РОЗРОБКА МАТЕМАТИЧНОї МОДЕЛі РУХУ РОБОЧОГО ОРГАНУ ПРИСТРОЮ Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Розглянуто cnoci6 вибору системи координат для пристрою, приведет розрахунки cmrn^cmi робочого органу пристрою, виз-начення ктетичног енергп та узагальнених сил, що дють на нього

Ключовi слова: eiri Резаля, рiвняння

Лагранжа, узагальнюючi сили

□-□

Рассмотрен способ выбора системы координат для устройства, приведены расчеты стойкости рабочего органа устройства, определения кинетической энергии и обобщенных сил, которые действуют на него

Ключевые слова: оси Резаля, уравнение

Лагранжа, обобщенные силы

□-□

The method of the device co-ordinates choice is considered, the calculations of the device tip stability, determinations of the kinetic energy and generalized forces acting on device are given

Keywords: Rezale's axes, Lagrange's equation, generalized forces

УДК 621.946.9.12

РОЗРОБКА МАТЕМАТИЧНОТ МОДЕЛ1 РУХУ РОБОЧОГО ОРГАНУ ПРИСТРОЮ

О.Л. Кондратюк

Кандидат техычних наук, доцент* Контактний тел.: (057) 733-78-26 E-mail: Kondr20071@i.ua А.О. CKopKi н Астрант, асистент* *Кафедра металорiжучого обладнання i транспортних

систем** О.О. Литвинова Кафедра штегрованих технологш в машинобудуванш** **УкраТнська шженерно-педагопчна академiя вул. Ушверситетська, 16, м. Хармв, УкраТна, 61003

1. Вступ

При робот пристрою лжя рiзу круга може брати участь в двох незалежних рухах:

— обертальний рух вщ приводу (електродвигуна);

— перемщення робочого органу у зборi по деякш траекторп, що називаеться рухом просецп.

В результат 1х складання, положення лши рiзу в iнерцiальному просторi мiнятиметься, вона описува-тиме певну результуючу траекторiю. Для зручностi до-слiдження руху систем координат, пов'язаних певним чином з пристроем.

2. Вибiр систем координат

Стосовно даного пристрою вводимо наступш си-стеми координат:

— Ох4уд - система координат, пов'язана з точкою О i що е нерухомою в шерщальному просторi;

— Oxyz - система координат, пов'язана безпосеред-ньо з працюючим органом; вiсь Oz цiеi системи проходить через вкь обертання кругу;

— Ох2у^2 - допомiжна система, що характеризуемся наступним: вiсь Ох2 е лжею перетину двох координатних площин хОу i хОу, iнша и вiсь Oz2 -спiвпадае з Oz, а третя Оу2 - складае з шшими праву тршку осей.

Використання трьох систем дозволяе однозначно визначити положення лiнii рiзу кругу за допомогою кутiв мiж системами координат а, р, у.

Кут прецесп а вiдлiчуеться в площиш ххОух вiд осi Охх , кут р (вiдхилення о« обертання вiд робочого органу в площиш z2Ozx вiд ои Ozx ) i кут власного обертання у в площиш х2Оу2 вщ осi Ох2 .

Додатш напрями приймаються проти годинниково! строки.

Oci системи Ox2y2z2 називаються осями Резаля. При поворотах прийнятих систем точка перетину О завжди залишаеться нерухомою.

3. Стшюсть робочого органу пристрою (за вщсутносл сили рiзання)

При обертанш робочого гiроскопа з одшею точкою опори, вiсь обертання зберттиме свое положення вiдносно базових поверхонь пристрою. З практичних позицш важливо визначити режимш i конструктивш параметри, при яких ця властивкть буде проявлятися. При малих частотах обертання (чи зупинщ) вiн взага-лi займатиме горизонтальне положення.

До режимних параметрiв вiдноситься частота обертання полiрувального круга, до конструктивних -маса круга i маса шпинделя, на якому круг кршиться. Обидвi маси визначають положення центру тяжшня робочого органу, що ктотно впливае на стiйкiсть його положення.

