Сети Петри и их анализ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

ИННОВАТИКА В ОБРАЗОВАНИИ

А.Г. Кокин

Курганский государственный университет, г. Курган

СЕТИ ПЕТРИ И ИХ АНАЛИЗ

Для имитационного моделирования параллельных систем в настоящее время используются сети Петри [1]. Это связано с широкими возможностями использования сетей Петри, в частности, возможностью распараллеливания процессов, введения недетерминизма, а также многообразием форм представления параллельных алгоритмов архитектурами вычислительных систем. Сети Петри отражают структуру описываемой системы и позволяют моделировать динамическое поведение системы.

Сети Петри, как правило, используются для описания управления процесса, игнорируя сущность процесса вычисления и информационную зависимость между фрагментами вычислений. В настоящее время тенденции развития технологии программирования на основе парадигмы объектно-ориентированного программирования направлены на инкапсуляцию данных и методов их обработки и управляющих компонент вычислительного процесса в единый комплекс с учетом и анализом свойств вычислительной системы.

Существует класс сетей Петри, описывающих потоковые вычисления [2]. Классические и потоковые сети Петри описывают два типа вычислительного процесса: управляющий и функциональный. Это приводит к необходимости создания расширенных сетей Петри, реализующих новые технологии с разработанными методами и средствами анализа сетей Петри.

Основные свойства сетей Петри

Ограниченность. Свойство связано с ограниченной емкостью накопителей реальных систем. В сети для реализации события достаточно, чтобы входное место содержало количество фишек, равное кратности дуги, соединяющей его с переходом. Место в сети называется ограниченным, если существует число п, такое, что для любой достижимой разметки М справедливо неравенство М(р)<=п. Сеть N называется ограниченной, если любое ее место ограничено [4].

Файл Сеть Сделать шаг Запустить . .; : с Работа с базой ?

Р2 Т2

Го V

11 / А.

Р1

гу х / jkl)

X /

rTV- —-Н Удалить

Ц/ Добавить связь

Удалить связь

Алгебр, формула

Матрица Гра'-

Рис. 1

Для сети на рис.1 места рг р3 ограничены (каждое из них может содержать не более одной фишки), а место р2 не ограничено, сеть не ограниченная.

Безопасность. Место р называется безопасным,

если VMe R(N): М<= 1. Сеть безопасна, если все места безопасны. Сеть на рис. 1 не является безопасной, т.к. место р2 не ограничено и может содержать более одной фишки.

Консервативность. Консервативная сеть такая, в которой сумма фишек во всех ее местах остается постоянной при работе сети: ^М(р) = const.

Сеть на рис.1 не консервативна, так как место р2 может накапливать неограниченное количество фишек.

Живость. Переход t в сети N называется потенциально живым, если существует достижимая от М разметка М', при которой переход t может сработать. Переход t в сети N называется живым, если он является потенциально живым при любой достижимой в сети разметке.

Переход t в сети N называется потенциально мертвым, если существует Me R(N), такая, что при любой разметке переход t не сможет сработать. Разметка М в этом случае называется тупиковой.

Сеть называется живой, если все ее переходы живы. Сеть на рис.1 не является живой, т.к. в ней достижимы тупиковые разметки вида (0, п, 0).

Устойчивость. Переход t называется устойчивым, если переход может сработать, то никакой другой переход, сработав, не может лишить его этой возможности. Сеть устойчива, если все ее переходы устойчивы. Сеть на рис. 1 неустойчива.

Анализ сети Петри (рис. 1) с помощью модели на компьютере показан на рис. 2. Места, имеющие начальную разметку, выделены толщиной кружка.

Свойства сети Петри: Неограниченная Не является безопасной Н еобратимая

Неживая Неправильная Класс сети: Сеть с асимметричным выбором Сеть не Фрагменгирована Пассивные переходы:

Рис. 2

Сети Петри со свободным выбором

Сети со свободным выбором являются подклассом ординарных сетей. Они нашли широкое применение в связи с тем, что допускают недетерминированный выбор условия срабатывания переходов, т.е. это конфликтные сети [4]. С их помощью можно моделировать параллельные вычисления. Структурное ограничение на свободу

выбора имеет вид: если , то

Из этого следует, что входные множества для всех 1ер*одинаковы и содержат только позицию р. Это накладывает ограничение на матрицу инцидентности, которое состоит в том, что каждый отрицательный элемент матрицы со свободным выбором М=(Р,Т, Р) является единственным в строке или в столбце [6].

На рис. 3 представлена элементарная сеть Петри со свободным выбором и приводится анализ сети.

Основными свойствами сетей Петри со свободным выбором являются живость и безопасность.

