CC BY
59
Роль и место измерительных шкал в математической статистике
Савина А. Г.1, Блок А. В.2
1Савина Анна Геннадьевна /Savina Anna Gennadyevna - кандидат педагогических наук, доцент; 2Блок Арнольд Вольдемарович / Block Arnold Woldemarovith -кандидат технических наук, доцент, кафедра математики, информатики и ИТ, Орловский государственный институт экономики и торговли, г. Орел
Аннотация: в статье рассмотрены проблемы измерения величин изучаемых признаков в статистических исследованиях, роль и место измерительных шкал при систематизации и обработке исходных данных, интерпретации получаемых при этом результатов. Сформулированы предложения по методике изложения данной проблемы в учебном процессе.
Abstract: the article deals with the problem of measuring the values of the studied traits in statistical studies, the role and place of measurement scales when ordering and processing of raw data, the interpretation of the results obtained here. Proposals by the method ofpresentation of the problem in the educational process.
Ключевые слова: методика математического образования, измерительные шкалы в статистике. Keywords: methods of mathematics education, measuring scale in statistics.
Согласно БСЭ [изд. 3-е, том 15, с. 480], предметом математической статистики как научной дисциплины являются методы систематизации, обработки и анализа данных, полученных в ходе статистических обследований реальных объектов и процессов. «Математическая статистика - раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов» [1]. При этом методы обработки данных и интерпретации получаемых результатов в значительной степени зависят от того, в какой измерительной шкале оценивалось значение изучаемого признака.
Обычно рассматривают четыре измерительные шкалы признаков, описывающих интересующее исследователя свойство изучаемых объектов: номинальную, порядковую, шкалу интервалов и шкалу отношений (Рис. 1).
Самая слабая
Сила измерительной шкалы
Самая сильная
Рис. 1. Классификация измерительных шкал
Для обработки данных, полученных в каждой из этих шкал, допустимо использовать не все математические операции, а лишь определенный их набор. Исключение составляет самая «сильная» измерительная шкала - шкала отношений, которая допускает использование при обработке данных всех арифметических и алгебраических операций. Абсолютное большинство числовых примеров, приведенных в учебниках и руководствах по математической статистике, основаны на использовании данных, измеренных в шкале отношений.
Что касается алгоритмов обработки данных, полученных в остальных измерительных шкалах, то они рассматриваются в учебной литературе весьма фрагментарно [3, 4] и без детального объяснения причин применения этих алгоритмов.
Следует заметить, что в типовых программах и базовых учебниках по математической статистике для экономических специальностей и направлений подготовки [2-3] проблема измерительных шкал не нашла должного отражения. Отсутствие же у обучаемых систематизированных представлений о типах измерительных шкал, о критериях отнесения тех или иных изучаемых признаков к конкретной измерительной шкале и о математических операциях, которые допустимо использовать при обработке результатов,
полученных в конкретной измерительной шкале, нередко приводит в дальнейшем к серьезным ошибкам при обработке данных и интерпретации получаемых результатов в ходе решения профессиональных задач. У обучаемых создается ложное впечатление, что излагаемые в стандартном курсе математической статистики алгоритмы обработки и статистические показатели (среднее арифметическое, дисперсия, коэффициент корреляции Пирсона и т. п.) являются универсальными и могут быть использованы для описания поведения любых признаков, независимо от их природы. Такие показатели как коэффициент конкордации (согласования мнений экспертов), ранговые коэффициенты корреляции Спирмена и Кендалла, другие порядковые статистики, нередко используемые при анализе результатов статистических обследований социально-экономических явлений, выпадают из общей картины и представляются своего рода «экзотикой». В практике выполнения курсовых и итоговых аттестационных работ нередко приходится сталкиваться с ситуациями, когда авторы этих работ, изучив на младших курсах основы математической статистики, используют при обработке данных, полученных для признаков, относящихся к разностной и даже порядковой шкалам, недопустимые для этого математические операции (например, операцию деления одной величины этих признаков на другую). На наш взгляд, в общепринятом курсе математической статистики слишком большое внимание уделяется конкретным алгоритмам - порой достаточно громоздким, ориентированным на данные, полученные в шкале отношений. В то же время методологическим вопросам статистических исследований (а проблема адекватного выбора измерительной шкалы, безусловно, относится к данному кругу вопросов) уделяется недостаточно внимания. В результате будущий специалист не формирует у себя должного научного кругозора по данной проблематике и рассматривает изучаемые подходы и алгоритмы статистического анализа данных как своего рода «сборник рецептур», пригодный на все случаи жизни.
Многолетняя практика преподавания цикла математических дисциплин и последующее методическое консультирование бакалавров, магистров и аспирантов по вопросам статистической обработки данных и адекватной интерпретации получаемых результатов укрепили уверенность в целесообразности выделения специальной темы, посвященной метрологическим вопросам в статистических исследованиях. На наш взгляд, содержание этой темы должно включать следующие вопросы:
1. Общее, логически четко сформулированное определение процедуры измерения как установления взаимно однозначного (биективного) соответствия между элементами двух множеств (Рис. 2).
Рис. 2. Смысл процедуры измерения, с точки зрения теории множеств, множества объектов реального мира, подлежащих исследованию, и множества чисел или символов, приписываемых каждому реальному объекту и отражающих степень (интенсивность) проявления у них изучаемого свойства
2. Правила соотнесения признаков реальных объектов к соответствующим измерительным шкалам: номинальной, порядковой, шкале разностей и шкале отношений.
