CC BY
137
самоорганизация в сложных системах: ключевые концепции
хаос и порядок так тесно связаны между собой, что их невозможно разделить.
ДИПАКЧОПРА
Концептуальные представления человека об окружающем мире меняются достаточно медленно. Новое знание сравнительно редко выходит за определенную предметную область или несколько областей и приводит к формированию новых методологических и философских концепций.
Виктор Гайсенок,
Посол Республики Беларусь в Республике Польша, доктор физико-математических наук, профессор
Вячеслав Кувшинов,
завлабораторией «ОИЭЯИ - Сосны» НАН Беларуси, доктор физико-математических наук, профессор
Георгий Крылов,
доцент кафедры компьютерного моделирования физического факультета БГУ, кандидат физико-математических наук, доцент
В естествознании одной из первых общефилософских концепций высокой степени общности явился лапласов-ский детерминизм. Ее появление стало следствием чрезвычайной успешности применения ньютоновской механики к самым разнообразным задачам науки и техники. Интересно отметить, что развитие электродинамики, специальной и
общей теории относительности и квантовой механики не разрушили, а лишь модифицировали эту концепцию.
Представления об ограниченности классического детерминизма сформировались лишь во второй половине ХХв. в результате исследований теории динамических систем, теории колебаний и волн, неравновесной статистической механики и термодинамики, химической кинетики, теории лазеров. При этом была выявлена общность поведения систем разной физической природы, связанная с наличием динамической неустойчивости состояний, аттракторов, бифуркаций, сложного поведения (хаоса) и других особенностей. В итоге в 80-х гг. прошлого столетия сформировалась общая теория поведения сложных систем и явлений самоорганизации в таких системах, которую принято называть синергетикой. Как и любая наука, синергетика сегодня проходит этап интенсивного развития - число публикаций растет, делаются попытки ее применения в новых предметных областях, методология расширяется до глобальных философских обобщений на экономику, социум и т.д. Наряду с положительными моментами такое развитие содержит и явно наблюдающуюся тенденцию к увлечению сомнительными аналогиями при игнорировании возможностей синертегики как науки о количественном и качественном описании поведения сложных систем. Вспоминая название известной книги И. Пригожина «От существующего к возникающему»,
ПОРЯДОК ИЗ ХАОСА
сконцентрируемся в данной публикации на «существующем» в синергетике и на ее ключевых концепциях.
Глобальная задача создания теории самоорганизации в сложных системах произвольной природы является слишком общей, поэтому она никогда не ставилась. Основные достижения синергетики заключаются в понимании путей решения двух задач:
• возникновение сложного поведения в системах с небольшим числом степеней свободы (динамический хаос);
• количественное и качественное описание некоторых режимов коллективного поведения распределенных нелинейных диссипативных динамических систем с использованием относительно небольшого числа переменных (или полей), называемых параметрами порядка.
Прежде всего отметим, что именно осознание возможности наблюдения хаотической динамики в простых детерминированных системах эффективно разрушило классический детерминизм. Общие сценарии перехода к хаосу обычно реализуются как последовательность некоторых бифуркаций (качественного изменения динамических режимов функционирования системы) с изменением одного или нескольких управляющих параметров, приводящих к сложному, количественно неотличимому от хаотического наблюдаемому поведению системы.
ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС
В повседневном смысле этого слова мы скажем, что сигнал х(1) хаотический, если никакой анализ не позволяет построить значения сигнала в последующие моменты времени, зная сигнал в предыдущие моменты. С математической точки зрения выявление хаотичности сигнала - достаточно сложная задача. С практической - хорошим критерием является выполнение двух условий. Первое - это экспоненциальное затухание автокорреляционных функций сигнала [1]. Второе - наличие сплошного спектра Фурье-образа сигнала, по крайней мере в некотором конечном частотном диапазоне [2].
Достаточно долгое время считалось, что единственным источником хаотического сигнала является привнесение неконтро-
лируемых возмущений в динамику системы (внешнего шума). Позднее было осознано, что эту роль может играть и эффект забывания системой своих начальных условий.
В качестве критерия возможности сложной динамики в системах с малым числом степеней свободы может рассматриваться расхождение фазовых траекторий, начинающихся в двух бесконечно близких точках фазового пространства. Если расстояние между траекториями растет экспоненциально, говорят о локальной динамической неустойчивости. Оказывается, этого свойства в совокупности с возможностью возврата точки в некоторую окрестность начальной точки достаточно для реализации режима динамического хаоса. Из-за экспоненциальной неустойчивости траекторий и конечной точности представления начальных данных систем через некоторое время становится невозможным определить начальную точку фазового пространства, с которого стартовала данная траектория. Это, в свою очередь, означает невозможность дальнейшего точного прослеживания динамики, что и приводит к эффективно случайной траектории в детерминированной динамической системе.
