CC BY
25
УДК 51(07) ББК Г 22.1р30
В.П. Некрасов, А.В. Скрипов
роль МЕТАКОГНИТИВНых ИНВАРИАНТОВ ПРИ РАЗРАБОТКЕ КУРСА
по дискретной математике
В основе общего научно-методического подхода к созданию инновационного учебного курса для математических дисциплин лежит структура, отражающая как логическое, так и метаког-нитивное взаимодействие различных компонентов математического курса, что способствует формированию когнитивных компетенций студентов вуза. В качестве базисного понятийного аппарата выступают метакогнитивные инварианты: наследование, топологические узлы, понятийное включение, гомоморфизм.
Ключевые слова: когнитивные компетенции, метапредметные умения, инновационная модель, метакогнитивные инварианты, понятийная связь.
V.P. Nekrasov, A.V. Skripov
THE ROLE OF METACOGNITIVE INVARIANTS IN DESIGNING A DISCRETE MATHEMATICS COURSE
A scientific and methodic approach to set up an innovative academic course of mathematics is proposed. The Course is based on the structure reflecting an interaction of its logical and various metacognitive components. A basic concept apparatus, i.e. metacognitive invariants is considered as an instrument to form higher school students cognitive competences: succession, topological node, concept inclusion and homomorphism.
Key words: cognitive competences, metasubject skills, innovative model, metacognitive invariant, concept link.
CO
о с
О
ad <
CO
о
0
го ^
Ф
1
d m
В работе [7] говорилось о том, что содержание компетентностной парадигмы в российском общем и высшем образовании отличается от европейского существенным акцентом в ней когнитивной составляющей. В своих работах отечественные исследователи В.И. Байденко [1], Э.Ф. Зеер [4], А.В. Хуторской [8] и др. развивали пришедшие из Европы информационные, общекультурные, коммуникативные, социальные и т.д. компетенции, которые, по словам И.А. Зимней [5], отражают особенности взаимодействия и общения.
В работах А.Г. Гейна [3; 9] предложен подход к созданию учебного математического курса на основе метакогнитивных инвариантов, позволяющих формировать когнитивные компетенции студентов вуза. Он основан на идее инварианта. Так как речь идёт об универсальных логических действиях, которые человек
осуществляет в когнитивном процессе, то им дано название метакогнитивные инварианты.
В работах [6; 7] подробно рассматриваются наиболее часто используемые метакогнитивные инварианты: изоморфизм и понятийное включение. В данной работе рассмотрим остальные виды инвариантов: наследование, топологический узел, понятийное включение, гомоморфизм.
На рис. 1 на примере базовых понятий «множество» и «вектор» показана суть инварианта «наследование».
На данном рисунке в виде графа представлен фрагмент из основных понятий дискретной математики. Граф разнесён по уровням. Понятия, находящиеся на г-м уровне, являются объектами-наследниками понятий, находящихся на г - 1-м и, может быть, более ранних уровнях. Так понятия «соответствие», «бинарное отношение», «и-арное отноше-
Рис. 1. Логическая подчинённость основных понятий дискретной математики
ние» являются объектами-наследникам понятий «множество», «подмножество», «вектор», «декартово произведение».
Понятие наследования широко применяется в теории программирования. Мы считаем, что наследование является когнитивной структурой. Оно позволяет соответствующим образом анализи-
ровать взаимоотношения между объектами и подобъектами в системе.
Понятие метакогнитивного инварианта «топологический узел» относится к методам решения задач. Мы предлагаем рассматривать топологические узлы двух типов: узел-источник и узел-сток.
Рис. 2. Топологический узел-источник
На рис. 2 показан узел-источник. Он означает, что один и тот же метод или принцип может использоваться для решения различных задач.
В курсе «Дискретная математика» он проявляется следующим образом.
Принцип «не отменяй принятых решений» является базовым для всех эвристических алгоритмов.
Принцип «разделяй и властвуй» подразумевает разделение задач на подзадачи. Дополнением к нему является принцип «уравновешивание», который говорит о том, что разделять задачу на подзадачи следует в основном равными долями. Это, например, бинарный
поиск, метод быстрой сортировки.
Принцип «упаковывая вещи, начинай с громоздких предметов» определяет последовательность шагов алгоритма. Он используется, например, в одном из алгоритмов раскраски графа в минимальное число цветов.
Роль понятийной связи данного типа как средства дидактического обеспечения предмета с точки зрения реализации внутрипредметных связей также обсуждается в работах В.А. Далингера [2].
Из рис. 3 следует, что различные методы могут решать одну и ту же задачу. Эта конструкция представляет собой узел-сток.
