S-алгебри Лі малих розмірностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФПЗПКО-МАТЕМАТПЧЕСКПЕ НАУКИ

S-АЛГЕБРИ Л1 МАЛИХ РОЗМ1РНОСТЕИ

Прокопенко В.Е.

бакалавр системного анализу, ННК «1ПСА» НТУУ «Кигвський Полтехтчний 1нститут»

S-АЛГЕБРЫ ЛИ МАЛЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ

SMALL DIMENSION LIE S-ALGEBRAS

Прокопенко В.Э.

бакалавр системного анализа, УНК «ИПСА»

НТУУ «Киевский Политехнический Институт»

Prokopenko V.E.

bachelor of System analisys, ESC «IASA»

NTUU «Kyiv Polytechnic Institute»

Анотацш: Досл1джено деят узагальнення алгебр Л1 S-алгебры Ли Було проведено пошук тволютивних розв'язюв ргвняння Янга-Бакстера та умови Якобг в системах комп 'ютерног алгебри над просторами малих розм1рностей. Отримано вимоги до структурних констант. Отримаш розв'язки класифжовано за розмгртстю комутанта. Коротко визначенг перспективи подальших дослгджень.

Ключовi слова: алгебра Л1, S-алгебра Л1, узагальнена умова Якобг, ргвняння Янга-Бакстера, iнволютивний оператор.

Аннотация: Исследованы некоторые обобщения алгебр Ли — S-алгебры Ли. Был проведен поиск инволютивных решений уравнения Янга-Бакстера и обобщённого условия Якоби в системах компьютерной алгебры над пространствами малых размерностей. Получены требования к структурным константам. Полученые решения класифицированы по размерности коммутанта. Кратко обозначены перспективы дальнейших исследований.

Ключевые слова: алгебра Ли, S-алгебра Ли, обобщённое условие Якоби, уравнение Янга-Бакстера, инволютивный оператор.

Summary: Some generalizations of Lie algebra(s) - Lie S-algebras - are examined. A search for involutive solutions to Yang-Baxter equation and generalized Jacobi condition was conducted on small dimension spaces via computer algebra systems. Requirements to structural constants were obtained. Found solutions are classified by the dimension of commutator subgroup. Perspectives for further research are briefly designated.

Key words: Lie algebra, Lie S-algebra, generalized Jacobi condition, Yang-Baxter equation, involutive operator.

Постановка проблеми.

Оскшьки алгебри Лi е важливим елементом математично! теори симетри, то щлком природньою е потреба !х узагальнення. Метою дано! статп е класифшащя узагальнених об'екпв такого вигляду

( V, [ , ] : V02 —> V) , де V — деякий лшшний

проспр, а R: V02 —^ V02 — шволютивний оператор, що задовольняе тотожносп Янга-Бакстера,

тодi [•,•]*: V OV — V — операщя, що

задовольняе умовам R-симметричносп

[ Xj, X, ]r - R; [ х,, Xm ]r

та узагальненш

умовi Якоб^ В подальшому називатимо таке Б-алгеброю Лi.

В межах данно! статп проводився пошук i класифiкацiя шволютивних розв'язк1в рiвняння Янга-Бакстера [1, с. 2] та узагальнено! умови Якобi [2, с. 316] над простором розмiрностi 2 в системах комп'ютерно! алгебри за допомогою символьних обчислень. Через складнiсть отриманих систем рiвнянь, нажаль, не видалося можливим знайти всi розв'язки.

Знайдеш iнволютивнi тензори та структурш константи.

Пошук розв'язшв виконувався наступним чином: за основу брали деякий шволютивний оператор у власному базиа (один з наступних):

R -

1 0 0 0

0 -1 0 0

0 0 -1 0

0 0 0 -1

,R2 -

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 -1 0

0 0 0 -1

, R -

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 -1

i обирали власний базис такий, що6 для щ _ для супералгебри Л1. Цкаво, що для Щ не

К = иЩи (в канотчному базисi) виконувалися знайшлося такого власного базису, що задовольняв би

т~у всiм вимогам. Зауважимо, що для спрощення запису вlдповlднi вимоги. З вищенаведених операторiв К

^ « ^ ^ 1 було застосовано таке перетворення:

— породжуючий оператор для класично! алгебри Лi, а

(Г 1 1

ГЦ

Г2'1

V Ги

Г1 1 Г2 1 Г2 1 VV12,1

1 2 Г1112

Г2 2 11,1 у

1 2 Г1 2

Г2 1 2 2

Г2'1 У

Г1,1 Г1,2 Г2,1

V11,2

Г1,1 Г2,2 Г2,1

V 2,2

1,2 Г11 22

Г2 2 11,2 У

1 2 Г1,2

Г2,2 Г2,2

12,2 УУ

•о-

Г /1 41 г1,1 г1,2 г1 1 г2 1 Г1 1 1 2,2

г1'2 41 Г1,2 Г12 Г2, 1 '2,2

г2Д 41 Г 2Л Г 21 Г 21 2,2

г 2'2 V г1,1 2,2 Г Г1, 2 2 2 Г 2 2 Г2, 1 2 2 Г 2 2 Г2,2 у

Модифiкацii класичног алгебри Лi

(породжуючий оператор — К):

