CC BY
197
УДК 531.1, 539.3, 539.215
Самоорганизованная критичность деформационных процессов и перспективы прогноза разрушения
П.В. Макаров
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
Предсказания, истинные для всей шкалы явлений — от малых масштабов до крупных, — составляют главную цель физики.
Г. Постон, Й. Стюарт
Обсуждаются общие нелинейные свойства неупругой деформации и разрушения нагружаемых твердых тел и сред, а также подобные свойства численных решений нелинейной системы уравнений в частных производных, моделирующих деформационные процессы. Автомодельность накопления неупругих деформаций/повреждений во всей иерархии масштабов от межатомных расстояний и вплоть до формирования тектонических разломов в земной коре во многие тысячи километров обуславливает качественное подобие сценариев разрушения независимо от масштабов деформационного процесса и реологических свойств среды. Такими общими свойствами деформируемых систем являются пространственная локализация накопления повреждений/ неупругих деформаций во всей иерархии масштабов, дальнейшая локализация деформационного процесса во времени как сверхбыстрого автокаталитического процесса (режима с обострением), наличие медленной динамики (формирование деформационных фронтов — медленных движений), а также миграция деформационной активности вследствие длинных пространственновременных корреляций, охватывающих всю иерархию масштабов. Таким образом, разрушение развивается как последовательность катастроф нарастающих масштабов вплоть до макроскопического. Показано, что самоорганизованная критичность любых деформируемых систем не исключает возможности предсказания времени и места будущего катастрофического события. Индикаторами такого крупномасштабного события могут служить следующие процессы: замирание деформационной активности в ближней окрестности формирующейся магистральной трещины или разлома; генерация в ближайшей зоне формирующегося очага разрушения цугов деформационных фронтов (фронтов повреждений) и их стекание к месту формирующейся магистральной трещины (разлома).
Ключевые слова: прогноз разрушения, нелинейная динамика, локализация повреждений, самоорганизованная критичность, численное моделирование, режимы с обострением, медленные движения
Self-organized criticality of deformation and prospects for fracture prediction
P.V. Makarov
Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia
The paper considers common nonlinear characteristics of inelastic deformation and fracture of loaded solids and similarity of numerical solutions of a nonlinear set of relevant partial equations. The self-similarity of inelastic strain and damage accumulation in the entire hierarchy of scales — from interatomic distances up to tectonic faults of many thousands of kilometers in the Earth crust — ensures qualitative similarity of fracture scenarios whatever the scale of deformation and rheological behavior of a medium. The common properties of deformed systems are the spatial localization of inelastic strain and damage accumulation in the entire hierarchy of scales, the further temporal strain localization as a superfast autocatalytic blow-up process, slow dynamics (deformation fronts or slow motions), and strain activity migration due to long-range space-time correlations over the entire hierarchy of scales. Thus, fracture evolves as a sequence of catastrophes of increasing scales up to the macroscale. It is shown that the self-organized criticality of any deformed system does not exclude the possibility to predict the time and place of a future catastrophic event. Indicators of this large-scale event can be (i) frozen strain activity in the immediate vicinity of the formed main crack or fault and (ii) generation of trains of deformation fronts (damage fronts) in this region and their flow toward the site of the formed main crack (fault).
Keywords: failure prediction, nonlinear dynamics, damage localization, self-organized criticality, numerical simulation, blow-up modes, slow motion
© Макаров П.В., 2010
1. Введение. Физическая мезомеханика и нелинейная динамика
Уже прошло почти 30 лет, как впервые академиком В.Е. Паниным с соавторами была сформулирована концепция структурных уровней деформации [1, 2], которая положила начало новому научному направлению — физической мезомеханике деформируемых материалов и сред. В рамках этого направления как его основоположником В.Е. Паниным, так и его последователями и учениками разработаны новые экспериментальные и теоретические методы и подходы исследования деформации и разрушения нагружаемых материалов и сред уже как многомасштабных иерархических систем, эволюция которых в полях действующих сил происходит по законам нелинейной динамики или синергетики [318]. Синергетика как теория самоорганизации и нелинейная динамика в целом объяснили очень многое, прежде всего, дали общую схему любого эволюционного процесса. Особенно впечатляют работы, в которых экспериментальные данные обрабатываются методами нелинейной динамики (некоторые важные примеры будут обсуждены ниже). Однако практически неразрешимой оказалась проблема изучения эволюции реальных природных и физических систем, так как их поведение моделируется уравнениями в частных производных, а методов анализа общих свойств решений таких уравнений практически не существует. Исключением является быстро развивающаяся область нелинейной динамики — асимптотология, или асимптотическая математика, развивающая методы асимптотического анализа сложных математических моделей реальных объектов [19].
Как и нелинейная динамика, физическая мезомеханика фактически изучает эволюционный процесс [15, 16, 20, 21] специфической нелинейной системы — нагружаемого твердого тела или прочной, например геологической, среды [21, 22]. Поэтому теоретическая физическая мезомеханика в этом смысле является разделом нелинейной динамики. Все открытые классической нелинейной динамикой или синергетикой законы эволюции сложных нелинейных систем в полной мере демонстрируются нагружаемыми твердыми телами и средами. Это мы видим как в экспериментах [13, 16, 23], так и при решениях соответствующих уравнений, описывающих эволюцию деформируемого твердого тела в полях действующих сил [15, 20]. Если нелинейная динамика изучала и в подавляющем большинстве изучает до сих пор особенности решений базовых уравнений синергетики, таких как уравнения теплопроводности или диффузии, Гинзбурга-Ландау, Кортевега-де Фриза, кубическое уравнение Шредингера (и другие его формы), более простые дифференциальные уравнения, допускающие аналитический анализ особенностей их решения [24-31], то попытки привлечения этих базовых
уравнений к анализу поведения реальных физических и природных систем или к исследованию прикладных проблем очень часто бесполезны и некорректны по той простой причине, что эти уравнения в подавляющем большинстве подобных попыток не являются строгой математической моделью изучаемого явления. Схожесть основных черт и особенностей эволюционных сценариев — пороговость физических явлений, пространственно-временная локализация процессов, наличие сверхбыстрых режимов эволюции (режимов с обострением), бифуркации и смена эволюционных сценариев, корреляционное поведение элементов системы в широком диапазоне масштабов, явление самоорганизации и многое другое — вовсе не означает схожесть самих сценариев эволюции различных нелинейных систем. Сами сценарии, скорее всего, будут кардинально различаться, более того, классическим примером является чувствительность многих нелинейных систем к малейшим изменениям коэффициентов уравнения — система демонстрирует иные сценарии эволюции. Так, незначительное изменение коэффициентов в тримоле-кулярной модели химической кинетики — брюсселя-торе — приводит к различным сценариям: мы можем получить кольца, спирали, многоходовые спирали и т.д. [29, 30], т.е. даже в рамках одного и того же уравнения различное задание свойств нелинейной среды определяет различные типы диссипативных структур, их многомерную архитектуру и эволюцию во времени [31].
Для корректного теоретического изучения эволюции любого реального процесса, прежде всего, надо построить его реалистичную математическую модель, сформулировать задачу как эволюционную и анализировать решения соответствующих нелинейных уравнений [20, 22], а не привлекать для анализа хорошо изученные базовые уравнения по той простой причине, что их решения демонстрируют, например, наблюдаемый эффект обострения или локализацию параметров. Понятно, что за редким исключением это будут системы уравнений в частных производных, допускающие только их численное решение. Проблема анализа численных решений уравнений в частных производных как уравнений, описывающих эволюцию реальных физических процессов или дающих решение прикладной проблемы, назрела уже давно и является одной из актуальнейших проблем нелинейной динамики. Нами показано [20, 22, 32], что решения уравнений в частных производных механики деформируемого твердого тела демонстрируют все специфические черты эволюции динамических нелинейных систем (они перечислены выше), когда решаемая динамическая задача поставлена как эволюционная [20]. Именно привлечение многими исследователями к анализу эволюции реальных природных и физических систем хорошо изученных базовых уравнений синергетики мало что дает, кроме уже известных
общих рассуждений об особенностях эволюционного процесса, не позволяет получить количественные характеристики эволюции и порождает скепсис у научной общественности к возможностям и эффективности методов нелинейной динамики.
Новая парадигма физической мезомеханики оказалась настолько плодотворной, что несмотря на огромные успехи и новое понимание закономерностей деформационных процессов и разрушения перед исследователями открываются все новые перспективы и возможности исследования актуальных проблем прочности материалов и конструкций на базе идей и подходов физической мезомеханики материалов.
Одной из таких «вечных проблем» является проблема прогноза места и времени будущего разрушения, будь то лабораторный образец, деталь конструкции, катастрофическое обрушение кровли в шахте или формирование разлома в земной коре, приводящее к землетрясению. Думается, что парадигма физической мезо-механики, которая рассматривает деформируемую среду как многомасштабную нелинейную систему, в корне должна изменить и понимание, и подходы к решению этой проблемы.
