CC BY
6
ТЕХНОЛОГИЯ И ОБОРУДОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ И ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ
УДК 621.91.019
DOI: 10.24412/2071-6168-2021-8-297-302
РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЯ ПЕРЕДНИМ УГЛОМ РЕЖУЩЕГО КЛИНА
ПРИ ТОЧЕНИИ
Г.В. Шадский, В.С. Сальников, О.А. Ерзин
В статье решается задача синтеза робастного регулятора для системы управления передним углом режущего клина при точении, относящейся классу линейных систем с параметрической неопределенностью. Робастное управление такими системами позволяет улучшить условия резания при вариациях внешних воздействий, что приводит к улучшению качества обработки, уменьшению сил резания и износа инструмента.
Ключевые слова: робастное управление, поворотная режущая головка, управление передним углом, синтез регулятора, улучшение условий резания.
Перспективным направлением повышения эффективности процессов резания является применение интеллектуального инструмента обеспечивающего его оптимизацию по заданному критерию [1] и, в частности, режущего клина с управляемым передним углом [2]. Поворотная режущая головка резца, в дальнейшем сектор, с закрепленной на ней режущей пластиной, соединена через рычаг с кареткой линейного электрического микропривода, установленного в державке [2].
Рассмотрение линеаризованной системы управления режущим клином (1), подтвердило возможность управления условиями резания [3].
— X(t) = AX(t) + Bu(t), (1)
dt
где A = IIa I ' B = ||b, b61f - вещественные матрицы осредненных значений парамет-
II 'J\ 16x6 11 1 6ll6x1
ров системы указанных размерностей;
Однако известные исследования [4] показали, что на (усилие) разворота режущего клина вокруг режущей кромки наиболее существенное влияние оказывает передний угол. Его зависимость от угла носит экстремальный характер, то есть существенно нелинейная. Поворот сектора осуществляется в условиях неопределенности количества сегментов стружки кинематически связанных с ним в каждый момент времени и определяющих его момент инерции и вязкие связи. Кроме этого наличие рычага в его кинематической связи с приводом приводит к переменности его коэффициента передачи. В этих условиях предложенное решение адекватно лишь в очень ограниченной области изменения условий резания.
Известно, что построение систем с параметрической неопределенностью относится к классу задач робастного управление. В этом случае регулятор должен иметь некий запас надежности и стабилизировать систему в случаях неожиданных флуктуаций ее параметров состояния [5,61.
При таком подходе система управления передним углом режущего клина, может быть представлена как управляемый и наблюдаемый линейный нестационарный динамический объект, описываемый системой линейных неоднородных дифференциальных уравнений:
ШХ(0 = [А + а(0]Х(0 + [В + р(0]и(7), х,(О е Х0, х, еПх, и е О" (2) Ш
где а(t), Р^) е О" - матрицы, имеющие размерности 6х6 и 6х1 соответственно; О" -замкнутое ограниченное множество, содержит отклонения параметров, подверженных неконтролируемым возмущениям; Х0- координаты состояния системы в начальный
момент времени /0; Ох, Ои - множества возможных состояний и управляющих воздействий соответственно.
Очевидно следует потребовать, что бы пара матриц ([А + а(^)],[В + Р(0]) сохраняла управляемость системы (2) при V е [/0, Т].
Будем использовать известную квадратичную форму функционала качества управления
1 1 Т J(х,и) = -(ХТ(Т)ЖХ(Т)) + - Г(ХТ(/) + иТ(/))Ш, (3)
2 2 •
10
где F, Q, R - матрицы весовых коэффициентов, характеризующие ошибку управления в конечный момент времени, отклонение реальных переменных состояния от желаемых за весь период управления, затраты энергии на управление, соответственно.
