CC BY
7
Рёберно-отказоустойчивые расширения 8-, 9- и 10-
вершинных графов
Судани Х.Х.К.
Аннотация - Надёжность технических систем является очень важным параметром. Одним из способов повышения надёжности является построение отказоустойчивой реализации системы. В некоторых системах часто случаются отказы связей между её элементами. В пример можно привести повреждение линии связи в вычислительной сети или точки соединения провода и устройства (гнезда или разъёма), что приводит к невозможности использовать провод и передавать по нему данные или электричество. Теоретическую модель на основе графов для исследования такого рода отказов -рёберную отказоустойчивость (edge fault tolerance), -предложили в 1993 году совместно John P. Hayes и Frank Harary. На языке теории графов построить для системы отказоустойчивую реализацию означает для соответствующего графа найти расширение. Оптимальность реализации означает, что в графе должно быть минимально возможное число вершин и рёбер среди всех соответствующих расширений. Задача построения минимального расширения является вычислительно сложной. В данной статье описывается вычислительный эксперимент по построению минимальных рёберных расширений 8-, 9- и 10-вершинных графов и его результаты.
Ключевые слова — отказоустойчивость, рёберное расширение графа.
I. Введение
В 1976 г. John P. Hayes предложил модель исследования отказоустойчивости систем на основе графов [1]. В этой работе рассматривались отказы элементов. Совместно с Frank Harary позднее предложенная модель была распространена на отказы связей между элементами [2]. На языке теории графов задачи построения соответствующих отказоустойчивых реализаций можно рассматривать как задачи построения соответствующих расширений [3].
Неориентированным графом (далее просто графом) называется пара G = (V, а), где V - это множество вершин, а - множество рёбер [3, 4]. Ребром называется неупорядоченная пара различных вершин. Если между вершинами и и v есть ребро, то эти вершины называются смежными, а ребро, соединяющее их обозначается как {и, v}. Степенью вершины v
Статья получена 13 июля 2020.
Х. Х. К. Судани, аспирант ФГБОУ ВО Саратовский Национальный Исследовательский Государственный Университет, Саратов, Россия; Министерство науки и технологий Ирака, Багдад, Ирак (e-mail: hayder.1977@mail.ru).
называется число d(v), равное количеству смежных v вершин.
Граф G* называется рёберным ^-расширением (Р-к-Р) -вершинного графа G, если G вкладывается в каждый граф, получающийся из G* удалением любого набора из к рёбер. Если количество вершин в G* равно п, и количество рёбер в нём минимально среди всех к-вершинных Р-к-Р графа G, то G* является минимальным рёберным к-расширением (МР-^-Р) графа G. Мы рассматриваем простые графы, поэтому минимальные рёберные к-расширения могут быть не у всех графов. Например, полный граф Kn не имеет МР-к-Р ни при каких натуральных значениях к.
Ранее [5] были получены результаты исследования минимальных расширений графов с количеством вершин с 4 по 7 включительно. В данной статье будут описаны минимальные рёберные расширения 8, 9 и 10-вершинных графов.
II. Об эксперименте
Используя алгоритмы, описанные в работе [6], в том числе алгоритмы, основанные на методе исключения изоморфных копий [7, 8], были построены все МР-^-Р каждого из 8- и 9-вершинных графов для к, равного 1, 2, 3 и 4. Также были построены все МР-1-Р каждого 10-вершинного графа.
Вычисления проводились на кластере ПРЦ НИТ Саратовского национального исследовательского государственного университета имени
Н.Г. Чернышевского [9], в вычислениях было задействовано 40 ядер. Обработка 9-вершинных графов для разных значений параметра к происходила не более шести часов. Для обработки 10-вершинных графов было затрачено около двух с половиной месяцев.
На основе полученных данных была собрана статистика по количеству минимальных рёберных к-расширений, обозначенному как en(G, к), и числу дополнительных рёбер в них, обозначенному как ec(G, к), которая будет приведена в статье далее.
III. КОЛИЧЕСТВО ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ РЁБЕР
В таблице 1 представлено количество дополнительных рёбер у графов с 4 вершинами. В первой колонке указано количество дополнительных рёбер, в следующих четырёх колонках указано количество графов, МР-&-Р которых имеют соответствующее количество дополнительных рёбер. В последней строке со значением «Нет» в первом столбце указано количество графов, у которых нет расширений.
