.В. Гурвич [и др.] Термодинамические свойства индивидуальных веществ: справочное издание в 4 т. / М.: Наука, 1978.
3. Гидаспов В.Ю., Пирумов У.Г., Северина Н.С. Математическое моделирование квазиодномерных нестационарных течений реагирующего газа с произвольным числом взаимодействующих разрывов // Вестник Московского авиационного института. 2008. Т. 15, № 5. С. 83-94.
4. Woodward P.R. Trade-offs in designing explicit hydrodynamics schemes for vector computers, in: G.Rodrigue (Ed.), Parallel Computation. New York: Academic Press, 1982.
5. Jeroen A.S. Witteveen. Second order front tracking for the Euler equations // Journal of Computational Physics. 2010. 229 P. 2719 - 2739.
6. Moretti G. Computations of flows with shocks // Ann. Rev. Fluid Mech. 1987. 19. P. 313-337.
7. Ибрагимова Л.Б., Смехов Г.Д., Шаталов О.П. Сравнительный анализ констант скоростей химических реакций, описывающих горение водородо-кислородных смесей // Физико-химическая кинетика в газовой динамике. 2009 [Электронный ресурс]. URL: http://www.chemphys.edu.ru. Т. 8. (дата обращения: 20.12.2018).
8. Гидаспов В.Ю., Северина Н.С. Численное моделирование экспериментов по определению времени задержки воспламенения в ударных трубах // Вестник Московского авиационного института. 2009. Т. 16. № 6. С. 182-192.
9. Гидаспов В.Ю. Распад разрыва в детонирующем газе // Вестник Московского авиационного института. 2010. Т. 17. № 6. С. 72-79.
10. Гидаспов В.Ю., Пирумов У.Г., Северина Н.С. Тестирование методики моделирования нестационарных течений газа с ударными и детонационными волнами // Вестник Московского авиационного института. 2011. Т. 18, № 6. С. 119-124.
11. Гидаспов В.Ю., Северина Н.С. Численное моделирование экспериментов по определению времени задержки воспламенения за падающими ударными волнами // Физика горения и взрыва. 2013. Т. 49. № 4. С. 31-40.
Северина Наталья Сергеевна, канд. физ.-мат. наук, доц., severina@mai.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет)
GRID-CHARACTERISTICMETHOD FOR CALCULATING QUASI-DIMENSIONAL NON-STA TIONARYFLO WS REACTING GAS
N.S. Severina
A grid-characteristic method for the numerical solution of quasi-one-dimensional nonstationary equations of physical gas dynamics develops is described. The grid lines are the trajectories of gas particles, characteristics, contact discontinuities, shock waves, etc. Problems that arise when intersecting the grid lines are solved exactly. Comparison of the results of solving test problems with a mesh-based method is given. The developed computational algorithms and the program complex are used to model the flows of a multicomponent reactive gas in a shock tube, in problems with cylindrical and spherical symmetry, and also as an illustrator to the lecture course on physical gas dynamics.
Key words: physical gas dynamics, grid-characteristic method, separation of discontinuities, multicomponent mixtures.
Severina Natalia Sergeevna, candidate of physical and mathematical sciences, docent, severina@mai.ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University)
УДК 539.3
УДАР ТРЕХСЛОЙНОГО КЛИНА О СВОБОДНУЮ ПОВЕРХНОСТЬ ЖИДКОСТИ
А.Ю. Ершова, А.М. Крупенин, М.И. Мартиросов
Изучается поведение трехслойного симметричного по толщине малокилева-того клина со сплошным изотропным заполнителем при вертикальном ударном взаимодействии с идеальной сжимаемой жидкостью (водой). Скорость начального взаимодействия считается малой по сравнению со скоростью звука в жидкости. Рассматривается начальный этап погружения, когда гидродинамические силы и давления достигают максимальных значений. Проводится параметрический анализ относительно начальной скорости взаимодействия и угла килеватости. Задача решается в связанной плоскосимметричной постановке.
Ключевые слова: удар, клин, взаимодействие с жидкостью, численное моделирование.
В современных авиационных, ракетных и космических системах применяются транспортные средства и аппараты, вступающие в процессе эксплуатации или на аварийных режимах работы в ударное взаимодействие с жидкостью (экранопланы, спускаемые капсулы и платформы с грузами, гидросамолеты).
