CC BY
71
УДК 1 (091) «980/1037» : 161/162
М. Джаббехдари, Е. Н. Лисанюк
*
Роль математических примеров в логическом учении Ибн-Сины
В статье обосновывается положение о том, что математические примеры в логике Ибн-Сины не только служат иллюстрацией положений логического учения, но и указывают на особые обстоятельства верификации суждений, продиктованные онтологическим статусом рассматриваемых в них объектов и особенностями их изучения.
The authors argue that mathematical examples accompanying Ibn Sina's outlines of his logical ideas do not only serve as illustrations to the provisions of his logical doctrine, but also point to specific circumstances of judgement verification caused by the ontological status of objects considered in them, as well as the peculiarities of their study.
Ключевые слова: Ибн-Сина, логика, математика, пример, модальность, сложные высказывания, онтология, научное знание.
Key words: Ibn Sina, logic, mathematics, example, modality, hypothetical propositions, ontology, knowledge.
В трудах великого персидского ученого Абу Али Ибн-Сины (980-1037) - «Книге исцеления», «Книге знания» («Даниш-намэ») и «Указаниях и наставлениях» - широко применяются математические и естественно-научные примеры для иллюстрации логического учения. Такая методика широко распространена и возникла с зарождением самой логики. Примеры призваны разъяснять теоретические положения и поэтому обычно не несут дополнительной информации о теории, иллюстрациями к которой они выступают. Иначе обстоит дело с примерами у Ибн-Сины. Мы отстаиваем идею о том, что примеры в логических текстах Ибн-Сины не только выполняют дидактическую функцию, но связаны с особенностями логического учения Ибн-Сины и средневековой логики в целом. Основное внимание в обсуждении этой идеи уделим математическим примерам, изредка обращаясь к примерам из других областей.
Средневековые арабоязычные и латинские мыслители полагали, что учение об онтологическом статусе истины есть часть логического учения об истинности суждений и их верификации, и
© Джаббехдари М. , Лисанюк Е. Н., 2013 * Исследование поддержано РГНФ, проект № 11-03-00601а.
поэтому включали учение об истине в корпус логического учения. Подтверждение этому находим и в позиции Ибн-Сины.
Два аспекта логического учения Ибн-Сины, позволяющие заключить, что наличие математических примеров в его логических произведениях неслучайно, состоят в следующем. Во-первых, Ибн-Сина онтологически и эпистемологически различал предметы изучения логики и математики и, во-вторых, представлял структуру бытия в виде онтологической иерархии, что отразилось особым образом в его логическом учении. В силу этого математические примеры не только служат иллюстрацией положений логического учения, но и указывают на особенности верификации суждений, продиктованные тем, как рассматриваемые в них объекты существуют сами по себе и как предметы изучения.
При помощи математических примеров Ибн-Сина стремится отразить модальное отношение между вещами как элементами реальности и как предметами логического рассмотрения. Тем самым он обосновывает иерархию существования, на вершине которой находится бог как наивысшая безусловная необходимость, а математические примеры указывают на познаваемые интеллектом природные каузальные необходимости, выступающие устойчивыми закономерностями бытия. При помощи математического примера для иллюстрации логической закономерности Ибн-Сина «сообщает» своему читателю также и своеобразную область определения данной закономерности. Именно в этом смысле математические примеры выступают связующим звеном между логикой как абстрактным учением о принципах научного познания и естествознанием, предмет которого дан в опыте.
Учение Ибн-Сины о предмете логического знания
Согласно Ибн-Сине, логическое знание состоит из двух частей - представления и утверждения [3, с. 16]. В процессе познания разум переходит от имеющихся у человека образов, часто смутных и неосознанных, к представлениям, а от последних - к утверждениям [5, с. 245]. В современной логике «представлению» наиболее близко «понятие», «утверждению» - «суждение». Из соображений стиля изложения эти две пары терминов мы здесь используем как синонимы. Первый переход имеет место, когда от описания объектов усмотрения (Хадд) разум переходит к их определению (Расм) [2, а 74]. Назначение логики заключается в том, чтобы правильно организовать второй переход - от понятия к суждению.