Для конструкцп, коли центр тяжiння знаходиться вище за опору, отримано рiвняння для розрахунку критичного значення частоти обертання диска юкр у видк

®кр = 2

JxGa

J

де Jx - момент шерцп мас, що обертаються, ввд-носно о« z;

Jx - момент шерцп вщносно осi х; G - вага робочого органу;

а - ввдстань ввд точки опори обертання до центру тяжшня. Для зручноси розрахункiв замiнимо двохма-сову систему еквiвалентною !й одномасовою у виглядi полiрувального круга, розмiщеного на попередньому мшщ, а шпиндель вважатимемо невагомим. Круг ма-тиме приведену масу тпр.

В якостi початкового вiзьмемо рiвнiсть кiнетичних енергiй приведено! та реально! систем:

Т ю2 Т ю2 ю2

2 х

2

2

т + т = m°pRKp

J zx J zш 2 '

J + Jz„) R?„

Центр тяжшня в приведенш системi знаходиться в ^HTpi кругу, тобто а = h (h - вiдстань ввд опори до сере-дини кругу). З урахуванням виконаних перетворень

Т = mnpR2P

Jz»p 2

J = ^(ÍH2 + R2o) + m0l2 р 2 3

систем координат положення робочого органу однозначно визначаеться кутами а, Ь, у; вони вщображають рух допомiжноi системи Ох2у272.

Складемо рiвняння Лагранжа другого роду для розглядуваного пристрою:

- ^=а аа

--=а ар

- ат=а

де Т - кшетична енергiя робочого органу, виражена через узагальнеш координати а, р, у.

, Ць, 0у - узагальнеш сили, що викликають поворот систем координат (а вщповвдно i робочого органу) на кути а, Ь, у.

Для розкриття рiвнянь стосовно конструкцп пристрою знайдемо вирази для Т i Ц.

5. Визначення кшетично! енерги

d " dT"

dt _ da\

d " dT"

dt _

d " dT"

dt dY^

де R - висота круга.

Початкове рiвняння для юкр представиться у ви-глядi:

®кр = 2

m „ 1 , , ,„

—а^-Н2 + R2) + m р12

4 v3 2P' пр

mnpgl

m„pR2p

■ = 4

Vh2 + R2P)+12 4 3 2p7

Оскiльки робочий орган в прийнятих системах при обробцi здшснюе обертальний рух, то кiнетична енер-гiя визначаеться по рiвнянню: 1

R4

Виконаемо розрахунки для конкретних розмiрiв робочого органу пристрою, призначеного для полiру-вання лопаток середнього типорозмiру.

Приймаемо: RKp = 10см, l = 40см , H = 2см, g = 980%:

Ю«р = 4

1 1

- (- ■ 22 +102) + 402 4V3 J

980■40

104

- = 319.28%

юкр 319.28

n = = = 50.8c-1

2п

2п

T = - Jm2 2

Для забезпечення обертання потрiбний електрод-вигун з пед = 3048хв-1. При великих частотах обертання стшюсть робочого органу зростае.

4. Математична модель руху лiнii рiзу кругу.

Постановка завдання

При експлуатацп пристрою практичне значення мае рух лшп рiзу полiрувального круга залежно вщ змiнних величин: сил, що виникають при полiруваннi, кутовiй швидкостi робочого органу, а також розмiрних характеристик круга i шпинделя. Для встановлення характеру цього руху розглянемо робочий орган, як жорстке тверде тшо, навантажене силами рiзання, що мае можливiсть, за наявност однiеi опори, змiнювати свое положення в просторь З урахуванням прийнятих

де J - осьовий момент шерцп круга i шпинделя;

m - абсолютна кутова швидюсть обертання шпинделя з кутом.

Шпиндель з кругом, окрiм обертання навколо влас-но1 осi, може здiйснювати обертання навколо оа z2 з кутовою швидюстю а (переносний рух) i обертання навколо оа х (вiдносний рух).

Абсолютна кутова швидюсть m дорiвнюе геоме-тричнiй сумi швидкостей

m = a^K + P^i1 + Y^K2

(K, i1, K2 - одиничш вектори).

