CC BY
40DOI 10.54398/20741707_2022_4_38 УДК 004.9:517.9
SEIRD-МОДЕЛЬ динамики распространения вирусных инфекций
С УЧЕТОМ ВОЗНИКНОВЕНИЯ НОВЫХ ШТАММОВ1
Статья поступила в редакцию 10.10.2022, в окончательном варианте — 21.10.2022.
Мартьянова Александра Евгеньевна, Астраханский государственный университет имени В. Н. Татищева, 414056, Российская Федерация, г. Астрахань, ул. Татищева, 20а,
кандидат технических наук, доцент кафедры информационной безопасности, ORCID: 0000-0001-5917-8477, e-mail: mrtnva@rambler.ru
Ажмухамедов Искандар Маратович, Астраханский государственный университет имени В. Н. Татищева, 414056, Российская Федерация, г. Астрахань, ул. Татищева, 20а,
доктор технических наук, декан факультета цифровых технологий и кибербезопасности, профессор кафедры информационной безопасности, ORCID: 0000-0001-9058-123X, e-mail: aim_agtu@mail. ru
Детерминистские математические модели эпидемий заболеваний позволяют изучать макроскопические явления распространения этих эпидемий в человеческом обществе. Однозначность, наглядность и простота этих моделей делают их привлекательными для анализа и позволяют получить информацию для управления протеканием эпидемии. Детерминистские математические модели представляют собой инструмент исследования динамики численности индивидуумов в условиях эпидемической обстановки. Предложена математическая SEIRD-модель динамики распространения вирусных инфекций, учитывающая возникновение новых штаммов. Данная SEIRD-модель позволяет учитывать способность инфицированных индивидуумов к заражению окружающих в латентном периоде развития заболевания, что очень важно, поскольку заболевание распространяется скрытно. Число инфицированных индивидуумов значительно больше зарегистрированных случаев. Решение осуществляется в системе компьютерной алгебры (CAS) Maxima. Показана возможность использования данной SEIRD-модели для прогнозирования распространения эпидемии COVID-19 с учетом появления вирусных вариантов SARS-CoV-2. Показано, что полученные теоретические зависимости хорошо согласуются с имеющимися данными по г. Москве.
Ключевые слова: математическая модель, модель эпидемии COVID-19, SEIRD-модель, SEIRD-модель распространения заболевания COVID-19, система дифференциальных уравнений, свободное программное обеспечение, система компьютерной математики Maxima, штаммы вируса, варианты вируса SARS-CoV-2
SEIRD MODEL DESCRIBING THE DYNAMICS OF THE SPREAD VIRAL INFECTIONS CONSIDERING THE APPEARANCE OF NEW STRAINS
The article was received by the editorial board on 10.10.2022, in the final version — 21.10.2022.
Martyanova Aleksandra Ye., Astrakhan State University named after V. N. Tatishchev, 20a Tatishchev St., Astrakhan, 414056, Russian Federation,
Cand. Sci. (Engineering), ORCID: 0000-0001-5917-8477, e-mail: mrtnva@rambler.ru Azhmukhamedov Iskandar M., Astrakhan State University named after V. N. Tatishchev, 20a Tatishchev St., Astrakhan, 414056, Russian Federation,
Doct. Sci. (Engineering), Dean of the Faculty of Digital Technologies and Cybersecurity, Professor of the Department of Information Security, e-mail: aim_agtu@mail.ru
Deterministic mathematical models of epidemic diseases allow us to study the macroscopic propagation effect of these epidemics spreading in human society. The unequivocal, demonstrativeness and simple nature of these models make them attractive for analysis and provide information for the managing development of the epidemic. The deterministic mathematical models are an instrument for investigating the population dynamics of individuals in an epidemic environment. A mathematical SEIRD model describing the dynamics of the spread of viral infections is proposed, taking into account the emergence of new strains. This SEIRD-model it allows us to take account the ability of infected individuals to contagion others in the latent period of the disease progression, which is very important because the disease spreads covertly. The number of infected individuals is much higher than the number of registered cases. The solving is performed in the Maxima computer algebra system (CAS). The possibility of using this SEIRD model to predict the spread of the infection COVID-19, taking into account viral variants of SARS-CoV-2, is shown. It is shown that the obtained theoretical dependencies agree well with the available data for Moscow.
