Научная статья на тему 'Роль макромоделирования в активном управлении транспортной сетью'

Роль макромоделирования в активном управлении транспортной сетью Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
187
35
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Куржанский А. Б., Куржанский А. А., Варайя П.

Система активного управления транспортной сетью (АУТС) нацелена на динамическое регулирование автомобильных потоков на дорогах в режимах регулярно повторяющихся и внезапно возникающих перегрузок. Её работа основана на измерении и оценивании текущей ситуации на дороге и направлена на повышение эффективности использования сети дорог в условиях перегрузок. Она представляет собой непрерывный процесс выполнений следующих операций: (1) получения и анализа данных измерений потоков транспорта; (2) оперативного планирования и компьютерной симуляции различных сценариев и управляющих стратегий; (3) внедрения наиболее подходящих управленческих решений; (4) обеспечения в реальном времени работы системы поддержки принятия решений, отфильтровывающей текущие измерения; это делается с целью предсказания ожидаемого состояния транспортной сети на ближайшее время и подготовки к внедрению соответствующих наилучших управленческих решений к моменту возможного возникновения ожидаемой критической ситуации. АУТС опирается на работу быстрого и надёжного симулятора дорожного движения, который способен в течение нескольких минут протестировать множество сценариев и управленческих стратегий для наблюдаемой дорожной сети и выбрать адекватные для использования. Для реализации подобной схемы действий возможно использовать бесплатный программный пакет для макросимуляций систему Aurora Road Network Modeler. В настоящей статье изложено описание следующих элементов АУТС: динамической модели транспортных потоков, лежащей в её основе; приспособления и подготовки модели к процессу симуляции; критериев эффективности транспортной сети и оценки сценариев как части оперативного планирования; указания рамок, в пределах которых оцениваются управленческие решения, и их моделирование; предлагаемых алгоритмов оценивания состояния транспортной сети и предсказания её будущего поведения на ближайших коротких отрезках времени.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Куржанский А. Б., Куржанский А. А., Варайя П.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Роль макромоделирования в активном управлении транспортной сетью»

УДК 519.86

А.Б. Куржанский1,2, А.А. Куржанский2, П. Варайя2

1 Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

2 University of California at Berkeley, USA

Роль макромоделирования в активном управлении транспортной сетью

Система активного управления транспортной сетью (АУТС) нацелена на динамическое регулирование автомобильных потоков на дорогах в режимах регулярно повторяющихся и внезапно возникающих перегрузок. Её работа основана на измерении и оценивании текущей ситуации на дороге и направлена на повышение эффективности использования сети дорог в условиях перегрузок. Она представляет собой непрерывный процесс выполнений следующих операций: (1) получения и анализа данных измерений потоков транспорта; (2) оперативного планирования и компьютерной симуляции различных сценариев и управляющих стратегий; (3) внедрения наиболее подходящих управленческих решений; (4) обеспечения в реальном времени работы системы поддержки принятия решений, отфильтровывающей текущие измерения; это делается с целью предсказания ожидаемого состояния транспортной сети на ближайшее время и подготовки к внедрению соответствующих наилучших управленческих решений к моменту возможного возникновения ожидаемой критической ситуации. АУТС опирается на работу быстрого и надёжного симулятора дорожного движения, который способен в течение нескольких минут протестировать множество сценариев и управленческих стратегий для наблюдаемой дорожной сети и выбрать адекватные для использования. Для реализации подобной схемы действий возможно использовать бесплатный программный пакет для макросимуляций — систему Aurora Road Network Modeler.

В настоящей статье изложено описание следующих элементов АУТС: динамической модели транспортных потоков, лежащей в её основе; приспособления и подготовки модели к процессу симуляции; критериев эффективности транспортной сети и оценки сценариев как части оперативного планирования; указания рамок, в пределах которых оцениваются управленческие решения, и их моделирование; предлагаемых алгоритмов оценивания состояния транспортной сети и предсказания её будущего поведения на ближайших коротких отрезках времени.

Ключевые слова: активное управление, транспортная сеть, макроскопическая транспортная модель, калибровка, автоматизированная система, геоинформационная система, фундаментальная диаграмма, коммуникационная сеть, быстрый и надёжный симулятор, оперативное планирование, динамическая фильтрация, оперативная стратегия, оценивание состояния, гарантированное прогнозирование.

I. Введение

Автомобильные заторы в городах являются причиной длительных задержек, пониженной производительности труда, неэкономного расхода бензина и чрезмерного загрязнения окружающей среды. Стремительный рост числа автомобилей на дорогах, стоимость земли и проблемы экологии делают задачу расширения существующих дорог и строительство новых в густонаселённых городах всё более трудно выполнимой. Активное управление транспортной сетью (АУТС) — это эффективное средство борьбы с повторяющимися изо дня в день и внезапно возникающими заторами, учитывающая конкретные для данного времени года и суток условия и не требующая физического увеличения пропускной способности дорог. АУТС использует автоматизированные системы управления дорожным движением (АСУД), а также вмешательство диспетчера для по возможности оптимальной организации работы транспортной сети. В данной статье предлагается определён-

ная структура АУТС и подробно рассматриваются его отдельные составляющие. В основе статьи лежит опыт, полученный авторами в результате участия в исследовательском проекте TOPL [1], проводимом в Берклейском отделении Калифорнийского университета в США, начиная с 2006 года. Цель проекта TOPL состоит в том, чтобы помочь Департаменту Транспорта штата Калифорния прооптимизировать эксплуатацию особенно загруженных магистралей штата.

Рис. 1. Схема работы АУТС

АУТС представляет собой цикличный процесс, состоящий из следующих факторов: (1) измерения транспортного потока и анализа полученных данных, без которых управление транспортной сетью будет беспомощным и практически невозможным; (2) оперативного планирования, которое включает изучение поведения транспортной сети при возможных сценариях (таких, например, как плохая погода, ДТП, дорожные работы, специальные мероприятия, увеличение спроса и т.п.), а также разработку стратегий управления, призванных увеличить продуктивность транспортной сети и оценку пригодности разработанных стратегий с точки зрения их стоимости и потенциальной эффективности; (3) внедрения наиболее обещающих стратегий непосредственно на магистралях путём установки необходимого оборудования и программного обеспечения; (4) работающей системы поддержки принятия решений, которая осуществляет фильтрацию поступающих в реальном времени измерений, прогнозирует поведение транспортной системы на ближайшие несколько часов и помогает диспетчеру выбрать стратегию управления, наиболее соответствующую ситуации.

Схема работы АУТС представлена на рис. 1. В основе её лежит коммуникационная сеть, по которой в центр сбора информации и управления пересылаются данные измерений с дорожных датчиков, и в свою очередь команды АСУД или диспетчеров передаются на управляющие устройства, установленные на перекрёстках городских улиц и автостадах. Центральным элементом схемы АУТС является «быстрый и надёжный симулятор». Надёжность симулятора обуславливается теоретически обоснованной транспортной моделью, адекватно отображающей ситуацию на дороге, для идентификации параметров которой достаточно лишь существующих измерений. В качестве кандидата в такие симуляторы нами предлагается система Aurora Road Network Modeler (RNM)

[2], бесплатный программный пакет для моделирования и симуляций автомобильного движения на автострадах и городских улицах со светофорами на перекрёстках. Используемая в этом симуляторе макроскопическая динамическая транспортная модель, а также метод её построения при помощи данных геоинформационных систем (ГИС) и калибровки на основании данных измерений описываются в параграфе 2.

Симулятор может работать в трёх режимах. Первый из них, режим оперативного планирования, используется для прогона большого числа симуляций, тестирующих различные сценарии и потенциальные меры по улучшению дорожного движения. Сценарии могут включать перераспределение транспортных потоков из-за возможных дорожных работ, особых мероприятий или ДТП, уменьшение максимальной пропускной способности дорог из-за плохой погоды и т.п. Конфигу-

рации дорожных сетей и структуры возможных систем управления сохраняются в соответствующих базах данных, которые используются в механизме поддержки принятия решений. Параграф 3 затрагивает тему оперативного планирования, а параграф 4 посвящён моделированию управления транспортным потоком. Второй режим работы — это динамическая фильтрация: симуляция системы с неопределённостью в параметрах модели и входных данных. Она используется для корректировки измерений, поступающих в реальном времени с дорожных датчиков. Отфильтрованные через динамическую модель измерения используются для организации обратной связи в соответствующих алгоритмах управления транспортным потоком. В третьем режиме прогнозирования ближайшего будущего и выбора оперативной стратегии, исходя из начальных условий, полученных фильтрацией текущих измерений, вычисляются множества достижимости состояния транспортной сети при вероятных сценариях и возможных стратегиях управления для ближайших нескольких часов. Диспетчер выбирает наиболее подходящую из предлагаемых оперативных стратегий и вводит её в действие посылкой соответствующих команд на управляющие устройства. Параграф 5 описывает алгоритмы гарантированного прогнозирования и оценивания состояния транспортной сети. В параграфе 6 приведены отдельные элементы АУТС на примере автострады 1-80 в Северной Калифорнии.

II. Динамическая модель транспортной сети

11.1. Описание динамической модели

Начнём с описания динамической модели транспорта — вариации макроскопической модели Даганзо [3, 4], на базе которой основан предлагаемый надёжный симулятор.