При анализе возможностей хаотизации динамики в системах с малым числом сте-
пеней свободы существенны различия для гамильтоновых и негамильтоновых систем. Для гамильтоновых систем с п-степенями свободы и без явной зависимости сил от времени динамика в фазовом пространстве (р,д, ¡=1..п) задается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, определяемых единственной функцией -функцией Гамильтона Н. Гамильтоновость означает определенную симметрию и, как следствие, сохранение фазового объема. Эволюция точно-решаемых гамильтоновых систем сводится к свободному движению в фазовом пространстве на п-мерном торе [3]. Уже это движение является достаточно сложным. Если все частоты несоизмеримы, его называют п-частотным условно периодическим движением. Если начальные фазы отдельных вращений выбрать случайно, то мы получим хороший пример случайного процесса.
В случае систем, близких к интегрируемым (точно-решаемым), функция Гамильтона отличается на некую очень малую добавку 5И (р, <7) и уже для таких систем КАМ-теория дает [3], что динамическое поведение систем будет близким к вышеописанным, только если все торы являются нерезонансными, то есть частоты движения по ним не связаны никаким линейным соотношением £ а,со,= О с целыми а.
тема номера
Уже для гамильтоновых систем с двумя степенями свободы типичным является разрушение резонансных торов в некоторых областях фазового пространства. Динамика в области разрушенных торов оказывается локально неустойчивой, что и приводит к сценарию хаотического поведения в гамильтоновых системах.
Второй реализуемый сценарий хаотического поведения в гамильтоновых системах связан с так называемыми сепаратрисами- особыми решениями в фазовом пространстве, разделяющими области с различными свойствами движений. В качестве примера рассмотрим одномерную систем - математический маятник на подвесе в поле тяжести. Понятно, что динамическое поведение системы зависит от начальных условий. Если слегка отклонить либо толкнуть маятник, он начнет колебаться; если толчок достаточно сильный, маятник придет во вращательное движение. Сепаратрисой для данной одномерной гамильтоновой системы является такая кривая в фазовом пространстве, на которой полная энергия маятника (кинетическая плюс потенциальная) точно равна потенциальной энергии маятника в верхнем возможном положении. Если маятник колеблется с большой амплитудой (вблизи сепаратрисы) и на него дополнительно воздействуют относительно небольшие случайные толчки, то ясно, что возможными являются переключения режимов движения с колебаний на вращение и обратно при увеличении или уменьшении полной энергии из-за толчков. Говорят, что движение вблизи сепаратрисы неустойчиво относительно внешнего шума. А для гамильтоновой системы, близкой к интегрируемой и с большим числом степеней свободы, неинтегрируемая добавка в функцию Гамильтона оказывается играющей роль, аналогичную внешнему шуму для вышерассмотренного примера. Она разрушает интегрируемость траекторий вблизи сепаратрисы и формирует так называемый стохастический сепаратрисный слой (или стохастическую паутину). При попадании фазовой траектории в окрестность этого слоя наблюдаемое поведение траекторий является случайным процессом.
И, наконец, надо отметить, что рассмотрение хаотизации в гамильтоновых системах при наличии сил, явно зависящих от времени, ведется в рамках общего рассмотрения негамильтоновых систем (часто называемых диссипативными).
Важнейшим понятием в общей теории динамических систем является понятие структурной устойчивости (или грубости, по Понтрягину). Система вида } = /(?) называется структурно устойчивой, если замена функций в правой части на бесконечно мало отличающиеся (возмущенная система) приводит к решениям, бесконечно мало отличающимся от решений исходной системы. Как легко понять, для задач моделирования реального мира мы должны использовать грубые системы, которые обеспечивают нечувствительность к малым погрешностям модели. Однако из-за зависимости наших моделей от некоторой совокупности параметров (например, массы маятника, его длины и ускорения свободного падения в модели математического маятника) при их изменении может встречаться ситуация, когда динамическая система перестает быть грубой. Точки негрубости (линии, поверхности) соответствуют так называемым точкам бифуркации, в которых происходит смена устойчивости некоторого режима либо смена динамического режима. Переход в хаосу в этом случае связывается с последовательностью бифуркаций, приводящих к все более сложному поведению.