3. Четкую формулировку перечня математических операций, допустимых при обработке данных, полученных в каждой измерительной шкале. Особое внимание обучаемых следует обратить на так называемый «эффект поглощения», когда математические операции, разрешенные в более «сильной» шкале, включают все операции, допустимые для данных, полученных в более «слабых» шкалах.
4. Сравнительный анализ измерительных шкал, в ходе которого следует обратить внимание обучаемых на следующие моменты:
> чем «сильнее» шкала, тем больше полезной информации об изучаемом признаке содержат данные, полученные в ходе статистического обследования (поэтому количественные шкалы предпочтительнее качественных шкал);
> качественные шкалы преимущественно используют в психологических и социологических исследованиях, где количественная оценка (измерение) изучаемых признаков затруднена или невозможна;
> по мере развития науки нередко существует возможность постепенно переходить от «слабых» шкал к более «сильным». Например, температуру тел сначала измеряли в порядковой шкале (холоднее - теплее), затем - в интервальных шкалах (Цельсия, Фаренгейта), а после открытия абсолютного нуля температур (273 °К) - в абсолютной шкале Кельвина.
Важным элементом понимания обучаемыми метрологических проблем статистических исследований является осознание ими представленных ниже основных (ключевых) свойств измерительных шкал.
Тип шкалы Характеристика (ключевое свойство) шкалы
Номинальная шкала Позволяет группировать объекты по факту наличия (отсутствия) изучаемого признака. Нулевой точки шкалы нет.
Порядковая шкала Позволяет ранжировать объекты по интенсивности проявления изучаемого признака. Нулевой точки шкалы нет.
Шкала интервалов Позволяет количественно оценивать различия в интенсивности проявления изучаемого признака у сравниваемых объектов (равным разностям показателей Х2 — х соответствуют одинаковые различия в уровнях изучаемого свойства). Нулевая точка шкалы выбирается произвольно и равна некоторому уровню изучаемого признака.
Шкала отношений Х2 Позволяет оценивать как разности Х2 — X^, так и отношения в Х| интенсивности проявления изучаемого признака у сравниваемых объектов. Нулевая точка шкалы является абсолютной, т.е. соответствует полному отсутствию у объекта данного признака.
5. В зависимости от объема изучаемой дисциплины, необходимо фиксировать внимание обучаемых на алгоритмах и статистических показателях, которые могут быть использованы только для данных, полученных в определенных (более слабых) измерительных шкалах. Это позволяет, например, методически обосновать целесообразность существования целого спектра показателей, описывающих силу взаимосвязи между изучаемыми признаками, измеряемыми в различных шкалах: от коэффициента ассоциации (для номинальных признаков) и коэффициента Спирмена до коэффициента корреляции Пирсона (для признаков, измеряемых в шкале отношений).
6. Для закрепления теоретического материала, приобретения практических навыков идентификации признаков и их соотнесения к конкретным измерительным шкалам, а также для контроля степени усвоения учебного материала целесообразно разработать специальные задания, которые могут включать вопросы типа:
1. В каких шкалах измеряются данные признаки изучаемых объектов?
1) уровень интеллекта при ^-тестировании;
2) даты исторических событий (Куликовская битва);
3) длительность первой мировой войны;
4) позиция коммерческого банка в данном сегменте финансового рынка;
5) высота столба, здания, дерева;
6) марки топлива для автомобилей (АИ-76, АИ-80, А92,...);
7) звания военнослужащих (лейтенант, капитан, майор,.);
8) номер учебной аудитории в институте.
2. Допустимо ли ранжировать между собой объекты по значению признака, измеренного в шкале интервалов?
3. Допустимо ли находить отношение —2-- значений признака Х, измеренного в номинальной
—4 —з
шкале?
—
4. Допустимо ли находить отношение — значений признака Х, измеренного в шкале отношений?
—2
Подводя итоги обсуждения данной темы, сформулируем вопросы, которые должен задать себе каждый исследователь, приступающий к проведению статистического обследования. 1. Что является объектом статистического обследования, т. е. какие предметы (процессы) образуют исследуемую статистическую совокупность?
2. Какой признак (свойство) элемента статистической совокупности является предметом
исследования?
3. В какой измерительной шкале будет оцениваться интенсивность проявления изучаемого признака?
Только после уяснения для себя всех перечисленных выше моментов можно будет осознанно приступать
к планированию и проведению статистического обследования, обработке полученных данных и интерпретации результатов. Изложенная выше методика была разработана и апробирована на 1-2 курсах различных направлений подготовки бакалавров. Изучаемый материал в силу специфики своего содержания был с интересом воспринят студентами, органично вписался в концепцию проведения интерактивных форм занятий с использованием элементов мозгового штурма, дискуссии. Положительное отношение обучаемых к указанной тематике и формам проведения занятий способствовало повышению мотивации к изучению курса математической статистики.
Литература
1. Большая советская энциклопедия в 30 т. / гл. ред. А. М. Прохоров. - 3-е изд. - М.: Советская энциклопедия, 1969-1978. - том 15: Математическая статистика. - С. 480.
2. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для бакалавров / В. Е. Гмурман. - 12-е изд. - М.: Юрайт, 2013. - 479 с.
3. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008. - 573 с.