При отсутствии неконтролируемых возмущений оптимальное управление имеет вид [7,8].:
и(0 = ^ -1ВтРфХ(0 (4)
где Р(^) - положительно определенная матрица, являющаяся решением уравнения Рик-кати
Ш Р(0 = Р(0А + А Т Р(0 - P(t)BR -1ВтР(0 + Q. (5)
Ш
Для того чтобы регулятор содержал постоянные параметры, матрицу весовых коэффициентов первого слагаемого функционала (3) примем F = Р(Т) = Р, где положительно определенная матрица Р, являющаяся решением алгебраического уравнения Риккати-Лурье
РА + АТ Р - PBR-1ВтР + Q = 0 (6)
В этом случае параметры регулятора не зависят от времени и оптимальное управление имеет вид:
и(0 = ^-1ВтРХ(0 (7)
а оптимальное значение функционала качества (3) определяется соотношением:
Т
J(х,и) = Нт Г(ХТ (/ЮХ(0 + иТ (№и(()Ш. (8)
Т
Методика проведения исследований. Пусть при неконтролируемых параметрических возмущениях а^), Р^) система (2) стабилизируема с управлением:
и(/) = -R-1[В + Р(/)]тР(0Х(/) (9)
Тогда из множества возможных значений можно выделить матрицы наихудших параметров а *, Р* е О", для которых справедливы соотношения [5, 6]:
£x<t)| dt
dtx<t| dt
= [(A + a(t)) - (b + P(t))R 1 (B + p(t))T P(t)]X(t),
= [(A + a *) - (B + p* )R-1 (B + p*)T P]X(t)|, (10)
[(A + a*) - (B + p* )R 1 (B + p*)T P]X(t)| > [(A + a(t)) - (B + p(t ))R 1 (B + p(t)) TP]X(t )|.
В этом случае для всех a(t), P(t) е Qa, удовлетворяющих правой части неравенства (10) робастная система
^X = [(A + a *) - (B + p* )R 1 (B + p*) TP* ]X(t), x, (t0) е X0 (11)
dt
с управлением
u(t) = -R-1[B + p* ]TP* X(t) (12)
сохраняет устойчивость, если матрица P*определяется решением уравнения Риккати.: P*[A + a*] + [A + a*]TP* - P*[B + p*]R-1[B + p*]TP* + Q = 0 (12)
Нахождение матриц a *, P* е Qa, которые удовлетворяют неравенству (10), в общем случае является нетривиальной задачей. Как правило, на практике существуют какие-то граничные возмущенные состояния систем A1,B1 и A 2 ,B 2, в границах которых целесообразно оценить уровень ее робастности.
Матрицы P P2 синтезирующие управления в граничных состояниях системы (1) в отсутствии неконтролируемых возмущений.
P1A1 + A1TP1 - P1B1R-1B1TP1 + Q = 0; u11(t) = -R1BTPX(t) (13)
P2A2 + A2TP2 -P2B2R-1B2TP2 + Q = 0; u21(t) = -R-1B2TP2X(t) (14)
Для определения уровня робастности целесообразно оценить реакцию системы при управлениях:
u12(t) = -R-1B1TP2 X(t) и u 21(t) = -R-1B 2 TP1X(t) (15)
При больших значениях возмущений трудно ожидать удовлетворительной реакции системы. Однако поиск матрицы P*1 = f (P1,P2) может дать предварительную оценку допустимых параметрических возмущений a *, Р* в системе.
На основании уравнения Риккати (6) при Q > 0 PA + ATP < PBR-1BTP и
* ».»
можно предположить, что граница a лежит среди максимальных значений матриц
A1,A2, а граница р* среди минимальных значений B1,B 2[5, 6].
Интерес представляет некоторое искусственное состояние, когда матрицы A,B определяются краевыми значениями их элементов Amax,Bmin. Можно ожидать, что для V, е 1,2 в соответствии с (10) выполняется и неравенство:
[A. -B,R B,TP*2]X(t) (16)
|[ A - B R-1(B . )TP*2]X(t)|
|L max min v min / J \ /
>
И в соответствии с уравнением
P*2A + (A )T P2 - P2B . R-1 (B . )TP*2 + Q = 0 (17)
max V ma^ min V min / ^c v /
управления для системы, находящейся в граничных состояниях, примут вид:
u13 (t) = -R-1BTP2 X(t), u 23(t) = -R-1B 2 TP*2 X(t). (18)
Проведена оценка свойств робастности управлений (13)...(15) и (18) в двух граничных состояниях системы управления передним углом режущего клина (1).
