Самовозгорание пластины при несимметричном ньютоновском теплообмене на ее поверхностях Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 614.84:664

САМОВОЗГОРАНИЕ ПЛАСТИНЫ ПРИ НЕСИММЕТРИЧНОМ НЬЮТОНОВСКОМ ТЕПЛООБМЕНЕ НА ЕЕ ПОВЕРХНОСТЯХ

В. Л. Крылов

ООО "Галакс+"

Рассмотрена задача о самовозгорании пластины при несимметричном теплообмене на обеих ее поверхностях, задаваемых по закону Ньютона. Изучен общий случай теплоотдачи на границах пластины при изменении критерия Био от нуля до бесконечности, решение получено для реакции нулевого порядка с помощью системы трансцендентных уравнений численным методом. Найдены интерполяционные уравнения для расчета критической величины параметра Франк-Каменецкого, с помощью которого можно определять условия самовозгорания отложений в трубопроводах и сушилках.

Наиболее опасными процессами, с точки зрения возникновения самовозгорания, являются производства, в которых перерабатываются горючие дисперсные вещества в нагретом состоянии. Вероятность развития процесса самовозгорания существенно увеличивается, если вещество дополнительно подвержено внешнему нагреву. Источник внешнего нагрева может находиться снаружи (нагретые поверхности технологического оборудования) и внутри (поток нагретого воздуха в вентиляционных трубопроводах) горючего материала.

Опасность самовозгорания особенно велика для процессов сушки веществ и материалов. Эта опасность возрастает с увеличением толщины слоя пыли, осевшей на стенки оборудования, или ростом интенсивности нагрева вследствие нарушения температурного режима работы сушилок.

Теоретический анализ несимметричного воспламенения пластины подробно исследован в работах [1,2]. Помимо предельного случая локального зажигания при фиксированных температурах на поверхностях пластины, рассмотренного Франк-Каменецким [3], и решения аналогичной задачи Томасом и Баусом [4, 5], в этих работах сформулированы условия возникновения несимметричного теплового взрыва в более общей, чем в работах [3 - 5], формулировке.

Определим условие возникновения несимметричного теплового взрыва при произвольном конвективном теплообмене на обеих сторонах пластины, осуществляемого по закону Ньютона. Примером такой модели может быть самовоспламенение отложений в вентиляционных трубопроводах.

Рассмотрим бесконечный плоскопараллельный слой, ограниченный двумя поверхностями, одна из которых находится в газовой атмосфере с температурой Тг, а другая — с температурой Тх.

В качестве определяющей температуры в преобразовании Франк-Каменецкого примем температуру Тг, так как при большой разнице температур скорость реакции у холодной поверхности пренебрежимо мала. В соответствии с этим параметр 5 и безразмерная разность температур определяются выражениями:

5 =

_ бР^0г Е - {Е/КТг ).

ХЯТ2

Е

ЯТ

(Т - т).

2 4 г

(1)

(2)

Ввиду несимметричности задачи переменная ^ отсчитывается от горячей стенки и меняется от 0 до 2.

Для стационарной задачи о тепловом взрыве, описываемом уравнением

Ё_0 ^2

_5е ,

(3)

общим решением является выражение:

0 _ 21п еН(Ь - ) - 1п а, (4)

где а и Ь — постоянные интегрирования.

Граничными условиями для рассматриваемой задачи будут:

0, Б1 г0;

2, — _-Шх(0-0о).

В уравнениях (1) - (6): ^ = х/г — безразмерная координата; г — полуширина пластины;

(5)

ПОЖАРОВЗРЫВОБЕЗОПАСНОСТЬ 6'2003

Б1г, Б1х — критерии Био на горячей и холодной сторонах пластины соответственно, Б1г = аг г/Х,

Б1х = ахг/Х;

аг, ах — коэффициенты теплоотдачи на горячей и холодной сторонах пластины соответственно; Х — теплопроводность материала пластины; р — плотность материала; к0 — предэкспоненциальный множитель; Q — тепловой эффект реакции; Е — энергия активации реакции окисления пластины;

Я — универсальная газовая постоянная; 90 — начальный температурный перепад,

" Е Т - Тх).

'о

ЯТ 2

Подстановка условий (5) и (6) в выражение (4) приводит к системе уравнений, связывающих параметры задачи с постоянными интегрирования и удовлетворяющих граничным условиям задачи:

л/2о5 НЬ + 2Б1 г 1п еНЬ - Б1 г 1п а = 0; (7)

л( Ь -4ш) - 2Б1 х 1п еН( Ь -422ааЕ) +

+ Б1 х (1п а + 9 0) = 0. (8)

Попытаемся найти связь 5 с параметрами, характеризующими интенсивность теплообмена пластины с окружающей средой для частного случая больших Ь. В этих условиях:

еНЬ - еЬ12; (9)

еНЬ -1. (10)

Подставляя условия (9) и (10) в выражение (7), найдем величину постоянной Ь:

Б1 _ 1п 4а - 4 2а5

Ь = -

2Б1,

(11)

Рассмотрим второе уравнение системы (8). Нетрудно показать, что при больших Ь

Н( Ь -4205) - 1; (12)

Ь-41а&

еН (Ь -4 2а5):

(13)

Решая уравнение (8) относительно 5 с учетом (11)- (13), получим

5= ± 2а

Б1, Б1 х

2

ч Б1 г + Б1 х + 2Б1 г Б1 х ,

2. 0.