Транспортная сеть состоит из направленных соединений и узлов, где соединения представляют сегменты дорог, а узлы служат коммутаторами соединений. Обозначим множество соединений через С, а множество узлов — через N. Узел обязан иметь минимум одно входное и минимум одно выходное соединение. Соединение называется обычным, если у него присутствуют начальный и конечный узлы. Соединение без начального узла именуется далее как въезд, соединение без конечного узла — соответственно как выезд.

В табл. 1 приведены параметры модели с указанием возможных диапазонов их значений, а также используемые переменные. Каждое соединение I € С характеризуется длиной Дх;, количеством полос к;, своей фундаментальной диаграммой (отражающей максимальную пропускную способность Г;, свободную скорость V; и ско-

рость распространения затора Ш; (см. рис. 2)21, и учитывающей число полос. Въезды — это соединения, через которые автомобили попадают в систему. С ними ассоциируются функции требуемых потоков г; (•). Каждый узел V €Ы характеризуется распределительной матрицей Б1/(•), устанавли-

вающей, каким образом входящие в узел потоки распределяются между выходящими из узла соединениями. Узлы могут использоваться не только для моделирования перекрёстков, точек слияния и разветвления дорог, но и просто для разбиения длинных соединений на более короткие.

Таблица 1

Параметры модели и переменные

Символ Описание Возможное значение Размерность

А XI длина соединения 1 Е £ Е [0,05,0,4] км

к число полос в соединении 1 Е £ Е [^- -^1 с 1 3600’ 360 ] полосы

Д£ размер временного шага часы

Я максимальная пропускная способность 1 Е £ для 1 полосы Е [1500,2000] авто/ч

VI свободная скорость в 1 £ £ для автострад Е [90,130]; для улиц Е [30,70] км/ч

иц скорость распространения затора в 1 £ £ Е [10,40] км/ч

Рі максимальная плотность автомобилей в 1 Е £ для 1 полосы Е [95,125] авто/км

Рсі критическая плотность автомобилей в 1 Е £ для 1 полосы Е [12,30] авто/км

Ь время Е [0,оо) часы

ви{г) распределительная матрица в узле V Е М ^ [ОД], У'/ = 1 безразмерна

піі) требуемый поток на въезде 1 Е £ переменная авто/ч

ГіИ) фактический поток, входящий в 1 Е £ переменная авто/ч

ҐІ® фактический поток, исходящий из 1 Е £ переменная авто/ч

Уііі) средняя скорость потока в 1 Е £ переменная км/ч

рі(і) плотность автомобилей в 1 Е £ переменная авто/км

р(і) вектор плотностей из всех соединений в £ переменная авто/ч

Рис. 2. Фундаментальная диаграмма для соединения I

В простом примере автострады с одним направлением, изображённом на рис. 3, узлы нахо-

дятся либо в точках, где въезды соединяются с автострадой, а выезды ответвляются от неё, либо в точках, где меняются свойства автострады, определяемые фундаментальной диаграммой. В данном примере обычные соединения — это отрезки автострады, идущие от одного узла до следующего, въезды соответствуют попаданию на автостраду, выезды — съездам с неё.

Состояние транспортной сети во время Ь определяется плотностью движущихся объектов (то есть автомобилей) в каждом соединении: р; (Ь),

I € С. При начальных данных р;(Ьо) = р°, обычно определяемых путём измерений, система развива-

21 Фундаментальная диаграма — это функция потока от плотности, обычно вогнутая. В нашем случае фундаментальная диаграмма имеет треугольную форму, как на рис. 2, определяемую тремя значениями: максимальной пропускной способностью ¥\, свободной скоростью (средней скоростью потока, измеряемой при малой плотности автомобилей) V и скоростью распространения затора (скорость, с которой волна затора распространяется в направлении обратном движению автомобильного потока) Ю1. Альтернативно, треугольная фундаментальная диаграмма задаётся тройкой значений: максимальной пропускной способностью ^, критической плотностью (количеством автомобилей на километр в соединении, при котором поток достигает максимальной пропускной способности) рС1 и максимальной плотностью (количеством автомобилей на километр в соединении, при котором движение полностью останавливается) р; • Хотя в данной статье мы имеем дело с треугольной формой, возможны и другие формы фундаментальной диаграммы, например, парабола [5], трапеция [6], или кусочно-линейная, так называемая «развёрнутая лямбда» [7, 8].

ется во времени соответственно уравнению

Р1(1 + А*) = р,(*) + ^-(/«,(*)-/*,(*))

для всех I € С, где ДЬ должно удовлетворять условию

(1)

П Гг р.

п

п

А

А

щ

щ %

Рис. 3. Простая транспортная сеть: соедине-

ния пронумерованы от 1 до 6, узлы обозначены шестиугольниками

А* < ттг{^} и <' ттг{^}.22

Для въездов Iи; (Ь) = Г1 (Ь), где г; (Ь) — значение требуемого потока во время Ь. Для выездов /с11^) = щр1^)та\п|1,^^у|. Для обычного соединения 1 поток Iи;(Ь) определяется в соответствующем ему начальном узле, а поток Iй;(Ь) — в конечном.

Узел с т входными и п выходными соединениями имеет распределительную матрицу размерности т х п: Б„(Ь) = {[](Ь)}{=['' ' ' т. Эта матрица имеет неотрицательные элементы, лежащие в интервале [0,1], причём сумма элементов каждого ряда равна 1. Элемент (Ь) определяет долю потока, исходящего из входного соединения г и ответвляющегося в направлении выходного соединения ] в момент Ь. Входные потоки /й г(Ь) и выходные потоки ]и^(Ь), г = 1, ..., т, ] = 1, ..., п, вычисляются согласно приведённому ниже алгоритму.

Процедура вычисления входных и выходных потоков узла

1. Вычислим фактический допускаемый приём для каждого выходного соединения (какой поток готово принять данное выходное соединение):

«#) = 1™{^,№3 (р5 - Ро (*))}, 1 = 1, п.

(2)

Здесь индекс 3 обозначает номер выходного соединения.

2. Установим итерацию р = 0.

3. Вычислим поступающий поток для каждого входного соединения:

Я

¿г 1(Ь) = ViPi(Ь)min< 1,

грг (Ь)

(3)

где индекс г обозначает номер входного соединения. Переменная (Ь) обозначает по-

ступающий поток, требующий выхода из входного соединения г.

4. Вычислим требующий вливания поток для каждого выхода:

^](Ь)

(Ь)^] (Ь),3 =1,...,п. (4)

г=1

Переменная (Ь) обозначает полный по-

ток, требующий вливания в выходное соединение 3.

5. Для р = 1,...,п, и для каждого входного соединения г = 1,...,т, повторяем

(а) при необходимости сократим требуемые входные потоки так, чтобы они не превышали фактический допускаемый приём для соответствующего выходного соединения:

¿■р 1] (Ь), если [гр(Ь) = 0

4р]м

¿г 1] (Ь) тт

иначе;

(5)

(Ь) пересчитаем требуемые выходные потоки 1р](Ь), 3 = 1, ..., п, по формуле (4).

На этом шаге использовано правило «пропорциональных приоритетов» для сходящихся соединений и правило очереди (первый вошёл, первый вышел) для расходящихся соединений так, как они сформулированы в [4]23.

6. Поток, исходящий из входного соединения г:

1Лг(Ь) = dГ](Ь), г = 1 ...,

(6)

7. Поток, входящий в выходное соединение 3'.

т

1и](Ь) =^2 (Ь)dlií](Ь), 3 = 1 ..., п. (7)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

г=1

При начальной позиции Ь = Ьо, р(Ьо) = Ро на каждом временном шаге ДЬ эволюционирующей системы вычисляются входные и выходные потоки для всех узлов сети; затем состояние системы обновляется по закону сохранения (1).

22 Это необходимое условие сходимости при численном решении гиперболических уравнений в частных производных, известное как условие Куранта—Фридрихса—Леви (КФЛ) [9].

23Правило пропорциональных приоритетов означает, что каждое выходное соединение принимает автомобили из входных потоков пропорционально интенсивности этих потоков. Правило очереди означает, что отношение доли входящего потока из соединения г, распределённой в выходное соединение з, к входящему потоку f ^¿(¿) должно равняться соответствующему элементу распределительной матрицы узла (^.

1

V

II.2. Построение модели

Построение динамической модели, готовой для симуляций, требует следующего: (1) составления дорожной сети с верным расположением узлов, длиной соединений и числом полос в соединениях;

(2) калибровки системы, то есть идентификации фундаментальных диаграмм для всех соединений;

(3) определения требуемых потоков для въездов и распределительных матриц для узлов. Эта работа является, как правило, весьма трудоёмкой, так как практически не имеется универсальных информационных систем, собирающих в едином месте те данные, что необходимы для выполнения всех трёх задач.

Для начала необходимо получить картографическую информацию об интересующих нас дорогах через доступные коммерческие [10, 11] или бесплатные [12] геоинформационные системы (ГИС). Данные ГИС содержатся в виде специальных файлов с более или менее детальным описанием дорожных сегментов, которые могут быть использованы для составления сети из узлов и соединений. В пакет Aurora RNM [2] входит программа GIS Importer, конвертирующая данные ГИС в форму соединения-узлы. В особых случаях, например, для автострад Калифорнии или автострад города Портленд, штат Орегон, существуют общедоступные информационные системы PeMS [13] и PORTAL [14], содержащие как картографические данные, так и данные измерений с дорожных датчиков.

Данные измерений с автострадных датчиков, предлагаемые такими информационными системами, как PeMS или PORTAL, позволяют идентифицировать фундаментальные диаграммы для соответствующих соединений автострады. Полное описание алгоритма калибровки дано в [15]. Здесь мы предлагаем сжатое описание.