Теоретический анализ особенностей эволюции деформируемых нелинейных систем в настоящей работе проводится на основе развиваемой автором с коллегами математической теории эволюции нагружаемых твердых тел и сред [20, 32]. Анализируются численные решения динамических уравнений механики деформируемого твердого тела.
2. Проблема прогноза разрушения и самоорганизованная критичность нелинейных деформационных систем
Если задать простой, но очень важный вопрос: можно ли говорить сейчас о какой-либо простой, но эффективной инженерной методике прогноза места и времени разрушения и есть ли основания надеяться на разработку такого метода в ближайшем будущем, то ответ на первую часть вопроса будет нет, а на вторую — да.
Традиционный критериальный подход феноменологической макроскопической механики разрушения в принципе не способен решать проблему прогноза. Согласно традиционному взгляду, например, на ст-е-диа-грамму деформируемого образца металлического поликристалла (рис. 1) сперва мы наблюдаем различные стадии деформационного упрочнения, а затем, при достижении предела прочности, — разрушение. Подобный взгляд традиционен и для трактовки разрушения хрупких материалов и сред, только там за упругой деформацией небольшой участок восходящей ветви деформационной кривой трактуется как неупругая деформация, возникающая вследствие податливости среды за счет накапливаемых ею повреждений. Возникает вопрос: как
" - ^тек
В \
А
°ср/
Рис. 1. Прочность среды как многомасштабной системы: ст*ек — текущая интегральная прочность повреждаемой во всей иерархии масштабов среды, стср — среднее макроскопическое напряжение в среде, стт — предел «текучести», ств — наблюдаемый предел прочности
поврежденная среда может быть прочнее менее поврежденной при меньших неупругих деформациях? Этот же вопрос можно адресовать и к идее деформационного упрочнения. Рост средних по образцу напряжений и в пластичных, и в хрупких материалах не имеет никакого отношения к реальной локальной прочности нагружаемого материала, которая существенно выше средних по образцу макроскопических напряжений, отражаемых ст-е-диаграммой. Эта локальная прочность нагружаемой среды может только падать вследствие накопления ею на микро- и мезомасштабах дефектов и повреждений различной физической природы. Когда медленная квазистационарная стадия накопления повреждений сменяется сверхбыстрым автокаталитичес-ким процессом — режимом с обострением в локальной области разрушения, то в этой области также обвально уменьшается и локальная прочность, резко падают и средние по образцу напряжения. Точка пересечения С на рис. 1 этих кривых — локальной прочности деградировавшего материала и средних по образцу напряжений — и принимается за макроскопическую прочность. Формально это можно использовать в расчетах, но фактически возникает иллюзия, что разрушение происходит в областях с высоким уровнем напряжений, в то время как в действительности в локальном очаге формирующегося разрушения локальные напряжения на соответствующих мезоскопических масштабах всегда будут существенно ниже средних вследствие их релаксации на развивающихся повреждениях и мезотре-щинах, и тем они будут меньше, чем дальше зашел процесс разрушения, чем ближе он к сверхбыстрому катастрофическому режиму. Другая сторона проблемы состоит в том, что понять и изучить механизмы разруше-
ния, а тем более научиться их предсказывать, фиксируя внимание только на макроскопическом масштабе усредненного описания, невозможно в принципе. Фундаментом эволюционной концепции разрушения являются идеи иерархичности и многомасштабности деформационных процессов — базовые идеи и физической ме-зомеханики, и нелинейной динамики. Понимание этого — первый шаг к построению прогностической модели разрушения. Рост же средних макроскопических напряжений объясняется многими хорошо уже изученными причинами, например нарастанием стесненности деформаций (дилатансионное «упрочнение» хрупких материалов), дислокационными и другими микромеханизмами в пластичных материалах.
Другие фундаментальные свойства эволюции деформируемого твердого тела как нелинейной многомасштабной системы позволяет выявить нелинейная динамика. Нелинейная динамика дает новый взгляд и на проблему прогноза [33, 34]. По образному выражению авторов работы [34], «нелинейная динамика лишила нас иллюзии глобальной предсказуемости: мы не можем предсказать, начиная с какого-то горизонта прогноза, поведение достаточно простых систем, в частности, маятника с трением». Возникает непростой вопрос: каков горизонт прогноза процесса разрушения среды с заданной реологией? Или в другой формулировке: начиная с какой стадии или масштаба, мы можем ответить на вопрос, где и когда медленная квазистационарная фаза формирования очага разрушения выйдет на обострение на исследуемом макроскопическом масштабе? Пока удовлетворительного ответа на этот наиглавнейший вопрос не существует. Авторы [34] также считают, что в настоящее время происходит революция в области прогнозов: «Это (прогноз) перестало быть наукой, это становится технологией». Многие серьезные корпорации и фирмы имеют лаборатории «проектирования будущего». Почему же проблема прогноза разрушения столь далека от удовлетворительной предсказательной теории? Все дело в том, что одно дело — работать с нелинейными системами, допускающими построение приемлемых моделей, базирующихся на сравнительно хорошо изученных системах обыкновенных дифференциальных уравнений и соответствующих базах данных,
и другое дело — пытаться прогнозировать эволюцию нелинейных динамических систем, математические модели которых описываются системами уравнений в частных производных. Даже подробнейшие многолетние данные наблюдений сейсмических процессов, например в окрестности знаменитого разлома Сан-Андреас в Калифорнии, не привели к предсказанию ни одного значимого землетрясения (незначимого тоже). В сей-смике известно только несколько удачных предсказаний (два или три) землетрясений, сделанных, скорее, на интуитивном понимании особенностей конкретного региона, чем на основе неких обоснованных теоретических представлений.
Однако в области предсказаний редких катастрофических событий, к которым относится и проблема разрушения в целом и землетрясения в частности, наметился существенный прогресс. Этот прогресс связан с новой концепцией самоорганизованной критичности нелинейных динамических систем [34-39], которая вступила в серьезные противоречия с традиционными представлениями, согласно которым редкие катастрофические явления рассматривались как случайные независимые события, для которых будущее практически не зависит от прошлого. Такой подход приводит к гауссовой статистике — нормальному гауссову распределению вероятности независимого случайного события (рис. 2).
Подавляющее большинство инженерных методик оценки риска аварийной ситуации основаны на гауссовой статистике, согласно которой вероятность практически любой катастрофы оказывается чрезвычайно низкой, пренебрежимо малой. Реальная же статистика крупных катастроф и аварий демонстрирует другую картину событий, согласно которой вероятность катастрофического события оказывается на многие порядки выше [34, 40]. До сих пор объяснения этого «парадокса» ищут в неблагоприятном стечении многих маловероятных событий и в пресловутом человеческом факторе. И статистика множества природных катастроф (землетрясений, ураганов, наводнений), техногенных аварий (разрушений различных конструкций, взрывов на различного рода производствах), а также многих других бедствий (обвалов на биржах, утечки информации и т.д.) подчиняется степенному закону распределения [34, 40].
| а
2 оГ V
1 а =т 2а 1 За
2^^’" ■—, Г\ \б
с
1пх
Рис. 2. Гауссово распределение (1) случайных независимых событий и степенная зависимость (2) для динамических нелинейных систем с самоорганизованной критичностью
Класс подобных распределений принято называть «распределениями с тяжелыми хвостами», так как «хвосты» таких распределений убывают медленно и пренебрегать вероятностью возможного катастрофического события уже нельзя (рис. 2). В сейсмологии хорошо известен закон Гуттенберга-Рихтера (график повторяемости сейсмических событий), который устанавливает связь между числом сейсмических событий и их интенсивностью, и эта зависимость — прямая линия в двойных логарифмических координатах, аналогичная показанной на рис. 2, б, т.е. сейсмические события подчиняются степенной статистике.
Степенные законы распределения являются фундаментальным свойством эволюции многих многомасштабных иерархических нелинейных систем и в случае деформируемых систем отражают следующие их важнейшие качества: формирование в эволюционирующей системе длинных пространственно-временных корреляций, охватывающих всю иерархию масштабов; автомодельность и самоподобие процесса разрушения, обусловленные автомодельным характером накопления дефектов и повреждений во всей иерархии масштабов; миграцию деформационной активности в сформировавшейся области пространственно-временной коррелиро-ванности событий.