Второе важнейшее понятие - аттракторы динамических систем, то есть множество точек в фазовом пространстве, к которому стремится (либо в котором остается неограниченно долго) рассматриваемая система. Простейшими аттракторами могут быть особые точки (либо точки равновесия) динамической системы, в которых все функции в правой части системы обращаются в нуль. Очевидно, что система в точке равновесия в ней же и остается; если же она из малой окрестности точки равновесия стремится к этой точке, то последняя считается аттрактором системы. Большим достижением теории колебаний в начале ХХ в. было обнаружение особого типа аттракторов динамических систем -предельных циклов. Предельный
цикл - это аттрактор, соответствующий замкнутой кривой в фазовом пространстве, находясь на котором динамическая система совершает асимптотически периодическое движение, называемое автоколебаниями [4].
Одной из самых изученных и важных бифуркаций является бифуркация рождения предельного цикла при потере устойчивости стационарного состояния - бифуркация Хопфа [5]. В динамической системе с пространством состояний размерности большей двух возможны дальнейшие бифуркации из предельных циклов. Именно с ними связаны классические сценарии перехода к хаосу в диссипативном случае.
Простейшая возможность - изменение формы предельного цикла при вариации управляющего параметра, когда соответствующая кривая чуть-чуть не замыкается за одни оборот, но замыкается за два. При этом движение остается периодическим, и бифуркация называется бифуркацией удвоения периода. В Фурье- спектре сигнала динамической системы появляются субгармоники основной частоты и комбинационные частоты. С использованием дискретных отображений для сечения Пуанкаре динамической системы Фейгенбаум показал [7], что с изменением управляющего параметра возможен целый каскад таких бифуркаций удвоения, причем этот каскад демонстрирует универсальное поведение, слабо зависящее от специфики системы. За некоторым предельным значением параметра располагается область полного хаоса, соответствующая прошедшему бесконечному каскаду бифуркаций в системе. Частотный спектр сигнала становится квазинепрерывным. Данный сценарий был обнаружен в экспериментах по гидродинамической турбулентности и в ряде других систем [5].
Вторым классическим сценарием возникновения динамического хаоса в диссипативном случае является сценарий Рюэля - Таккенса - Ньюхауса, или квазипериодический [5]. Его основная идея: бифуркация из предельного цикла приводит к возникновению второго предельного цикла с несоизмеримой частотой. При этом диссипативная
порядок из хаоса
СЛЕДУЕТ помнить, ЧТО МНОГОЕ В СИНЕРГЕТИКЕ, ГОВОРЯ СЛОВАМИ из КНИГИ «этюды О ВСЕЛЕННОЙ» ИЗВЕСТНОГО ИТАЛЬЯНСКОГО ФИЗИКА ТУЛИО РЕДЖЕ, «...ОСТАЕТСЯ ПОКА НА УРОВНЕ ЗАХВАТЫВАЮЩИХ ГИПОТЕЗ, ЕЩЕ НЕ ПОДВЕРГАВШИХСЯ СКОЛЬ-НИБУДЬ СЕРЬЕЗНЫМ ПРОВЕРКАМ. ПОЭТОМУ ТАКИЕ ГИПОТЕЗЫ ВОСПРИНИМАЮТСЯ ОДОБРИТЕЛЬНО ЛЮДЬМИ ОБРАЗОВАННЫМИ, НО НЕ СПЕЦИАЛИСТАМИ, В ТО ВРЕМЯ КАК ФИЗИКИ ОТНОСЯТСЯ К НИМ С ОСТОРОЖНОСТЬЮ»
система находится на некотором нерезонансном двумерном торе. Последующая бифуркация из этого нерезонансного тора, как показывает анализ, не приводит, как в раннем сценарии Ландау, к динамике на трехмерном торе, а аттрактор является фрактальным множеством со структурой и свойствами, определяемыми как особенностями динамической системы, так и значением управляющих параметров. Вместе с тем, независимо от специальных черт системы, при наличие бифуркации из двумерного тора почти всегда формируется странный аттрактор, и система демонстрирует хаотическую динамику.
Третьим и последним классическим сценарием формирования хаоса в диссипативном случае является сценарий перемежаемости [5, 6]. Согласно ему при превышении некоторого порога динамическая система начинает демонстрировать периодически сменяющиеся хаотический (турбулентный) и автоколебательные (ламинарный) режимы со случайным распределением времен смены режимов. В зависимости типа функции распределения этих длительностей от степени превышения управляющего параметра над критическим различают модели перемежаемости I, II и III типов. Аналитический подход к проблеме может также основываться на некоторых модельных дискретных отображениях, как и в случае субгармонического каскада [5, 6].