Keywords: mathematical model, epidemiological model of COVID-19, SEIRD model, SEIRD model the spread of the infection COVID-19, system of differential equations, free software, computer mathematics system Maxima, virus strains, variants of the virus SARS-CoV-2
1 Исследование выполнено при поддержке гранта фундаментальных научно-исследовательских проектов в рамках реализации стратегических проектов «Программы развития Астраханского государственного университета на 2021-2030» «Методологические основы оценки и управления уровнем комплексной безопасности региона».
Graphical annotation (Графическая аннотация)
Введение. Детерминистские математические модели эпидемий заболеваний позволяют изучать макроскопические явления распространения этих эпидемий в человеческом обществе. Однозначность, наглядность и простота этих моделей делают их привлекательными для анализа и позволяют получить информацию для управления протеканием эпидемии. Н. Бейли заметил, что основное значение этих исследований состоит в том, что они связаны с работой органов общественного здравоохранения [1]. При создании таких моделей делается ряд упрощений: развитие эпидемии изучается в однородной непрерывно и равномерно перемешивающейся большой группе, что позволяет рассматривать общие процессы распространения эпидемии в упрощенной форме. Для успешной борьбы с эпидемиями заразных заболеваний недостаточно одних только профилактических мероприятий или лекарственного лечения, необходимо также учитывать, что существуют эпидемиологические проблемы, касающиеся распространения болезни в целом. Для системы здравоохранения очень важна возможность количественной оценки различных мероприятий по борьбе с эпидемией, например, введения карантина, осуществления вакцинации и др. Рассматривая большие группы, можно получать довольно общие модели распространения эпидемий в больших популяциях, на основе которых и возможно осуществление общей оценки применяемых мероприятий для системы здравоохранения.
В 1927 г. в своей работе W. O. Kermack и A. G. MacKendrick создали и исследовали модель, представляющую собой систему дифференциальных уравнений с начальными условиями, которую называют классической SIR-моделью [2]. Н. Бейли (Norman T. J. Bailey) исследовал модели детерминистского типа, описывающие простые эпидемии, эпидемию общего типа, повторяющиеся эпидемии [1]. L. Edelstein-Keshet подробно рассмотрел SIR-модель (Susceptible - восприимчивые, Infected - инфицированные, Recovered - выздоровевшие индивидуумы) и ее SIRS- и SIS-модификации [3]. Он показал, что при некоторых условиях SIRS-модель приобретает вид SIR-модели Kermack и MacKendrick.
Развитием SIR-модели являются также SEIR- (Exposed - латентные), MSEIR-модели (Maternally derived immunity - наделенные иммунитетом от рождения) [4].
При изучении заболевания COVID-19, вызываемого вирусом SARS-CoV-2, предлагаются к рассмотрению SIRD-модели (Dead - умершие) и SEIRD-модели [5, 6]. Рассматриваемая в [6] SEIRD-модель отличается тем, что параметры, характеризующие заражение и смертность, зависят от времени, но не учитывают способность инфицированных индивидуумов заражать восприимчивых индивидуумов в латентном (инкубационном) периоде. Предложенная в источнике [7] для изучения эпидемии лихорадки Эбола SEIRD-модель отличается тем, что хотя и учитывает наличие индивидуумов, находящихся в латентном периоде, но не учитывает способность этих индивидуумов в латентном периоде к заражению восприимчивых индивидуумов.
Различные детерминистские модели представляют собой инструмент исследования динамики численности индивидуумов в условиях эпидемической обстановки, в частности широко использовались как при изучении геморрагической лихорадки Эбола [7, 8], так и при изучении эпидемии заболеваемости COVID-19 [5, 6].