Другая важнейшая сторона подобных нелинейных систем — наличие в них медленной динамики, т.е. динамических скоррелированных процессов, существенно более медленных, чем быстрый информационный обмен в динамической системе. В деформируемых твердых телах и средах процессы локализации деформаций и повреждений, формирование разномасштабных деформационных фронтов, очагов разрушения и различных волн повреждений (например фронтов Людерса в пластичных металлах) составляют медленную динамику деформируемой нелинейной системы. Информация в этих системах передается волнами напряжений, которые распространяются со звуковыми скоростями, превышающими характерные скорости подобных медленных динамических процессов на многие порядки.
Системы, обладающие подобными свойствами, получили название систем с самоорганизованной критичностью [34-38]. В таких системах любое событие, вследствие возникновения длинных причинно-следственных связей, неизбежно вызовет последующее и т.д., провоцируя лавину событий, затрагивающих всю иерархию масштабов, т.е. всю систему в целом. Другими словами, фундаментальным свойством систем с самоор-ганизованной критичностью является то, что они сами по себе стремятся к критическому состоянию. В них «возможны лавины любых масштабов» [34]. Следовательно, главная опасность «степенных» катастроф заключается не в том, что вероятность ее много выше, чем в гауссовой системе, и ею нельзя пренебрегать, а в том, что катастрофа в системе с самоорганизованной
критичностью неизбежна. Действительно, если процесс разрушения статистически скоррелирован во всей иерархии масштабов вплоть до макроскопического масштаба образца, то он неизбежно выйдет на этот макроскопический масштаб. Управляет этим процессом нелинейность свойств динамической системы в целом, которая складывается из нелинейного характера эволюции напряженно-деформированного состояния (нелинейность уравнений механики деформируемого твердого тела), нелинейности реологии (нелинейности определяющих уравнений, включая кинетические уравнения накопления неупругих деформаций и повреждений на разных масштабах и нелинейность процесса деградации прочностных свойств среды), нелинейности положительных и отрицательных обратных связей, а также, возможно, нелинейного характера связей открытой динамической системы с окружающим миром, например, граничными условиями.
Другой важнейшей особенностью таких нелинейных систем, обладающих свойством самоорганизован-ной критичности, является то, что в них нельзя выделить статистически независимые мезоскопические масштабы. Кстати и биосфера в целом, и общество, и рынок являются подобными системами. Если катастрофы неизбежны, важно, чтобы масштаб, на котором развиваются критические события, был как можно меньше, но это уже другая проблема нелинейной динамики — управление рисками, которую мы затрагивать не будем.
Впервые парадигма самоорганизованной критичности была установлена и осмыслена при изучении установившейся турбулентности в тестах Кармана [3537], а затем эта концепция как основополагающая парадигма сложности была проверена и исследована на других нелинейных системах, в частности при изучении
1----------(----------1----------1----------1---------1----------1----------Г
•6 -4-2 0 2
(Р-<Р»/ар
Рис. 3. Функция плотности распределения флуктуаций мощности при различных числах Рейнольдса: + — 15.169, * — 70.791, ° — 111.240, □—212.370, Д —333.750, V —318.560, м—500.590 [37]
прерывистой текучести пластичных сред и сейсмических процессов [23, 38, 39, 41].
В тестах Кармана изучалась статистика флуктуаций мощности, вводимой в среду вращением параллельных дисков, необходимой для поддержания стационарного турбулентного течения в инерционном интервале турбулентности [37] (рис. 3). Вводимая в поток мощность резко падала с установлением корреляций—когерентно эволюционирующих флуктуаций — на масштабе, равном расстоянию между вращающимися дисками (также резко падают напряжения в области формирования макроскопического очага разрушения). Характер распределения флуктуаций соответствует степенному закону. Медленная динамика безразмерных флуктуаций вводимой в поток мощности (PDF-зависимость, представленная на рис. 3) для чисел Рейнольдса, изменяющихся на два порядка, демонстрирует также коррелированность в широком диапазоне амплитуд и является универсальным законом статистической автомодельности — когерентно эволюционирующих флуктуаций в широком диапазоне масштабов [23, 31, 34]. Подобная зависимость характерна для всех динамических нелинейных систем, демонстрирующих свойство самоорганизован-ной критичности, в том числе и для процессов неупругой деформации и разрушения твердых тел и сред. Здесь Р({) — подводимая к дискам мощность, необходимая для поддержания стационарного турбулентного течения; в выражении (Р - (Р))/Стр угловые скобки означают усреднение по времени, стр = ((Р2)-(Р)2)^2 -
среднеквадратичное отклонение; PDF — функция плотности распределения.
Точно также прерывистое пластическое течение мо-но- и поликристаллических материалов демонстрирует все черты явления самоорганизованной критичности [23, 38, 39]. В работе [23] изучена статистика флуктуаций напряжений прерывистого течения ряда материалов (сплава Al-Mg, ряда сталей, армко-железа) и убедительно показано, что наблюдаемые флуктуации напряжений пластического течения могут быть связаны с автомо-
дельной природой коллективных мод мезодефектов, а нагружаемые материалы как нелинейные системы обладают свойством самоорганизованной критичности. На рис. 4, 5, любезно представленных авторами работы [23], показаны полученные ими деформационная диаграмма сплава алюминия 5454 и PDF-зависимость для трех металлов соответственно. В работах других авторов [38, 39] также получены подобные результаты. На настоящий момент можно считать доказанным, что деформируемые твердые тела являются динамическими нелинейными системами, проявляющими свойства са-моорганизованной критичности. Для геосред соответствующую статистику сейсмических событий отражают широко известные законы Гуттенберга-Рихтера и Омо-ри. Анализ процессов разрушения как лабораторных образцов [23], так и сооружений [42] методами акустической эмиссии приводит к тем же универсальным зависимостям — законам Гуттенберга-Рихтера и Омори.
Неудачные попытки построения прогностических моделей для подобных нелинейных систем привели к гипотезе о невозможности прогноза в самоорганизован-ных критических системах, которая пока не доказана, но и не опровергнута. Однако динамическим системам, обладающим свойствами самоорганизованной критичности, присущи и другие важнейшие свойства, которые вселяют оптимизм в плане прогноза их эволюции. Так, в работе [41] обнаружено, что даже простейшие модели клеточных автоматов типа кучи песка, помимо самоор-ганизованно критических свойств, обладают другими важнейшими особенностями. В них возникают самоорганизующиеся долгоживущие структуры, существование которых не влияет на степенной характер распределения размеров кластеров в широком диапазоне параметров модели. Авторы пишут, что необходимо научиться прогнозировать только крупные кластеры в моделях. Также авторы [23], анализируя автомодельные решения эволюционного уравнения, отмечают, что «многочисленные флуктуации напряжений, по-видимому, являют-
Рис. 4. Деформационная диаграмма прерывистого течения алюминиевого сплава 5454 [23]
Рис. 5. Плотность распределения флуктуаций напряжения на стадии пластического течения для различных материалов: □ — А1 5454, О — сталь 03Х18Н10, V — армко-железо [23]
Таблица 1
Масштабы разрушения углей
Степени числа Ф-10, мкм Найденные масштабы Данные измерений
10-Ф-8 = 0.213 150-250 нм + я ая ви ло опи § § і & н кр Iі
10-Ф-7 = 0.34 300-400 нм -
10-Ф-6 = 0.557 450-600 нм +
10-Ф-5 = 0.90 0.7-1 мкм -
10-Ф-4 = 1.459 1.2-2 мкм +
10-Ф-3=2.36 2-3 мкм - й ы н н о из ¡и я ал нт на еа м и д е С
10-Ф-2 = 3.8197 3-4 мкм + Анализ оптических изображений поверхностей изломов
10-Ф-1 = 6.18 6 -7 мкм -
10-Ф0 = 10.00 10 мкм +
10-Ф1 = 16.18 15-17 мкм -
10-Ф2 = 26.18 25-27 мкм + з и
10-Ф3 = 42.359 35-45 мкм - ан а
10-Ф4 = 68.539 55-70 мкм + й ы
10-Ф5 = 110.896 100-120 мкм в о т
10-Ф6 = 179.435 160-180 мкм + иС
10-Ф7 = 290.320 280-300 мкм -
10-Ф8 = 469.76 400-500 мкм +
ся следствием формирования множественных автосоли-тонных волновых структур вдоль образца». Подобные автоволновые структуры зарегистрированы в экспериментах [43, 44]. Ранее нами в численных экспериментах [20, 22, 45] были изучены деформационные фронты, а также цуги подобных медленных деформационных фронтов, которые стекают в формирующийся очаг разрушения. Подробнее об этом будет сказано ниже.
3. Универсальный принцип фрактальной делимости твердых тел и сред
Экспериментально установленный ранее автором универсальный принцип фрактальной делимости твер-
дых тел и сред [22, 46], также как и законы Гуттенберга-
Рихтера и Омори, отражает принцип статистической
автомодельности процесса разрушения любой среды и является следствием свойства самоорганизованной критичности любого деструктивного процесса в деформируемых нелинейных системах. Он устанавливает простой закон роста масштабов деструкции (неупругой деформации и/или разрушения) в нагружаемой среде, согласно которому каждый последующий масштаб есть сумма двух предыдущих. Таблица 1 иллюстрирует этот принцип для углей Кузбасского бассейна, при исследовании разрушения которых он и был установлен.