Таблица 1 - Количество дополнительных рёбер в
Таблица 2 - Количество дополнительных рёбер в
ec(G,к) Количество графов ec(G,к) Количество графов
МР-1-Р МР-2-Р МР-3-Р МР-4-Р МР-1-Р МР-2-Р МР-3-Р МР-4-Р
0 1 1 1 1 0 1 1 1 1
1 34 0 0 0 1 45 0 0 0
2 230 6 0 0 2 445 7 0 0
3 1297 24 4 0 3 3666 33 5 0
4 4831 95 6 3 4 22847 150 8 4
5 4708 261 19 2 5 104802 518 26 2
6 881 1252 77 4 6 124293 2720 108 7
7 224 4648 266 14 7 15402 13267 402 21
8 83 4057 1138 71 8 2187 75659 1836 85
9 35 1269 3205 218 9 595 127463 8263 360
10 12 412 3661 801 10 231 38699 34939 1725
11 6 167 2027 2132 11 88 9936 95933 6495
12 2 80 838 2796 12 38 3561 69698 23781
13 1 36 344 2097 13 17 1528 33351 62402
14 0 14 154 1158 14 6 660 15625 68743
15 0 7 74 506 15 2 272 6970 44254
16 0 3 32 182 16 2 112 3012 27483
17 0 1 13 58 17 1 41 1344 16760
18 0 1 6 16 18 0 17 623 9282
19 0 0 2 4 19 0 6 289 4466
20 0 0 1 1 20 0 3 134 1827
21 0 0 1 0 21 0 1 63 647
Нет 1 12 477 2282 22 0 1 25 214
Рассмотрим для примера ячейку в таблице 1, которая стоит в столбце с заголовком «МР-2-Р» и строке со значением «9» в первом столбце. В выбранной ячейке стоит значение «1269». Это означает, что у 1269 графов количество дополнительных рёбер в МР-2-Р равно 9. 23 0 0 11 66
24 0 0 5 22
25 0 0 2 8
26 0 0 1 3
27 0 0 1 1
28 0 0 0 1
Нет 1 13 1993 6008
таблице 1. Видно, что существуют заметно выделенные два подряд идущих участка: первый - увеличение количества графов с ростом количества дополнительных рёбер в расширении, а второй -уменьшение. Это происходит при любом значении к.
Кол-во графов
5000 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0
МР-1Р
МР-2Р
МР-3Р
МР-4Р
'•s»
Л X X
Л А \
1 1 1к /\ \
/ а/ у \ V
naràmwt i и* éVh и и и ■
0 3 6 9 12 15 18 Кол-во дполнительных рёбер в расширении
21
Кол-во графов
140000 120000 100000 80000 60000 40000 20000
МР-1Р
МР-2Р
МР-3Р
МР-4Р
ИНИИИИИИИ
20 24 28
4 8 12 16 Кол-во дполнительных рёбер в расширении
Рисунок 1 - Количества 8-вершинных графов с заданным количеством дополнительных рёбер в расширении
В таблице 2 аналогичные данные указаны для 9-вершинных графов.
Рисунок 2 - Количество 9-вершинных графов с заданным количеством дополнительных рёбер в расширении
Для МР-1-Р 10-вершинных графов аналогичные данные приведены в таблице 3.
0
0
Таблица 3 - Количество дополнительных рёбер в
минимальных расширениях 10-ве ршинных графов
ec(G,к) МР-1-Р ec(G,к) МР-1-Р
0 1 11 3256
1 63 12 1182
2 799 13 516
3 8630 14 234
4 75526 15 111
5 554875 16 50
6 2995525 17 23
7 7060790 18 9
8 1216416 19 5
9 74068 20 2
10 13085 21 1
Нет 1
IV. Количество расширений
Было посчитано количество МР-&-Р для каждого графа. Полученные результаты по 8-вершинным и 9-вершинным графам указаны в таблицах 4 и 5 соответственно.
Различных значений достаточно много и их невозможно указать в рамках данной статьи, поэтому некоторые значения были сгруппированы по диапазонам. В этом случае в столбце еп(С, к) написано а-Ь, где а, Ъ - числа, означающие максимальное и минимальное количество графов, у которых количество расширений равно одному значению в указанном в первом столбце диапазоне, а > Ь. Если а = Ь, то пишется просто число а. Числа а и Ъ.