Постановка задачи. Необходимо разработать SEIRD-модель динамики распространения вирусных инфекций, учитывающую наличие индивидуумов, находящихся в латентном периоде, и восприимчивых индивидуумов, способных к заражению, что важно, поскольку заболевание распространяется скрытно, и число инфицированных индивидуумов больше зарегистрированных случаев. На основе разработанной SEIRD-модели необходимо проанализировать влияние появления разных штаммов вируса (вариантов вируса) SARS-CoV-2 на развитие эпидемии COVID-19. Для оценки адекватности предложенной модели необходимо сравнить теоретические результаты с данными о количестве инфицированных, полученными по г. Москве.
Решение задачи. Анализ данных по распространению СОУГО-19 в г. Москве. Рассматривая графики заболеваемости СОУТО-19 в г. Москве (рис. 1-3) в период с 6 марта 2020 г. по 6 октября 2022 г. (945 день), можно условно выделить следующие одиннадцать периодов: 1) с 1 по 124 день -первый подъем и спад заболеваемости (так называемая 1-я «волна»); 2) с 125 по 200 день - период между 1-й и 2-й «волнами»; 3) с 201 по 355 день - второй подъем и спад заболеваемости (2-я «волна»); 4) с 356 по 400 день - период между 2-й и 3-й «волнами»; 5) с 401 по 520 день - третий подъем и спад заболеваемости (3-я «волна»); 6) с 521 по 570 день - период между 3-й и 4-й «волнами»; 7) с 571 по 630 день - четвертый подъем и спад заболеваемости (4-я «волна»); 8) с 631 по 670 -период между 4-й и 5-й «волнами»; 9) с 671 по 740 день - пятый подъем и спад заболеваемости (5-я «волна»); 10) с 741 по 860 день — период между 5-й и 6-й «волнами»; 11) с 861 дня - длящийся и, скорее всего, закончившийся на момент публикации этой работы шестой подъем и спад заболеваемости (6-я «волна»).
Рисунок 1 - Развитие эпидемии с 6 марта 2020 г. по 6 октября 2022 г. по дням
По графику на рисунке 1 можно увидеть, что пятый период (3-я «волна») состоит из двух частей: I и II, что и показано более наглядно на графике рисунка 2. Начиная с 461 дня (9 июня 2021 г.) наблюдается резкий подъем 3-й «волны» заболевания, который относится ко II части 3-й «волны».
О 100 200 300 400 500 600
Рисунок 2 - Развитие эпидемии с 6 марта 2020 г. по 8 ноября 2021 г. по дням
Также можно обнаружить, что восьмой период (промежуток между 4-й и 5-й «волнами») может быть рассмотрен как наслоение продолжающегося спада седьмого периода (4-й «волны») и начинающегося уже одновременно подъема девятого периода (5-й «волны»); то есть присутствуют I и II части 4-й «волны», где II часть 4-й «волны», она же восьмой период, - это наслоение двух периодов: седьмого и девятого, что и показано на графике рисунка 3.
Рисунок 3 - Развитие эпидемии с 6 марта 2020 г. по 19 января 2022 г. по дням
Построение математической модели распространения COVID-19. Рассмотрим детерминистскую математическую 8ЕЖВ-модель (5" - восприимчивые, E - латентные, I - инфицированные, R - выздоровевшие, Б - умершие) эпидемии заболевания.
На рисунке 4 представлена блок-схема процессов рассматриваемой SEIRD-модели, где ц - приток восприимчивых индивидуумов, которыми пополняется группа.