В первой колонке отражен идеальный закон наращивания размеров фрагментов разрушения в пылевом диапазоне 0.1-500 мкм, во второй приведены найденные масштабы, в последующих колонках указаны методы определения масштабов разрушения. Оказалось, что
этому принципу подчиняется неупругая деформация и разрушение всех твердых тел и сред без исключения, пластичных и хрупких [22, 46]. Полученные распределения фрагментов по весовым долям демонстрируют также самоподобие и масштабную инвариантность процессов разрушения [22, 32, 46] (рис. 6).
Универсальность установленного принципа объясняется просто. Природа во всех своих проявлениях следует простейшему алгоритму роста (или убыли) масштабов, энергии и т.д., формируя все известные про-
Рис. 6. Масштабная инвариантность разрушения углей. Для трех разных масштабов кривые распределений фрагментов по весовым долям практически совпадают
странственно-временные иерархии по принципу: если есть два масштаба, то следующий масштаб уже определен и равен их сумме [22, 45].
В случае деструкции материалов на уровне кристаллической решетки уже определены исходные масштабы как характерные межатомные расстояния (параметры решетки), которые и формируют иерархию возможных масштабов, разрастаясь в трех пространственных направлениях в соответствии со свойством самоорганизо-ванной критичности деформируемых нелинейных систем — наличием в ней длиннокорреляционных взаимодействий.
Для вычисления минимально возможного масштаба будем делить реперный масштаб Ь = 104 нм, который наиболее надежно определился для всех 10 типов углей [22, 32], на найденный параметр делимости Ф =
= 1.618___Получим следующие минимальные в ряду
иерархии числа х1, которые не могут быть меньше межатомных расстояний:
10 • 103 нм П^11С х, =----— = 0.66115 нм,
(Ф2)10
0.66115
= 0.2525 нм.
Ф2 2.618
Угли сравниваются по степени углефикации — содержанию углерода (от 90 до 98 % у антрацита) с графитом [32, 47]. Графит со слоистой гексагональной кристаллической решеткой имеет очень близкие к полученным значениям величины параметров решетки: с = = 0.6708 нм и а = 0.2461 нм.
С точки зрения математики установленный принцип есть ничто иное как хорошо известная последовательность чисел Фибоначчи, которая дает следующие соотношения для близких масштабов: Ln+l/Ln = 1.618... = Ф,
Ln+1
/4-1 = 2.618... = Ф2, т.е. отношение, известное как золотая пропорция. Таким образом была получена последовательность возможных масштабов, в которой каждый последующий масштаб в Ф раз больше предыдущего. Если говорить о блоках, то размер каждого последующего возможного блока в Ф2 = 2.618... раз больше предыдущего, а стороны блоков не равны, т.е. блоки — некомпактные структуры, и отношение сторон
оказалось следующим: а : Ь : с = 2.618__: 1.618_: 1.
Этот принцип выполняется для всех твердых тел и сред.
Число золотой пропорции Ф = 1.618___объединяет
два важнейших математических принципа: аддитивности (а = Ь + с) и мультипликативности (а/Ь = Ь/с).
Принцип аддитивности отражает наличие структуры в целом (отрезок а состоит из двух неравных частей Ь и с). Принцип мультипликативности выражает идею роста или повторяемости, показывая, что структурные единицы целого подчиняются одному и тому же закону роста. Объединение же этих двух принципов и приводит к самоподобию. Следовательно, число Ф является замечательным числом, реализующим принципы самопо-
добия и фрактальности природных объектов, подобным числам п и е, реализующим другие фундаментальные принципы математики.
Универсальность установленного принципа фрактальной делимости твердых тел очень ярко демонстрируют эксперименты по ударно-волновому нагружению металлических шаров [48, 49]. Наблюдаемые смены дислокационных структур в А1 и Си за фронтом сходящейся к центру шаров ударной волны происходят на расстояниях от поверхности нагружения, идеально соответствующих найденному принципу делимости [22, 46]. Так, в ударно-нагруженной меди смена структур наблюдалась на следующих масштабах: 1.8, 4.7, 7.6 мм [48]. Отношения полученных масштабов полностью соответствуют универсальному критерию фрактальной делимости: 1.8 мм х 1.618 = 2.91 мм, 2.91 мм х х 1.618= 4.71 мм, 4.71 мм х 1.618 = 7.62 мм. Минимальный масштаб а равен 1.8 • 106 нм/Ф32 = 0.36955 нм исо-ответствует параметру решетки меди а = 0.36147 нм. Ошибка составляет приблизительно 2 % [22, 46].
Для ударно-нагруженного сплава алюминия [49] получены следующие масштабы смены структур: 2 мм, 3-3.5 мм, 5.3 мм, 8-9 мм, 13.7-14 мм. Критерий фрактальной делимости дает следующие близкие числа: 2 х х 1.618 = 3.236, 3.236 • 1.618 = 5.23, 5.23 • 1.618 = 8.472, 8.472 • 1.618 = 13.71. Минимальный масштаб а, равный, например, 13.7 • 106 нм/Ф36 = 0.41057 нм, также очень близок к параметру решетки алюминия а = 0.40414 нм.
Распределения по размерам частиц износа, фрагментов разрушения различных материалов, например, стекла, а также различные нарушения, разломы и масштабы разрушения крупных элементов земной коры [22, 5052] укладываются в найденную зависимость с той точностью, с которой выполнены исследования. Пока автору не удалось обнаружить ни одного отклонения от установленного принципа. Этому же закону соответствуют и отношения размеров микродефектов пластически деформируемых металлов, характерные расстояния между этими дефектами, а также отношения энергий их образования [53-55].
Универсальный принцип фрактальной делимости твердых тел и сред един как для неупругой деформации и разрушения пластичных тел и сред, так и для разрушения хрупких материалов, он отражает специфику эволюции этих сред, самоподобие и масштабную инвариантность процесса разрушения. Последнее, а также эксперименты других исследователей дают возможность сформулировать следующие базовые принципы разрабатываемой математической теории эволюции нагружаемых твердых тел и сред.
Твердые тела и среды эволюционируют под приложенными нагрузками (любыми внешними воздействиями) как типичные нелинейные динамические системы. Глобальным параметром порядка эволюции нагружаемых твердых тел является скорость подводимой к ним
энергии, причем твердые деформируемые тела проявляют свойство инвариантности к способу и виду подводимой энергии (тепло, механическое воздействие, радиация и т.д.). Важна общая сумма подводимой энергии.
Энергия оказывается «квантованной» по величине, подобно масштабам в ряду иерархии. Если суммарная подведенная энергия превысит некоторое пороговое значение, в твердом теле происходит самоорганизация, которая проявляется в смене структур, в изменении пространственно-временной симметрии и вовлечении в процесс деструкции среды новых масштабов, что выражается, в частности, в формировании в среде иерархии блоков.
Можно утверждать, что существует единый процесс деструкции прочных материалов и сред. Для некоторых материалов и сред, которые мы называем пластичными, наблюдается длительная квазистационарная стадия — неупругая или пластическая деформация. Когда эта ква-зистационарная стадия короткая, то материал проявляет хрупкие свойства.
За этой квазистационарной стадией накопления дефектов и повреждений процесс деструкции развивается катастрофически в режиме с обострением на соответствующем масштабе.
Процесс деструкции твердых тел и сред статистически строго упорядочен. Наблюдаемая иерархия масштабов деструкции начинается с размеров кристаллической решетки и продолжается вплоть до размеров тектонических плит в геосредах.
Предложенная концепция системного или синергетического (эволюционного) подхода является альтернативой по отношению к макроскопической вероятностно-статистической механике разрушения твердых тел.
Таковы общие черты всех сценариев эволюции твердых кристаллических тел и сред под внешними воздействиями.
4. Математическая теория эволюции нагружаемых твердых тел и сред
Прогностической моделью, способной описать механизмы формирования очага будущего разрушения, условия и особенности его формирования, а главное, предсказать, когда и при каких условиях медленная квазистационарная фаза эволюции сменится на сверхбыстрый катастрофический режим, может быть только модель, учитывающая все главнейшие черты эволюционного процесса нагружаемой нелинейной деформируемой среды, включая характерные черты самооргани-зованной критичности. Ранее нами был разработан эволюционный подход к моделированию деструкции твердых тел и сред [20, 22]. Этот подход описывает процессы самоорганизации в нагружаемой среде, локализацию в ней неупругих деформаций и повреждений, формиро-
вание иерархии блоков. Развитый подход позволяет моделировать как медленные стадии эволюции на любых временах, включая геологические времена, так и сверхбыстрые катастрофические режимы эволюции — так называемые режимы с обострением. Предлагаемая эволюционная концепция описания деформационного отклика на нагружение твердых тел основана на идеях нелинейной динамики и динамических уравнениях механики деформируемого твердого тела. Под деформационным откликом понимаются процессы деструкции прочных сред в полях действующих сил, т.е. процессы неупругой деформации и одновременного развития разрушения.