1. Для каждого надёжного24 датчика на выбранном участке автострады извлечём данные измерений плотности и потока. Обычно расстояние между датчиками бывает больше, чем длина соединений в нашей модели. Поэтому извлечённые данные измерений могут относиться (и чаще всего относятся) к более чем одному соединению.

2. Среди измерений найдём максимальный поток. Обычно этот измеренный максимальный поток и берётся за значение параметра Fi.

3. Используя метод наименьших квадратов для точек, определённых парой плотность-поток, на плоскости найдём свободную скорость vi. Установим критическую плотность p€¡ = На практике обычно прямая линия хорошо аппроксимирует множество

24PeMS [13], например, предоставляет ежедневный бюлл<

точек плотность-поток, когда плотность ниже критической.

4. Используя метод наименьших квадратов с ограничениями, найдём скорость распространения затора Ш;.

(а) (б)

Рис. 4. Идентификация фундаментальной диаграммы: (а) данные высокого качества; (б) данные низкого качества

Если данных измерений достаточно и они поступают с исправных датчиков, то калибровочные шаги 1-3 дают хороший результат (рис. 4а). Однако при низком качестве измерений (например, ввиду поломки датчика либо просто потому, что на данном участке дороги поток не достигает максимальной пропускной способности (рис. 4б)) необходимо использовать фундаментальные диаграммы соседних участков либо синтезировать недостающие данные (например, при помощи способа, предложенного в [16]) и повторить шаги 1-3. Изображение на рис. 4 иллюстрирует тот факт, что измерения в зоне свободного движения фундаментальной диаграммы хорошо аппроксимируются прямой линией, в то время как измерения в зоне затора (правая часть диаграммы) имеют больший разброс, что в свою очередь может служить обоснованием альтернативных форм фундаментальной диаграммы (например, в виде трапеции или «развёрнутой лямбды»).

Наиболее трудная часть калибровки соединений, моделирующих городские улицы, состоит в оценивании их максимальной пропускной способности. Если максимальная пропускная способность уличного соединения определена (из измерений или соображений здравого смысла), то свободную скорость можно установить равной максимальному ограничению, а максимальную плотность вычислить путём оценки максимального числа автомобилей, которые могут разместиться в данном соединении с последующим делением этого числа на длину соединения.

Наконец, остаётся определить функции требуемого потока для въездов и распределительные матрицы для узлов. Для автострад это осуществляется при помощи данных информационных систем типа PeMS и PORTAL, предоставляющих измерения потоков на въездах, которые можно брать за основу при построении функций требуемого потока. Элементы распределительных матриц могут быть вычислены, исходя из измерений

состояния для всех зарегистрированных датчиков.

потоков на главной магистрали и съездах: в примере, показанном на рис. 3, это будут измерения потоков Iи4 и Iи6. На практике, однако, измерений потоков на въездах и съездах может не быть, что, к примеру, имеет место на ряде калифорнийских автострад. В таких случаях требуемые потоки на въездах и распределительные матрицы должны быть синтезированы таким образом, чтобы потоки на основной магистрали, полученные в результате работы динамической модели, соответствовали измерениям потоков на основной магистрали. Это требует решения обратной задачи, являющейся некорректной по Адамару. Решение данной задачи неединственно. Для регуляризации её решения необходимо вводить дополнительные ограничения на максимальные требуемые потоки, их вариации и значения элементов распределительных матриц. Задача синтеза недостающих данных на автострадных въездах и съездах освещена в [17].

III. Оперативное планирование

Цель оперативного планирования для транспорта заключается в разработке стратегий управления, призванных улучшить продуктивность перегруженных транспортных сетей. В основе оперативного планирования лежат измерения и базирующийся на них анализ этой продуктивности. Подобный анализ выделяет узкие места, являющиеся причинами заторов, обозначает участки дорог с повышенным риском ДТП и позволяет наметить главные элементы управляющих стратегий, которые должны облегчить нагрузку на транспортную сеть.

Выработанные стратегии могут включать в себя увеличение пропускной способности узких мест путём строительства дополнительных полос или таких методов оперативного управления, как регулирование спроса, целью которого является сокращение перенасыщенных потоков на въездах в транспортную сеть в пиковые часы; профилактика и контроль ДТП, которые концентрируют ресурсы служб дорожного патруля и первой помощи поблизости от дорожных участков с повышенным риском ДТП; предоставление информации для водителей — ожидаемое время путешествия до определённых пунктов, предупреждение о ДТП впереди, возможные пути объезда пробки; управление транспортным потоком, включающее регулирование въездных потоков на загруженные магистрали, динамическое ограничение скорости для более равномерного движения автомобилей, оптимизация режимов и координация светофоров в группах перекрёстков на городских улицах. Для оперативного планирования нужно быстрое оценивание эффективности управляющих стратегий, которое в комбинации со стоимостью внедрения этих стратегий позволяет выбрать оптимальную из них с

точки зрения отношения эффективности к стоимости.

Приведём общие параметры оценки эффективности соединения.

• Средняя скорость транспортного потока:

™ = (8)

Р;(Ь)

• Предполагаемое время в пути — время, необходимое автомобилю, чтобы проехать соединение от начала до конца в предположении, что скорость потока, зафиксированная в момент времени Ь, V(Ь), останется постоянной:

пвт)=т (9)

• Фактическое время в пути — время, нужное автомобилю, чтобы проехать соединение от начала до конца, учитывая изменения в скорости потока после момента времени Ь:

ФВП;(Ь) = Т; (Ь)АЬ, (10)

где

Т;(Ь) = а^тах <| V;(Ь + т')АЬ < Ах; | .

(11)

• Суммарный поток, измеряемый в автомо-биле-километрах, оценивает фактическую пропускную способность соединения:

СП;(Ь) = Р;(ЬЩ (Ь)Ах; АЬ. (12)

• Суммарная плотность, измеряемая в автомо-биле-часах, отражает количество автомобилей, которые провели данный отрезок времени в данном соединении:

СПЛ;(Ь)= р1 (Ь)Ах; АЬ. (13)

• Задержка, измеряемая в автомобиле-часах:

3,(*) = С1Щ(*)-^. (14)

V;

• Потеря продуктивности, измеряемая произведением километро-часов на число полос — степень недоиспользования пропускной способности полос соединения из-за затора:

{0, если V; (Ь) = ги;,

“ 1~рг) к1Лх,Аг, иначе.

(15)

Здесь надо обратить внимание на то, что потеря продуктивности зависит от числа полос. Например, при одном и том же исходящем из соединения потоке Iй;(Ь) и той же самой максимальной пропускной способности соединения Я;, потеря продуктивности двухполосного соединения вдвойне превышает потерю продуктивности соединения с одной полосой.

За исключением фактического времени в пути все перечисленные оценки эффективности вычисляются по ходу реализации тректории системы. Вычисление же фактического времени проводится апостериорно, требуя знания всей траектории системы. Если известны значения времени в пути, суммарного потока, суммарной плотности, задержки и потери продуктивности для каждого соединения сети, то можно элементарно вычислить эти же оценки для конкретных маршрутов внутри сети.

Соединения, представляющие городские улицы, чьи конечные узлы являются перекрёстками со светофорами, имеют дополнительные параметры эффективности, а именно следующие: задержка за цикл — число автомобиле-часов проведённых перед светофором; размер очереди — число ожидающих автомобилей в соединении; мера использования фазы — доля зелёной фазы цикла, при которой фактический поток, исходящий из соединения, равен требуемому потоку; нехватка цикла — процентная доля автомобилей, которым необходимо пережидать красный свет более одного раза; отношение потока к максимальной пропускной способности, которое характеризует степень использования существующей пропускной способности; качество проезда — процентная доля автомобилей, прибывающих к перекрёстку во время зелёной фазы. Если известны значения этих параметров для каждого входящего соединения узла-перекрёстка, то нетрудно оценить эффективность перекрёстка в целом.

Для изучения поведения транспортной сети при различных сценариях, таких как плохая погода, ДТП, ремонт дороги, особые мероприятия, колебания спроса на дорогу и т.п. с помощью макроскопической модели (1)-(7) используем переключения параметров модели (фундаментальных диаграмм в соединениях и распределительных матриц в узлах) либо функций требуемых потоков на въездах в определённые моменты времени.

Переключения в фундаментальных диаграммах моделируют уменьшение свободной скорости и максимальной пропускной способности из-за плохой погоды или блокирование полос в силу ДТП или дорожных работ. Например, допустим для какого-то соединения I : Я; = 6000 авто/ч,

V; = 100 км/ч, Ш; = 20 км/ч, в 10:00 происходит авария, блокирующая половину полос, и длится до 10:30, когда движение полностью восстановлено. Мы моделируем это ДТП, дважды переключая фундаментальную диаграмму: Я; (10) = 3000 означает начало происшествия, и Я; (10,5) = 6000 означает возвращение к обычному режиму работы. Размер заторов, образующихся в результате ДТП, существенно зависит от времени реагирования на ДТП дорожно-патрульных служб. Изучение этой зависимости принадлежит разделу планирования по профилактике и контролю ДТП. Переключения в фундаментальных диаграммах мо-

гут быть применены также для выяснения целесообразности открытия в часы пик вспомогательных и специальных полос для общего пользования.