Утверждения Тасдиг - это высказывания, формируемые
на основе представлений. Именно утверждения, а также способы их обоснования являются предметом логики, считает Ибн-Сина [5, с. 230]. Утверждения получаются путем соединения понятий и бывают утвердительными или отрицательными. В отличие от представлений, утверждения могут быть истинными и ложными, поэтому они доступны логическому рассмотрению. Обоснование и опровержение утверждений осуществляется через силлогизмы
[4, с. 61].
Ибн-Сина разграничивает предмет логического знания, т. е. суждения и процедуры выявления их логических значений, языковую форму выражения, особенную для каждого естественного языка, и вещи, рациональным путем познания которых служат логика и математика и относительно которых производится верификация суждений [5, с. 232]. Объекты познания, а стало быть, и логического знания есть лишь мыслимые сущности, им не присуще быть реальными за пределами разума независимо от того, насколько реально они могут быть разумом помыслены [5, с. 233-234]. Суждения о вещах также являются исключительно умопостигаемыми сущностями и состоят из других, также умопостигаемых сущностей - понятий, выступающих в качестве основных содержательных элементов суждений [5, с. 231].
Модальное учение Ибн-Сины и иерархия существования
Что означает истинность содержания посылок, и каким образом ее можно установить? Ибн-Сина считает, что всякое суждение есть утверждение о связи по меньшей мере двух понятий - субъекта и предиката, поэтому содержание посылок, или материя суждения, указывает на онтологические основания его верификации и истинности [5, с. 234]. Вопросы верификации и истинности суждения Ибн-Сина решает в духе своеобразного синтеза рациональной мусульманской теологии в большей степени, нежели в духе перипатетизма аристотелевского толка, что наиболее ярко проявилось в учении о модальности суждений [10, р. 65].
Модальность суждения в логическом смысле есть отношение субъекта и предиката, коррелятами этого отношения у Ибн-Сины выступают время и существование [9, р. 7]. Особый случай такого овременённого онтологического подхода к пониманию модального оператора в суждении Ибн-Сина использует для разъяснения логического основания существования и могущества бога. В отличие от
мутакаллимов и мутазилитов - сторонников мусульманской рационалистической теологии, убежденных в том, что бог предшествует миру и мгновенно сотворил мир из ничего [6, с. 42], - Ибн-Сина, в метафизике следуя Аристотелю, не принимал идею мгновенного возникновения мира и отождествлял время существования бога и время существования материи [8, с. 72, с. 45].
Для Ибн-Сины бог и все существующее составляет единое целое, однако бог как его начало отличается от других элементов целого. Бог есть абсолютно необходимая сущность и выступает причиной существования самого себя, а также других вещей, поэтому отношение сущности к существованию может быть различным для разных вещей. Модальное учение Ибн-Сины дает ответ на вопрос, как именно сущность вещи связана с ее существованием. Каждая вещь либо существует необходимо, либо не необходимо. Вещь существует необходимо, когда она сама по себе необходима. Верное понятие о такой вещи способно служить частью истинного суждения. Бог как начало множества вещей, в отличие от остальных членов этого множества, сам по себе необходим, а его существование производно от необходимого статуса его сущности.
Для определения модусов необходимости и возможности Ибн-Сина использует представление о времени, для чего выделяет и анализирует понятие постоянности во времени («Тадавом-е-замани», которое служит для характеристики необходи-
мости и зависит от постоянности и длительности существования вещи, понятие о которой выступает в роли субъекта суждения. Вещи сообразно их онтологическому статусу делятся на возможные, необходимые и невозможные. При этом сама «возможность не есть особая субстанция, а состояние субстанции или же положение субстанций в некотором состоянии» [4, с. 132].