Было показано, что в основе математической теории эволюции всех твердых тел и сред лежат уравнения механики деформируемого твердого тела как фундаментальные уравнения математической физики, отражающие самые общие природные законы сохранения массы, импульса, моментов импульса и энергии [20, 22]. Было также показано, что если задача сформулирована как эволюционная, прописаны положительные и отрицательные обратные связи в системе определяющих уравнений, а также заданы распределенные по объему источники, интегрально отражающие генерацию дефектов и повреждений на более мелких масштабах, чем явно введенные в рассмотрение, то численные решения такой нелинейной динамической системы демонстрируют все специфические черты решений, полученных для базовых уравнений нелинейной динамики: пороговость (при достижении некоторого порога происходит смена сценариев эволюции), автомодельность многомасштабного процесса разрушения, в частности автомодельность процесса накопления повреждений во всем диапазоне масштабов разрушения, локальный характер накопления повреждений и неупругих деформаций, развитие режимов с обострением [20, 22, 32].
Все многообразие физических механизмов неупругой (пластической) деформации и процессов дилатан-сии, т.е. развития несплошностей разных масштабов и различной физической природы, на этом феноменологическом уровне описания интегрально отражается путем задания нелинейных функций отклика среды на нагружение эволюционными определяющими уравнениями первой и второй группы. Определяющие уравнения первой группы — макроскопические уравнения. Эти уравнения задают связи между макроскопическими усредненными параметрами среды: параметрами течения, скоростями изменения напряжений и скоростями неупругой деформации, а также скоростями накопления средой несплошностей (повреждений). В них также входят источники неупругой деформации и повреждений, на которых могут возникать нестационарные диссипативные структуры [20, 56]. Эти уравнения должны также включать положительные и отрицательные обратные связи между параметрами. Такие обратные связи яв-
ляются регуляторами образования различных структур в нагружаемой среде [20, 57]. Эволюционные уравнения второй группы — это кинетические уравнения, задающие скорости накопления неупругой (пластической в том числе) деформации и скорости накопления повреждений. Эволюционные уравнения второй группы устанавливают связи между макроскопическим уровнем описания и процессами на более мелких масштабах, т.е. на микроуровне.
Таким образом, полная система нелинейных уравнений при лагранжевом подходе к описанию движения сплошной среды включает:
- уравнения, выражающие законы сохранения:
дст,, . да
pv = Püv0> pv =—j+ppi. pe = ,т; (1)
dxJ dx
- эволюционные определяющие уравнения первой группы:
ctJ =X(01 -0p)5, + 2ц(4 -èp); (2)
- эволюционные уравнения второй группы:
0p = B— 6p + C (0),
г г v '
ox ox
ЄР = F(ppff> f Sij ).
(3)
Здесь р0, р — начальное и текущее значения плотности материала; ¥0, V— начальное и текущее значения объема некоторой частицы материала; х1 — координаты в декартовой системе координат наблюдателя; уі — компоненты вектора скорости перемещений; — компоненты тензора напряжений; Рі — компоненты вектора
dvi dv j л
д7 + э7
- компоненты тензо-
.1 1
массовых сил; е,} = —
у 2
ра полной скорости деформации; Е — внутренняя энергия единицы начального объема; qi — компоненты вектора теплового потока; точка над символом означает материальную производную по времени. Используется разложение полной скорости деформации на упругую и неупругую составляющие: е} =£} + £р-. Для учета независимости от жесткого вращательного движения производная по времени от напряжений записана в форме коротационной производной Яуманна:
+ ®1к — ^ к}^1к >
1
где ®j = 2
dvi dv j 7
г + j
- компоненты тензора скорости
дх} дх1
\ /
вращения (вихря); А, В, С, Р — некоторые функции, определяемые при конкретном задании кинетик в (3). Использованы также следующие обозначения:
= & Р рР =
= є1
eff
= J-i2 =
2
*р *р
—р\. р\.
3 ,
ep = єР -1/30p8j, aeff = Vj= ^-SjSj,
Sj =°ÿ+P8j, -p = V3 °ü ,
где — компоненты девиатора тензора скорости плас-
тических неупругих деформаций; Si} — компоненты девиатора тензора напряжений; Р — среднее давление; 8} — символ Кронекера; X и ц — коэффициенты Ламе.
Эта система уравнений вместе с эволюционными определяющими уравнениями является в общем случае нелинейной и открытой системой. Она описывает эволюцию любых твердых тел, в том числе и нагружаемой геосреды. Связь этой открытой нелинейной системы с внешним миром осуществляется через управляющие параметры, которые совместно с граничными условиями (их также в ряде случаев можно причислить к управляющим параметрам) определяют условия нагружения среды [20].
Такая эволюционирующая открытая система будет способна к самоорганизации только в том случае, если в ней имеются объемные, распределенные в пространстве источники [20, 58-60], способные генерировать и перераспределять неоднородности в распределении параметров, фактически формировать новые и трансформировать уже имеющиеся структуры: дефекты и повреждения в деформируемых твердых телах и т.д. Диссипативные нестационарные структуры, способные к развитию и приводящие к усложнению и совершенствованию системы, т.е. к ее адаптации к внешним воздействиям, как раз и формируются источниками [5860]. По этой причине деформируемое твердое тело — это идеальная среда, способная к самоорганизации, так как в ней под приложенными воздействиями генерируются различные дефекты и повреждения разных масштабов [20].
Эволюционные уравнения первой группы (2) записаны в релаксационной форме и выполняют несколько важнейших функций в развитии эволюционного процесса:
1. Упругие напряжения растут в каждой локальной точке нагружаемой среды пропорционально росту полных скоростей деформации е}, т.е. в соответствии со скоростью нагружения среды. Такое нагружение может быть осуществлено либо непосредственным заданием полной скорости деформирования е}, либо косвенно через приложенные массовые и поверхностные силы и перераспределения параметров в соответствии с развитием течения среды, определяемого законами сохранения (1). Именно в этом смысле скорости полных деформаций ^-выполняют роль управляющих параметров по Г. Николису и И. Пригожину [30]. В любом случае, внутри расчетной области они сложным образом зависят от параметров течения среды.
2. Релаксируют напряжения в соответствии с развитием неупругих реакций в нагружаемой среде ер-. Следовательно, релаксационные определяющие уравнения первой группы обеспечивают установление в каждой точке деформируемой среды динамического равновесия
между внешними воздействиями и откликом среды на нагружение (отрицательная обратная связь).
3. Через эволюционные уравнения первой группы, записанные в релаксационной форме (2) с учетом кинетических уравнений (3), реализуются отрицательные и положительные обратные связи.
Отрицательная обратная связь реализуется через закон релаксации и стабилизирует деформационный процесс, выравнивая неоднородности. Действительно, чем выше напряжения, тем выше скорость генерации неупругих сдвигов и повреждений, а значит и выше скорость релаксации. С уменьшением напряжений уменьшается и генерация повреждений и сдвигов. Процесс стабилизируется в состоянии динамического равновесия в данной частице среды, из которого его может вывести, например, изменение полной скорости деформации ¿1 как управляющего параметра.
Положительная обратная связь не только разгоняет автокаталитический процесс деградации прочностных характеристик среды — локализация неупругих деформаций (повреждений) снижает прочностные характеристики среды в этих локальных областях, что, в свою очередь, усиливает в них процессы локализации, но и выполняет созидающую роль, формируя в среде новые диссипативные деформационные структуры [20, 59].
Эволюционные уравнения второй группы (3) отражают реакцию среды на нагружение. В то время как полные скорости деформации ¿1, так или иначе, определяются условиями нагружения, ¿Р и 0Р зависят только от внутренних свойств среды и есть результат работы распределенных объемных источников, генерирующих в среде дефекты. Кинетические уравнения (3) интегрально отражают масштабы микроуровня и определяют возможности среды перераспределять и диссипи-ровать подводимую к ней энергию. В этом смысле они отвечают за способность нагружаемой среды к формированию в ней диссипативных нестационарных структур, т.е. за самоорганизацию. В этом и заключается созидательная роль положительной обратной связи [58, 59]. Входя в эволюционные уравнения первой группы (2), скорости накопления неупругих деформаций/повреждений ¿Р и 0Р участвуют в конкурентной игре между положительными и отрицательными обратными связями, определяя эволюционные сценарии.