Особые мероприятия, влияние информации для водителей и прочие меры по перенаправлению автомобильных потоков моделируются переключениями в распределительных матрицах. Перенаправление потока с одного выходного соединения на другое может вызвать появление узкого места

и, как следствие, затора, если максимальная пропускная способность этого другого соединения не будет удовлетворять требуемому потоку. Колебания в спросе моделируются путём умножения требуемых потоков на въздах на неотрицательные коэффициенты.

В симуляторе Aurora RNM эти переключения воплощены в качестве событий, которые пользователь может создавать и активизировать в заданные моменты времени. Влияние любого сценария на продуктивность транспортной сети возможно быстро проверить, поскольку этот симулятор вычисляет параметры эффективности для соединений и заданных маршрутов.

Ещё один важный аспект оперативного планирования, так же, как и системы поддержки реального времени, — управление потоком и оценка его эффективности рассматриваются в следующем параграфе.

Рис. 5. Иерархия управляющих элементов: примеры (а) локального управления (регулятор въездного потока) ; (б) узлового управления (перекрёсток со светофором); (в) комплексное управление (координированное регулирование въездных потоков)

IV. Управление транспортным потоком

Среди упомянутых в предыдущем параграфе элементов оперативных стратегий минимизации заторов, влияние таких, как регулирование спроса, профилактика/контроль ДТП или информа-

ция для водителей, на поведение транспортной системы является лишь косвенным. А именно оценить, как изменилось поведение потока в результате упомянутых мер, можно лишь приблизительно, но невозможно напрямую измерить. Прямое же и доступное измерению влияние на транспортную систему достигается путём непосредственного управления автомобильным потоком.

В макроскопической модели (1)-(7) состояние соединения (плотность) эволюционирует во времени согласно закону сохранения. Для всякого соединения I, не являющегося выездом (то есть имеющего конечный узел), поток Iй;, исходящий из этого соединения, может быть ограничен структурой узла.25 Таким образом, управление потоками сосредоточено в узлах.

Далее предлагается следующая иерархия управляющих элементов, иллюстрированная рис. 5.

• Локальное управление привязано к конкретному входному соединению узла и регулирует только единственный поток, исходящий из этого соединения. Пример локального управления — это регулятор потока при въезде на автостраду, показанный на рис. 5а: узел имеет два входных соединения, соединение 1 без управления (автострада) и управляемое соединение 2 (въезд на автостраду).

• Узловое управление привязано к узлу и управляет потоками, исходящими из всех входных соединений узла. Пример узлового управления — перекрёсток со светофором, изображённый на рис. 5б. В этом примере в каждый момент времени управление пропускает только не конфликтующие между собой потоки: одновременно могут быть пропущены потоки 1 и 5, 2 и 6, 3 и 7 или 4 и 8, при этом остальные потоки блокируются. Каждое входное соединение индивидуально по-прежнему находится под контролем локального управления, но все локальные управляющие элементы подчинены узловому управлению.

• Комплексное управление оперирует несколькими локальными, узловыми или даже другими комплексными управляющими элементами, координируя их действия ради общей цели. Пример комплексного управления — координированное регулирование въездных потоков на автостраду, схема которого приведена на рис. 5в. В этом примере участок автострады имеет два выявленных узких места, делящих его на две зоны, 1 и 2, каждая из которых заканчивается соответствующим узким местом. Местоположения узких мест не фиксированы, и ожидается, что в течение

суток они меняются (такие узкие места называются плавающими). Зональные управления отвечают за координацию локальных регуляторов въездных потоков в своих зонах, в то время как главное управление отслеживает местоположение узких мест и соответственно модифицирует конфигурацию зональных управляющих элементов. И главное, и зональные управления являются комплексными.

Управление вводится в динамическую модель (1)-(7) заменой формулы (3) выражением

4°] (*) = ViPS) min <j 1, \ ’

[ ViPi(t) ViPi(t) J

i = 1, ..., m, (16)

где m — число входных соединений узла, а Ci(t,p(t)) — управляющая функция для потока, поступающего в узел из соединения i.

Управление может быть программным: Ci(t,p(t)) = Ci(t) или с обратной связью. Простейшим программным управлением является светофор, регулирующий въездной поток на автостраду, с фиксированной для данного времени суток длительностью красного и зелёного сигналов. Система светофоров с фиксированным циклом на перекрёстке представляет собой программное узловое управление.

Управление с обратной связью должно реагировать на состояние системы и желательно адаптироваться к специальным ситуациям типа ДТП. Примером управления с обратной связью является алгоритм ALINEA [18], локальное управление, регулирующее въездной поток на автостраду, которое для схемы рис. 5а определяется формулой

Fi Ci(t,p(t))\

A2(t,P3(t)) — A2(t — At,p3(t — A-t)) + +V3(PC3 - Ps(t));

(17)

где индексы «2» и «3» относятся соответственно к соединениям 2 и 3, а функция A2 — рекомендуемое ALINEA ограничение на поток, исходящий из соединения 2. Имеет смысл использовать алгоритмы управления типа ALINEA в комбинации с алгоритмами управления очередью, которые должны предотвращать формирование слишком больших заторов на въездах, которые могут распространиться на более узкие городские улицы. Наиболее известный алгоритм управления очередью, так называемое преодоление очереди (queue override) выражается следующим образом:

Q2(t,P2(t)) — fU2(t)+V2(p2(t) - PC2),

(18)

где функция Q2 — ограничение на поток, исходящий из соединения 2, рекомендуемое алгоритмом преодоления очереди. При включении обоих алгоритмов одновременно они начинают работать

5 По определению, поток, исходящий из выезда, ограничен лишь максимальной пропускной способностью выезда.

друг против друга: в то время как ALINEA создаёт очередь, алгоритм преодоления очереди пытается её сократить. Таким образом, комбинированный регулятор потока на въезде 2 имеет форму

C2 (t,p(t)) = max{A2(t,p3(t)),Q2(t,p2 (t))}- (19)

Координированный алгоритм ALINEA, известный под названием HERO [19], идея которого заключается в том, чтобы сначала применять управление ALINEA (17) на ближайшем перед узким местом въезде на автостраду до тех пор, пока очередь не вырастет до рекомендуемого предела, затем надо включить ALINEA на следующем по удалённости въезде перед узким местом, пока очередь не заполнится там, и так, по мере необходимости, переключаться от въезда к въезду, удаляясь от узкого места, представляет собой комплексное управление. Примером комплексного управления с обратной связью, координирующего узловые управления на перекрёстках со светофорами, является алгоритм TUC [20].

Ограничение скорости, фиксированное и динамическое, также воздействует на автомобильный поток через узлы. Допустим, какой-либо регулятор скорости вычисляет желаемое ограничение скорости vf для соединения l, тогда соответствующее ограничение на поток, устанавливаемое соответствующим локальным управлением, имеет форму

Ci(t,pi(t)) = v* pi(t). (20)

Нередко случается, что при моделировании управления с обратной связью с точки зрения уменьшения задержки и потери продуктивности эффективность алгоритмов очень высока. Однако как только дело доходит до внедрения этих алгоритмов в реальные транспортные системы, результаты разочаровывают. Причина здесь лежит в низком качестве обратной связи — из-за больших помех в измерениях либо из-за поломок в датчиках, либо из-за сбоев в коммуникационном оборудовании. Например, бюллетени состояния датчиков PeMS [13] свидетельствуют о том, что до 30% датчиков на калифорнийских автострадах не полностью функциональны в течение года.

Поэтому для симуляции алгоритмов управления с обратной связью и тестирования их эффективности в условиях, приближённых к реальным, мы предлагаем задействовать устройства измерения в транспортную модель. Такие элементы мы называем виртуальными датчиками. Виртуальные датчики моделируют работу реальных датчиков, сообщая данные счётчиков автомобилей и/или скорости автомобилей с определённых участков транспортной сети, основываясь на состоянии соединений сети, вычисленном посредством динамической модели. В каждом таком виртуальном датчике можно настроить свой уровень помех в диапазоне от идеального (полного отсутствия помех) до неудовлетворительного (все дан-

ные — одни сплошные помехи). Данные, сообщаемые виртуальными сенсорами, используются для формирования обратных связей при управлении потоком. Изображение на рис. 6 иллюстрирует идею виртуальных сенсоров на абстрактном уровне. В идеальных условиях (рис. 6а) управление получает информацию о состоянии системы напрямую из уравнения состояния (1). Вводя виртуальные датчики, мы подменяем в модели обратную связь по состоянию обратной связью по измерению.

Динамическая

модель

Управление

Динамическая модель

г \ Л виртуальные датчики

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Управление

(а) (б)

Рис. 6. Система с обратной связью: (а) обратная связь по состоянию; (б) обратная связь по измерению

Существующие устройства измерения автомобильных потоков можно условно подразделить на точечные датчики, такие, как индуктивные или магнитные детекторы, мобильные датчики, как, например, транспортные средства оборудованные приборами GPS, и пространственные устройства сбора данных, среди которых можно назвать камеры наблюдения, спутниковую и аэрофотосъёмку.

1. Точечные датчики имеют фиксированное местоположение на дороге и работают как счётчики проезжающих поверх них автомобилей, измеряя в определённых конфигурациях и скорость этих автомобилей.

2. Мобильные датчики передвигаются вместе с транспортным потоком в пространстве и времени и периодически сообщают свои координаты и скорость, снабжённые временной отметкой.

3. Пространственные устройства сбора данных фотографирует ситуацию на данном участке дороги в данный момент времени, и затем из полученного снимка можно извлечь информацию о плотности автомобилей.

