CC BY
27
Радіотехнічні кола та сигнали
18. Рибін О.І., Ткачук А.П. Аналіз лінійних систем в області трансформант кратного перетворення EIWAL // Вісник НТУУ „КПІ”. Сер. Радіотехніка. Радіоапаратобудуван-ня. - 2006 - Вип. 33. - С.147-154.
19. Рыбин А.И., Ткачук А.П. Анализ линейных систем в области трансформант собственных частот преобразования RTFZ/Радиоэлектроника. 2006. №11.С.56-63.(Изв. вузов)
Ніжебецька Ю.Х., Рибіна І.О., Якубенко О.А
Комплексне дискретне нормальне ортогональне перетворення. Запропоновано алгоритм формування матричного оператора дискретного нормального ортогонального комплексного перетворення, показано можливість його застосування для аутентифі-кації особи за динамічно введеним підписом.
Ключові слова: ортогональне перетворення, нормальне ортогональне перетворення Нижебецкая Ю.Х., Рыбина И.А., Якубенко А.А. Комплексное дискретное нормальное ортогональное преобразование. Предложен алгоритм формирования матричного оператора дискретного нормального ортогонального комплексного преобразования, показана возможность его применения для аутентификации личности по динамически введенной подписи.
Ключевые слова: ортогональное преобразование, нормальное ортогональное преобразование
Nizhebetska I, Rybina І., Yakubenko A. Complex Discrete Normal Ortogonal Transform. The algorithm of forming matrix operator of discrete normal orthogonal complex transform is offered, possibility of its application for the authentication of person after the dynamically entered signature is shown.
Key words: orthogonal transformation, normal orthogonal transformation_____________
УДК 621.372.061
РОЗВ’Я ЗАННЯ ЗАДАЧІ ДЕКОНВОЛЮЦІЇ ЗА УМОВОЮ ОПТИМІЗАЦІЇ ФОРМИ РЕЗУЛЬТУЮЧОЇ ІМПУЛЬСНОЇ
ХАРАКТЕРИСТИКИ
Наталенко С.С. Рибін О.І.
Модель деградації образу z (x, y), відтворюваного системою відображення і лінійному наближенні, можна представити у вигляді [1,2]
от от
z(x, y) = jj O(x', y')g(x - x', y - y ')dx' dy '+v(x, y), (1)
—от —от
де O( x, y)— вихідний образ, g (x, y) — імпульсна характеристика системи (не точкова); v( x, y) — невідома реалізація адитивного шуму.
Найбільш розповсюдженими є методи реставрації, такі, що за відомою імпульсною характеристикою g(x, y), отриманим спотвореним (деградо-ваним) образом z(x, y) та апріорною інформацією про адитивний шум
v( x, y), дозволяють знайти оцінку образу O (x, y), яка б за обраними критеріями мало відрізнялася від вихідного образу O(x, y) і при цьому рівень шуму в реставрованому образі не перевищував би рівень шуму в (1) [1,2]. Інший підхід [1] до розв’язання задачі реставрації полягає у побудові
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2009.-№38
11
Радіотехнічні кола і сигнали
корегуючого сигнал z(x, у) фільтру, з імпульсною характеристикою m(х,у) такою, що результуюча імпульсна характеристика с(х,у):
с( х, у) = g (х, у) * m( х, у) (2)
була б максимально наближеною до 5-імпульсу (мала б найбільшу гостроту), але за умови не перевищення рівня (або енергії) шуму, отриманого в результаті корекції вихідного образу z (х, у). Ясно, що при відсутності шуму імпульсна характеристика с(х, у) = 8 (х, у), а коефіцієнт передачі корегуючого фільтра в (2)
m( , J® ) =
1
G(J, J®y ) . (3)
При наявності шуму обчислення коефіцієнта передачі за (3) може призвести до такого його збільшення, при якому оцінка образу O(х, у) може бути повністю цим шумом замаскована. Тому мірою спотворень результуючої імпульсної характеристики обирають гостроту
да да
J J D(х, у)с2(х, y)dxdy
r2 ==^------------------, (4)
J J с2 (х, y)dxdy
—да —да
де D( х, у) вагова функція, яка штрафує значення за межами певної області,
до якої належить результуюча імпульсна характеристика.
Для простоти ілюстрації властивостей методу деконволюції в області натуральних координат та в запропонованому в роботі методу деконволю-ції в області перетворення Фур’є перейдемо до одновимірних сигналів. В цьому випадку гостроту (4) можна записати [1] в дискретному вигляді
2 m Am r = —=—
m Bm
де m — стовпець відліків шуканої корегуючої імпульсної характеристики m(х,у); T — знак транспонування матриці; елементами матриць A та B є
відповідно
Ay = J D( х) g (х — х.) g (х — хJ )ох;
—да
By = J g(х — х.)g(х — ху )ох .