Рисунок 4 - Блок-схема SEIRD-модели
Параметры рассматриваемой SEIRD-модели представлены в таблице ниже. Таблица - Таблица параметров SEIRD-модели
№ перехода Переход Скорость перехода
1 (5, E) ^ (5 - 1, E + 1) в 5 E,
2 (5, E) ^ (5 - 1, I + 1) в2 51
3 (E, I) ^ (E - 1, I + 1) 8 E
4 (I, R) ^ (I - 1, R + 1) YI
5 (I, D) ^ (I - 1, D +1) XI
Отличие рассматриваемой здесь SEIRD-модели от подобных детерминистских моделей в том, что данная SEIRD-модель позволяет учитывать способность в латентном периоде инфицированных индивидуумов к заражению восприимчивых индивидуумов. SEIRD-модель сводится к решению задачи Коши для системы пяти обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с неизвестными Е(0, ДО, R(t), и начальными условиями 5(0) = п, Е(0) = а, 1(0) = Ь, R(0) = с и Б(0) = ё.
dS(t)
= -p± S(t)E(t) - p2 S(t)I(t) + fi,
dE(t)
= pi S(t)E(t) + p2 S(t)I(t) - SE(t),
dt dl(t)
-jjf=SE(t)-yI(t)-2J(t), dR(t)
dt
dD(t) — = AI(t)-
Здесь введены следующие коэффициенты: в\ и в - характеризуют заболеваемость в однородной группе в латентный и активный периоды заболевания соответственно, которые в сумме образуют полный период; 8 - характеризует переход индивидуумов из латентного периода в период с активным протеканием заболевания; y - характеризует убыль индивидуумов из группы (изолированных, выздоровевших и ставших невосприимчивыми к инфекции в результате иммунизации); X -характеризует убыль индивидуумов в результате смерти от инфекции в группе; м - характеризует постоянный приток восприимчивых индивидуумов, которыми пополняется группа.
Коэффициент в\ - вероятность заражения от инфицированного индивидуума, находящегося в латентном периоде, будет равен в\ = q\/(T\n); коэффициент @2 - вероятность заражения от индивидуума, находящегося в активном периоде, будет равен в = q2/(T2n); q\ и q2 - индексы репродукции в латентный и активный периоды заболевания соответственно, q\ Ф q2; T\, T2 и T - латентный, активный и полный временные периоды заболевания; n - объем рассматриваемой группы однородно перемешивающихся индивидуумов. Коэффициент 8 = 1/T\ характеризует скорость перехода из латентного периода в активный период. Коэффициент y = \/T - скорость выздоровления. Коэффициент м - число восприимчивых индивидуумов, которыми пополняется группа. Коэффициент X можно принять как установившийся процент от уже инфицированных индивидуумов.
Приток новых восприимчивых индивидуумов (м) в общем случае не уравновешивается гибелью индивидуумов, удаленных из популяции (XI), и, таким образом, объем популяции не остается постоянным (S(t) + E(t) + I(t) + R(t) + D(t) + м Ф const). В настоящей работе для простоты везде считаем, что постоянный приток восприимчивых индивидуумов отсутствует (м = 0), но вовлечение таковых индивидуумов происходит по мере их накопления, которое связано с появлением новых штаммов COVID-19 и падением уровня иммунизации индивидуумов с течением времени.
Рассматриваемая здесь SEIRD-модель была апробирована на данных по первой вспышке заболевания, происходившей в городе Ухань провинции Хубей [9, Ш]. В период этой вспышки вся провинция Хубей находилась в условиях жестких карантинных мероприятий, а вариант вируса не изменялся с точки зрения контагиозности (заразности). Расчеты выполнялись с допущением, что первоначальная группа имеет объем n = \\ млн восприимчивых индивидуумов, поскольку вспышка происходила в значительной мере в городе Ухань провинции Хубей, население которого составляет примерно 10-\2 млн. Временные периоды T = 30, T\ = 14 и T2 = T-T\ дней. Коэффициент убыли индивидуумов в результате смерти от инфекции условно принят постоянным и равным 2,5 % от числа зарегистрированных инфицированных индивидуумов - X = 0,025. Индексы q\ = 2,0 и q2 = 5,5. Временной период развития эпидемии - 200 дней. Приток восприимчивых индивидуумов отсутствует (м = 0), так как почти сразу введены жесткие карантинные мероприятия. Число латентных индивидуумов - a = Ш0. Было установлено, что максимум модельной кривой динамики численности соответствует максимуму данных, имеющихся для китайской провинции Хубей.
