CC BY
10УДК: 537.52:519.624 MSC2010: 00A72
САМОСОГЛАСОВАННАЯ ПО ВНУТРЕННИМ И ВНЕШНИМ
ПАРАМЕТРАМ МОДЕЛЬ ВЫСОКОЧАСТОТНОГО ИНДУКЦИОННОГО РАЗРЯДА ПОНИЖЕННОГО ДАВЛЕНИЯ © В. С. Желтухин, А. Ю. Шемахин, Т. Н. Терентьев, Е. С. Самсонова
Казанский (Приволжский) федеральный университет ул. Кремлевская, 18, Казань, 420008, Российская Федерация e-mail: terentievt@yandex.ru
Self-consistent in internal and external parameters model of indactively coupled RF discharge at low-pressure.
Zheltukhin V. S., Shemakhin A. Yu., Terentiev T. N., Samsonova E. S.
Abstract.
A model of a low-pressure ICRF discharge is considered as a nonlinear eigenvalue problem with a parameter for a system including electron balance equations and Maxwell's equations with mixed boundary conditions. The problem is considered in a cylindrical coordinate system for a plasmatron with solenoid coil. Maxwell's equations are considered in the transformed form to a system of elliptic equations in the squares of the modulus of electric and magnetic strengths. The coefficients of ambipolar diffusion, the ionization frequency and the frequency of elastic collisions of electrons with atoms and ions are assumed to be functions of the reduced electric field E(r)/N, they are calculated by the BOLSIG+ program using the LXCAT cross-section database. It is shown that the spectral parameter of the problem is the electric field strength at the discharge boundary Er , and the free parameter is the value of the electron concentration in the center of the plasma bunch neo. A condition for the existence of a nontrivial solution of the system is obtained as a nonlinear function of the smallest eigenvalue of the auxiliary linear Sturm-Liouville problem versus the value of the electric field strength at the discharge boundary. This approach makes it possible to find not only the self-consistent distribution of the electron concentration, electric, and magnetic fields in the discharge, but also to relate the value of neo (an internal parameter) with the inductor current I;md (an external parameter). A program in Python has been developed to solve the system of boundary value problems. The equations of the system were discretized by the finite differences. The system of difference equations was solved using the Seidel-type iteration. The results of calculating the dependences of neo, electric and magnetic fields on Iind for an IC RF discharge in a discharge chamber 24 cm in diameter at a pressure of 60 Pa and a generator frequency of 13,56 MHz are presented.
Keywords: ICRF discharge, low pressure, numerical simulation, self-consistent model, eigenvalue problem, electron balance equation, Maxwell's equations, electron concentration, electric field strength, magnetic field strength, inductor current.
1. Введение
Высокочастотный индукционный разряд по природе своей является самосогласованным явлением, в котором пространственное распределение заряженных частиц подстраивается под изменение электрического поля, а поле подстраивается под изменение концентрации заряженных частиц. Для исследования условий самосогласованности модели разработана одномерная математическая модель, которая представляет собой систему краевых задач:
1 в,
г I
1 в ( £) впе\
г ¿г \ а ¿г )
+ ^Пе = 0,
(1)
¿пе
¿V
г=0
= 0,
¿пе
¿г
г=Я
= 7 Пе
г=Я
1 в /г г ¿г \ а ¿Н 2
/гвН 2\ \а ¿г )
=2аЕ 2,
¿г 1 ¿ г ¿г
г=0
= 0, Н 2(Я)= Н2н,
1 ¿ (г2Е2)
г ¿г ¿
= 2(^0ш)2 Н2,
Е(0) = 0, — (г2Е2) = 2^шЯ2 |Е| |Н|,
¿г х ' г=Я
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
где г — радиальная координата, Я — радиус разрядной трубки, пе = пе(г) — концентрация электронов, Ба = Ба [Е (г) /Ы] — коэффициент амбиполярной диффузии, V = V [Е (г) /Ы] — частота ионизации, N — концентрация нейтральных атомов, 7 — коэффициент отражения электронов от потенциального барьера, создаваемого двойным слоем у стенки разрядной камеры, Н = Н(г) = |Нг (г)| — модуль аксиальной составляющей напряженности магнитного поля, Ня — напряженность магнитного поля, создаваемая на границе разряда индуктором, Е = Е(г) = |Еф(г)| — азимутальная составляющая напряженности электрического поля, ш = 2п/ — циклическая частота, / — частота генератора, ^0 — магнитная постоянная, а = а(г) — проводи-
мость плазмы,
2
_ пе е2Ус
а = те {У2С + ш2), ( )
е — заряд электрона, ь*с [Е (г) /Ы] — частота упругих столкновений электронов с атомами и ионами, те — масса электрона. Значение напряженности магнитного поля на границе разряда, создаваемое индуктором, может быть задано по формуле Н ~ /инд/2Я, где 1инд — ток индуктора. В системе (1)-(7) коэффициенты Ба, ис
вычисляются с помощью программы Б0Ь8Ю+ [1]—[3] с использованием базы данных сечений реакций ЬХСАТ [4].
