Роль гипергеометрической функции в нахождении автомодельных решений одномерной газовой динамики Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Челноков Ю. Н. Кватернионные модели и методы динамики, навигации и управления движением, М,: Физматлит, 2011, 560 е.

УДК 532.5:533.6.011.5 B.C. Кожанов, И. А. Чернов

РОЛЬ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ В НАХОЖДЕНИИ АВТОМОДЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ ОДНОМЕРНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ

Важное место при исследовании сложных математических моделей занимают точные частные аналитические решения. Они помогают выделить закономерности, свойства и структуру общего решения системы уравнений, описывающей модель. В статье предложен новый метод построения точных решений в гомэнтропической модели одномерной нестационарной газовой динамики, основанный на решении гипергеометрического уравнения. Приведены примеры новых решений.

Основные уравнения в гомэнтропической модели таковы [1]:

ди ди 1 до2 dt дг y — 1 дг '

до2 до2 . 2

■ж+идг + (y — 1)c

ди , _su 7T + (v — 1)"

дг г

(1)

= 0,

где £ - время, г - координата, и = и(г, £) - скорость частицы жидкости, с2 = с2{г, £) - квадрат скорости звука, 7 - показатель адиабаты, V = = 1, 2,3 для плоской, цилиндрической и сферической симметрии течения соответственно.

Условие постоянства энтропии запишем в виде

йо = рр-7 = 7-1с2р1-7 = соп {2)

Вдоль траектории частицы й0 имеет постоянное значение. Для гомэн-тропических течений эта постоянная одна для всех траекторий. Однако в рассматриваемой гомэнтропической модели, в отличии от моделей Хан-тера [1], на ударной волне (УВ) й0 меняется скачком, как и все остальные параметры. Условия ударного перехода определяются тремя законами сохранения:

р2 (и2 - Б) = р1 (и - Б), р2 [с2 + 7 (и2 - Б)2] = р1 [с? + 7 {и1 - Б)2], 2с2 + (7 - 1)(и2 - Б)2 = 2с2 + (7 - 1){и1 - Б)2,

157

где индексом 1 обозначены параметры течения перед фронтом УВ, а индексом 2 - за фронтом, Б - скорость распространения У В.

Автомодельные решения имеют вид (а - показатель автомодельно-сти)

2

/V»

и = ^({) = ^^,, с2 = а2_2({, = ({), (з)

£ = г/ (С£а), С = соп

Здесь £ - независимая автомодельная переменная, а (£) и (£) -автомодельные представители скорости частицы жидкости и и квадрата скорости звука с2 соответственно.

После подстановки (3) в (1) получим два обыкновенных дифференциальных уравнения (ОДУ), которые приводят к уравнению на фазовой плоскости (V, 2) и квадратуре для определения £ (V) [2]:

^(V) = (7 - 1)2(V) (2вАс + Аз)

¿V [(7 - 1)vвV - 2(1 - а)] Ао + (1 - V)Аз, ( )

Ао = (1 - V)2 - 2(V), Аз = (7 - 1)(^ - 1^2 - [(7 - 1)(^а - 1) + 2(1 - а)] V + 2(1 - а).

Уравнение (4) является нелинейным и в общем случае - при произвольных значениях V, 7? а - не имеет аналитического решения.

Приведем метод построения точного аналитического решения уравнения (4) для случая плоского движения газа. При V =1 система (1) упрощается:

ди ди 1 дс2 дс2 дс2 2 ди

д£ дг 7 -1 дг ' д£ дг дг

Перейдем на плоскость годографа, меняя ролями зависимые и независимые переменные:

ди д£ ди дг дс2 д£ дс2 дг

(6)

дг дс2' д£ дс2' дг ди д£ ди Подставляя (6) в (5), получим систему для функций £ и г:

дг д£ , _ 2 д£ дг д£ 1 д£ , .

ди ди дс2 ' дс2 дс2 7 - 1 ди

Введем автомодельные представители для £ и г:

£ = ивФ(г), г = иавФ(г), с2 = Аи2^, в = 1/(а- 1), А = (7- 1)2/4, (8)

158

где г - независимая автомодельная переменная.

Подставляя (8) в (7), получим систему двух ОДУ относительно функций Ф(г) и Ф(г), которая может быть сведена к одному ОДУ второго порядка для автомодельного представителя времени

¿2Ф ¿Ф

г(1 - г) — + [с - (а + Ь + ВД — - аЬФ = 0, (9)

(г2 ¿г

а - 2 1 7 а = —--V, Ь = ——-—, с =

2(а - 1)' 2(а - 1)' 7 - 1'

Решение уравнения (9) определяет функцию Ф = Ф(г). Функция Ф = Ф(г) выражается через функцию Ф(г) и ее производную по формуле

Ф(г) =1

1 " "Г*) Ф(г) - (7 - 1)(а - 1)(1 - г>г(фГ

Из соотношений (4) и (8) вытекают зависимости, представляющие в параметрическом виде решение на фазовой плоскости:

аФИ , 2 = 2) = ^^а^Ф2^!)

V = V(г) = , ^ = 2(г) = Аг—= А^2. (10)

Для получения явной формулы 2 = 2(V) необходимо первое соотношение (10) разрешить относительно 2 и полученное представление г = г (V) подставить во второе соотношение (10).