Модели конкретных нагружаемых сред обсуждены в работах [32, 57, 61] и учитывают внутреннее трение, дилатансию, накопление повреждений и деградацию прочностных характеристик материала.
Полная система записанных уравнений является системой уравнений смешанного типа. Она описывает как быстрые изменения параметров, когда все возмущения распространяются со скоростями звука (гиперболические свойства решения), так и медленную динамику системы — формирование областей локализованных неуп-
ругих деформаций и повреждений, фронтов медленных движений, скорости которых на многие порядки ниже скорости звука (параболические свойства решения). В зависимости от способов нагружения и нелинейного отклика конкретной среды можно наблюдать различные типы сценариев эволюции, в том числе и известные из решений базовых уравнений синергетики [20, 22, 57, 61].
Развиваемый эволюционный подход к изучению деструкции твердых тел и сред является общей моделью как для описания неупругой деформации (пластичности для металлов), так и для разрушения пластичных сред и хрупких материалов и сред в зависимости от сценария эволюции, определяемого нелинейностью отклика среды. Он описывает деструкцию твердых тел и сред как общий совместный процесс нарастания неупругой (пластической) деформации, связанную с ней повреж-денность, деградацию прочности среды и, наконец, макроскопическое разрушение, которое наступает при катастрофическом снижении локальной прочности до нуля.
Фундаментальным свойством всех эволюционных процессов является наличие двух стадий: квазистацио-нарной стадии сравнительно медленного накопления изменений в нелинейной системе и катастрофического сверхбыстрого этапа эволюции, когда события развиваются в режиме с обострением.
Этот режим с обострением наступает, когда преодолен некий порог, т.е. параметры, определяющие ход эволюции системы, достигают пороговых значений, когда побеждает в конкуренции положительная обратная связь, нарушая динамическое равновесие, что и приводит среду в неустойчивое состояние и разгоняет автокаталитический процесс ее деградации.
Таким образом, любое разрушение есть процесс нарастания масштабов повреждений от межатомных масштабов до макроскопического масштаба образца как последовательность катастроф мезоскопических масштабов. Если на медленной стадии квазистационарного накопления неупругой деформации преобладают механизмы деформационного упрочнения, то эта стадия затягивается и наблюдается типичный пластичный отклик среды.
Как только начинает преобладать деградация, материал очень быстро теряет прочностные свойства, и процесс деградации развивается как катастрофа. Обострение деградации в самом начале деформирования приводит к сценарию хрупкого разрушения.
Фронты Людерса, различные виды волн разрушения, медленные деформационные фронты в геосредах составляют особый класс движений, так называемых «медленных движений» в нелинейных средах и материалах. Этот класс движений отражает коллективные процессы в нагружаемой нелинейной среде, определяя ее медленную динамику, и является результатом самоорганизации в этой среде.
5. Медленная динамика деформируемых систем
Особое место в ряду деформационных явлений занимают деформационные фронты, разнообразные волны повреждений и разрушения. Наиболее изученными являются фронты Людерса-Чернова в металлах. Подобные деформационные волны, обусловленные накоплением повреждений в геоматериалах, наблюдаются и в земной коре [62]. Эти специфические деформационные волны в геосредах называют «медленными движениями». Есть все основания считать эти деформационные процессы явлениями самоорганизации в нагружаемых твердых телах [20, 22, 23, 43, 44], которые могут развиваться на различных масштабах, начиная с микроскопических микронных масштабов при формировании фронтов Людерса-Чернова и вплоть до масштабов во многие сотни и тысячи километров при распространении фронтов повреждений в земной коре. Характерной чертой всех этих деформационных процессов являются очень маленькие скорости их распространения [20, 43, 44, 62], на многие порядки меньше скорости звука в этих средах.
Численное решение систем уравнений (1)-(3) позволило смоделировать активизацию разлома деформационным фронтом, движущимся вдоль разлома, и генерацию разломом медленных фронтов повреждений.
Скорость таких фронтов оказалась зависящей от многих факторов: скорости нагружения, свойств геосреды, геометрии разлома, а конфигурация фронта определяется также и распределением напряжений в неоднородной геосреде [20, 22, 56].
Оказалось, что роль таких медленных фронтов велика в процессах формирования как областей локализации в пластичных материалах, так и очагов разрушения в хрупких. На рис. 7 приведен пример формирования шейки в пластичном материале при растяжении образца для нескольких последовательных времен. В каждой паре на верхнем рисунке (оттенки серого) показана накопленная неупругая деформация ер, а на нижнем — скорость деформации ер, которая локализована, что дает возможность определить координаты фронтов. Первый рисунок демонстрирует движущийся от захвата деформационный фронт, затем процессы локализации, сформировавшиеся вблизи захватов, замирают (при t > t1 ер близка к нулю вблизи захватов) и начинает развиваться очаг будущего разрушения в средней части образца. Поле деформаций -14 выглядит почти однородным и по нему невозможно определить, где формируется очаг, но по локализованным скоростям деформаций можно легко определить область будущего разрушения (шейки), куда стекаются деформационные фронты.
У
ер X X
Ь = 2493
ер
ер
XX
Ь = 2849
е р
Рис. 7. Формирование очага разрушения (шейки) в пластичном материале деформационными фронтами
Рис. 8. Взрывной характер развития трещин в нагружаемой геосреде (численное моделирование эволюции горного массива над выработанным пространством) (а) и скорость образования трещин в диабазе при действии на образец постоянного сжимающего напряжения [63] (б)
Для времен Ц - г4 крест в центре размазан, это цуги деформационных волн, движущихся к очагу разрушения, наблюдается расслоение затемненной области на отдельные фронты. По временам t5 - t6 видно, что этот процесс ускоряется, т.е. деформационный процесс выходит на режим с обострением.
На рис. 7 ^ = t6) показано только начало процесса обострения. Если его представить через параметр повреждений D, то можно увидеть взрывной характер разрушения в зоне очага в хрупких средах (рис. 8, а — показана скорость неупругой деформации ер) в сравнении с экспериментами работы [63] (рис. 8, б), в которых оценки скорости роста трещин определялись методом акустической эмиссии. Каждый всплеск скорости деформации на рис. 8, а в расчетах означает образование мезотрещин, обусловленное взрывным характером накопления мелких повреждений, как и в экспериментах [63] (рис. 8, б).
На рис. 9 показан характер роста функции повреж-денности D (0 < D < 1) в кровле над выработанным пространством [57] (вязкая среда). Видно, как на 28 день медленная квазистационарная фаза эволюции повреж-
денности D сменилась катастрофическим режимом с обострением (рис. 9, а). Следовательно, и скорость деградации прочности также перешла в режим с обострением (прочность Y = 10(1 - О) при D^1, 7^0) и, как результат, происходит обрушение кровли.
Фундаментальным свойством эволюции является наличие зон затишья перед катастрофическим событием. Это явление демонстрирует рис. 9, б. При численном решении задачи об обрушении кровли был выполнен мониторинг скорости накоплений повреждений в ближней зоне будущего катастрофического события. Процессы накопления повреждений для формирующихся в этой области сопутствующих трещин (рис. 9, б, кривые 2-4) замерли, а накопление поврежденности в будущем магистральном разломе резко обострилось (рис. 9, б, кривая 1).
Таким образом, любое макроскопическое разрушение есть обязательный катастрофический этап эволюции среды — режим с обострением на соответствующем масштабе. Физически этот режим означает прорыв разрушения с меньших масштабов на большие. Следовательно, увеличение масштаба деструкции всегда раз-
Безразмерное время I
Рис. 9. Эволюция функции поврежденности для магистральной трещины в кровле над выработкой (а) и формирование зоны затишья вблизи главного события (б)
вивается как катастрофа в режиме с обострением, а все процессы накопления повреждений и деградации среды в окрестности подготовки крупномасштабного события замирают.
Таким образом, несмотря на то что разрушение любой среды является процессом, обладающим свойством самоорганизованной критичности, медленная динамика указывает на место и время будущего разрушения, а замирание процесса формирования ряда трещин в некоторой локальной области свидетельствует о возможном выходе на катастрофический режим с обострением процесса накопления повреждений в одной из лидирующих трещин в этой области.
6. Заключительные замечания
Разрабатываемая в ИФПМ СО РАН математическая теория эволюции деформируемых твердых тел и сред является наиболее полной прогностической моделью, позволяющей изучать основные качественные черты эволюции нагружаемых твердых тел и сред.
Анализ экспериментальных и теоретических данных, в том числе результаты численных решений, моделирующих эволюцию деформируемых сред, однозначно свидетельствует, что все хрупкие и пластичные твердые тела, а также и геосреды являются динамическими нелинейными системами, обладающими свойством само-организованной критичности.