Уравнения (3), (5) представляют собой уравнения Максвелла, преобразованные к системе вещественных эллиптических уравнений относительно квадратов модулей напряженностей [5] в предположении, что Их, Еф ~ вхр(гш1), где г — мнимая единица, £ — время.
2. условия существования нетривиального решения уравнения
баланса электронов
Одним из решений уравнения (1) с граничными условиями (2) является тривиальное: ne(r) = 0, 0 ^ r ^ R, а любое нетривиальное решение ne(r) = 0, если оно существует, определяется с точностью до произвольного множителя. Нетрудно убедиться, что, если ne(r) — некоторое нетривиальное решение задачи (1), (2), то функция n^t^(r) = Cne(r), где C — произвольная константа, тоже является решением.
Это означает, что уравнение ((1)) с граничными условиями ((2)) есть задача на собственные значения. При этом в исходной постановке коэффициенты уравнения Da и Vi задаются из физических соображений и каких-либо дополнительных множителей в правой части уравнения не предусматривается.
Для того, чтобы определить, что же является спектральным параметром задачи, приведем ее к безразмерному виду, вводя переменные
р = r/R, n(p) = ne(pR)/ne o, ne o = ne (0), E(p) = E(pR)/ER, Er = E(R) = max E(r), p = Er/N,
r
D [цЁ(р)] = Da [E(pR)/N] /Dao, Dao = max Da [E(r)/N], V [pE(p)] = Vj [E(pR)/N] /Vio, vto = max иг [E(r)/N] .
В рассматриваемом диапазоне напряженностей электрического поля и давлений газа коэффициенты задачи (1), (2) являются возрастающими функциями отношения E(r)/N, при этом E(r) — также возрастающая функция радиальной координаты. Поэтому Dao = Da(ER/N), Vio = Vj(Er/N).
Подставляя новые переменные в уравнение (1) и граничные условия (2), получим
р
dn
1 d/-dn\T--
-— [rD— + \un = 0, (8)
p dp \ dp J
dp
-dn
= 0, -D—
p=o dp
= an
p=l
, (9)
p=i
где
Л =
Я2Щ0
а =
7Я
(10)
Ба0 Ба0
Очевидно, что уравнение (8) с граничными условиями (9) является обобщенной задачей на собственные значения.
Из теории краевых задач [6] известно, что обобщенная задача на собственные значения (8), (9) имеет нетривиальные решения на дискретном множестве вещественных значений параметра {Л0, Л1, Л2,...}, где {Л0 < Л1 < Л2 < ...}. Собственные функции пк, к = 0,1, 2,..., отвечающие собственным значениям {Лк, к = 0,1,2,...} определяются с точностью до произвольного множителя; принято нормировать их к единице, полагая \\щ || = 1. Существует единственная неотрицательная собственная функция п0 ^ 0, п0 = 0, отвечающая наименьшему собственному значению Л0. Так как концентрация по определению не может быть отрицательной величиной, то задача (8), (9), а следовательно, и задача (1), (2) являются задачами на определение наименьшего собственного значения и отвечающей ему неотрицательной собственной функции.
Известно [7, 8], что минимальное собственное значение является инфимумом отношения Рэлея,
Л0 = И
п=0
к э2
Р ¿р! / ЛП2р ¿р,
(11)
00
который достигается на собственной функции, соответствующей наименьшему собственному значению. Так как, по определению, функции Б, Л ^ 1, то из соотношений (10), (12) следует, что
Л0 = Л0 М = Л0(Ея /Ы). (12)
Отметим, что последнее равенство не является тождеством и не может быть выполнено при произвольных значениях Ея в силу нелинейности зависимостей Ба(Ея/Ы) и ) и независимости от них отношения Рэлея (11). Поэтому его
необходимо рассматривать как уравнение для определения значения Ея (концентрация нейтральных частиц N в данной задаче предполагается постоянной).
Произведем в уравнении (8) и граничных условиях (9) обратную замену переменных, приводя их к размерному виду. Получим краевую задачу
1 ¿ ¿пе
г ¿г ( а ¿г^
+ \и^пе = 0,
¿пе ¿г
¿пе
= 0, -Ба ¿п-
г=0 аг
г=Я
= 7 Пе
г=Я
(13)
(14)
1
где
Л = Л
D.
аО
R2Vi0
(15)
Очевидно, что задача (13), (14) также является задачей на собственные значения. Ее минимальное собственное значение
я я
Ло (Er/N) = inf
n=0
Da{ IT) TdrL
ViUer dr
= Ло (ER/N) R5V00 = L (16)
.0 0 Отметим, что последнее равенство в (16), также как и равенство (12), не является тождеством, оно представляет собой уравнение, задающее дополнительное условие разрешимости задачи (1), (2), а, следовательно, и системы (1)-(6) в целом. Так как собственные функции задачи (13), (14) определяются с точностью до произвольного множителя, то значение пе0 является свободным параметром, для определения которого необходимо привлечь дополнительную информацию.