Возможность Ибн-Сина понимает трояко. В первом, или логическом, значении возможности вещи бывают или возможными, или невозможными, так что и необходимые суть возможные, за исключением тех, что являются невозможными. Во втором значении, или в особенном, необходимое не означает возможное, как, например, затмение Солнца возможно, но не является необходимым, в отличие от его восхода. К этой особенной возможности относится то сущее, бытие которого не имеет постоянности во времени, хотя и обладает временной необходимостью, как, например, затмение Солнца при его соответствующем расположении относительно других небесных тел. В третьем значении возможность есть разновидность случайности. В таком смысле возможность вещи понимается как отсутствие
ее необходимости в каждом из промежутков времени ее существования и в любом из ее состояний, как, например, затмение Солнца, взятое вообще безотносительно его расположения и времени и изменения движущегося. Возможность в таком понимании вполне совместима с возможностью в особенном смысле, например, «Человек может писать» [5, с. 251-252].
Таким образом, реальные вещи сообразно единой иерархии бытия могут обладать одним из пяти модальных статусов [4, с. 134-5]:
1) абсолютно (аналитически) необходимые, существующие вечно, причина их существования заключена в них самих - бог;
2) (синтетически) необходимые, существующие постоянно, но в силу внешних причин;
3) аналитически возможные, которые возникают и исчезают и существование которых не является невозможным;
4) синтетически возможные или существующие случайно;
5) невозможные.
Сообразно этим видам сущего Ибн-Сина подразделяет и содержание, или материю силлогизма1, на необходимое, возможное или невозможное. В невозможном содержании истинным является отрицательное суждение. Например, суждение человек есть камень -ложно, а суждение человек не есть камень - истинно, потому что невозможно быть камнем по отношению к человеку. Необходимое содержание выражено в суждении человек есть живое существо. Пример возможного содержания - человек пишет.
Ибн-Сина разграничивает учение о содержании, или материи суждения, и собственно классификацию суждений по основанию модальности. Учение о содержании играет роль теории верификации, увязывающей иерархию существования реальных вещей и ее выражение в некотором языке, а классификация суждений есть результат познавательной деятельности разума, благодаря усилиям которого открываются возможности для оценки адекватности представлений, выраженных в суждениях. Сообразно иерархии существования Ибн-Сина формулирует и многоярусную классификацию модальных суждений. Ее назначение состоит в том, чтобы указать статус истинности суждения, производный от онтологического статуса того, что мыслится в данном суждении. Всякое суждение, полагает Ибн-Сина, бывает либо абсолютно-всеобщим, в котором его
1 Учение о материи суждения, на которое опирается Ибн-Сина, было выдвинуто позднеантичными комментаторами Аристотеля, его использовали и средневековые западные схоласты [7, с. 94].
содержание становится ясным без указания его необходимости, продолжительности и разъяснения его положения ко времени или возможности, либо таким, в котором выражено что-либо из перечисленного: или необходимость, или продолжительность без необходимости, или существование без продолжительности или необхо-необходимости [4, с. 134]. Продолжительность без необходимости характерна, например, для изменения движущегося тела, а существование без необходимости можно видеть на примере затмения Солнца.
Таким образом, необходимость бывает абсолютной, когда мы говорим Всевышний аллах существует, потому что все, что касается бога, является абсолютно-необходимым, безусловным и не нуждающимся в чем-либо еще для своего существования. Модальный статус суждений о других вещих - относительный, так как зависит от какого-либо условия. Условием может быть продолжительность существования некоей сущности, как в суждении человек необходимо обладает речью, где условием истинности суждения является продолжительность существования самого человека, потому что обладание речью производно от бытия человеком вообще. Условием может быть также и продолжительность существования субъекта в том виде, в котором он выполняет возложенную на него функцию, например: всякое движущееся изменяется.