Мы здесь моделируем точечные и мобильные датчики. Каждый точечный датчик приписан к своему соединению и его местоположение внутри соединения строго определено. Соединения могут иметь по несколько точечных датчиков, приписанных к ним. Конкретные модели воплощают поведение индуктивных или магнитных детекторов. Измерения индуктивных детекторов содержат данные счётчиков автомобилей и, возможно, скорости. Измерения магнитных детекторов, таких, как, например, беспроводные сенсоры Sensys [21] могут быть использованы для вычисления

плотности автомобилей в соединении, как описано в [22]. Каждый же мобильный датчик приписан к конкретному маршруту между двумя пунктами в сети. В определённые моменты времени он сообщает соединение, в котором он находится, своё местоположение в этом соединении и скорость. Мобильные датчики — это «автомобили-фантомы» в том смысле, что они не оказывают влияния на состояние системы, диктуемое моделью. Применение мобильных датчиков возможно для вычисления фактического времени в пути для конкретных маршрутов.

Ещё одно применение виртуальных датчиков — это интерфейс к реальным измерительным устройствам, данные с которых поступают в центр управления транспортом в сыром, необработанном виде. В то же время симулятор с динамической моделью (1)-(7) исполняет функцию фильтрации этих данных прежде, чем использовать их для обратной связи с адаптивными управляющими элементами. Гарантированное прогнозирование и основанный на нём динамический фильтр описываются в следующем параграфе.

V. Прогноз и оценивание состояния транспортной системы

Для прогнозирования и оценивания состояния транспортной сети требуется знать начальные условия, входные данные (требуемые потоки на въездах) и параметры системы. Начальные условия формируются на основе поступающих измерений. Будущие значения требуемых потоков заранее неизвестны, но могут быть более или менее достоверно предугаданы, базируясь на статистическом анализе данных прошлых измерений, как предлагается в [23-25]. Параметры системы, то есть фундаментальные диаграммы и распределительные матрицы также определяются на основе данных прошлых измерений.26 Задача измерения максимальной пропускной способности и калибровки фундаментальных диаграмм исследована в [15]. Как уже было упомянуто в подпараграфе 11.2, данные измерений в левой части фундаментальной диаграммы (в зоне свободного движения) хорошо аппроксимируются прямой линией, в то время как данные в правой части фундаментальной диаграммы (в зоне затора) имеют значительный разброс. Этот разброс в комбинации с неточностью в определении максимальной пропускной способности создаёт неопределённость в фундаментальной диаграмме.

Таким образом, мы предполагаем, что значения требуемых потоков на въездах в сеть, г;(Ь), известны не точно, а лежат в известных интервалах, г- (Ь) ^ г;(Ь) ^ г+ (Ь) (г- (Ь) и г+ (Ь) известны); значения максимальной пропускной способности ^ и максимальной плотности ~р], I £ С, также ле-

26Параметры Дж^ известны точно, а размер временного шага удовлетворялось условие КФЛ.

жат в известных интервалах, Я- ^ Я; ^ (Я-

и известны) и ^ р] ^ (р?- и р>1~ извест

ны), и соотвественно

р1 - Р1 /ш / VI

а свободные скорости V; известны точно. Изображение на рис. 7 иллюстрирует неопределённость в фундаментальной диаграмме. Ещё одно предположение заключается в том, что распределительные матрицы в узлах, Би (Ь), V € N, известны точно.

грамме соединения I ЕС

Для каждого соединения I € С имеются неточные измерения исходящего потока:

Ц)(+\ — ,.,(?)/

и скорости:

У(У 1 (Ь) = V; (Ь) + и,'г' (Ь)

(У),

(21)

(22)

( / )

В последних двух выражениях ) (Ь) €

€ [—ш°,(^\ь),ш°,(^\Ь)] обозначает помеху при из-

(У)г о,(У)/,\ о,(У) л\1 мерении потока, ш; (Ь) € [—ш; (Ь),ш; (Ь)] -

помеху при изменении скорости, а ограничения

ш°’(^) (Ь) и ш°’(У\ь) известны. Таким образом, для

каждого соединения имеем оценку плотности по

измерениям:

где

,г(()=4Уи

(23)

(У )ил . о,(У),,,

У( )(Ь)+ш1 )(Ь)

рП*]=т) > а (24) Теперь мы можем сформулировать задачи, требующие решения.

1. Гарантированное прогнозирования состояния транспортной сети. Найти кривые р-() (лучший случай) и р+(-) (худший случай) такие, что любая возможная траектория системы (1)-(7) с описанной выше

ДЬ выбирается, исходя из значений Дж^ и VI, I ЕС так, чтобы

множественной неопределённостью в требуемых потоках и фундаментальных диаграммах, р(-), ограничена:

Р-(t) ^ Pi(t) ^ Р+(t),t > to, (25)

для всех l G L.

2. Гарантированное оценивание состояния транспортной сети. В определённые моменты времени t0 < T1 < T2 < ... < Tq < ... для каждого соединения l G L использовать оценку по измерениям [р- (т),Pi (т)] (если таковые имеются) для корректировки прогнозируемого интервала [р- (т),р+ (т)],

т = Ti , т2, ..., Tq,....

V.1. Гарантированное прогнозирование состояния системы

Основывясь на законе сохранения (1), определим уравнения для нижних и верхних ограничений на плотность:

Pf{t + Ai) = Pf{t) + ~ fdtСО)

для каждого l ЄС.

(26)

vl Pl

обычных со-

Здесь и далее символ «±» означает либо « —» для вычисления нижней (лучший случай), либо «+» для вычисления верхней (худший случай) границы плотности. Как и раньше, Аі удовлетворяет условию КФЛ Аі

Аі ^ ііііпг{^}. Для въездов /“*(£) = г±(і). Для выездов /V (І) = VI(і) тіп { }

ҐІ(¿) = Для

единений f и± (і) определяется своим начальным, а f (і) — своим конечным узлами.

В общем случае для узла V єМ с т входными, п выходными соединениями и распределительной матрицей: Б1/(і) = [віз (і)}^1, ^, значения f (1± , і = 1,...,т, и fи±, 3 = 1,...,п, вычисляются согласно следующему алгоритму.

Алгоритм вычисления входных и выходных потоков в лучшем и худшем случаях

1. Для каждого выходного соединения

3 = 1, ..., п вычислим нижние границы фактической приёмной способности:

£р(() =

— ппп{.Рг, тах{0,ш^(р^ - ¡Г і I)} \ | (27)

и её верхние границы:

^ (£) = тіп{^+,«;+ (р+ - р± (£))}. (28)

Из формул (27) и (28) следует, что

На рис. 8 показано, что значат выражения ¿>^(£) и 5^(£). Так как возможно р^(£) > то необходимо следить, чтобы всегда выполнялось условие (£) ^ 0.

Рис. 8. Границы фактически допускаемого приёма

для f u-(i) и f и+(і)

2. Установим итерацию р = 0.

3. Для каждого входного соединения

% = 1, ..., т вычислим нижние границы тре-

буемого потока:

£[0] (1) = ^ (*) 1Ш1111, ^ ,С{ }

I (¿) 1ЧР1 {I) )

(29)

и верхние границы требуемого потока:

vi p± (tY vipf(t) i'

(30)

где

C~(t,p~ ,p+) =

= min{Ci(t,p))\pl (t) ^ pi ^ p+ (t),y l Є £}

С+ (Ь,р- ,р+) =

= тах{С^Ь,р))\р- (Ь) ^ р; ^ р+(Ь),У I € С}. Из формул (29), (30) следует, что

^ ^ £[0]^)и (£) ^ (£). На рис. 9 показано, что

значат выражения сц (г.) и щ (г).

Рис. 9. Границы требуемого потока для fdi (і) и

sf{t) ^ sf(t), st(f) s . (t) и S+(t) ^ Sj (t).

f dt(i)

и

4. Для каждого выходного соединения 2 = 1, ..., п вычислим нижние границы требуемого потока:

т

4*±и(о = Е^)^) (31)

и его верхние границы:

<1*±[р](і) = ]Г ¡Зф)<і^Р\і). (32)

і=1

Очевидно, что ^±^(#) ¿.¡^^(1),

<й~1°] (*) 1*+1°] (#) и X [0] (#) < X+[°1 (#).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

5. Для р = 1, ..., п и для каждого входного соединения % = 1, ..., т повторяем:

(а) сократим, если необходимо, верхнюю границу требуемого потока для лучшего случая, с£; ^ (#), чтобы она удовлетворяла верхней границе фактической приёмной способности для лучшего случая,

«р (#) =

¿-|р|(і)

^ Іі(і), если вір(і)=0,

Ті;"-" (Ох

X шіп < 1

(0

иначе;

(33)

(Ь) сократим, если необходимо, нижнюю границу требуемого потока для худшего случая, с£; ^ (#), чтобы она удовлетворяла нижней границе фактической приёмной способности для худшего случая,

4(0:

^(#), если /Зір(і) = 0,

ІЇІР](І) =

(і)х

* + [р-1]

(0

иначе:

(34)

(с) пересчитаем верхние границы требуемых выходных потоков для лучшего случая, й ^(#), по формуле (32) и нижние границы требуемых выходных потоков для худшего случая, с|д+^(^), по формуле (31), ц = р + 1, ..., п.