Копировать значения Выход

Позиция1 |Позиция2 |ПозицияЗ |Позиция4 |

Переход1 0 jO -1 -1

Педеход2 0 -1 1 1

ПеоеходЗ 0 1 -1 0

Живость и безопасность. Живость и безопасность сети Петри определяется необходимыми и достаточными условиями. Они используют специальные подмножества сети - ловушки и тупики (дедлоки).

Ловушкой в сети Петри со свободным выбором называется непустое подмножество мест (^сР, такое, что Это означает, что если ловушка имеет хотя бы одну фишку, то при функционировании сети она всегда будет иметь фишку.

В сети со свободным выбором подмножество позиций Я^р тупик, если в каждой строке матрицы Рк имеется хотя бы один отрицательный элемент [6].

На рис. 5 показаны граф достижимости и возможные маркировки сети.

Рис. 3

В сети со свободным выбором (рис. 4, 5) подмножество позиций 01={р1, р3, р4} и 02 = {р2, р3, р4} - ловушки в соответствии с определением.

В сети со свободным выбором подмножество позиций (^сР ловушка, если в каждой строке матрицы Р имеется не менее одного положительного элемента [6] (рис. 4). Тупиком называется непустое подмножество мест

ЯсР в сети со свободным выбором, такое, что 'ЯсЯ*-Если тупик не содержит фишки, то переход в тупик мертв. Разметка мест в тупике остается постоянной.

В сети на рис. 4 подмножество = {р.,, р2, р3}-тупик,

так какПодмножество ^{р^ р2, р4}

тоже тупик, так как *К2={13Д4Д5}-

Подмножество позиций может быть и тупиком, и ловушкой, если *К=К*. Иногда тупик может содержать ловушку: д^я

При начальной маркировке М=(1,1,0,0) тупик = {р.,, р2, р3} не содержит ловушки, поэтому сеть на рис.4 неживая.

Рис. 4

Рис. 5

Автоматные сети

Автоматные сети характеризуются тем, что каждый переход имеет одно входное и одно выходное место:

141 = 10=1-

Из этого следует, что каждая строка матрицы инцидентности 0=0+-0- будет содержать один положительный и один отрицательный элемент [6].

Число фишек в автоматной сети остается постоянным при ее работе, т.е. автоматная сеть консервативна и ограничена [4]. Отсюда следует также, что автоматная сеть безопасна тогда, когда ее начальная разметка содержит ровно одну фишку. Автоматная сеть жива, когда она представляет собой сильно связный граф, т.е. из любой вершины сети существует путь вдоль дуг в любую вершину, и ее начальная разметка содержит хотя бы одну фишку.

Так как автоматная сеть ограничена, то ее граф разметок конечен, и, следовательно, в классе автоматных сетей разрешимы проблемы достижимости разметки, проблемы живости и другие проблемы анализа свойств сетей. Все это следствие того, что автоматные сети представляют собой, по существу, сетевую форму задания конечных автоматов. Это непосредственно следует из конечности графа разметок любой автоматной сети. Этот граф представляет собой не что иное, как граф конечного автомата, в котором множество состояний образовано множеством достижимых в сети разметок, а алфавит -символами переходов сети.

На рис. 6 приведена автоматная сеть и ее анализ. На рис.7 показаны граф достижимости и возможные маркировки сети.

Маркированные графы (синхрографы)

Маркированные графы характерны тем, что каждое место имеет один входной и один выходной переход:

|Из этого следует, что каждый столбец матрицы инцидентности содержит один положительный и один отрицательный элемент.

Маркированные графы двойственны автоматным сетям. Двойственность определяется путем замены мест на переходы и переходов на места [4].

На основе анализа структуры графа и его начальной разметки анализируются основные свойства сетей и достижимость разметки. Структурные компоненты, в терминах которых формулируются условия ограниченности, живости и другие, - это простые циклы в сети. В синхрог-

рафе на рис. 8 простыми циклами являются

р5-> t3-> р4-> ti-> р5. pi-> ti-> р2-> t2-> Pl- р3-> t3-> р6-> t2-> рз

Рис.6

Рис. 7

Рис. 8

При функционировании синхрографа число фишек, содержащихся в любом его цикле, остается постоянным при условии, что синхрограф является живым, т.е. любой цикл в нем не пуст при начальной разметке. На рис. 8 сеть живая, так как каждый цикл имеет начальную разметку (р.,, р3, р5).

Анализ сети Петри, представляющей собой маркированный граф, приведен на рис.8. На рис. 9 показан граф достижимости и возможные разметки маркированного графа.

Проблема достижимости в сетях Петри

Построение дерева достижимости

Дерево достижимости состоит из множества достижимых в сети разметок. Рассмотрим алгоритм построения дерева достижимости [3]. Каждая вершина i дерева связывается с расширенной маркировкой M[¡]; в расширенной маркировке число фишек в позиции может быть либо неотрицательным целым, либо СО (СО - бесконечное число маркировок цикла). Каждая вершина классифицируется как граничная, терминальная, дублирующая или внутренняя. Граничными являются вершины, еще не обработанные алгоритмом; алгоритм превратит их в терминальные, дублирующие или внутренние вершины.