1) Класична алгебра Ш:

Матриця переходу до канонiчного базису:

'0 1 -1 01

0 0 0 1

0 110

V1 0 0 0у

Тодi у канонiчному базисi у формi тензору оператор Я виглядатиме так:

и =

К =

(Г

VV

-1 01 Г 0 0

0 0 у V-1 0

0 -11 Г 0 0

0 0 У V 0 -1

У

л

Уу

Структурнi константи:

С =

Г 0 1

V 0 у

( с2 \\ с12

-с2

-с12 с2

VV с12 У

12 У

Г 01

V0 У у

2) Вiзьмемо уштарну параметризовану

матрицю в якостi матрицi переходу до каночного базису:

и = ^12 (^1)^23 (^2)^34 (^3)^12(^4)^23(^5)^12(^6)

де

О23 (ф) =

^СоБ[ф] -вт[ф] 0 01

8т[ф] Соэ[ф] 0 0

0 0 1 0

ч 0 0 0 1У

Г1 0 0 01

0 Соэ[ф] -8т[ф] 0

0 вт[ф] Соэ[ф] 0

у0 0 0 1У

Г1 0 0 0 1

О34 (Ф) =

0 1

0

0

0 0 Соэ[ф] -Бт[ф] 0 0 вт[ф] Соэ[ф]

Вигляд породжуючоготензору не

наводитимемо через громiздкiсть конструкций Зауважимо, що при

щ = 0, I = (1.. 6)^(2.. 6)^(3..6)^(4..6)^(1,2,6)

оператор Я не задовольняе рiвнянню Янга-Бакстера та узагальненш умовi Якобi. За iнших значень маемо таке:

Обмеження накладаються лише на параметри та , покладемо = 0, осшльки при Ф 0 розв'язки знайти не вдалося, <рг, ф3 та <р5 — довiльнi. Тобто:

С =

Г 0 ^

V 0 У

С12 VV С12 У

с1

с12

с2

V с12 У

Г о ^

V 0 У У

при

У

^ Ж ^

---+ 2ж£

4

+Ж + 2жп V 2

або

С =

>2Л 4^4 У

Також г

v 0 у

с12 ччс12 у

— + 2як 4

+Ж + 2жп V 2

, де

А:, и е Z.

е с12 v с12 у 0

v 0 у у

ще

один

розв язок:

при

а)

^4 У

Ж

+ 2жк

+Ж + 2жп V 2

або

У

а

У

У^У

-р2 -Р

-л

-р2

, С:

>2Л ^4 У

- — + 2ж£ 4

+Ж + 2жп 2

де

А:, п е Z .

V 2 У

Така структура е подiбною до супералгебри Лi, хоча в И основi лежить класична алгебра Ш.

3)

Вiзьмемо матрицю и такого вигляду:

и =

а -Р 0 0

Р а -У 0

У 0 р -5

5 0 0 У

Введемо 2 , о2 , ,2

умову:

додаткову

а2 + р2 + у2 + 52 = 1.

Тодi у кaнонiчному базисi у формi тензору оператор Я виглядатиме так:

Я =

^1- 2р2 - 2у2 - 252 2а(3 2ау 2а5 у

г 2ау 2У ч-1 + 2у2 2у5 у

Тут маемо таю розв'язки:

2ар -1 + 2р

2РУ 2р5

2а5 2р5

2у5 -1 + 25

+ -

+ -

С21У

рси

Р^

РСд

'-Г К

\\

р

- Кг

-р2

VV

С121У

б)

в)

а

Г

^2-р2 -р

с =

(

и

с 1

ч 1,1 у

т К ^

т К "

-р2

Рс1

-р2

+

2

К 1 -р2

(с л .-с2! у

ч 1-1 у

а

ч^у

( п-^

-л/2+ р

-1 + л/2р-р2

с =

(1 + \/2р)^/-1 + 2л/2р- 2Р

,2 2 С1Д

-1 + 2Р2

2

с ,

(2+У2р- 2р2) <

-1 + 2Р2

7-1 + 2^2р- 2Р2 (2 + зТ2р- 2л/2р3) с

р(У2 + 2р) с2, -1 + 2р2

р^-1 + 2^2р- 2рг (л/2 + 4р + 2^2рг) с

(1 + уЦр)^-1 + 2^2р - 2ргс2

-1 + 2Р2

2

-с,,

лл

г)