Оскільки дисперсія шуму після корекції:
= m R m, (5а)
0 vv 5 4 '
де Rvv — кореляційна матриця шуму, то для виконання корекції потрібно виконати умови
12
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2009.-№38
Радіотехнічні кола та сигнали
0 m Am . .
r = = X1 = mm;
m Bm
m R m = gI <a2,
vv 0 5
(6а)
(66)
де a02 — дисперсія шуму до корекції.
З рівняння (6а) за методом невизначених коефіцієнтів Лагранжа маємо
m Am - X1 m Bm = 0,
а з (6б)
m R m - ст° = 0.
Об’єднуючи останні рівняння з коефіцієнтом X одержуємо
(m Am -X1 m Bm ) + X0(Rvvm -ct0) = min . (7)
Лінеаризуємо умову (7) її диференціюванням по кожному елементу mi стовпця m . Це призведе до системи лінійних рівнянь
або
(A + X 0 Rvv )m = X1 Bm
B (A + X0 Rvv )m = X1 m .
Останнє рівняння можна переписати у більш зручній формі
| b' (A + X 0 Rvv)
- X1 E\m = 0,
(8)
де E — одинична матриця; 0 — стовпець нулів.
Вираз (8) співпадає з виразом для визначення власного вектора m мат-
риці
B (A + X 0 Rw)
Q за її власним числом X1, яке (що видно з (6а)) є
найменшим серед власних чисел [4,5].
Таким чином, алгоритм методу деконволюції в натуральних координатах за критерієм форми імпульсної характеристики має наступний вигляд:
1) обчислити матриці B, A, Rvv;
0) надати значення X0 і обчислити матрицю Q;
3) знайти власні значення X1 матриці Q і обрати з них найменше;
4) знайти власний вектор за (8), що відповідає власному значенню Лі = min;
5) знайти оцінку образів &;
6) якщо отримані образи задовільні, то обчислення закінчити, якщо ні, то перейти до пункту 0 алгоритму.
Опис запропонованого алгоритму
При великих форматах образу задача як формування рівняння (8), так і
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2009.-№38
13
Радіотехнічні кола і сигнали
його розв’язання стає надзвичайно складною. Так для формату двомірного образу 1024х1024 слід сформувати матрицю Q і знайти її власні значення, коли порядок матриці N = 10243 > 106.
Ясно, що більш перспективним представляється перехід до області перетворення Фур’є, оскільки, наприклад, матриці спектрів G( 7'ю), m( jro),
B(jrn), Rvv (jrn) будуть діагональними.
Для переходу до області трансформант Фур’є розглянемо знову формули (2) та (4). Так в (2) за теоремою про згортку оригіналів маємо
g (x) * m( x) □ G(»• m( ». (9)
Для переводу в частотну область виразу (4) використаємо теорему Пар-севаля, за якою
от 1 от
J D( x)c 2( x)dx = — J D( jro) * C (j®)|2 d ю, (10)
—от 2n —от
отот
J c2 (x)dx = — J C (jro)|2 d ю.
—от 2n —от
Тоді
от
J D( » * C (j'®^ d ю
r2 = -—от-------------. (11)
J C (j®)|2 d ю
—от
Вираз знаменника (11) (при переході до дискретів) можна записати як
ШАМШ = [1]Г G2(®)m,(®)[1] = V,, (12)
де C2, G2, m2 — діагональні матриці порядку N елементами яких є відповідно С2(ю^), G2(ю^), m2(ю^), тобто квадрат модулів перетворень Фур’є від дискретних функцій c( x), g (x), m( x) на дискретних частотах юк; [1] — стовпець одиниць розміру N х 1, Т — знак транспонування матриці.
Аналогічно, чисельник (11) можна представити у вигляді
РҐСН * дюхЛ=[її С(ю)т(юхЛ=v 2, (13)
де £,2(ю) — дискретний оператор згортки, в якому елементи добутку
D^)G2^) розташовані в кожному рядку (починаючи з найбільшого номера k частоти юк з нумерацією справа наліво). При цьому в нульовому рядку розміщено (в клітинці (0,0)) один елемент D^Nj)G2 (ю^j), в другому в клітинці (1,1) D(юN_l)G1(юN_l),a в клітинці (1,0) D^N2)^(ю^2) і т.д. В кожному наступному рядку матриці £2 ряд добутків D^ ) посуваєть-
14
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2009.-№38
Радіотехнічні кола та сигнали
ся на один крок праворуч; D(m) обираємо для зручності дійсним, що відповідає симетричній (парній) відносно початку координат функції D(х).