3. условие согласования внутренних и внешних параметров задачи
В соответствии с соотношением (7), свободный параметр пе0 является множителем в уравнении (3). Дважды интегрируя это уравнение, получим
Н2 (г) = 2 У J аЕ¿г + С1пг + С2, (17)
где С = 0, а С2 определяется граничным условием Н2 (Я) = Н\. Отсюда видно, что при фиксированном значении Ня увеличение пе0 ведет к уменьшению Н2(0). Следовательно, верхняя граница пе0 определяется соотношением Н2(0) ^ 0.
При пе0 = 0 решением задачи (3), (4) является Н2 (г) = НЯ, 0 ^ г ^ Я. Таким образом, свободный параметр задачи (1)-(6) должен удовлетворять неравенству 0 ^ пе0 ^ пеЬ, где пеЬ определяется условием Н2(0) = 0. Из задачи (5), (6) следует, что
Е2(г) = 2^ 1'Н2г<1г^г<1г + С + С2, (18)
где С\ = С2 = 0. Видно, что при уменьшении (увеличении) Н2 (г) на отрезке 0 ^ г ^ Я значения Е2(г), а следовательно, и Е(Я) уменьшаются (увеличиваются). Отсюда следует, что значение Ея = Е(Я), удовлетворяющее уравнению
А0 (Ея/М) = 1, (19)
может быть найдено подходящим выбором пе0.
4. Обсуждение и результаты моделирования
Резюмируя вышесказанное, условие самосогласованности задачи (1)—(6) по внутренним и внешним параметрам формулирается в виде следующего утверждения.
Утверждение. Задача (1)—(6) представляет собой параметрическую задачу на собственные значения, в которой спектральный параметр Ед = Е(Я) входит нелинейно в коэффициент и правую часть подзадачи (1), (2), а свободный параметр пе0 = пе(0), являясь нормирующим множителем этой подзадачи, определяется так, чтобы значение Ед было решением подзадачи (3)-(6) при заданном значении напряженности магнитного поля Нд на границе разряда. Спектральный параметр Ед определяется как решение уравнения А0(Ед/Ж) = 1, где А0 — наименьшее собственное значение вспомогательного уравнения
с граничными условиями (2).
Так как граничное значение напряженности магнитного поля определяется током индуктора 1инд (см. выше), то учет самосогласованности системы краевых задач (1)-(7) и наличие свободного параметра позволяют решать прямую и обратную задачи:
1) при заданном токе индуктора найти самосогласованное распределение внутренних параметров разряда ne(r),E(r),H(r) и значение значения концентрации электронов в центре разряда neo;
2) для заданного значения концентрации в центре разряда neo найти ток индуктора, обеспечивающий поддержание разряда с такими характеристиками.
Для решения системы краевых задач (1)—(6) разработана программа на языке Python. Уравнения системы дискретизовались методом конечных разностей. Система разностных уравнений решалась с применением метода итераций типа Зейделя.
Результаты расчетов по этой модели позволили установить зависимость концентрации электронов в сгустке разряда от тока индуктора для поддержания ВЧИ-разряда в разрядной камере диаметром 2,4 см при давлении 60 Па и частоте генератора 13,56 МГц (рис. 1).
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 19-71-10055).
(20)
Рис. 1. Зависимость концентрации электронов в плазменном сгустке в условиях поддержания ВЧИ-разряда при давлении 60 Па для генератора с частотой 13,56 МГц.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. BOLSIG+. Electron Boltzmann equation solver. — URL: http://www.bolsig. laplace.univ-tlse.fr/ Latest version: 12/2019 (beta)
2. BOEUF J. P., PITCHFORD L. C. (1995) Two-dimensional model of a capacitively coupled rf discharge and comparisons with experiments in the Gaseous Electronics Conference reference reactor. Physical Review E.. Vol. 51(2). p. p. 1376.
3. HAGELAAR G. J. M., PITCHFORD L. C. (2005) Solving the Boltzmann equation to obtain electron transport coefficients and rate coefficients for fluid models. Plasma Sources Science and Technology. Vol. 14(4). p. p. 722.
4. UBC database, Database of scattering cross sections. — URL: www.lxcat.net, retrieved on November 12, 2019
5. ABDULLIN I. SH., ZHELTUKHIN V. S. Matematicheskoe modelirovanie indukcionnogo diffuznogo razryada / Abdullin I. Sh., Zheltukhin V. S. // Izv. Sib. Otd-niya AN SSSR. Ser. tekhn. nauk.. — 1985. — No 16(3). — C. 106-109.
6. LADYZHENSKAYA O. A., URAL'CEVA N. N. (1973) Linejnye i kvazilmejnye uravneniya ellipticheskogo tipa. M.: Nauka.
7. PARLETT B. N. (1980) The Symmetric Eigenvalue Problem. Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall, Inc. XX. p. 348.
8. DUNFORD N., SCHWARTZ J. T. (1963) Linear Operators. Part II. Spectral Theory Self Adjoint Operators in Hilbert Space. N. Y., London: Intersci. Publ.