В системi координат Ox1y1z1 координати вектора a^K(QO1a^) його проекцп на осi, пов'язаш зi шпинделем можна розрахувати по формулах:

(а^К)Хг =а^ sin y sin в,

(аЖ)уг =а^ cos y sin в,

(аЖ) =а^ cos в

Аналопчно для вектору fii можна записати:

(вчХ2 = о

(вч)*2 =в^ cos y

(Pei1>y2 =в^ sin Y

2

2

Кутова швидюсть ю по осях координат складе: ю = а sin y sin Р + Р^ cos y , ю = а cos y sin P-P^ sin y , ю2 = а cos p + y^

Pk - сила рiзання при полiрyваннi. Вона спрямо-

вана по дотичнiй до круга y6iK протилежний напряму його обертання. Виникае при контактi круга i3 заго-тiвкою,

PP - радiальна складова зусилля рiзання. Вона спрямована по нормам до о« обертання круга,

PO - осьова складова зусиль рiзання; по напряму ствпадае з Snpq5 лопатки,

а - сила ваги робочого органу, спрямована пара-Початкове рiвняння для тдрахунку кiнетичноï лельно осi Oz4.

Коефiцiенти у виразах для елементарноï роботи представлятимуть yзагальненi сили. Робота при пере-мiщеннi шпинделя

T = - [ J*2(a' sin y sin ß + ß' cos y )2 + Jy2(a' cos y sin ß - ß' sin y)2 + Jz2(a' cos ß + y' )2 ]

енергп з урахуванням обертання навколо трьох осей мае вигляд:

SA =M S

Осюльки робочий орган пристрою е симетрич-

де Ma - момент сил, що викликають обертання по

ним тлом обертання, то осьовi моменти шерцп Jx та куту а. У даному випадку Ma складатиметься з крут-

Jy рiвнi, що дозволяе спростити вираз для Т. При роз-критт виразiв в дужках для Т отримаемо вираз:

T = 1 [ Jx2(a' sin2 ß + ß'2)+Jz2(a' cos ß + y' )2 ]

нього моменту, якии рухаеться електродвигуном, що обертае шпиндель, i моменту для сили

M = M' - M = M' - PR

a oz2

k кр

Якщо виразити проекцiï моменту на оа системи Виконаемо обчислення складових для початкових Ox2y2z2, то отримаемо:

рiвнянь Лагранжа

*=о, dT=о

da dY

dß" = 2[2Jx2a'2 sin ß cos ß + 2Jz2 (a' cosß + y')(-a' sin ß)] =

dT = 1 dß' = 2 i

= J a'2 sin ß cos ß - J (a' cos ß + y')a' sin ß = = (Jx2 - Jz2 )a'2 sin ß cos ß - Jz2 Y'a' sin ß

dT 1

¡¡7 =1 [2Jx2 a' sin2 ß + 2Jz2(a' cos ß + Y' )cos ß] = = J*2 a' sin2 ß + J (a' cos ß + Y' )cos ß

¡¡t =1 [2Jx, ß'] = Js2 ß'

dT 1 • • • •

¡y7 = ^2Jz2(a' cos ß + Y' ) = Jz2(a' cos ß + Y' )

Рiвняння руху приймають вигляд:

dt[ Jx2 a' sin2 ß + Jz2 (a' cosß + y' )cos ß] = Q a

¡Г [ Jx2 ß' ] - (Jx2 - Jz2)a'2 sin ß cos ß - Jz2 Y'a' sin ß = Q ß

dt [ Jz2(a' cos ß + Y' )] = Q y

6. Визначення узагальнених сил

Для визначення узагальнених сил вичислимо елементарну роботу у«х сил, прикладених до робочого органу пристрою, при його перемщенш по трьох координатах a, b, y. Сили, дiючi при робот пристрою:

Ma = (MX sin y + My cos y) sin ß + (M¡, - PkRKp) cos ß

Таким чином

Qa = (MX sin y + M' cos y)sin ß + (MZ - PkRJcos ß

Aналогiчно по куту ß

SAß = QßSB = (Mo^ - Mp - M„ - M0 )Sß

де Mo^ - момент електродвигуна в системi Ox2y2z2, приведений до оа Oy2 ;

M

момент вщ радiальноï сили Pp , Mp = Ppl ;

M - момент вщ осьовоï сили р , M = R „ ;

PO O PO кр

Mo -моментвiдсиливагиробочогоорганy, Mo = oasinß (а - ввдстань центру мас робочого органу вщ оа пiд-шипника).