6. Для каждого входного соединения % = 1, ..., т поток, исходящий из этого соединения, в лучшем случае:

Ґ7(*) = ^[п](і),

а в худшем случае:

ҐЇ(і)=£[п\і).

(35)

(36)

7. Для каждого выходного 3 = 1, ..., п повторяем

соединения

(а) для р = 1, ..., п повторяем

1. сократим, если необходимо, нижнюю границу требуемого потока для лучшего случая, с1,- ^(#), чтобы она удовлетворяла нижней границе фактической приёмной способности для худшего случая, в+(^), при р = 2 и нижней границе фактической приёмной способности для лучшего случая, зТ(^), при р = ]:

' 4Г[Р~1](^

если вр (Ь) = 0,

¡¡гК-Чвдх

аыт

X шіп < 1

*-[р-1]

(і)

если вір > 0 и р = 3,

X шіп < 1

іі (0

-[р-1]

(і)

если вір > 0 и р = 3:

(37)

іі. сократим, если необходимо, верхнюю границу требуемого потока для худшего случая, с1^1\і), чтобы она удовлетворяла верхней границе фактической приёмной способности для лучшего случая, в~(#), при р = з и верхней границе фактической приёмной способности для худшего случая, (#), при р = ]'■

¿і (t),

если вір(і) = 0,

-]+ір]ґ,\

¿і (і) =

“7+[р-1] ( , N

¿і (і) X х шіп < 1

(і)

если вір > 0 и р = 3,

• І «+(0 х тіп О,—

¿.

если вip > 0 и р = у;

(38)

И1. пересчитаем нижние границы требуемых выходных потоков для лучшего случая, ^(^), по формуле (31) и верхние границы требуемых выходных потоков для худшего случая, й +^(#), п0 формуле (32) Ц = р +1, ..., п;

(Ь) поток, входящий в выходное соединение 2, в лучшем случае:

f и-і

і=1

рцт Іп\і)

(39)

4(0

й

й

а

а в худшем случае:

-т+Н,

/“/(*) = ШІП \ ЬііІХІ: п (і)

і=1

(40)

При начальной позиции Ь = Ьо, Р-(Ьо) = Р- и р+(Ьо) = р+, таких, что р-(Ьо) ^ р+(Ьо) для всех I € С,27 прогнозирующая система развивается во времени, во-первых, вычисляя /и:± и Iпо шагам 1-7 для всех I € С, и, во-вторых, вычисляя границы плотности согласно (26) для всех I €С.

У\2. Гарантированное оценивание

состояния системы

Динамическая фильтрация измерений, множественное оценивание состояния транспортной сети — это комбинированный процесс, состоящий из вычисления множества достижимости (прогноза состояния) системы (26)-(40) и его корректировки при помощи оценок измерений (23)-(24), поступающих в моменты времени Ьо < т\ < т2 < ...тч < .... Далее применяем методы теории гарантированного оценивания, следуя публикациям [26--28].

Алгоритм гарантированного оценивания

1. В момент времени То = Ьо вычисляем оценку состояния по измерениям Р-(то), Р+(то) по формуле (24) для всех I €С.

2. Присваиваем значения

р- (то) = р- (то ) и р+ (то ) = Р+ (то ) для всех I €С.

3. Для ц = 1, 2, ... повторяем:

(a) вычисляем р- (тя) и р+ (тя) с помощью уравнений (26)-(40) с начальными условиями р-(тч-\), р+(тд-1) для всех I € С;

(b) получаем оценку состояния по измерениям р-(то), р+(то) согласно (24) для всех I € С;

(c) в предположении, что

[р-(тч),р+(тч)] П[Р-т),Р+т)] =

= (42)

корректируем прогноз плотности:

р- (тЧ ) ^ тах{р- (тд ), р- (тд )} И

р+ (тя) ^ тп{р+(тя),р+ (тя)} (43)

для всех I €С.

В любое время і ^ іо оценка плотности для соединения І є С — это интервал [р-(і),р + (і)], а если і = тд, то значения р-(тд), р + (тд) берутся после корректировки (43).

На рис. 10 схематично представлен алгоритм динамической фильтрации: для каждого ц = 1, 2, ... множественная траектория системы (26)-(40) вычисляется от тя-1 до тч, после чего пересекается с измерениями, а результат пересечения берётся за новое начальное условие.

Рис. 10. Схема работы динамического фильтра

Согласно теории пересечение интервалов (42) должно быть непустым, иначе получается, что сделаны неверные предположения о диапазоне помех при измерениях или при неопределённости в динамической системе. Однако в реальной жизни пустые пересечения имеют место. Что делать, если условие (42) не выполнено, зависит от конкретной ситуации. Если мы доверяем модели больше, чем измерениям, то просто отказываемся от корректировки (43). Более того, динамическую модель (26)-(40) можем использовать для выявления неисправных датчиков. С другой стороны, если полагаем, что данные измерений надёжны, то корректировка (43) превращается в

р- (тч) ^ Р- (тч), и р + (тч) ^ Р+(тч). (44)

Возможно, что из каких-то соединений в С измерения не поступают. Для таких соединений корректировка (43) не делается. Задача же наблюдаемости (когда, например, поток измерить можно, а скорость нельзя или наоборот) рассмотрена в [29].

VI. Пример: автострада !-80 в Калифорнии

В качестве примера транспортной сети рассмотрим одну из наиболее загруженных магистралей США — автостраду 1-80 в районе залива Сан-Франциско. Интересующий нас участок западного направления — это 30 км, ведущие от моста Карквинес Бридж на севере восточного берега залива через города Сан Пабло, Ричмонд, Беркли и Окленд к мосту Бэй Бридж — основной магистрали, соединяющей восточный берег залива с

27Начальные границы плотности могут быть получены из измерений по формуле (24).

городом Сан-Франциско (см. карту на рис. 11а, на которой начало и конец участка обозначены, соответственно, буквами А и Б). На данном участке автострады имеется 29 въездов, 24 съезда и 57 датчиков — индуктивных детекторов, функционирующих с переменным успехом. Кроме того, при построении модели этой транспортной сети нами дополнительно предусмотрено возможное регулирование потоков на отдельных въездах. Места возможного регулирования также указаны на рис. 11а.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ацию на дороге, имевшую место 14 января 2009 года, можно убедиться, глядя на сравнительные

графики суммарного потока29 и суммарной плотности для измерений и симуляции, где значения берутся с интервалом в 1 час, приведённые на рис. 11б, и контурные диаграммы скорости, полученные в результате измерений (рис. 11в) и симуляции (рис. 11г). Контурные диаграммы следует читать так: горизонтальная ось обозначает направление движения автомобильного потока (слева направо) при длине маршрута 30 км, вертикальная ось — это ось времени от 0 до 24 часов (снизу вверх), а цвет в данной точке плоскости указывает скорость в данной точке маршрута в данное время соответственно приведённой рядом

30

шкале .

Одним из элементов оперативного планирования является тестирование потенциальных стратегий управления на предмет того, насколько выгодно их внедрение. В данном примере мы прогнали по 50 стохастических симуляций для каждой из трёх конфигураций: (1) с регулированием въездных потоков по методу ALINEA [18] в местах, указанных на рис. 11а; (2) с комбинированным регулированием ALINEA и преодоления очереди в этих же местах; (3) без всякого управления, то есть, как это происходит в реальной жизни на данный момент. Стохастика симуляций состоит в том, что для каждой из них максимальные пропускные способности соединений выбирается случайным образом из диапазона ±5% от значений, полученных в результате калибровки, а разброс значений требуемых потоков на въездах составляет ±25% от данных на 14 января 2009 года. На рис. 12 приведены результаты этих стохастических симуляций, показанные в виде зависимости задержки от суммарного потока за сутки для транспортной сети. Значения суммарного потока характеризуют спрос. Очевидно, что при низком спросе (малых значениях суммарного потока) задержка отсутствует, и нет различия между конфигурациями с управлением и без. Зато при высоком спросе (больших значениях суммарного потока) наблюдается большой разброс в значениях задержки: в конфигурации без управления разброс значений задержки для одного и того же суммарного потока составляет около 8000 автомо-биле-часов в сутки, что, из консервативного расчёта: 1 автомобиль = 1 человек и стоимости 1 часа водителя равной 50 долларам, составляет 200 тысяч долларов в сутки. При регулировании въездных потоков разброс значений задержки незначителен, а сами значения существенно ниже, чем в конфигурации без управления.

28На самом деле, мы не ограничиваемся одним днём, но стараемся собрать, по меньшей мере, по одной конфигурации на каждый день недели, так как наблюдения показывают, что хотя автомобильные потоки на одной и той же дороге отличаются друг от друга день ото дня, их поведение качественно повторяется в одни и те же дни недели. В нашем же случае 14 января 2009 года является прототипом среднестатистической среды на западном направлении автострады I-80.

29 Значения суммарного потока указаны в автомобиле-милях.

30Скорость на контурных диаграммах указана в милях в час: учитывая, что 1 миля примерно равна 1,6 км, 70 миль/ч соответствует, примерно, 112 км/ч.