Таблица 4 - Количество 8-вершинных графов с _заданным количеством расширений_
2. В таблице 5 на пересечении строки «527-1394» и столбца «МР-3-Р» стоит значение «2-0». Это означает, что существует не более 2 и не менее 0 графов, у которых количество МР-3-Р находится в диапазоне от 527 до 1394.
Таблица 5 - Количество 9-вершинных графов с заданным количеством расширений
en(G) Количество графов
МР-1-Р МР-2-Р МР-3-Р МР-4-Р
0 1 13 1993 6008
1 85988 80744 106905 178373
2 38269 41538 71809 33925
3 23228 26797 20668 16599
4 16115 15890 11366 11711
5 12152 12167 8462 5883
6 9583 9050 7337 2913
7 7833 7476 5783 4110
8 6596 6232 4303 1728
9 5648 5176 3700 1636
10 5085 4697 2993 1306
11 4539 4244 2466 1060
12 4142 3808 2087 1046
13 3744 3327 1756 940
14 3313 3054 1458 707
15 3176 2745 1304 534
16-50 2878-269 2407-325 1194-137 438-33
51-100 260-27 347-71 152-21 42-2
101-200 40-0 96-9 32-2 9-0
201-300 4-0 21-1 11-0 3-0
301-526 2-0 7-0 5-0 2-0
527-1394 0 4-0 2-0 1-0
1395-2359 0 1-0 0 1-0
2360-3195 0 1-0 0 0
en(G,к)
МР-1-Р
1
Количество графов
МР-2-Р
12
МР-3-Р
477
МР-4-Р
2282
Для МР-1-Р 10-вершинных графов аналогичные данные приведены в таблице 6.
Таблица 6 - Количество 10-вершинных графов с
заданным количеством расширений_
4752
5606
7836
8406
en(G,1)
МР-1-Р
en(G,1)
МР-1-Р
2165
2105
1948
851
0
1
18
120497
1233
1228
563
185
2936566
19
111779
810
839
432
356
1430218
20
102359
563
570
204
71
949397
21-50
94555-17460
434
307
135
42
724474
51-100
16782-3494
350
242
180
28
583184
101-200
3427-841
269
184
67
28
486326
201-300
883-368
250
141
69
11
413612
301-400
396-149
10
201
144
66
357589
401-500
171-49
11-30
184-12
137-4
59-1
9-0
311638
501-650
73-11
31-60
18-0
14-1
5-0
4-0
10
274514
651-800
21-0
61-96
2-0
4-0
1-0
1-0
11
243259
801-1000
7-0
97-108
1-0
2-0
12
217605
1001-1200
2-0
109-159
1-0
1-0
13
194415
1201-1400
1-0
160-166
0
1-0
14
175749
1401-1600
1-0
15
159244
1601-1652
Приведём примеры:
1. В ячейке таблицы 4 на пересечении строки со значением «7» в первом столбце и столбца «МР-2-Р» стоит значение «242». Это означает, что у 242 8-вершинных графов количество МР-2-Р равно 7.
16
144386
1653
17
132070
Ниже, в таблице 7, показаны графы с наибольшим количеством минимальных рёберных ^-расширений и
1
2
3
2
4
3
5
4
6
5
7
6
8
9
8
4
9
0
0
0
0
0
0
0
1
по одному примеру МР-&-Р к нему. Изображения графов приведены без пересечений, если это возможно.
V. Заключение
В данной статье были исследованы минимальные рёберные 1-, 2-, 3- и 4-расширения 8- и 9-вершинных графов, а также минимальные рёберные 1-расширения 10-вершинных графов. Для них было приведено распределение графов по количеству дополнительных рёбер и количеству расширений. В статье приведены изображения графов, имеющих наибольшее количество расширений и пример расширения.
Библиография
[1] Hayes J. P. A graph model for fault-tolerant computing system // IEEE Transactions on Computers. 1976. Vol. C-25. № 9. P. 875-884. DOI: 10.1109/TC.1976.1674712
[2] Harary F., Hayes J. P. Edge fault tolerance in graphs // Networks. 1993. Vol.23. P.135-142. DOI: 10.1002/net.3230230207
[3] Абросимов, М.Б. Графовые модели отказоустойчивости. Саратов: Издательство Саратовского университета, 2012, 192 с.
[4] Богомолов А.М., Салий В.Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. М.: Наука 1997.