Статистика катастроф разных масштабов, землетрясений, статистика флуктуаций напряжений, при прерывистом пластическом течении в том числе, подчиняется степенному закону распределения. Это также доказывает, что деформируемые твердые тела и среды являются нелинейными системами с самоорганизованной критичностью. Фундаментальным свойством таких систем являются длиннокорреляционные взаимодействия в иерархии масштабов.
Катастрофы в таких системах неизбежны, т.к. динамическая система в силу внутренних нелинейных свойств и скоррелированности деформационного процесса на широком спектре масштабов стремится к критическому состоянию. В твердых телах разрушение представляет собой последовательность катастроф во всей иерархии масштабов вплоть до макроскопического масштаба образца.
Одной из главнейших черт динамических систем с самоорганизованной критичностью является то, что в ней нельзя выделить статистически независимые мезоскопические масштабы. Это обстоятельство очень часто приводит к миграции деформационной активности, замиранию процесса локализации деформаций и повреждений в одной области образца и его активизации в другой, например миграции землетрясений в земной коре.
Нелинейные системы с самоорганизованной критичностью являются системами с медленной динами-
кой, выражающейся в пространственно-временной локализации процессов деформации и разрушения в случае деформируемых систем, миграции деформационной активности, формировании деформационных фронтов медленных движений, которые представляют собой диссипативные структуры, т.е. являются результатом самоорганизации в этих системах, обусловленной длиннокорреляционными многомасштабными взаимодействиями.
Автомодельный характер накопления дефектов и повреждений различной физической природы на разных масштабах приводит к автомодельности процессов неупругой деформации и разрушения.
Масштабная инвариантность процессов деструкции (разрушения) прослеживается в широком диапазоне масштабов.
Существующая гипотеза, не доказанная, но и не опровергнутая, о невозможности прогноза критических событий в самоорганизованных критических системах, по-видимому, была высказана без учета других важнейших свойств этих нелинейных динамических систем — особенностей медленной динамики, включая миграцию деформационной активности и формирование зон затишья вблизи критических событий.
Хорошо известные данные анализа сейсмических событий, а также результаты выполненного нами численного эксперимента свидетельствуют о формировании так называемых зон затишья вблизи катастрофического события, замирании деформационного процесса ниже некоторого определенного уровня. Расчеты показывают, что подобное затишье является практически переключением деформационного процесса с достаточно обширной области на более локальный процесс формирования очага будущего катастрофического события. Причем такое затишье кажущееся, идет сравнительно низкоамплитудный непрерывный квазистацио-нарный процесс наращивания деградации в локальной зоне формирующегося очага разрушения. Возможно, этот процесс можно регистрировать по снижению сейсмической активности в локальной области до некоторого порога, а в деформируемых образцах — по соответствующему изменению параметров акустической эмиссии.
Есть также все основания считать, что в процесс формирования очага будущего разрушения значительный вклад вносят деформационные фронты, которые стекаются в очаг будущего крупного события. Начало интенсивной подпитки локальной области деформационными фронтами можно считать началом режима обострения и переходом разрушения в катастрофическую стадию.
Таким образом, наличие локальных зон затишья и формирование диссипативных структур — цугов медленных деформационных фронтов — можно считать надежными предвестниками активной стадии форми-
рования очага будущего разрушения, что вселяет определенный оптимизм в перспективы прогноза разрушения.
Автор выражает искреннюю признательность академику В.Е. Панину за внимание и многолетнюю поддержку работы, а также ценные дискуссии. Автор также благодарен О.Б. Наймарку и О.А. Плехову за конструктивное обсуждение ряда важных положений работы и Е.П. Евтушенко, выполнившему ряд расчетов. Работа поддержана грантом РФФИ № 10-05-00509а, интеграционным проектом СО РАН № 114, базовым проектом 7.11.1.6 и проектом VTL64.L
Литература
1. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Елсукова Т.Ф., Иванчин И.В. Структурные уровни деформации твердых тел // Изв. вузов. Физика. -1982. - Т. 25. - № 6. - С. 5-27.
2. Панин В.Е., Лихачев В.А., Гриняев Ю.В. Структурные уровни деформации. - Новосибирск: Наука, 1985. - 229 с.
3. Панин В.Е. Основы физической мезомеханики // Физ. мезомех. -
1998. - Т. 1. - № 1. - С. 5-22.
4. Панин В.Е., Коротаев А.Д., Макаров П.В., Кузнецов В.М. Физическая мезомеханика материалов // Изв. вузов. Физика. - 1998. -№ 9. - С. 8-36.
5. Плешанов В.С., Кибиткин В.В., Панин В.Е. Экспериментальная оценка типа разрушения и характеристик трещиностойкости поликристаллов оптико-телевизионным методом на мезоуровне при циклическом нагружении // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 2. - № 4. -С. 87-90.
6. Панин В.Е. Современные проблемы пластичности и прочности твердых тел // Изв. вузов. Физика. - 1998. - № 1. - С. 7-34.
7. Панин В.Е. Физическая мезомеханика поверхностных слоев твердых тел // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 2. - № 6. - С. 5-23.
8. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: в 2 т. / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. -Т. 1. - 298 с.; Т. 2. - 320 с.
9. Панин В.Е., Елсукова Т.Ф., Ангелова Г.В. Динамика локализации деформации в поверхностном монокристаллическом слое плоских поликристаллических образцов алюминия при циклическом нагружении // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 4. - С. 79-88.
10. Panin VE., Deryugin E.E., Derevyagina L.S., Lotkov A.I. Principle of scale invariance in plastic deformation at the microscopic scale levels // Physics of Metals and Metallography. - 1997. - V. 84. -No. 1. - P. 75-79.
11. Панин В.Е., Витязь П.А. Физическая мезомеханика разрушения и износа на поверхностях трения твердых тел // Физ. мезомех. -2002. - Т. 5. - № 1. - С. 5-13.
12. Панин В.Е., Елсукова Т.Ф., Ангелова Г.В. Волновой характер распространения усталостных трещин на поверхности поликрис-таллического алюминия при циклическом нагружении // Физ. мезомех. - 2002. - Т. 5. - № 3. - С. 93-99.
13. Панин В.Е., Панин А.В., Моисеенко Д.Д. «Шахматный» мезо-эффект интерфейса в гетерогенных средах в полях внешних воздействий // Физ. мезомех. - 2006. - Т. 9. - № 6. - С. 5-15.
14. Макаров П.В. Об иерархической природе деформации и разрушения твердых тел и сред // Физ. мезомех. - 2004. - Т.7.- № 4. -С. 25-34.
15. Макаров П.В. Нагружаемый материал как нелинейная динамическая система. Проблемы моделирования // Физ. мезомех. -2005. - Т. 8. - № 6. - С. 39-56.
16. Panin VE. Synergetic principles of physical mesomechanics // Theor. Appl. Fract. Mech. - 2001. - V 37. - No. 1-3. - P. 261-298.
17. Макаров П.В. Подход физической мезомеханики к моделированию процессов деформации и разрушения // Физ. мезомех. -1998. - Т. 1. - № 1. - С. 61-81.
18. Панин В.Е., Деревягина Л.С., Дерюгин Е.Е., Панин А.В., Панин С.В., Антипина НА. Закономерности стадии предразрушения в физической мезомеханике // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - №2 6. -С. 63-73.
19. Андрианов И.В., Баранцев Р.Г., Маневич Л.И. Асимптотическая математика и синергетика. Серия: Синергетика. От прошлого к будущему. - М.: Эдиториал УРСС, 2004. - 304 с.
20. Макаров П.В. Математическая теория эволюции нагружаемых твердых тел и сред // Физ. мезомех. - 2008. - Т. 11. - №2 3. - С. 1935.
21. Гольдин С.В. Деструкция литосферы и физическая мезомеханика // Физ. мезомех. - 2002. - Т. 5. - № 5. - С. 5-22.
22. Макаров П.В. Эволюционная природа блочной организации геоматериалов и геосред. Универсальный критерий фрактальной делимости // Геология и геофизика. - 2007. - Т. 48. - №2 7. - С. 724746.
23. ПантелеевИ.А., Froustey C., Наймарк О.Б. Структурно-скейлин-говые переходы и универсальность статистики флуктуаций при пластическом течении металлов // Вычислительная механика сплошных сред. - 2009. - Т. 2. - № 3. - С. 70-81.
24. Новое в синергетике: Взгляд в третье тысячелетие. - М.: Наука, 2002. - 478 с.
25. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий ГГ. Синергетика и прогнозы будущего. - М.: Эдиториал УРСС, 2002. - 342 с.
26. Курдюмов С.П., Малинецкий ГГ. Синергетика — теория самоорганизации. Идеи, методы, перспективы. - М.: Знание, 1983. - 64 с.