Рис. 11. Модель западного направления автострады I-80 с данными автомобильных въездных потоков на 14 января 2009 года, где (а) карта автострады — поток движется от пункта А к пункту Б; (б) суммарный поток и суммарная плотность — сравнение измерений (PeMS) с результатом симуляции (Aurora RNM) (значения даны из расчёта за 1 час, а суммарный поток указан в автомобиле-милях); контурные диаграммы скорости (скорость указана в милях в час) (в) по измерениям, (г) по результатам симуляции

Построение сети, состоящей из соединений и узлов, и калибровка фундаментальных диаграмм соединений есть первый этап в исследовании интересующей нас дороги. Далее, чтобы проверить правильность полученной модели, нами выбраны дни, когда по данным системы PeMS [13] количество неисправных датчиков было минимальным, а качество измерений соответственно наилучшим. Примером такого дня может служить среда, 14 января 2009 года.28 В том, что предлагаемая нами модель хорошо воспроизводит реальную ситу-

X 104

з,----------

Рис. 12. Зависимость задержки за сутки, исчисляемой в автомобиле-часах, от суммарного потока за сутки, указанного в автомобиле-милях, для транспортной сети по результатам 50 стохастических симуляций с каждой из трёх конфигураций, (1) с регуляторами типа ALINEA на въездах, (2) с регуляторами ALINEA в комбинации с преодолением очереди и (3) без управления

Рассмотрим пример краткосрочного прогнозирования. Исходя из данных контурной диаграммы скорости на рис. 11г, затор на дороге начинается после 6 часов утра. Представим себя на месте диспетчера, контролирующего автостраду I-80 в 6:00, в среду. Оценив неопределённость в максимальных пропускных способностях в ±1,5% и неопре-делённость в предполагаемых требуемых потоках на въездах — в ±2% на ближайшие два часа (с 6 до 8 утра), далее можем вычислить границы плотности для всех соединений сети, а следовательно и оценки эффективности для лучшего и худшего случаев: суммарного потока, суммарной плотности, задержки и потери продуктивности. Графики этих оценок изображены на рис. 13а: период с 5:00 до 6:00 уже в прошлом, и для него имеются измерения, определяющие наши начальные условия в 6:00, а период с 6:00 до 8:00 — это ближайшее будущее, для которого рассчитывается прогноз. Заметим, что для суммарной плотности, задержки и потери продуктивности кривые лучшего и худшего случаев определяют границы, между которыми гарантированно будут лежать соответствующие параметры реальной системы (если не произойдёт ничего неожиданного, например, аварии). Для суммарного потока кривые лучшего и худшего случаев не являются границами, они могут пересекаться, так как более высокое значение потока не всегда соответствует более высокому (или более низкому) значению плотности и наоборот. На рис. 13б изображены графики тех же оценок, но при включенных регуляторах ALINEA в комбинации с преодолением очереди на въездах, указанных на рис. 11а. Здесь наблюдается сужение прогнозируемых интервалов для суммарной плотности, задержки и потери продуктивности, то есть система стала более предсказуемой. Следует обратить внимание на то, что хотя значения этих

31 Мы выбрали время ДТП так, чтобы вред, нанесённый был максимальным. Это случится, если ДТП произойдёт п то есть когда интенсивность движения резко возрастает.

трёх параметров сократились по сравнению с конфигурацией без управления, сама потеря продуктивности сократилась значительно сильнее, чем задержка. Это произошло потому, что задержка частично переместилась из заторов на автостраде в очереди на въездах.

время время

(а) (б)

Рис. 13. Прогноз оценок эффективности западного направления автострады I-80, суммарного потока (СП), суммарной плотности (СПЛ), задержки (З), потери продуктивности (ПП) в конфигурациях (а) без управления; (б) с регулированием въездных потоков при помощи комбинации алгоритмов ALINEA и преодоления очереди. Значения оценок эффективности даны из расчёта за 1 минуту. Суммарный поток указан в автомобиле-милях

Далее введём в действие сценарий — ДТП. Место гипотетической аварии обозначено на рис. 11а как место повышенного риска ДТП. Система PeMS предоставляет статистику зарегистрированных ДТП на автострадах Калифорнии. На контурной диаграмме ДТП (см. рис. 14а) обозначено место и время, когда и где подобные происшествия происходят наиболее часто — это место мы и называем местами повышенного риска, а фотография его приведена на рис. 14б. Хотя наиболее вероятное время ДТП согласно контурной диаграмме на рис. 14а между 7 и 8 часами утра, предположим, что ДТП произойдёт несколько раньше, в 6:35, и половина полос (две из четырёх) будут блокированы в течение 15 минут, после чего движение будет полностью восстановлено.31 Результат прогноза для сценария ДТП приведён на рис. 14в — задержка, достигающая в худшем случае 65, а в лучшем 47 автомобиле-часов в минуту, и 14г — контурные диаграммы скорости для лучшего и худшего случаев. Данные на этих рисунках получены в предположении, что управление отсутствует. В качестве возможных мер по преодолению последствий ДТП предлагаются следующие три оперативные стратегии.

Стратегия 1 заключается в том, чтобы ещё не дожидаясь аварии, включить регуляторы ALINEA с преодолением очереди на въездах, указанных на рис. 11а и 15а, и более ничего не де-

дорожному движению и продуктивности транспортной сети,

д самым началом формирования затора в обычных условиях,

лать. То есть следует осуществлять обычное регулирование въездных потоков, в принципе никак не связанное с ДТП. Тем не менее это даёт хороший результат. Данные прогноза для сценария ДТП при вводе в действие стратегии 1 приведёны на рис. 16а. Здесь видно, что задержка в худшем случае сократится до 47, а в лучшем до 37 автомобиль-часов в минуту, и на контурных диаграммах скорости видно, что существенно уменьшились зоны затора.

время направление движения

(В) (г)

Рис. 14. Сценарий возможного ДТП на западном направлении автострады I-80 в 6:35 утра длительностью 15 минут, где (а) контурная диаграмма частоты ДТП между 6 и 8 часами утра (источник PeMS); (б) фотография места гипотетического ДТП (источник Google Maps); (в) прогноз задержки, вычисленный симулятором Aurora RNM (задержка указана в автомобиле-часах за 1 минуту); (г) контурные диаграммы скорости для двух крайних случаев, лучшего и худшего, вычисленные симулятором Aurora RNM (скорость указана в милях в час)

Стратегия 2 состоит в том, что к указанному выше регулированию при помощи ALINEA, с преодолением очереди, добавляется ограничение, требующее снижения скорости до уровня от 60 до 80 км/ч. Оно устанавливается на участке автострады непосредственно перед ДТП, обозначенном на рис. 15б. Результат прогноза, как видно из рис. 16б, оказывается лучше, чем в конфигурации без управления. Он однако хуже, чем у стратегии

1, а именно, задержка в худшем случае достигает 55, а в лучшем — 44 автомобиле-часов в минуту, причём соответствующие зоны затора на контурных диаграммах скорости оказываются больше, чем на рис. 16а.

Рис. 15. Стратегии преодоления последствий ДТП на западном направлении автострады 1-80, где (а) карта для стратегий 1 (регулирование въездных потоков) и 2 (регулирование въездных потоков в сочетании с ограничением скорости); (б) карта для стратегии 3 (регулирование въездных потоков в сочетании с принуждением к объезду)

Рис. 16. Сравнение эффективности стратегий преодоления последствий ДТП на западном направлении автострады 1-80, где (а) диапазон прогнозируемой задержки и скорости в случае ввода в действие стратегии 1; (б) диапазон прогнозируемой задержки и скорости в случае ввода в действие стратегии 2. На обоих графиках задержка указана в автомобиле-часах за 1 минуту, а скорость — в милях в час

время время

(6)

Рис. 17. Результат использования стратегии 3 для преодоления последствий ДТП на западном направлении автострады I-80, где (а) диапазон прогнозируемой задержки и скорости в случае ввода в действие стратегии 3 (задержка указана в автомобиле-часах за 1 минуту, а скорость — в милях в час); (б) сравнение прогнозируемых диапазонов предполагаемого времени в пути для объездных маршрутов через Карлсон и Сэнтрал (предполагаемое время в пути указано в минутах)

Стратегия 3 интересна тем, что она специально разработана на случай ДТП на западном направлении автострады I-80, в окрестности указанного места. Теперь в дополнение к регулированию ALINEA с преодолением очереди предлагается две возможности объезда зоны ДТП с последующим возвращением на I-80. Схема объездов представлена на рис. 15б. Дело в том, что место ДТП находится перед самым слиянием двух автострад — западного направления I-80 и восточного направления I-580. До места соединения этих двух автострад интенсивность движения на I-580 существенно ниже, чем на I-80. Поэтому её пропускную способность возможно использовать для перераспределения нагрузки. Система Aurora RNM позволяет очень быстро модифицировать сеть, добавив объездные пути и создав переключения в распределительных матрицах так, чтобы, к примеру, 25% автомобилей перенаправлялось с I-80 на I-580 через съезды соответственно на бульвар Карлсон и на Сэнтрал авенью. Оба объезда включают в себя городские улицы с регулируемыми перекрёстками, содержащими светофоры. Требуемый поток для въезда с I-580 на I-80 из первоначальной сети перенаправляется в объезд, на новый въезд к I-580 в таких размерах, чтобы не создавать затор на I-580. Как видно из рис. 17а, стратегия 3 существенно улучшает работу транспортной сети: задержка полной сети, включающей объезды, сократилась в худшем случае до 36, а в лучшем до 27 автомобиле-часов в минуту, а на контурных диаграммах скорости для маршрута без объезда зна-

чительно уменьшились зоны заторов. На рис. 17б приведены диапазоны предполагаемого времени в пути для маршрутов, включающих объезды через Карлсон и Сэнтрал: с точки зрения предполагаемых временных затрат объезд через Карлсон дешевле. Стратегия 3 является важным примером профилактики и контроля ДТП, о которых говорилось в параграфе III.