Казалось бы, какое отношение имеют рассмотренные выше сценарии к поведению сложных систем, обладающих, как, например, в гидродинамике, почти бесконечным числом степеней свободы? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим подходы к описанию сложных динамических систем с использованием небольшого числа уравнений для параметров порядка.
КОГДА просты СЛОЖНЫЕ СИСТЕМЫ?
Под сложной системой обычно понимают систему, состоящую из частей (подсистем), такую, что ее свойства (или функционирование) не сводятся к свойствам (и функционированию) включенных в нее
подсистем. Такое определение неплохо выглядит в плане общности, но совершенно непригодно для целей выявления и анализа, поскольку для решения вопроса, является ли система сложной, ее надо сначала досконально изучить. В теории самоорганизации обычно считают, что сложность системы определяется числом ее степеней свободы, и к сложным относят распределенные системы, описываемые полями и уравнениями в частных производных.
Первым в теории распределенных систем стоит вопрос о возможности описания структур, естественно наблюдаемых в экспериментах в различных физических системах при различных условиях. Положительный ответ на него связан с расширением понятий устойчивости, неустойчивости и теории бифуркаций на распределенные системы. Соответствующий математический аппарат связан с общей теорией линейных операторов (а не конечных матриц, как в дискретном случае) и наталкивается на серьезные вычислительные трудности при практическом рассмотрении уже бифуркаций из стационарных состояний. Отметим, что Нобелевская премия группе И. Пригожина по химии за теорию диссипативных структур была вручена за аналитическое рассмотрение автоволн в сильно упрощенной модельной системе химической кинетики (брюсселятор) и простейших геометриях области.
Положение дел изменилось с формулировкой так называемого «принципа подчинения» Г. Хакена [8], справедливого для распределенных, нелинейных, дисси-
пативных систем, описываемых эволюционными уравнениями в частных производных. Задача устойчивости стационарных состояний таких систем сводится к поиску собственных состояний некоторого линейного оператора А.
Точки бифуркации соответствуют переходу вещественной части хотя бы одного собственного значения через нуль. «Принцип подчинения» словесно можно сформулировать следующим образом: вблизи точки бифуркации, приводящей к смене устойчивости, важными оказываются лишь собственные состояния оператора I, соответствующие собственным значениям с положительными вещественными частями. Эти состояния называют неустойчивыми модами (.{*) >. Остальные состояния (устойчивые моды) могут рассматриваться как находящиеся в отрелаксированном к некоторому квазиравновесному состоянию, поскольку такую релаксацию обеспечивают большие по модулю отрицательные вещественные части соответствующих собственных значений. Тогда динамика распределенной системы может быть записана как динамика «модового скелета»
где сумма берется по неустойчивым модам, и уравнения записываются для коэффициентных функций называемых параметрами порядка. В условиях небольшого превышения параметра над бифуркационным значением число параметров порядка обычно достаточно мало, а качество описания системы такими «коллективными переменными» оказы-
ТЕМА НОМЕРА
вается очень хорошим. В свою очередь, уравнения для параметров порядка могут быть получены из исходного уравнения с использованием формализма нормальных форм [9] и применены для дальнейшего бифуркационного анализа упрощенной системы. Это позволяет расширить область качественного анализа динамики распределенной системы от задач возникновения первичных структур до задач взаимодействия структур и хаотизации.
Успешность приема разделения мод на быстрые и медленные и возможность описания в рамках коллективных переменных безусловно привлекательна и позволяет говорить об иерархической структуризации в сложной системе, о соответствии иерархии временных и пространственных масштабов для подсистем и т.п. Однако надо осознавать, что это всего лишь приближение, которое требует количественного обоснования для каждой изучаемой системы.
Отметим, что принцип подчинения имеет много общего с хорошо разработанными методами усреднения в теории колебаний [10], основная его методологическая новизна - ясность понимания того, от рассмотрения каких свойств системы можно безболезненно избавиться, а какие являются определяющими в конкретных случаях.