(14)

Полученное соотношение будет критическим, если в него подставить критическую величину а.

Так, при больших 90 и симметричном теплообмене а =1 [3]. Подставляя эту величину в уравнение (14) и устремляя Б1г, Б1х к бесконечности (интенсивный теплообмен, на всей поверхности задана

температура), будем иметь 5 Кр =9 2 /8 — результат, полученный Франк-Каменецким в работе [3].

Интересно отметить, что из соотношения критериев Био, представленного в скобках уравнения (14), легко получается зависимость 5кр от Б1 при несимметричном теплообмене пластины с воздухом, когда на одной ее поверхности температура задана, а на другой осуществляется конвективный теплообмен [5]:

5 = 1| Б1 5 Кр 21 1 + 2Б1

(15)

Важно отметить (см. уравнения (14) и (15)), что комплекс, определяющий зависимость 5кр от параметров Б1, входит в эти уравнения отдельным сомножителем, не связанным с другими параметрами задачи. При численном решении задачи можно использовать это обстоятельство для упрощения поиска интерполяционного уравнения, так как вид функции, описывающей теплообмен, становится известным.

Выражения (7) и (8) определяют соотношения между параметрами а, 5, Ь, Б1г, Б1х, 90 для множества стационарных состояний, соответствующих различным случаям теплообмена, задаваемых граничными условиями (5) и (6). Критическое условие является одним из этого множества состояний. Для того, чтобы получить это условие, необходимо продифференцировать по а уравнения (7) и (8) и приравнять производную А5/Аа нулю.

Пользуясь правилами дифференцирования двух функций, заданных в неявном виде, получим:

^ 4 2а5

+ 2Б1 ,ЛЬ

\

еН 2 Ь

у

л/2а5 2Б1 т 5

Н (Ь -4205) -

Б1

еН2(Ь -4205) 4205

Н (Ь -А/205 ) + —

42а5

_еН 2( Ь -4205)

- 2Б1 х н ( Ь -4205)

5 ,и Б1 * НЬ - —

л/2а5

= 0.

(16)

Система алгебраических трансцендентных уравнений (7), (8) и (16) полностью решает поставленную задачу.

Решение системы проводилось на электронно-вычислительной машине. Находилась функция 5кр = /(Б1г, Б1х, 90) при различных значениях параметров Б1г, Б1х, 90. При этом была использована установленная выше связь:

кр

Б1 Б1

2

Б1, + Б1„ + 2БиБи

2

Расчеты проводились в следующих диапазонах изменения параметров:

2 < Bi,, Bix < 50;

о < е0 < 40.

Как показали непосредственные расчеты, постоянная интегрирования а практически не зависит от В1, и также, как в работах [1,2], может быть вычислена по формуле:

a = 1 + 2,28е

-о,б5е0

(17)

Анализ численных решений показал, что если теплообмен на горячей и холодной поверхностях пластины осуществляется по закону Ньютона, то критическая величина параметра Франк-Каменец-кого может быть рассчитана по эмпирической формуле:

О 12

О кр = —

a

Bi Bi

\ 2

v Biг + Biх + 2Biг Biх ,

(1 + 0,05е2). (18)

Расчет по формуле (18) дает ошибку менее 10% при В1,, В1х > 10. При этом параметр а следует вычислять по выражению (17). Легко видеть (18), что при симметричном теплообмене (90 = 0, акр = 3,28) и В1,, В1Х ^ да величина 5кр = 0,91 практически совпадает с теоретическим значением 5кр = 0,88.

Область определения критериев Bi,, Bix и е0

е0 < 2,5 4 5 7 10 13 20 27 40

Bi, ,Bix > 2 3 4 6 8 10 15 20 30

При той же точности расчета для приведенной в таблице области определения критериев В1,, В1Х и 90 критические условия при несимметричном теплообмене пластины могут быть найдены по формуле:

s кр=^a

Bi, Bi x

2

v Biг + Bix + 2Biг Bix ,

X {е0 + 2 ln [2(a + 7a(a - 1))]}:

(19)

где параметр а, как и прежде, рассчитывается по равенству (17).

В заключение следует отметить, что полученные интерполяционные соотношения (18)и(19)по-зволяют рассчитывать критическую температуру горючих материалов практически при всевозможных случаях конвективного теплообмена пластины с окружающей средой и могут быть применены для расчета условий самовозгорания отложений в воздуховодах, сушилках и других аппаратах.

ЛИТЕРАТУРА

1. Gorshkov V. I., Ivanov Thermal V. V. Explosion at Unsymmetrical Heat Exchange on Borders of a Flat Vessel // Second International Seminar "Fire-and-Explosion Hazards of Substances and Venting of Deflagrations". — Moscow, 1997. — P. 593 - 601.

2. Горшков В. И., Амелин И. Э., Иванов В. В., Киселев В. Я. Тепловой взрыв при несимметричном теплообмене на границах плоского сосуда // Пожаровзрывобезопасность. 1997. Т. 6. № 2.С. 3 - 7.

3. Франк-Каменецкий Д. А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. — М.: Наука, 1967. — 442 с.

4. Thomas P. H., Bowes P. С. //Trans. FaradaySoc. 1961. V. 57. P. 2007.

5. Bowes P. С. Selfheating Evaluating and Controlling the Hazards. — London, 1984. — P. 500.

Поступила в редакцию 10.11.03.