Различие между этими условиями заключается в том, что субъектом первого является понятие о некоей сущности, т. е. человеке, а второго - качество, прилагаемое к сущности, т. е. «движущееся». Движущееся обладает сущностью и субстанцией независимо от того, находится ли оно в движении или неподвижно. Условием может быть также существование предиката или существование в определенный промежуток времени - как в случае с затмением, или неопределенно продолжающегося времени, например, времени дыхания. Суждения, в которых заключена необходимость, не зависящая от условия сущности, называются абсолютными суждениями существования.
Математическое как синтетически необходимое
Весь корпус научного знания Ибн-Сина делит на теоретические и практические науки и в каждой из двух групп выделяет по три науки в зависимости от особенностей их предмета изучения. Философия (метафизика), а также математика относятся к теоретическим наукам, в которых философское знание занимает наивысшее положение, потому что изучает исключительно абстрактные объекты по-
средством интеллектуального усмотрения. На средней ступени теоретических наук Ибн-Сина располагает математику, особенность которой в том, что в отличие от метафизики она изучает природу и направлена на вещи, данные в чувственном опыте и постоянном изменении, но изучает их вне непосредственной связи с опытом и движением [4, с. 61]. Математика создает определения и познает закономерности природы, как если бы их можно было помыслить не связанными с изменением, потому что для математического изучения их вполне можно отделить от чувственной материи или чего-то движущегося. К математике Ибн-Сина относит геометрию, астрономию, арифметику, оптику и инженерную науку (механику).
Направленность математического знания на природные объекты сближает его с физикой, изучающей природу опытным путем. Устремленность знания к чувственно-постигаемому и изменчивому для Ибн-Сины является источником недостоверности [4, с. 105]. Тела в математике предстают как необходимо обладающие тремя измерениями - длиной, шириной и глубиной. При этом телам присущи именно эти измерения, свидетельствующие о наличии у тела определенной формы, но не конкретные величины измерений, выступающие случайными признаками вещи [4, с. 108]. Об опытной направленности математики, согласно Ибн-Сине, свидетельствует и то обстоятельство, что вечные вневременные сущности ей неподвластны, она изучает постоянно существующее во времени как (синтетически) необходимое, отвлекаясь от того, что объекты ее изучения не всегда таковы [4, с. 131].
Логику как канон научного знания Ибн-Сина в своей классификации располагает отдельно и не относит ни к теоретическим наукам, как математику, ни к практическим [4, с. 62]. В силу особого положения логической науки она выступает также и «наукой-мерилом» для математики в той мере, в какой математическое знание является знанием отвлеченным, абстрактным. Ибн-Сина считает логику и математику науками, похожими друг на друга и различающимися в том, что абстракции логики в отличие от объектов изучения математики, не существуют в природе. Поэтому, когда математика исследует нечто изменчивое и чувственное постигаемое, логика приходит ей на помощь лишь на этапе утверждения, но не на этапе создания понятия [4, с. 91]. Особое значение математического знания в отношении к логике проявляется в тех случаях, когда доказательство или силлогизм строится о постоянном во времени, или (синтетически) необходимом, т. е. о вещах, изучаемых математикой [1, с. 30].
Наличие, пусть и гипотетическое, у математических абстракций причин, делающих их существование необходимым, хотя обусловленным их изменчивыми вещными коррелятами, создает специальные основания верификации суждений о математических объектах. Условия истинности посылок о математических объектах указывают не только на необходимую материю суждения, но и на (синтетически) необходимый статус самого суждения такого рода. «Например, если ты взглянешь на число без всякого условия, то не найдешь в его природе невозможности, ибо если бы оно было невозможным, то его никогда не было бы. Когда же взглянешь на число четыре при условии наличия дважды двух, оно станет необходимым, а если посмотришь на четыре при условии, что оно не может возникнуть от дважды двух, - оно будет невозможным» [4, с. 134]. Таким образом, использование суждений о математических сущностях в качестве примеров в логических рассуждениях указывает на специфику условий истинности для таких высказываний, отличающих их от суждений о других объектах.