Рис. 3. Топологический узел-сток
га
о >
о ю га с^ со
га ^
с ш
0 н
1
га ^
га
т ф
I ^
х га ? га
£ Б
ей £ ^ о
-о £
Р °
О. с
ш о с
О
т
<
со о
0
го ^
ф
1 С Ш
Существуют различные методы сортировки числовой последовательности, раскраски графа в минимальное число цветов, построения минимального остовного дерева.
Важность данной понятийной связи и необходимость её рассмотрения отмечается практически всеми, кто, так или иначе, касался вопросов развития математического мышления.
Суть метакогнитивного инварианта «понятийное включение» следует из рис. 4. Если сфера применения понятия А включает в себя сферу применения понятия В, то понятие А понятийно включает в себя понятие В.
Рис. 4. Понятийное включение
В практическом плане это может выступать как отношение между объектом и подобъектом (рис. 5), инверсное к определению. Понятие объекта первично по отношению к понятию подобъек-та, однако в деятельностной компоненте понятие подобъекта может оказаться более значимым и востребованным, чем понятие объекта.
Подобъект
Объект
Рис. 5. Понятийное включение понятий объект - подобъект
Характерными примерами данной понятийной связи являются отношения между множеством и подмножеством (рис. 6) и между множеством и вектором
(рис. 7).
Рис. 6. Понятийное включение понятий «множество» и «подмножество»
Понятие «подмножество» имеет подчиненный характер к понятию «множество». Однако в деятельностной компоненте оно охватывает более широкую область. Ведь по определению множество является своим собственным подмножеством. Аналогичный характер имеют понятия «множество» и «вектор».
Вектор
Множество
Рис. 7. Понятийное включение терминов «множество» и «вектор»
Но мы вынуждены констатировать, что на данный момент этот вид понятийной связи зафиксирован нами только для математического цикла дисциплин.
Метакогнитивный инвариант «гомоморфизм» особенно ярко проявляется при построении математической модели объекта. При этом стараются выделить лишь наиболее значащие факторы, характеризующие данный объект, можно сказать, огрубляют его.
Проведённый в 2007 ^2015 гг. в Уральском техническом институте связи и информатики педагогический эксперимент по использованию методики метакогни-тивных инвариантов для преподавания дискретной математики показал устойчивое повышение среднего балла по предмету, высокий процент студентов, сдавших экзамен с первого раза, более чем 10%-е превышение хороших и отличных оценок по сравнению с контрольной группой. Это свидетельствует о положительном влиянии данной методики на сохранение контингента и о большей подготовленности студентов к дальнейшему обучению.
Библиографический список
1. Байденко, В.И. Болонские реформы: некоторые уроки Европы [Текст] / В.И. Байденко // Высшее образование сегодня. - 2004. - № 2. - С. 5-9.
2. Далингер, В.А. Внутрипредметные связи как методическая основа совершенствования процесса обучения математики в школе [Текст]: автореф. дис. ... д-ра пед. наук / В.А. Далингер. - М., 1992. - 32 с.
3. Гейн, А.Г. Когнитивные компетенции в инновационных моделях математических курсов [Текст]: монография / А.Г. Гейн, В.П. Некрасов. - Екатеринбург: УрФУ, 2014. - 108 с.
4. Зеер, Э.Ф. Психолого-дидактические конструкты качества профессионального образования [Текст] / Э.Ф. Зеер // Образование и наука. - 2002. - № 2 (14). - С. 27-32.
5. Зимняя, И.А. Ключевые компетенции - новая парадигма результата образования [Текст] / И.А. Зимняя. - М.: Изд-во Исследовательский центр проблем качества подготовки специалистов, 2004. - 42 с.
6. Некрасов, В.П. Современный контекст механизма формирования когнитивной компетенции студента средствами учебного курса / В.П. Некрасов // Вестник КГПУ им. В.П. Астафьева. - 2014. -№ 4 (30). - C. 76-81.
7. Некрасов, В.П. О становлении когнитивной компетенции студентов вуза [Текст] / В.П. Некрасов, А.В. Скрипов // Вестник Челябинского государственного педагогического университета. -2015. - № 4. - C. 34-38.
8. Хуторской, А.В. Ключевые компетенции и образовательные стандарты: доклад на отделении философии образования и теории педагогики РАО 23 апреля 2002 г. [Электронный ресурс] / А.В. Хуторской // Интернет журнал «Эйдос». - Режим доступа: http://www.eidos.ru/jour-nal/2002/0423.htm
9. Gein A.G., Nekrasov V.P. Metacognitive Invariants as Psychological-Pedagogical Factors of Training. Universal Journal of Educational Research, 2013. Vol. 1. № 2. P. 128-132.