Поскольку индивидуум является распространителем вируса как в латентном, так и в активном периодах заболевания, необходимо учитывать динамику инфицированных индивидуумов в латентном и активном периодах. На графике рисунка 5 представлены: кривая «expos_SEIRD» - динамика инфицированных индивидуумов в латентном периоде заболевания; кривая «inf_SEIRD» - динамика инфицированных в активном периоде заболевания; суммарная кривая «sum_SEIRD» - динамика инфицированных индивидуумов в латентном и активном периодах заболевания по рассматриваемой SEIRD-модели; t - длительность эпидемии в днях. Видно смещение максимума суммарной кривая «sum_SEIRD» в более ранние сроки, нежели кривой «inf_SEIRD», и это указывает на то, что максимальная нагрузка на систему здравоохранения наступает раньше сроков, полученных с помощью моделей, не учитывающих влияние распространения вируса индивидуумами, находящимися в латентном периоде заболевания, а также на то, что эта максимальная нагрузка соответственно будет выше.
¥ ш (Л
I
Е
=5 t/i
о"
ш сп
а
гг; ш <s>
I
о
CL
Рисунок 5 - Результаты расчета по SEIRD-модели
Также было установлено, что зарегистрированные случаи составляют около 15 % общего количества инфицированных индивидуумов. Поскольку индивидуум является распространителем вируса как в латентном, так и в активном периодах заболевания, то в модели необходимо учитывать количество инфицированных индивидуумов в латентном и активном периодах, которые являются распространителями заболевания. Заболевание COVID-19 хуже диагностируется в латентном периоде, что учитывается уменьшением влияния зарегистрированных инфицированных индивидуумов в латентном периоде заболевания на 50 % в общем количестве зарегистрированных инфицированных индивидуумов, представляющем собой сумму инфицированных как в латентном, так и в активном периодах заболевания.
Используем рассматриваемую здесь SEIRD-модель для описания развития эпидемии заболевания COVID-19 в Москве. Будем рассматривать временной период развития эпидемии в 941 день (с 6 марта 2020 г. до 2 октября 2022 г. включительно). Время латентного, активного и полного периодов заболевания почти на всем рассматриваемом временном интервале составляет, соответственно, T = 30, T1 = 14 и T2 = T-T1 дней, за исключением того периода, когда появляется штамм «омикрон». Коэффициент убыли индивидуумов в результате смерти от инфекции условно принят также постоянным и равным 2,5 % от числа зарегистрированных инфицированных индивидуумов -X = 0,025, за исключением периода, когда уже появляется штамм «омикрон».
С появлением штамма «омикрон» временные периоды изменились и приняты следующими: T = 30, T1 = 6 и T2 = T-T1 дней. Было принято, что латентный период для этого штамма в среднем составляет 6 дней. Коэффициент убыли индивидуумов в результате смерти от инфекции с появлением штамма «омикрон» условно принят постоянным и равным 1,0 % от числа зарегистрированных инфицированных индивидуумов - X = 0,01.
Решение системы уравнений рассматриваемой SEIRD-модели осуществлялось функцией rk из библиотеки «dynamics» свободного программного обеспечения - системы компьютерной алгебры CAS Maxima; функция rk решает задачу Коши методом Рунге - Кутта четвертого порядка точности [11]. Скриншот начала одного из вариантов решения представлен на рисунке 6.