В «Указаниях и наставлениях» Ибн-Сина использует математические примеры, излагая свою классификацию суждений, составляющую третий и четвертый пути. Третий путь посвящен собственно классификации, четвертый - отношениям между суждениями, в пятом Ибн-Сина обсуждает разновидности суждений исходя из гносеологического статуса, в шестом - модальные суждения. Помимо математических примеров, в третьем пути имеются естественнонаучные и бытовые примеры, иллюстрации в этом пути отсутствуют. Исключительно иллюстрациями без примеров Ибн-Сина пользуется при рассмотрении модальных суждений. В седьмом пути - о силлогизмах - также преобладают иллюстрации, примеры встречаются редко, математических примеров нет вообще, имеются естественно-научные, реже - бытовые.
В «Даниш-намэ» при помощи математических примеров объясняется разделительное сложное суждение, суть которого Ибн-Сина видит в утверждении наличия несовместимости между дизъюнктами или в отрицании совместимости между ними. Кроме этого, в «Даниш-намэ» математические примеры сопровождают особенности определения предметов в доказательных науках и их существенных признаков [4, с. 96].
Большинство примеров, представляющих собой суждения о математических объектах, Ибн-Сина помещает в разделах, посвященных сложным разделительным суждениям. При этом математические примеры применяются для обсуждения случаев, где
в основании отношения между частями сложного суждения лежит строгая дизъюнкция, а естественно-научные - для случаев с частями сложного суждения, связанными при помощи нестрогой дизъюнкции [5, с. 244-274]:
(1) «если к двум параллельным линиям провести другую линию, то внешние углы будут равны внутренним углам»;
(2) «этот угол является либо острым, либо тупым, либо прямым».
(1) и (2) отсылают нас к двум особенностям упоминаемых вещей. Во-первых, к необходимой материи суждения, что означает, что свойства, о которых идет речь, присущи указанным математическим объектам всегда, и эта присущность носит безусловный характер. Во-вторых, существование математических объектов, описываемых в (1) и (2), (синтетически) необходимо, т. е. они существуют с постоянством во времени, и это существование причинно обусловлено. В (1) и (2) отношение между частями сложного суждения основано на строгой дизъюнкции, так что с учетом того, что пример описывает (синтетически) необходимые сущности, (1) и (2) следовало бы записать при помощи модального оператора:
(1)' П(А^В);
(2) Ши (О(и) V Т(и) V р(и)).
Сравним другие примеры для разделительных суждений, где отношение частей сложного суждения основано на нестрогой дизъюнкции:
(3) «возможно, в доме находится Зейд или в нем находится Амр»:
◊(г V А);
(4) «бывает, что когда Солнце восходит, то ночь проходит»:
◊(8 ^ К).
Как видим, Ибн-Сина явным образом указывает на различный возможный статус вещей, о которых говорит в (3) и (4): в (3) существование без продолжительности и необходимости, в (4) существование без необходимости с продолжительностью во времени. Так он дает понять, каким образом дизъюнктивное отношение характеризует аналитически и синтетически возможные вещи.
Математические и теологические объекты Ибн-Сина использует в ходе изложения строгой дизъюнкции и модальной импликации, а физические - обсуждая нестрогую дизъюнкцию и материальную импликацию. Тем самым он показывает, какие именно логические инструменты позволяют получить истинное и необходимое знание о существовании бога и других существ с учетом того, как они связаны в иерархии бытия.
Рассмотрим еще два примера:
(5) это число либо четное, либо нечетное;
(6) Зейд либо в море, либо он не тонет.
В примере (5) объекты, о которых идет речь, либо обладают необходимым свойством, либо не обладают им, и взятое в математическом - синтетически необходимом - отношении это свойство носит необходимый характер. Используя для иллюстрации строгой дизъюнкции этот математический пример, Ибн-Сина показывает, применительно к каким объектам можно решительно утверждать, принадлежит ли данный предикат субъекту или нет, ведь никакое число не может быть и четным и нечетным. Если существует такой объект, который может быть сразу и четным и нечетным, то он не является числом. В этом и состоит необходимый характер математических объектов.