VII. Заключение

Данные измерений транспортных потоков как собранные за относительно длительный период (несколько месяцев или лет), так и поступающие в реальном времени, питающие быстрый и надёжный симулятор, позволяют создать базу для работы с аналитической моделью АУТС. Высокая скорость симуляций транспортных сетей должна позволить диспетчеру проанализировать десятки возможных оперативных стратегий в течение нескольких минут. Микромоделирование таким требованиям не отвечает. В данной статье предлагается использовать макромоделирование, которое кроме быстроты вычислений ещё и надёжно, — во-первых, потому что адекватно отображает поведение транспортной сети, и во-вторых, потому что параметры макромодели напрямую идентифицируются по данным измерений. При наличии необходимых измерений калибровка предлагаемой макромодели не требует особого искусства. Возможное отсутствие измерений на въездах и съездах конкретной автострады частично компенсируется синтезом отсутствующих данных.

Поведение и продуктивность транспортной сети при различных сценариях и управляющих стратегиях оценивается при помощи таких параметров, как скорость потока, фактическое время в пути для соединений или конкретных маршрутов, а также таких, как суммарный поток, суммарная плотность, задержка и потеря продуктивности, которые могут быть вычислены как для отдельных соединений, так для конкретных маршрутов и для всей сети в целом. Для городских перекрёстков со светофорами существуют дополнительные оценки эффективности: задержка за цикл, размер очереди, мера использования фазы, нехватка цикла, отношение потока к максимальной пропускной способности и качество проезда.

Прямое управление транспортным потоком в нашей модели осуществляется в узлах сети. Локальное управление отвечает за поток, исходящий из одного конкретного входного соединения. Узловое управление отвечает за все входные потоки для данного узла. Комплексное управление координирует несколько локальных, узловых или комплексных управляющих элементов. Такова иерархия управления. Для симуляции алгоритмов управления с обратной связью и проверки их эффективности в близких к реальным услови-

ях мы подменяем обратную связь по состоянию обратной связью по измерению, используя виртуальные датчики. Виртуальные датчики моделируют работу реальных измерительных устройств, у которых качество измерений находится в диапазоне от идеального (полное отсутствие помех) до неудовлетворительного (одни сплошные помехи). Важно, что виртуальные датчики могут служить интерфейсом к реальным измерительным устройствам.

Симулятор имеет три рабочих режима. Первый — это режим оперативного планирования; он используется для проигрывания сценариев, разработки и тестирования оперативных стратегий. Второй — это режим динамического фильтра, используемый в реальном времени для улучшения качества данных в алгоритмах управления с обратной связью. Третий режим — это прогнозирование ближайшего будущего состояния системы, в котором рассчитываются ограничения на это состояние на ближайшие один-два часа. Они основываются на текущих измерениях, а также на предполагаемых значениях требуемых потоков и распределительных матриц при различных возможных оперативных стратегиях, дабы помочь диспетчеру выбрать наиболее подходящую для данной ситуации. Предлагаемый пример с автострадой I-80 в Северной Калифорнии иллюстрирует отдельные элементы АУТС в контексте данной статьи.

Динамическая модель, инструменты для построения транспортной сети, отдельные алгоритмы управления, локальные, узловые и комплексные, а также алгоритмы гарантированного прогнозирования и оценивания воплощены в бесплатном программном пакете Aurora RNM [2].

В заключение наметим возможные направления будущих исследований.

Для улучшения процесса калибровки модели необходимо разработать механизм оценки качества используемых измерений, так как параметры модели могут быть правильно идентифицированы лишь на основе данных с исправных датчиков. Даже такая качественная информационная система, как PeMS [13], которая сообщает данные об исправности датчиков, часто ошибочно выдаёт неисправные датчики за исправные.

Для оперативного планирования необходимо подразделять моделируемый в макроскопической среде транспортный поток на классы, как, например, общественный транспорт (автобусы, троллейбусы), тяжёлые грузовики, обычные автомобили и т.п., отдельные из которых могут использовать полосы специального назначения. Другие задачи состоят в быстром приблизительном расчёте эмиссий и потребления бензина, а также возможном влиянии оплаты проезда на транспортную ситуацию.

В области управления транспортным потоком стоит подробнее изучить такие существующие на

сегодняшний день противоречивые технологии, как динамическое ограничение скорости с точки зрения улучшения продуктивности транспортной сети. Также интересной задачей является координация регуляторов потоков при въездах на автострады с сигналами светофоров на ближайших крупных городских перекрёстках. Цель — выработка оперативных стратегий управления автострадой и окружающими городскими улицами как единой системой.

Важным элементом полностью функционального динамического фильтра является автоматический детектор сбоев для датчиков, работающий в реальном времени. В случае, если условие (42) не выполнено, должно быть принято решение, чему доверять — модели или измерениям. При этом датчики должны оцениваться не сами по себе, а во взаимодействии со своими соседями, с использованием данных об их исправности в прошлом, а также такой дополнительной информации, как, например, вызовы дорожно-патрульных служб и т.п.

Литература

1. TOPL Project http://path.berkeley.edu/topl

2. Aurora RNM Homepage

http://code.google.com/p/aurorarnm

3. Daganzo C.F. The cell transmission model: A dynamic representation of highway traffic consistent with the hydrodynamic theory / / Transportation Research — 1994. — V. 28, N. 4. — P. 269-287.

4. Daganzo C.F. The cell transmission model II: Network traffic // Transportation Research — 1995. — V. 29, N. 2. — P. 79-93.

5. Greenshields B. A study of highway capacity // Proceedings of the 14th annual meeting of the Highway Research Board. — 1934.

6. Munoz L, Sun X., Horowitz R, Alvarez L. Traffic density estimation with the cell transmission model // Proceedings of the 2003 American Control Conference. — 2003. — P. 3750-3755.

7. Kerner B.S. Experimental features of selforganization in traffic flow // Physical Review Letters. — 1998. — V. 81, N. 17.

8. Orosz G., Wilson R.E., Szalai R, Stepan G. Exciting traffic jams: Nonlinear phenomena behind traffic jam formation on highways // Physical Review, E. — 2009. — V. 80, N. 4.

9. Courant R., Friedrichs K., Lewy H. Uber die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik // Mathematische Annalen. — 1928. — V. 100, N. 1. — P. 32-74.

10. Navteq Corporatio http://www.navteq.com

11. Tele Atlas http://www.teleatlas.com

12. OpenStreetMap Project

http://www.openstreetmap.org

13. PeMS Homepage

http://pems.eecs.berkeley.edu

14. PORTAL Homepage

http://portal.its.pdx.edu

15. Dervisoglu G., Gomes G., Kwon J.,

Muralidharan A., Varaiya P. Automatic Calibration of the Fundamental Diagram and Empirical Observations on Capacity //88 Annual Meeting of the Transportation Research Board, Washington, D.C., USA. — 2008.

16. Chen C., Kwon J., Skabardonis A.,

Varaiya P. Detecting errors and imputing missing data for single loop surveillance systems // Transportation Research Record. — 2003. —

N. 1855. — P. 160-167.

17. Muralidharan A., Horowitz R. Imputation of ramp data flow for freeway traffic simulation // Transportation Research Record. — 2009. — N. 2099. — P. 58-64.

18. Papageorgiou M, Hadj-Salem H.,

Blosseville H.M. ALINEA: A local feedback

control law for onramp metering // Transportation Research Record. — 1991. — N. 1320.

19. Papamichail I., Papageorgiou M., Vong V.,

Gaffney J. HERO Coordinated Ramp Metering

Implemented at Monash Freeway, Australia // 89th Annual Meeting of the Transportation Research Board, Washington, D.C., USA. — 2010.

20. Diakaki C., Papageorgiou M., McLean T.

Integrated Traffic-Responsive Urban Corridor Control Strategy in Glasgow, Scotland / /

Transportation Research Record. — 2000. —

N. 1727. — P. 101-111.

21. Sensys Networks

http://www.sensysnetworks.com

22. Papageorgiou M., Varaiya P. Link vehicle-count — the missing measurement for traffic control // Proceedings of the 12th IFAC Symposium on Control in Transportation Systems. — 2009.

23. Lin W.H. Spillovers, merging traffic and the morning commute // Proceedings of the 4th IEEE Intelligent Transportation Systems Conference, Oakland, CA. — 2001.

24. Okutani I., Stephanedes Y.J. Dynamic prediction of traffic volume through Kalman filtering theory // Transportation Research, B. — 1984. — V. 18. — P. 1-11.

25. Smith B.L., Williams B.M., Oswald R.K. Comparison of parametric and nonparametric models for traffic flow forcasting // Transportation Research, C. — 2002. — V. 10. — P. 303-321.

26. Кощеев А.С., Куржанский А.Б. Адаптивное оценивание эволюции многошаговых систем в условиях неопределённости // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. — 1983. — Т. 2. — С. 72--93.

27. Kurzhanski A.B. Identification — a theory of guaranteed estimates // From Data to Model, (ed.) J.C. Willems, Springer Verlag. — 1989. — P. 135-214.

28. Milanese M., Norton J., Piet-Lahanier H., Walter E. Bounding Approaches to System Identification // Springer Verlag. — 1996.

29. Kurzhanskiy A.A. Set-valued estimation of freeway traffic density // Proceedings of the 12th IFAC Symposium on Control in Transportation Systems. — 2009.

Поступила в редакцию 15.10.2010.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.