Q BSB = (MX cos y - M' sin y - Ppl - PoRKP - oasin ß)Sß

Qe = MX cos y - My sin y - Ppl - PORKp - oa sin ß

По куту y:

SA y = Q ySy = mxsy - Mpk Sy = (Mx - Mpk )Sy

При пiдстановцi узагальнених сил рiвняння руху матиме вигляд:

dit \ Jx2 а' sin2 ß + Jz2 (а' cos ß + y' )cos ß] = = (MX sin y + My cos y) sin ß + (MZ - PkRKp) cos ß

dit[ Jx,ß' ] - ( Jx, - Jz2 )а'2 sin ß cos ß - Jz2 Y'а' sin ß = = (Mx cos y - My sin y - Ppl - PORKp - oa sin ß) sin ß

dit [ J^' cos ß + Y' )] = MZ - PkRKp

7. Висновки

Розроблена математична модель дозволяе враху-вати уа фактори, що впливають на пристрiй при ро-ботi. При експлуатацп пристрою практичне значення мае рух лшп рiзу полiрувального круга залежно вiд змшних величин: сил, що виникають при полiруваннi, кутовiй швидкостi робочого органу, а також розмiрних

характеристик круга i шпинделя. Для встановлення характеру цього руху було розглянуто робочий орган, як жорстке тверде тшо, навантажене силами рiзання, що мае можливiсть, за наявност однiеi опори, змшю-вати свое положення в просторь З урахуванням при-йнятих систем координат положення робочого органу однозначно визначаеться кутами а, Ь, у; вони вщобра-жають рух допомiжноi системи Ох2у272.

Лiтература

1. Бауман Н.Я. Технология производства паровых и газовых турбин. [Текст] / Бауман Н.Я., Яковлев М.И., Свечков И.Н. М.: Машиностроение, 1973, 464с.

2. Березкин В.В. Технология турбостроения. [Текст] / Березкин В.В. и др. Л.: Машиностроение, 1980, 720с.

3. Шубенко-Шубин Л. А. Прочность паровых турбин. [Текст] / Шубенко-Шубин Л. А. и др. М.: Машиностроение, 1973, 449с.

Аналiзуються лiнiйно-пружнi коливан-ня поверхш оболонковог частини внутршньог рамки тристепеневого астатичного гiроскопа в акустичних полях високого рiвня - вище 150 дБ. Виршуеться двовимiрна задача переходу поверхт тдвжу i3 стану абсолютно твердог в iмпедансну Ключовi слова: форми коливань, оболонка,

хвиля тиску, площина шпангаута

□-□

Анализируются линейно-упругие колебания поверхности оболочечной части внутренней рамки трехстепенного астатического гироскопа в акустических полях высокого уровня - выше 150 дБ. Решается двумерная задача перехода поверхности подвеса из состояния абсолютно твердой в импедансную

Ключевые слова: формы колебаний, оболочка,

волна давления, плоскость шпангоута

□-□

Linearly-elastic fluctuations of a surface envelope parts of an internal framework of a three-sedate astatic gyroscope in acoustic fields of high level - above 150 дБ are analyzed. The two-dimensional problem of transition from a state of the surface of the suspension is absolutely solid in impedance is solved

Keywords: forms of fluctuations, shell, pressure

wave, frame plane -□ □-

УДК 629.7.054

ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В КОЖУХЕ ТРЕХСТЕПЕННОГО АСТАТИЧЕСКОГО ГИРОСКОПА

В.В. Карачун

Доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой* В.Н. Мельник

Доктор технических наук, профессор* *Кафедра биотехники и инженерии Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт» пр. Победы, 37, г. Киев, Украина, 03056 Контактный тел.: (044) 454-94-51 E-mail: karachun 1@gala.net

1. Введение

Исследования относятся к области прикладной механики и посвящены изучению упругого взаимодействия механических систем подвеса гироскопа с проникающим акустическим излучением. Такой режим имеет место, например, при старте ракет носителей с поверхности Земли, из шахт, с платформ мобильного базирования.

Генерируемые в поверхности подвеса колебания и волны в своей совокупности могут привести к девиа-

ции оси фигуры в пространстве и послужить источником дополнительной погрешности курсоуказания.

2. Анализ состояния проблемы и постановка задачи исследований

Для измерения угла рыскания различного класса летательных аппаратов нашли широкое применение гироскопы направления на базе трехстепенного сво-