27. Нелинейность в современном естествознании. Серия: Синергетика. От прошлого к будущему / Под ред. Г.Г. Малинецкого. - М.: Изд-во ЛКИ, 2009. - 424 с.
28. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. - М.: Эдиториал УРСС, 2002. - 360 с.
29. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. - М.: Эдиториал УРСС, 2003. -280 с.
30. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. Введение. - М.: Эдиториал УРСС, 2003. - 342 с.
31. Курдюмов С.П., Куркина Е.С., Потапов А.Б., Самарский А.А. Архитектура многомерных тепловых структур // Режимы с обострением. Эволюция идеи / Под ред. Г.Г. Малинецкого. - М.: Физ-матлит, 2006. - С. 136-143.
32. Макаров П.В., Смолин И.Ю., Стефанов Ю.П., Кузнецов П.В., ТрубицынА.А., ТрубицынаН.В., Ворошилов С.П., ВорошиловЯ.С. Нелинейная механика геоматериалов и геосред. - Новосибирск: Акад. изд-во «Гео», 2007. - 235 с.
33. Синергетика. Исследования и технологии. Серия: Синергетика. От прошлого к будущему / Под ред. ГГ. Малинецкого. - М.: Либро-ком, 2009. - 224 с.
34. Малинецкий Г.Г., Курдюмов С.П. Приложение 2. Нелинейная динамика и проблемы прогноза // Структуры и хаос в нелинейных средах. - М.: Физматлит, 2007. - С. 425-451.
35. Bak P., Tang C., Wiesenfeld K. Self-organized criticality: An explanation of the l/f noise // Phys. Rev. Lett. - 1987. - V. 59. - No. 4. -P. 381-384.
36. Bramwell S., Holdsworth P., Pinton J.-F. Universality of rare fluctuations in turbulence and critical phenomena // Nature. - 1998. -V. 396. - No. 6711. - P. 552-554.
37. Pinton J.-F., Holdsworth P.C.W., Labbe R. Power fluctuations in a closed shear flow // Phys. Rev. E. - 1999. - V. 60. - No. 3. - P. R2452-R2455.
38. Ananthakrishna G., Noronha S.J., Fressengeas C., Kubin L.P Crossover from chaotic to self-organized critical dynamics in jerky flow of single crystals // Phys. Rev. E. - 1999. - V. 60. - No. 5. - P. 54555462.
39. Zaiser M. Scale invariance in plastic flow of crystal solids // Adv. Phys. - 2006. - V. 55. - No. 1-2. - P. 185-245.
40. Писаренко В.Ф., Родкин М.В. Распределения с тяжелыми хвостами: приложения к анализу катастроф. Серия: Вычислительная сейсмология. Вып. 38. - М.: ГЕОС, 2007. - 242 с.
41. Кузнецов И.В., Колесникова Н.М., Ломовской И.В., Ротвайн И.М. Обратная задача и прогноз на моделях клеточных автоматов // Синергетика. Исследования и технологии / Под ред. Г.Г. Малинец-кого. - М.: Либроком, 2009. - С. 192-220.
42. Карпинтери А., Лачидонья Дж., Пуцци С. Прогноз развития трещин в полномасштабных конструкциях на основе анализа показателя b и статистики Юла // Физ. мезомех. - 2008. - Т. 11. - № 3. -С. 75-87.
43. Зуев Л.Б. Физическая природа локализованного пластического течения // Прочность, пластичность и разрушение: физика и инженерный подход / Под ред. Л.Б. Зуева. - Томск: Изд-во НТЛ, 2009. -С. 9-37.
44. Баранникова С.А. Макролокализация пластической деформации как новый тип волнового процесса // Прочность, пластичность и разрушение: физика и инженерный подход / Под ред. Л.Б. Зуева. -Томск: Изд-во НТЛ, 2009. - С. 56-70.
45. Макаров П.В., Романова В.А. О новом критерии пластического течения при моделировании деформационных процессов на мезо-уровне // Мат. моделирование. - 2000. - Т. 12. - № 11.- С. 91-101.
46. Макаров П.В. Эволюционная природа деструкции твердых тел и сред // Физ. мезомех. - 2007. - Т. 10. - № 3. - С. 23-38.
47. СаранчукВ.И., Айруни А.Т., КовалевК.Е. Надмолекулярная организация, структура и свойства угля. - Киев: Наук. думка, 1988. -191 с.
48. Добромыслов А.В., Козлов Е.А., Талуц Н.И. Влияние сферически сходящихся ударных волн на высокоскоростную пластическую деформацию монокристалла меди // Proc. Int. Conf. «Shock Waves in Condensed Matter», St. Petersburg, 2006. - St. Petersburg: High Pressure Center, 2006. - P. 21-28.
49. Добромыслов А.В., Козлов Е.А., Талуц Н.И., Уксусников А.Н. Влияние сферически сходящихся ударных волн на структуру сплава Al - 2.4 % Mg - 5.5 % Zn // Proc. Int. Conf. «Shock Waves in Condensed Matter», St. Petersburg, 2006. - St. Petersburg: High Pressure Center, 2006. - P. 163-172.
50. Семинский К.Ж. Соотношения между размерами блоков и подвижных зон, образующих структуру литосферы Азии на разных иерархических уровнях // Тезисы докл. Межд. конф. по физич. мезомеханике, компьют. конструированию и разработке новых материалов. - Томск: ИФПМ СО РАН, 2006. - С. 150-151.
51. Спунгин В.Г. Иерархия и строение разрывных нарушений грани-тоидного массива // Геоэкология. - 2001. - № 6. - С. 542-551.
52. Спунгин В.Г, Зыков Д.С. Иерархия разрывных нарушений и золотое сечение // Сб. матер. XII Межд. конф. «Активные геологические и геофизические процессы в литосфере. Методы, средства и результаты изучения», Воронеж, 18-23 сентября 2006 г. -Воронеж, 2006. - Том II. - С. 175-179.
53. Килиан Х.Г., Веттегрень НИ., СветловВ.Н. Ансамбли дефектов на поверхности нагруженных металлов как результат их обратимой агрегации // Физика твердого тела. - 2000. - Т. 42. - Вып. 11. -С. 2024-2028.
54. Килиан Х.Г., Веттегрень В.И., Светлов В.Н. Иерархия ансамблей дефектов на поверхности нагруженной меди // ФТТ. - 2001. -Т. 43.- № 11. - С. 2107-2111.
55. Башкаров А.Я., Веттегрень В.И., Светлов В.Н. Иерархия статистических ансамблей нанодефектов на поверхности напряженного молибдена // ФТТ. - 2002. - Т. 44. - № 7. - С. 1260-1265.
56. Макаров П.В., Карпенко Н.И., Смолин И.Ю., Стефанов Ю.П., Тунда В.А., Хомяков А.Н. Изучение деформации и разрушения геоматериалов и геосред как иерархически организованных систем // Физ. мезомех. - 2005. - Т. 8. - Спец. вып. - С. 17-20.
57. Макаров П.В., Смолин И.Ю., Евтушенко Е.П., Трубицыгн А.А., Трубицыгна Н.В., Ворошилов С.П. Сценарии эволюции горного массива над выработкой // Физ. мезомех. - 2009. - Т. 12. - № 1. -С. 65-82.
58. Князева Е.Н., Курдюмов С.П. Законы эволюции и самоорганизации сложных систем. - М.: Наука, 1994. - 236 с.
59. Курдюмов С.П., Князева Е.Н. У истоков синергетического видения мира: режимы с обострением // Самоорганизация и наука: опыт философского осмысления. - М.: Арго, 1994. - С. 162-186.
60. Курдюмов С.П. Режимы с обострением. Эволюция идеи / Под ред. Г.Г. Малинецкого. - М.: Физматлит, 2006. - 312 с.
61. Макаров П.В., Смолин И.Ю., Евтушенко Е.П., Трубицыгн А.А., Трубицыгна Н.В., Ворошилов С.П. Моделирование обрушения кровли над выработанным пространством // Физ. мезомех. -2008.- Т. 11. - № 1. - С. 44-50.
62. Гольдин С.В., Юшин В.И., Ружич В.В., Смекалкин О.П. Медленные движения — миф или реальность // Физические основы прогнозирования разрушения горных пород: Матер. IX Межд. школы-семинара, Красноярск, 2002. - Новосибирск: Акад. изд-во «Гео», 2002. - С. 213-220.
63. Журков С.Н., Куксенко В.С., Петров В.А. и др. Концентрационный критерий обьемного разрушения твердых тел. - М. : Наука, 1980. -С. 78-85.
Поступила в редакцию 08.07.2010 г.
Сведения об авторе
Макаров Павел Васильевич, д.ф.-м.н., зав. лаб. ИФПМ СО РАН, [email protected]