Вернемся к уравнению (9). Это невырожденное гипергеометрическое уравнение с параметрами а, Ь и с. Для пего существуют [3] 24 решения Куммера, которые, будучи записанными в виде рядов, имеют вид

¡(г) = ^(1 - Р(а«, Ь«; с«; *) = ^(1 - г)" (а»)г(П)г(11)

п=0 4 7

где а«, Ь«, с«, т«, а« - линейные функции от а Ь, С Р(а«, Ь«; с«; г«) - гипергеометрическая функция Гаусса; г« = /¡(г) /¡(г) Е {г, 1 - 1/г, 1 - г, г/(1 - г), 1/г, 1/(1 - г)}.

Известно, что когда а« = -т или Ь« = -т , т = 0,1, 2,..., то соответствующий гипергеометрический ряд (11) обрывается. В этом случае решение на плоскости (V, 2) может быть получено в конечной форме. В

а

ра решений Куммера соответствуют [3]).

№ Решение Куммера Показатель а № Решение Куммера Показатель а

1 Фь Фз, Фб, ф7, Ф9, Ф11 2(1+т) 1+2т 5 Ф10 1+2т 2(1+т)

2 Ф2, Ф4, Ф21, Ф23 2[(7-1)т+1] 2(7-1)т+7+1 6 Ф14, Ф18, Ф22 2т 1+2т

3 Фб, Ф12, Ф17, Ф19 2[(7-1)т+7-2] 2(7-1)т+7-3 7 Ф16 1+2т 2т

4 Ф8, Ф13, Ф16, Ф20 2(7-1)т+7-3 2[(7-1)т-1] 8 Ф24 2(7-1)т+7+1 2[(7-1)т+7]

Приведем некоторые новые автомодельные решения плоской гомэн-тропической модели (первая цифра нижнего индекса отвечает значению ш, вторая — № из табл.). а = 4/3 :

2 [3(7 - 1)* + 27]

Ы*) =

) = 1 V

(7 - 1)2*2 + 4(7 - 1)(7 - 2)* - 47' 2(7-2)У-3±^4(72 - 37 + 4)V2 + 8(7 - 3)V + 9

а =

37 - 1

2(27 - 1) : (*) =

4(27 - 1) [3(7 - 1)* + 27]

3(7 - 1)3*2 + 6(7 - 1)(7 + 1)(27 - 1)* + 87(27 - 1)'

^18^) = V [ - 3(27 - 1) [(7 + 1)V - 2] ± ±^3^(27 - 1) [(272 + 7 + 3) V2 - 4 (472 + 67 - 3) V + 247 - 12]

а = 4/5 : ^26 (*) =

15(7 - 1)2*2 + 60(7 - 1)(27 - 3)* + 20(7 - 2)(27 - 3) 30(7 - 1)3*2 + 20(7 - 1)(т + 1)(27 - 1)* + 16(7 - 2)(27 - 3)

(7 - 1)V2

^) = 6 [2(7 - 1)У - 1]1 - (27 - 3)[(7 + 1)V - 3]± ±7(7 - 7/5)(27 - 3) [(272 - 7 + 9) V2 + 24(7 - 5^ + 48]

Точные автомодельные решения, выходящие за рамки плоской гомэн-тропической модели (плоская негомэнтропическая модель, а также случаи цилиндрической и сферической симметрии течения), предлагается

160

искать методом неопределенных коэффициентов, используя найденные функциональные формы решений и привлекая средства компьютерной алгебры.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хантер К. О захлопывании пустой полости в воде // Механика: период, сб. пер. иностр. ст. 1961. № 3 (67). С. 77-100.

2. Кожанов В. С. Расчет отраженных ударных волн в задаче о схлопыванни пустой полости // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2010. Т. 10. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1. С. 44-54.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Наука, 1965. 296 с.

УДК 533.6.011

Д. И. Ливеровский, С. П. Шевырев

МЕТОД ДАВЫДОВА ДЛЯ СЛУЧАЯ НЕСЖИМАЕМОЙ НЕВЯЗКОЙ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ НА РЕГУЛЯРНОЙ СЕТКЕ

В случае моделирования движения несжимаемой тяжелой жидкости со свободной поверхностью необходимо определять положение этой поверхности в процессе решения, а также учитывать влияние земного тяготения. В данной статье такая задача решалась численным методом Давыдова [1] на регулярной сетке в случае двух пространственных переменных. Для определения положения свободной поверхности использовался метод маркеров [2, 3].

В ходе выполнения работы была написана программа на языке Python, реализующая метод Давыдова для случая тяжелой несжимаемой жидкости.

Течение тяжелой несжимаемой невязкой жидкости для случая двух пространственных переменных моделируется путем решения краевых задач для системы уравнений Эйлера и уравнения неразрывности:

du dt + du2 1 duv dx + dy + 1 VP = 0 po dx '

dv dt + duv 1 dv2 dx + dy + - ¥ = -g, Po dy ^' (1)

du dx + dy = o, dy '

где и, V - компоненты вектора скорости; р - давление; ро - постоянная плотность; д - ускорение свободного падения.