Умову (11) з урахуванням (12), (13)можна записати у вигляді у 2 = X 2 у, або
У2 -X2У1 = ^ (14)
де X 2 — коефіцієнт варіації Лагранжа.
Умова (5 а) при цьому набуває вигляду
[Ti'F (шК(га)[ї]-а0 = 0, (15)
де Wvv — діагональна матриця, елементами діагоналі якої (за теоремою Ві-нера-Хінчина) є значення спектра потужності шуму на дискретних частотах.
Підсумовуючи (14) та (15) з коефіцієнтом варіації X 2, одержуємо
[1]г §2 (га)т, (га)[1] - X, [1]Г G2(ra)m, (га)[1] + X, [1]Г W, (га)т, (га)[1] - X,а0 = min. (16)
Квадратична форма (16) після диференціювання по т., елементам матриці
тг = т( jra) ■ т*(]'га),
з урахуванням т2(га)[1] = т2, де т2 — стовпець відліків т.2
т2(га.), взя-
тих з діагоналі т2, приводить до виразу
G2 (га)(§2(га) -X2 Wv (га)) -X. IE
т(га) = 0,
(17)
де т(га) — значення коефіцієнта передачі шуканого фільтра (з імпульсною характеристикою т(х)) на дискретних частотах розміру Nх1; 0 — стовпець нулів розміру N х 1.
На відміну від (8) у виразі (17) обернення матриці Є2(га), оскільки вона діагональна, не становить труднощів. Вираз (17) є виразом для пошуку власного вектору т(га) при даному власному значенні Xx матриці
G2 ‘(гаХ^га)-X2Wv(га)),
яке за умовою (4), (11) до того ж повинно бути найменшим серед усіх власних значень X .
і
Розглянемо тепер структуру формули (17) детальніше. Так матричний
оператор §2 (га) створено множенням дискретного оператора згортки спектру штрафної функції з діагональною матрицею відліків спектра потужності G 2(га) імпульсної характеристики
Вісник Національного технічного університету України "КПІ"
Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2009.-№38
15
Радіотехнічні кола і сигнали
Ї2 = D • G =
" DoGО 0 0 0 ... 0 0 0 "
AG2 DoG2 0 0 ... 0 0 0
D;Go2 dg2 DoG2 0 ... 0 0 0
0 D2G2 D1G2 Dog; .0 0 0
0 0 0 0 ... D2Gn-2 DGN -1 DoGN _
(18)
В матричному виразі (18) для наочності ілюстрації приймемо, що спектр штрафної функції містить лише три відліки D0, Dl, D2. Віднімання
від матриці £,2 діагональної матриці X2Wvv(ю) приводить результат
У1 = ^ - X2 Wvv (ю) до вигляду
(Dog;- - w) о о ...
DG2 (ОД2 -W) 0 ...
(DoG; -KW.;) ... 0 . (18а)
<W =
1^0 2
D2G0
DiGi2
0
0
0
0 0 ... (DoG; -XW.N)
А множення виразу (18а) на діагональну матрицю G2 дає результат '(DoG0 -KW„о)
у 2 = G2 Wl =
g;
dg2;
( DoGi2 - kw. i)
g;
D;g;
g;
G2
DG_
g;
( d0g; - kwvv 2)
G2
( DoGN - X;Wv vn )
GN-I
(19)
Як видно з матриці (19), вона має трикутниковий вигляд, тому визнач-
ник
у 2 -X E
буде дорівнювати добутку елементів її головної діагоналі ЛУ; =
f( DoGo2 -x,w„ 0) л f(dg-X,W„1) Л X...X f( dog; -xw n ) ^ V 0 N 2 vvN / ^
G J G J G2 ^ ^N-1 J
(20)
Тому будь-яке k-те власне значення матриці у 2 має вигляд
(DoG; -X2W„t)
X
(k)
g ;
(21)
0
0
0
0
0
0
16
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2009.-№38
Радіотехнічні кола та сигнали
Отже для трикутникової матриці у2 проблема власних значень
розв’язується (21) дуже просто. Матрицю £ 2 в (18) вважаємо трикутнико-
вою. Але, насправді, вона має в верхньому правому куту ненульові елементи. Наприклад, в першому рядку матриці (19) справа наліво маємо наступні елементи DGN_j , D2GN_2 і т.д. Але, якщо формат матриць £2, , у2
взяти більшим, ніж формат матриці G2 (при цьому усі значення більші від вихідного формату, зумовленого форматом сигналу в діагоналі матриці
G2 слід доповнити нулями), то елементи верхнього трикутника будуть
множитися на нулі, внаслідок чого матриці £2, у1, у2, можна вважати трикутниковими.