Для первого периода в качестве начальных условий принято a = 2000 - количество латентных индивидуумов в начале развития эпидемии. Начальные условия в части латентных и инфицированных индивидуумов каждого последующего периода определяются предыдущим периодом развития заболевания. Объем n рассматриваемой группы однородно перемешивающихся восприимчивых индивидуумов подбирался для каждого периода. Для первого периода принято n = 2,1 млн чел., индексы q1 = 1,5 и q2 = 2,5. Для второго периода - n =1,0 млн чел., индексы q1 = 0,27 и q2 = 0,45. Для третьего периода - n = 6,0 млн чел, индексы q1 = 0,69 и q2 = 1,15. Для четвертого периода -n = 1,0 млн чел., индексы q1 = 0,27 и q2 = 0,45. В пятый период при рассмотрении распространения штамма «альфа» в качестве прогнозируемого объема группы индивидуумов рассматривался объем n = 2,0 млн чел., индексы q1 = 0,42 и q2 = 0,70.
Рисунок 6 - Скриншот решения в CAS Maxima
На протяжении пятого периода произошло вытеснение штамма «альфа» штаммом «дельта». Учитывая, что в Москве в конце марте 2021 года появился штамм вируса «дельта», были пересмотрены результаты расчета количества заболевших в пятый период (3-я «волна»). Принято, что на 401 день (10 апреля 2021 г.) развития эпидемии заболеваемость штаммом «альфа» развивалась по варианту n = 2,0 млн чел., начальные условия в части латентных и инфицированных индивидуумов для этого периода для штамма «альфа» определялись по предыдущему периоду.
Одновременно считалось, что на 401 день уже было 250 человек, которые являлись латентными носителями штамма «дельта», поэтому в качестве начальных значений для штамма «дельта» в пятый период принято a = 250 - количество латентных индивидуумов, n = 3,0 млн чел., индексы q1 = 1,68 и q2 = 2,80. Суммарный подъем в результате одновременного протекания заболеваемости под действием штаммов «альфа» и «дельта» представлен кривой «Модель для 'дельта'» на рисунке 7. Кривая «Модель для 'альфа'» показывает, как заболеваемость под действием штамма «альфа» спадает и вытесняется заболеваемостью под действием штамма «дельта».
S 16000
DC
0 14000
1 12000
5 10000
5 8000
X
I 6000
4000 2000 0
D 100 200 300 400 500
День
Рисунок 7 - Сравнение расчетных данных со статистическими данными в период с 6 марта 2020 г. до 6 сентября 2021 г.
Развитие шестого, седьмого и восьмого периодов происходит под действием штамма «дельта», так как он вытесняет предыдущие штаммы. Шестой период: n = 1,0 млн чел., индексы q1 = 0,27 и q2 = 0,45. Седьмой период: n = 4,0 млн чел., индексы q1 = 0,84 и q2 = 1,4. Восьмой период для штамма «дельта»: n = 1,0 млн чел., индексы q1 = 0,27 и q2 = 0,45.
Одновременно со штаммом «дельта» в восьмой период появляется штамм «омикрон», для которого в качестве начальных значений в восьмой период на 631 день (26 ноября 2021 г.) принято
а = 5 - количество латентных индивидуумов, п = 6,0 млн чел, индексы q\ = 1,8 и д2 = 3,0. Девятый период развивается как продолжение восьмого периода в присутствии практически только одного штамма «омикрон» и представляет собой подъем и спад заболеваемости 5-й «волны». Девятый период - штамм «омикрон»: п = 1,0 млн чел, индексы q\ = 0,27 и q2 = 0,45. Десятый период является продолжением девятого периода и развивается в присутствии только штамма «омикрон»: п = 4,5 млн чел, индексы q\ = 1,02 и q2 = 1,70.
Общий вид кривых, моделирующих развитие эпидемии на всем протяжении с 6 марта 2020 года по 2 октября 2022 года представлен на рисунке 8. На этом рисунке представлены три расчетные кривые: «Модель для 'альфа'», «Модель для 'дельта'» и «Модель для 'омикрон'». Кривая «Модель для 'дельта'» построена с учетом одновременного протекания с 401 дня заболеваемостью штаммами «альфа» и «дельта». Кривая «Модель для 'омикрон'» построена с учетом одновременного протекания с 631 дня заболеваемостью штаммами «дельта» и «омикрон».