СИНЕРГЕТИКА И РЕАЛЬНЫЙ МИР
Как мы видели выше, применимость методов синергетики обусловливается общей математической структурой моделей, а не спецификой предметной области. Поэтому ее успешное применение оказывается возможным и для задач экологии, микро- и макроэкономики, социодинамики и других наук [7]. Самым важным моментом при этом является стадия построения математической модели. Часто простейшие модели могут быть написаны из интуитивно понятных элементарных взаимодействий объектов в системе, как, например, в экологических моделях «хищник - жертва». При рассмотрении действительно сложных систем, например социодинамики модельных систем, это труднорешаемая задача. Вычленение связи между объектами, определение фазового пространства будущей модельной системы требуют дискриминантного и факторного анализа. На этой стадии уже можно, основываясь на коэффициентах корреля-
ции, пробовать описать взаимодействие между важнейшими факторами как некие знаковые функции от взаимодействующих факторов или вводить его как произведение факторов. Хотя получающаяся модель окажется сильно упрощенной, она может стать основой для дальнейшего улучшения анализа данных и, в силу своей структурной устойчивости, обладать неким предсказательным характером.
К сожалению, применение синергетики в социо- и гуманитарных науках чаще сводится к использованию некоторых ее концепций без анализа данных и формирования модели. Часто считается, что можно свободно пользоваться понятиями теории бифуркаций без выяснения точного типа бифуркаций, понятиями диссипативных структур и результатами теории самоорганизации для иерархических систем с неизвестной динамикой, свободно расширять применимость модельных сценариев развития специальных систем до неких глобальных философских и методологических принципов. Этим, как ни странно, грешат не только явные гуманитарии, но часто и специалисты естественных профилей при расширении своих концепций на природу в целом и социум [11-13]. Не вдаваясь в дискуссию, приведем лишь один аргумент, касающийся попыток широкого истолкования режимов с обострением [13]. Открытие С.П. Курдюмо-вым и А.А. Самарским этого явления в системах, описываемых квазилинейными параболическими уравнениями в частных производных, явилось действительно новым словом в нелинейной динамике распределенных систем, сформировавшим целое направление, до сих пор активно развивающееся.
Как и солитоны [14], системы с локализацией тепла обладают специальными сим-метрийными (скэйлинговыми) свойствами. Поскольку наличие симметрии является специальным свойством системы, динамические системы симметрии не являются структурно устойчивыми. Малые «шевеления» (изменения закона) зависимости коэффициента теплопроводности от температуры или свойств источника приводят к системе уже без режима обострения. Далее, как известно, лишь для локально гиперболических систем вы-
полняется принцип близкодействия, для параболических уравнений на состояние в данной точке в следующий момент времени влияет состояние всех элементов системы, независимо от их расстояния от рассматриваемой точки пространства (дальнодействие). Поэтому возможность рассмотрения временной эволюции на значительных временах, эффектов иерархической организации, взаимной синхронизации или десинхронизации с использованием моделей с режимом обострения является, по-видимому, довольно оптимистичной точкой зрения.
Конечно, мы упомянули далеко не все важные достижения теории самоорганизации, равно как и подходы, развитые до настоящего времени, затронув лишь ключевые аспекты коллективного и сложного поведения. Значительный поток публикаций в этой предметной области показывает, что синергетика или теория самоорганизации в сложных системах продолжает развиваться и, можно надеяться, приведет к лучшему пониманию окружающего нас мира.
Литература
1. Predrag Cvitanovic http://chaosbook.org/~predrag/pa-pers/index.html.
2. Дмитриев А.С., Панас А.И. Динамический хаос. - М., 2002.
3. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. - М., 1984.
4. Кузнецов А.С и др. Нелинейные колебания. - М., 2002.
5. П. Берже, И. Помо, К. Видаль. Порядок в хаосе. О детерминистическом подходе к турбулентности. - М., 1991.
6. Кузнецов С.П. Динамический хаос. - М., 2001.
7. Трубецков Д.И. Введение в синергетику. Хаос и структуры. - М., 2004.
8. Хакен Г. Информация и самоорганизация - М., 1991.
9. Л.П. Шильников А.Л. Шильников, Д.В. Тураев, Л. Чуа, Методы качественной теории в нелинейной динамике. -М., 2003.
10. Гребенников Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах. - М., 1986.
11. И. Пригожин, И. Стенгерс. Порядок из хаоса. - М., 1986.
12. Будущее и настоящее России в зеркале синергетики. Под ред. Малинецкого Г.Г. Эдиториал УРСС. 2011.
13. Князева Е.Н., Курдюмов С.П. Основания синергетики. Режимы с обострением, самоорганизация, темпомир.-СПб., 2002.
14. Додд Р., Эйлбек Д., Гиббон Д., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. - М., 1988.