Если же речь идет о физических сущностях, которым указанные свойства присущи условно, как в (6), то получается суждение о возможной присущности.
Предикаты «тонуть» и «быть в море» выражают физические свойства, чувственно постигаемые и подверженные изменению. Они присущи Зейду случайным образом и поэтому могут истинно сказываться о нем одновременно, по отдельности или вовсе не сказываться. Иными словами, приписывание указанных предикатов субъекту не носит необходимого характера: вполне возможно, что Зейд - в море и не тонет. Эту особенность использования нестрогой дизъюнкции Ибн-Сина сообщает своему читателю при помощи примера о физических объектах, которые, в отличие от математических, не носят необходимого характера. В самом деле, нахождение Зейда в море подразумевает такую возможность, чтобы он был в воде и тонул, равно как и такую, чтобы он не был в воде и не тонул, но не может быть так, чтобы он не был в воде и тонул.
Таким образом, математические примеры Ибн-Сины иллюстрируют строгую дизъюнкцию и модальную (строгую) импликацию, указывая на синтетически необходимый характер объектов математики и на необходимую связь между ними, свойственную отношениям между такими объектами. Естественно-научными примерами Ибн-Сина поясняет материальную импликацию и нестрогую дизъюнкцию, подчеркивая условный характер существования обычных вещей и изменчивые отношения между ними. При помощи математических примеров для изложения сути логических закономерно-
стей Ибн-Сина также указывает предметную область действия этих закономерностей. Математические примеры Ибн-Сины демонстрируют «средний» статус математических объектов: между объектами изучения метафизики, такими как бог, и реальными вещами - объектами естественных наук.
Список литературы
1. Асимов М., Диноршоев М. Ибн-Сина и его роль в развитии мировой цивилизации // Ибн-Сина. Избр. филос. произв. / пер. с араб., перс., редкол., отв. ред. М.С. Асимов. - М.: Наука, 1980. - С. 7-44.
2. Джаббехдари М. Определение в логических учениях Аристотеля и Ибн-Сины // Вестн. Рус. христ. гуманит. акад. науч. журн. - 2011. - Т. 12. Вып. 2. - С. 72-79.
3. Джаббехдари М. Логические учения средневекового Ирана и их значение для западноевропейской логики: автореф. ... канд. филос. наук. - СПб., 2011.
4. Ибн-Сина. Книга знания // Избр. филос. произв. / пер. с араб., перс., редкол., отв. ред. М.С. Асимов. - М.: Наука, 1980. - С. 59-228.
5. Ибн-Сина. Указания и наставления // Избр. филос. произв. / пер. с араб., перс., редкол., отв. ред. М.С. Асимов. - М.: Наука, 1980. - С. 229-382.
6. Ибрагим Т. К. Калам и вопрос об «ортодоксальной философии» ислама // Религия в изменяющемся мире: сб. Сер. Философская мысль континентов. - М.: Изд-во РУДН, 1994. - С. 40-60.
7. Лисанюк Е.Н. Средневековая логика (XI-XIV вв.) // Историко-логические исследования / межвуз. сб.; под ред. Я.А. Слинина. - СПб.: Изд-во СПбГУ, 2003. - С. 92-110.
8. Смирнов А. В. Что стоит за термином «Средневековая арабская философия» // Средневековая арабская философия. - М.: РАН, 1998. - С. 42-81.
9. Movahed Z. De re and De dicto Modality in Islamic Traditional Logic // Sophia Perennis. - V. 2. - № 2, Spring 2010. - Р. 6-14.
10. Thom P. Medieval Modal Systems: Problems and Concepts (Ashgate Studies in Medieval Philosophy), 2004. - 226 р.