Количйст&й случаев
^^—Модельдля "омикрон"
Модель для "дельта" я
Модель для "альфа" ,1
* Статистика
А I к\ \ ! Л
JK Г" \ Р Л-1-1-.—™ \ t \ V / ч 1 Щ.
900 100D
День
Рисунок 8 - Сравнение расчетных данных со статистическими данными в период до 2 октября 2022 года
Рисунок 8 показывает, что рассматриваемая SEIRD-модель хорошо описывает статистические данные по заболеваемости СОУГО-19 в Москве в период с 6 марта 2020 года по 2 октября 2022 года и позволяет учитывать влияние на развитие эпидемии новых штаммов вируса 8ЛК8-СоУ-2.
Заключение. Показана возможность использования на примере города Москвы предлагаемой детерминистской математической SEIRD-модели, учитывающей наличие индивидуумов, находящихся в латентном периоде, и восприимчивых индивидуумов, способных к заражению, для описания развития эпидемии заболевания СОУГО-19 с учетом влияния на развитие продолжающейся эпидемии разных штаммов вируса SARS-CoV-2. Адекватность предложенной модели оценена на примере имеющихся данных о заболеваемости в г. Москве.
Библиографический список
1. Бейли, Н. Математика в биологии и медицине / Н. Бейли. - Москва : МИР, 1970. - 326 с.
2. Kermack, W. O. A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics / W. O. Kermack, A. G. McKen-drick// Proceedings of the Royal Society. - 1927. - Vol. 115, № A771. - P. 700-721.
3. Edelstein-Keshet, L. Mathematical Models in Biology / L. Edelstein-Keshet. - Philadelphia : SIAM, 2005. -
586 p.
4. Hethcote, H. W. The Mathematics of Infectious Diseases / H. W. Hethcote // SIAM Review. - 2000. -Vol. 42, № 4. - P. 599-653.
5. Fanelli, D. Analysis and forecast of COVID-19 spreading in China, Italy and France / D. Fanelli, F. Piazza // arXiv:2003.06031v 1 [q-bio.PE]. - 12 Mar 2020. - Режим доступа: https://arxiv.org/pdf/2003.06031.pdf, свободный. - Заглавие с экрана. - Яз. англ. (дата обращения: 07.10.2022).
6. Piccolomini E. L. Monitoring Italian COVID-19 spread by an adaptive SEIRD model / E. L. Piccolomini, F. Zama // medRxiv preprint. - Version posted 6 April 2020. Режим доступа: https://www.medrxiv.org/con-tent/10.1101/2020.04.03.20049734v1 (дата обращения 07.10.2022), свободный. - Заглавие с экрана. - Яз. англ.
7. Якушева, О. А. Математическая модель эпидемии лихорадки Эбола / О. А. Якушева // Электронная библиотечная система открытого доступа «Научный корреспондент». - Режим доступа:
https://nauchkor.ru/pubs/matematicheskaya-model-epidemii-lihoradki-ebola-587d36545f1be77c40d58cd2, свободный. - Заглавие с экрана. - Яз. рус. (дата обращения: 07.10.2022).
8. Уракова, К. А. Математическое моделирование развития эпидемии геморрагической лихорадки Эбола в Западной Африке / К. А. Уракова, П. В. Храпов // Альманах современной науки и образования. - 2017. -№ 4-5 (118). - С. 97-99. - Режим доступа: https://www.gramota.net/articles/issn_1993-5552_2017_4-5_25.pdf, свободный. - Заглавие с экрана. - Яз. рус. (дата обращения: 07.10.2022).
9. Мартьянова, А. Е. Математическая модель эпидемии заболевания COVID-19 / А. Е. Мартьянова // 64-я Международная научная конференция АГТУ, посвященная 90-летнему юбилею со дня образования АГТУ Астрахань, 20-25 апреля 2020 года : сб. ст. - Астрахань : Изд-во АГТУ, 2020.