Пусть х - граничная вершина, которую необходимо обработать. Если в дереве имеется другая вершина у, не являющаяся граничной и имеющая ту же маркировку М [х]=М[у], то вершина х-дублирующая. Если для маркировки М[х] ни один из переходов не разрешен, то х - терминальная вершина.

Для всякого перехода teТ, разрешенного в М[х], создать новую вершину z. Маркировка M[z] определяется для каждой позиции р. следующим образом: если 1[х]. =С0, óí I[z]i =С0; если на пути от корневой вершины к х существует вершина у с I[Ó]<8( I[x],t ) и I[Ó]i <5( I[x],t )., то Щ =С0; в противном случае I[z] = 5( I[x],t )г Вершина х определяется как внутренняя, вершина z становится граничной. Когда все вершины дерева становятся терминальными, дублирующими или внутренними, процесс заканчивается.

Дальнейшее развитие алгоритм построения множества достижимых маркировок получил в работах [8] в виде алгоритма ключевого перебора.

Алгоритм ключевого перебора строит для ограниченной сети конечное множество достижимости R(N,M), для неограниченной сети (R(N,M) - бесконечное множество) - дерево покрытий, в котором маркировки неограниченных мест обозначаются символом СО. Вводится понятие ключевой последовательности переходов <3., которая получается в процессе построения дерева достижимости путем движения в прямом и обратном направлениях при соблюдении определенных условий, - аналог метода ветвей и границ.

Рассмотрим анализ сети и построение графа достижимости для свободной сети, приведенной на рис. 10. Сеть имеет два минимальных тупика R^íp.,, р2, р3, р4} и R2={p1, р5, р6, р4}, которые являются автоматными компонентами и покрывают сеть: R1UR2=P. Поэтому сеть хорошо сформирована и при маркировках М(1,0,0,0,0,0), М(0,1,1,0,0,0), М(0,0,0,0,0,1) является живой и безопасной [6].

Рис. 10

Граф достижимости и возможные маркировки сети приведены на рис. 11.

Рис. 11

Рассмотрим еще один пример сети Петри, приведенной на рис. 12. Эта сеть живая, в соответствии с определением, но назвать ее живой трудно. Ее живость определяется бесконечным множеством достижимых маркировок за счет петель (место р3 не ограничено). На рис. 13 показан граф достижимости и возможные маркировки сети. Символ х означает бесконечное число маркировок цикла - Ш.

Рис. 12

Список литературы

1. Технология системного моделирования/Под ред. С.В. Емельянова. -

М.: Машиностроение, 1988.

2. Котов В.Е. Алгебра регулярных сетей Петри //Кибернетика. -1980. -

№5. - С.10-18.

3. Питерсон Дж. Теория сетей Петри и моделирование систем/Пер. с

англ. - М.: Мир, 1984.

4. Котов В.Е. Сети Петри. - M.: Наука, 1984.

5. Лескин А.А., Мальцев П.А., Спиридонов А.М. Сети Петри в моделиро-

вании и управлении. -Л.: Наука, 1989.

6. Ачасова С.М., Бандман О.Л. Корректность параллельных вычисли-

тельных процессов. - Новосибирск: Наука, 1990.

Т.Н. Ширинская, Е.В. Марфицына, Е.П. Бахарева Курганский государственный университет, г. Курган

РАЗРАБОТКА КАРТЫ ПРОЦЕССОВ КУРГАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Одним из приоритетных направлений развития российского общества является образование, и особое значение приобретает необходимость управления качеством образования на основе наиболее полного использования его потенциальных возможностей.

В настоящее время широкое распространение в организациях высшего профессионального образования получила работа по созданию и совершенствованию системы менеджмента качества (СМК).

Менеджмент качества образования в последние годы приобретает всё большую значимость, что связано не столько с высоким уровнем конкуренции в этой сфере, но и интеграцией в мировое образовательное пространство.

Исходя из этого, возникает задача обеспечения качества образования не только сегодня, но и необходимость соответствия будущим запросам и потребностям общества. Качество образования должно включать в себя качество конечного результата (уровень профессиональных знаний, умений, навыков) и качество образовательного процесса в целом.

Реализация политики в области качества даёт возможность повысить ответственность сотрудников на всех уровнях учебной, методической, административной деятельности по управлению качеством образовательных услуг; повысить мотивацию персонала; стать конкурентоспособными.

Организация должна создавать, обеспечивать и улучшать качество продукции, организуя и управляя своими процессами, подвергая их анализу и постоянному улучшению. Это диктует необходимость применения процессно-