Referencеs
1. Bologna reforms: some lessons in Europe. Vysshee obrazovanie segodnia. 2004. № 2. P. 5-9. [in Russian].
2. Dallinger V.A. In-course links as a methodological basis to develop Mathematics teaching at school. Author's transcript Diss.. Dr. Sciences (Education), M., 1992, p. 32. [in Russian]
3. Gein A.G., Nekrasov V.P. Cognitive competences in innovative models of Mathematics courses. Ekaterinburg. UrFU. 2014. P. 108. [in Russian]
4. Zeer E.F. Psychological and didactic constructs of professional education quality. Obrazovanie i nauka. 2002. № 2 (14).P. 27-32. [in Russian]
5. Zymnyaya I.A. Key competences - a new paradigm of education outcomes. M.: Izd-vo Issledovatelskii tsentr problem kachestva podgotovki spetsialistov. 2004. P. 42. [in Russian]
6. Nekrasov V.P. Modern context of the mechanism of forming student cognitive competence with training course tools. VestnikKGPUim. P. Astafieva. 2014. № 4 (30).P. 76-81. [in Russian]
7. Nekrasov V.P., Skripov A.V. On formation of student cognitive competence. Herald of Chelyabinsk pedagogical University. 2015. № 4.P. 34-38. [in Russian]
8. Khutorskoi A.V. Key competences and educational standards. "Eidos" internet journal. Available at http://www.eidos.ru/journal/2002/0423.htm
9. Gein A.G., Nekrasov V.P. Metacognitive Invariants as Psychological-Pedagogical Factors of Training. Universal Journal of Educational Research, 2013. Vol. 1. № 2. P. 128 - 132.
Сведения об авторах: Некрасов Владимир Петрович,
кандидат технических наук, доцент, профессор кафедры информационных систем и технологий, Уральский технический институт связи и информатики
г. Екатеринбург, Российская Федерация. Ктагк nvp1947@mail.ru
Information about the authors: Nekrasov Vladimir Petrovitch,
Candidate of Sciences (Engineering), Academic Title of Associate Professor, Professor, Department of Information Systems and Technology, Ural Technical Institute of Communications and Informatics, Ekaterinburg, Russia. E-mail: nvp1947@mail.ru
Скрипов Александр Викторович,
доцент кафедры прикладной информатики, Уральский институт экономики, управления и права,
г. Екатеринбург, Российская Федерация. &mail: a-v-s@nm.ru
Skripov Alexander Victorovich,
Associate Professor, Department
of Applied Informatics, Institute of Economics,
Management and Law,
Ekaterinburg, Russia.
E-mail: a-v-s@nm.ru
ББК 51(07) УДК 74.262.21
В.И. Седакова, В.Л. Синебрюхова
УМЕНИЕ ОБОСНОВЫВАТЬ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СУЖДЕНИЯ КАК ОСНОВА РАЗВИТИЯ У ШКОЛЬНИКОВ СЛОВЕСНО-ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ
Реализуя Федеральный государственный образовательный стандарт по математике, необходимо уделять внимание формированию универсальных учебных действий школьников в ходе изучения математики. В статье рассматривается развитие словесно-логического мышления обучаемых при обосновании математических суждений.
Ключевые слова: математические суждения, мышление, словесно-логическое мышление, универсальные учебные действия.
V.I. Sedokova, V.L. Sinebriukhova
ABILITY TO ASSERT MATHEMATICAL JUDGMENTS AS THE BASIS FOR DEVELOPMENT IN SCHOOLCHILDREN
VERBAL-LOGICAL THINKING
Implementing the Federal State Educational Standard in mathematics, it is necessary to pay attention to the formation of universal educational activities of students in the study of mathematics. The article discusses how to form logical thinking of students on the basis of the ability to assert mathematical judgments.
Key words: mathematical judgment, thinking, verbal and logical thinking, universal educational actions.
ro ca о
X 2 п.
ю ф
X
s О
od
(О
CÛ
о
ГО
ч ф
о
m
В Образовательном стандарте нового поколения выделена одна из первоочередных задач школьного обучения - научить учащихся приемам мыслительной деятельности: самостоятельно производить мыслительные операции - анализ, синтез, сравнение, абстрагирование, классификацию, систематизацию. Продуктом мыслительной деятельности являются понятия, суждения, умозаключения.
Уже в начальной школе обучаемые должны знакомиться с принципом построения логических утверждений, что
позволит оперативно и самостоятельно осваивать учебную информацию [9; 10]. Из научной литературы известно, что детям младших классов характерно наглядно-образное мышление, которое по мере взросления перерастает в наглядно-действенное и словесно-логическое.
Согласно требованиям базовых документов начального общего образования, к окончанию начальных классов у обучаемых должны быть сформированы основы логического мышления.