\0. Martianova, A. E. Mathematical Model of the COVID-19 Epidemic / A. E. Martianova, V. Yu. Kuznetsova, I. M. Azhmukhamedov // Advances in Social Science, Education and Humanities Research. - 2020. - Vol. 486. -Режим доступа: https://www.atlantis-press.com/proceedings/rtcov-20/125945667, свободный. - Заглавие с экрана. -Яз. англ. (дата обращения: 07.10.2022).
\\. Maxima, A. Computer Algebra System / A. Maxima. - Режим доступа: https://maxima.sourceforge.io/in-dex.html, свободный. - Заглавие с экрана. - Яз. англ. (дата обращения: 07.10.2022).
References
\. Beyli, N. Matematika v biologii i medicine [Mathematics in Biology and Medicine]. Moscow, MIR Publ., 1970. 326 p.
2. Kermack, W. O., McKendrick, A. G. A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics. Proceedings of the Royal 5ociety, 1927, vol. 115, no. A771, pp. 700-721.
3. Edelstein-Keshet, L. Mathematical Models in Biology. Philadelphia, SIAM, 2005. 586 p.
4. Hethcote, H. W. The Mathematics of Infectious Diseases. 5IAMReview, 2000, vol. 42, no. 4, pp. 599-653.
5. Fanelli, D., Piazza, F. Analysis and forecast of COVID-19 spreading in China, Italy and France. arXiv:2003.06031v 1 [q-bio.PE], 12 Mar 2020. Available at: https://arxiv.org/pdf/2003.06031.pdf (accessed 07.10.2022).
6. Piccolomini, E. L., Zama, F. Monitoring Italian COVID-19 spread by an adaptive 5EIRD model. medRxiv preprint, version posted 6 April 2020. Available at: https://www.medrxiv.org/content/10.1101/2020.04.03.20049734v1 (accessed 07.10.2022).
7. Yakusheva, O. A. Matematicheskaya model epidemii likhoradki Ebola [Mathematical model of the Ebola epidemic]. Elektronnaya bibliotechnaya sistema otkrytogo dostupa "Nauchnyy correspondent" [Electronic library system of open access "Scientific correspondent"]. Available at: https://nauchkor.ru/pubs/matematicheskaya-model-epi-demii-lihoradki-ebola-587d36545f1be77c40d58cd2 (accessed 07.10.2022).
8. Urakova, K. A, Khrapov, P. V. Matematicheskoe modelirovanie razvitiya epidemii gemorragicheskoy likhoradki Ebola v Zapadnoy Afrike [Mathematical modeling of the development of the Ebola hemorrhagic fever epidemic in West Africa]. Almanakh sovremennoy nauki i obrazovaniya [Almanac of modern science and education]. Available at: https://www.gramota.net/articles/issn_1993-5552_2017_4-5_25.pdf (accessed 07.10.2022).
9. Martyanova A. Ye. Matematicheskaya model epidemii zabolevaniya COVID-19 [Mathematical model of the COVID-19 disease epidemic]. 64-ya Mezhdunarodnaya nauchnaya konferentsiya AGTU, posvyashchennaya 90-let-nemu yubileyu so dnya obrazovaniya AGTU. Astrakhan, 20-25 aprelya 2020 goda [64th International Scientific Conference of ASTU, dedicated to the 90th anniversary of ASTU]. Astrakhan, AGTU Publ., 2020.
\0. Martyanova A. E., Kuznetsova V. Yu., Azhmukhamedov I. M. Mathematical Model of the COVID-19 Epidemic. Advances in 5ocial 5cience, Education and Humanities Research, 2020, vol. 486. Available at: https://www.at-lantis-press.com/proceedings/rtcov-20/125945667 (accessed 07.10.2022).
\\. Maxima, A. Computer Algebra 5ystem. Available at: https://maxima.sourceforge.io/ru/index.html (accessed 07.10.2022).