а

ч^у

1 ->/2р-р2

72+р

ч ^ 2 у

С =

(-1 -1 - 2^2р - 2рр

" -1 + 2р2

2

с1д

(-2 +42р + 2р2)с211

р(-42+2р)с

\\

-1 + 2р2

7-1 - 2-Вр- 2рг (-2 + Зл/2р - 2*Връ)с1) ' (1 - 2р2)2

-1 + 2р2

^-1 - 2^2р- 2р2 (л/2 - 4р + 2 Т2р2 )с2,

(1-2р2)2

_ (1 - л/2р)7-1 - 2у[2р - 2рг с2д -1 + 2Р2

Модифжаци супералгебри Лi (породжуючий оператор — Я):

Супералгебра Ш: Л

1)

и =

v" у

Тодi у канонiчному базисi у формi тензору оператор Я виглядатиме так:

0 0 0 1

0 1 1 0

1 0 0 0

0 -1 1 0

Я =

с г

vv

1 01 Г 0 0

0 0 У V 1 0

0 11 Г 0 0

0 0 у v 0 1

лЛ л

уу

Структурнi константи:

С С

С =

с

.2 л

с

12 2 2

12

1

''12 у

с12 v с12 у

/

с12

с2 v с12 у

.1 2 л 12

Матриця переходу до канонiчного базису:

/

С =

Г

С 2 Л

-с

12

V с11 У

„2 2 л 12

11

„2 2 Л 12

11

V С12 У

V С12 У

^2 3 Л с12

2 2

С

с11

2 2

с с12

при

Vф4 У

-—+ 2—к

11 УУ л

Vф4 У

V

— + 2—к 4

+—+ 2—п 2

V

де

+—+ 2—п 2

або

У

к, п е Z.

У

с122

v v с12 уу

2) Знову вiзьмемо унiтарну

параметризовану матрицю, що вже згадувалася, в якостi матриц переходу до каночного базису i будемо

варiювати параметри фф ■. .ф6 . Цiкавим е той факт,

що при ф = 0 розв'язшв не iснуе. Вигляд

породжуючоготензору не наводитимемо через громiздкiсть конструкций

Обмеження накладаються лише на параметри

(р2 та , покладемо ф6 = 0, ^3та (р5 — довiльнi.

Тобто:

1нший розв'язок: фф = ф5 = 0 , обмеження

накладаються лише на параметри <р2 та ф3, <р6 та — вiльнi.

(Г .12 \ с2,1

С =

1

"2,2 С1 3

2,1

.1 2 2,2 У

1

2,1 .1 2 2,1

1

' с1 с12

с2,1

2,2

с1

с2,2

-с,

2,1

Чч У

при

Vф3 У

—у 2—к

—п

або

>2 \ >3 у

>6 = 0

- — + 2—к 4

V

—п

де

к, п е ^ , якщо

У

та

J

^ 7 ^

—у 2як 4

V

- — + 2як 4

±7 + 27П 2

±7 + 27П 2

або

де

к, П G Z , якщо

>2Л

V^4 J % * 0 .

3) Для матриц U з третього пункту

модифжацш класично1 алгебри Лi немае таких значень параметрiв, що задовольняли б yMOBi ^ko6í та рiвнянню Янга-Бакстера.

Класифжащя отриманих розв'язшв i перспективи подальших дослiджень.

Вочевидь розмiрнiсть комутанту dímV^ < 1,

де V = [V, V\R , для будь-яких розв'язк1в з

вищенаведених. Bei отриманi S-алгебри Лi е модифiкацiями класично! алгебри та супералгери Лi.

Якщо ж вс стрyктyрнi константи покласти рiвними нулю, то породжуючим оператором може бути будь-який iнволютивний оператор, що задовольняе рiвнянню Янга-Бакстера та yмовi Якобi.

Перспективним здаеться дослвдження модифiкацiй некласичних (для алгебр Л^ iнволютивних операторiв на просторах бшьших розмiрностей — можливо знайдуться так оператори, що задовольнятимуть необх1дним для коректного задания S-алгебри Лi умовам. Також цiкавим напрямком дослвдження е пошук бiльших розмiрностей комутанту: в класичних випадках розмiрнiсть комутанту не досягае розмiрностi алгебри [3, c. 102].

Список лiтератyри:

1.Dimitri Gurevich. Quantum Lie algebras via modified Reflection Equation Algebra. / Dimitri Gurevich, Pavel Saponov. P. Coimbra, 2007, 16p.

2.Д. И. Гуревич. . Операторы обобщенного сдвига на группах Ли. / Д. И. Гуревич // Известия Академии Наук Армянской ССР.— 1982. — №4 — С. 305-317.

3.Кирилов А.А. Элементы теории представлений. / Кирилов А.А. — М.: Наука, 1978, — 343 с.