Реалізація запропонованого алгоритму
Для апробації запропонованого алгоритму було розроблено його програмну реалізацію на ПЕОМ. Для ілюстрації можливостей запропонованого методу розглянемо реставрацію одновимірного сигналу, спотвореного неточковою імпульсною характеристикою (рис. 1а), модуль АЧХ імпульсної характеристики моделі деградації (1) наведено на рис. 16.
Рис. 1а. Неточкова імпульсна Рис. 1б. АЧХ неточкової імпульсної
характеристика характеристики
Для обчислення імпульсної характеристики корегуючого фільтра використовувалася функція штрафу, АЧХ та часовий оригінал якої наведено на рис. 2а та 2б відповідно.
При реалізації алгоритму було отримано спектр корегуючого фільтра т(ю),АЧХ якого наведено рис. 3а, а його оригінал — на рис. 3б. При цьому результуюча імпульсна характеристика (результат згортки m(x) та g(x)) має вигляд рис 4а, а її АЧХ — рис. 4б. При цьому вхідний сигнал наведено на рис. 5, його деградований за (1) варіант — на рис. 6, а результат реставрації — на рис. 7.
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" 17
Серія - Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2009.-№38
Радіотехнічні кола і сигнали
Рис.2а. Часовий оригінал функції штрафу
Рис.За. Оригінал корегуючого фільтра
Рис.4а. Результуюча імпульсна характеристика
0 50 100 150 200 250
Частота
Рис.2б. АЧХ функції штрафу
Рис.3б. АЧХ корегуючого фільтра
Рис.4б. АЧХ результуючої імпульсної характеристики
50 100 150 200 250
Час
Рис.6. Деградований вхідний сигнал
18
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія - Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2009.-№38
Радіотехнічні кола та сигнали
Висновки
1. Комп’ютерна реалізація запропонованого в роботі методу реставрації образу за критерієм гостроти результуючої імпульсної характеристики показала його достатню ефективність.
2. Кількість операцій (порівняно до реставрації в натуральних координатах) виявилася значно меншою, що дозволяє розповсюдити метод на випадок реставрації двовимірних образів, прийнятних в сучасній техніці форматів.
3. Проблема власних значень для запропонованого методу практично відсутня, що значно спрощує процедуру обчислень.
4. Проблемою залишається невизначеність процедури вибору коефіцієнта Лагранжа Я2, що у подальшому можна компенсувати дослідженням з перебором цих значень для різних форм спотворюючої імпульсної характеристики системи деградації.
Можливість коректних висновків з таких досліджень значень Хг зумовлена тим, що на відміну від методу умовної деконволюції реставрація виконується за рахунок імпульсної характеристики однакової для всіх образів даного пристрою, а не за рахунок реставрації конкретного образу.
Література
1. Jan J. Metody restaurace obrazu a jejich moznosti // Vybrane odborne a vedecke prace VUT v Brne. - Falculta electrotechnicka. — 1991.—s.7-72.
2. Рыбин А.И., Королёв В.Ю. Алгоритм условной деконволюции в частной области // Радиоэлектоника. — 2000.- №4. — с.51-55. (Изв. выш. учеб. заведений)
3. Рибін О., Корольов В. Реставрація образів методом умовної деконволюції в області просторових частот // Вісник Технічного ун-ту Поділля. — 2000. - №1. — с.145-147.
4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука — 1967
5. Абакумов В.Г., Сватош Й.А., Рибін О.І. Біомедичні сигнали (генезис, обробка,
моніторинг) — Київ: Нора -Прінт, 2001 — 516с._______________________________
Наталенко С.С., Рибін О.І. Розв'я зання задачі деконволюції за умовою оптимізації форми результуючої імпульсної характеристики Запропонована методика переносу алгоритму реставрації по критерію форми результуючої імпульсної характеристики в область трансформант Фур'є
Ключові слова: деконволюція, перетворення Фур’є, фільтрація, шум, образ_____
Наталенко С. С., Рибин А.І. Решение задачи деконволюции по условию оптимизации формы результирующей импульсной характеристики Предложена методика пере-оса алгоритма реставрации по критерю формы результирующей импульсной характеристики в область трансформант Фурьє
Ключевые слова: деконволюция, преобразование Фурьє, фильтрация, шум, образ__
Natalenko S., Rybin A. Solution of the problem of the deconvolution on condition of the optimization of the form of the resulting pulse characteristic Offered methods of the carrying the algorithm to restorations on criterion of the form of the resulting pulse characteristic in Fourier domain
Key words: deconvolution, Fourier transform, filtration, noice, image_______
Рис.7 Результат реставрації
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія - Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2009.-№38
19