[5] Абросимов М.Б. Минимальные расширения 4-,5-,6- и 7-вершинных графов. Саратов гос. ун-т. - Саратов, 2000. - 26с.; Деп. в ВИНИТИ 06.09.2000, N2352-B00.
[6] Абросимов М. Б., Судани Х. Х. К., Лобов А. А. Построение минимальных рёберных расширений графа без проверки на изоморфизм // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2020. Т. 20, вып. 1. С. 105-115. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2020-20-1-105-115
[7] Brinkmann G. Isomorphism rejection in structure generation programs // Discrete Mathematical Chemistry, DIMACS Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science. 2000. Vol. 51. P. 25-38. DOI: 10.1002/(SICI)1097-0118(199610)23:2<139::AID-JGT5>3.0 .CO;2-U
[8] Камил И. А. К., Судани Х. Х. К., Лобов А. А., Абросимов М. Б. Построение всех неизоморфных суперграфов без проверки на изоморфизм // Прикладная дискретная математика. 2020. N° 48. 82-92. DOI: 10.17223/20710410/48/7
[9] Официальный сайт Поволжского Регионального Центра Новых Информационных Технологий // URL:http://prcnit.sgu.ru
Таблица 7 - Графы с наибольшим количеством _минимальных рёберных расширений_
МР-1-Р
МР-2-Р
МР-3-Р
МР-4-Р
МР-1-Р
МР-2-Р
МР-3-Р
МР-4-Р
МР-1-Р
Edge fault tolerant extensions of graphs with 8, 9 and
10 vertices
Sudani H. H. K
Annotation - Reliability is one of the most important issues in design of technical systems. One way to increase reliability is to build a fault tolerant system implementation. In some systems, link failures between its elements occur. An example is the damage to a communication line in a computer network or the connection point of a wire and a device (socket or connector), which makes it impossible to use a wire and transmit data or electricity through it. In 1993 Frank Harary and John P. Hayes proposed a theoretical graph model for investigating the fault tolerance of discrete systems.
To build a fault tolerant implementation for a system means to find an extension for the corresponding graph. Optimization of the implementation means that the graph must have the minimum possible number of vertices and edges among all the corresponding extensions. The problem of constructing a minimal extension is computationally complex. This article describes a computational experiment on constructing minimal edge extensions of 8-, 9-, and 10-vertex graphs and its results.
Key words — fault tolerance, edge graph extension.
REFERENCES
[1] Hayes J. P. A graph model for fault-tolerant computing system // IEEE Transactions on Computers. 1976. Vol. C-25. № 9. P. 875-884. DOI: 10.1109/TC.1976.1674712
[2] Harary F., Hayes J. P. Edge fault tolerance in graphs // Networks. 1993. Vol.23. P.135-142. DOI: 10.1002/net.3230230207
[3] Abrosimov M.B. Grafovye modeli otkazoustoichivosti. Saratov : Izdatel'stvo Saratovskogo universiteta, 2012, 192 p. (in Russian)
[4] Bogomolov A.M., Salii V.N. Algebraicheskie osnovy teorii diskretnykh sistem. M.: Nauka 1997. (in Russian)
[5] Abrosimov M.B. Minimal'nye rasshireniya 4-,5-,6- i 7-vershinnyh grafov. Saratov Univ. - Saratov, 2000. - 26c.; Dep. In VINITI 06.09.2000, №2352-B00. (in Russian)
[6] Abrosimov M. B., Sudani H. H. K., Lobov A. A. Construction of All Minimal Edge Extensions of the Graph with Isomorphism Rejection. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2020, vol. 20, iss. 1, pp. 105-115 (in Russian). DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2020-20-1-105-115
[7] Brinkmann G. Isomorphism rejection in structure generation programs // Discrete Mathematical Chemistry, DIMACS Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science. 2000. Vol. 51. P. 25-38. DOI: 10.1002/(SICI)1097-0118(199610)23:2<139::AID-JGT5>3.0.C0;2-U
[8] Kamil I.A.K., Sudani H.H.K., Lobov A.A., Abrosimov M.B. Constructing all nonisomorphic supergraphs with isomorphism rejection // Prikladnaya Diskretnaya Matematika. 2020. № 48. 82-92. DOI: 10.17223/20710410/48/7
[9] Volga Regional Center for New Information Technologies. Available at: http://prcnit.sgu.ru