Исходя из конструктивных соображений и статических расчетов для рассматриваемой системы управления приняты следующие значения параметров элементов [3]: J = 0.68-10 5Нмс2/рад; Cs = 47.5-103Нм/рад; h = 0.22■ 102Нмс/рад; Kfi = 0.02м;
тр = 0.04кг; Сй = 5.0-104Н/м; И = 0.05Нс/м; Яа = 32.0 Ом; Ьл = 1.5-103Гн; Ст = 6.43Н/А; С = 5.25Вс/м; Кп = 5.0; г = 0.3 -103с; Бт =-0.2Нм/рад;. Коэффициенты матрицы А1 и В1 для приведенных выше параметров системы имеют следующие значения [3]: а12 = 1; а21 = 3200,0; а22 =-384,0 а23 = 91428,57; а24 = 1280,0; а34 = 1; а 41 =-0,0122; а42 = 1280,0; а43 =-349,79; а44 =-0,0029; а45 = 187,43; а54 =-1861,70; а55 =-11347,52; а56 = 354,61; а66 =-769,23; Ъ61 = 2307,69[3].
Если принять во внимание неопределенности, обусловленные изменением условий резания и, в частности, длины фрагмента стружки от 0 до 10мм и износа инструмента до 30%, то параметры элементов рассматриваемой системы примут значения: Js = 1.6 -105Нмс2/рад; С = 2.0-104Нм/рад; ^ = 0.3-102Нмс/рад; Кл = 0.035м;
тпп = 0.02кг; С, = 12.0-106Н/м; И, = 300.0Нс/м; Я. = 3.4 Ом; Ь, = 1.0-103Гн; С = 6.43
Н/А; Се = 5.25Вс/м; Кп = 2000.0; т = 0.5-10 3 с; =-0.1Нм/рад, а коэффициенты матри-
~\9 • ^ _ 1 ОН 1П4 . ^ _ О сп 1 П10 . ^ _ с О/Т 1Л5-
е ' п ' ' т
цы А2 и В2: а12 = 1; а21 = 1.25 -109; а22 =-1.87-104;а23 = 3.57-1010; а24 = 5.36-105; а34 = 1;
а42 = 0.43 -103 ; а43 =-1.42-109; а44 =-2.72 -104; а45 = 821,5 ; а54 =-5.25 -104;
"\4 . „ 1 п 1 п4 • „ т п 1 п4 • и 1А щ7
а41 =-2.86 -10
42 43 44
а55 =-3.4-104; а56 = 1.0-104; а66 =-2.0-104; Ъ61 = 4.0-10'.
По переходным характеристика системы в различных ее состояниях, исходя из
следующих соображений
Л
Ч =
2
X.
\ /тах у
Л
Ч11
г =
2
и.
V /тах /
Ё Ч«(Хтах)2 =Ё ГЦ итах)2 /=1 ./=1
,определены коэффициенты матриц Q, R функционала (3):
Q
2.0 0 0 0 0 0
0 0.01 0 0 0 0
0 0 0.011 0 0 0
0 0 0 0.04 0 0
0 0 0 0 0.5 0
0 0 0 0 0 1.0
R=||10.0||
В соответствии с приведенной выше методикой определены матрицы Р1, Р2, Р*1, Р*2 синтезирующие управления в различных состояниях системы:
ип(0 = 36.36х1 (Г) - 0.9-10-3х2(0 + 44.26х3(^) - 0.053х4(Г) - 2.7 -10-3х5(0 -3.7 -10-3х6(0 ;
11
и22(^) = 17.98^(0-1.8-10-3 х2(0 + 444.7х3(Г) - 0.025х4(^) -1.8-10-3 х5(0 - 3.8-10-3 х6Ц); и12(^) = 2400.0x^(0 - 0.56х2(0 -1.1 -105х3(Г) -1.1-102х4(0 - 4.03х5(Г) - 0.41х6С); и21(?) = 15.05х1(?) - 0.001х2(г) + 229.7х3(г) - 0.021х4(г) - 0.0014х5(г) - 0.0025х6(г); и11.(г) = -716.6^(0 - 0.025х2(? ) - 582.9х3(?) - 59.32х4(0 - 2.46 х5(0 - 0.2х6(?); и21.(Г) = 45.16x1 (^) - 3.2-10-3 х2(0 + 689.2х3(^) - 0.063х4(0 - 4.1-10-3 х5Ц) - 7.6-10-3 х6С);
12*
^) = -30.0x1 (*) - 0.08х2(^) -1.74х3(^) - 29.0х4(^) -13х5(г) - 0.13х6^); и22„(0 = -62.7 хДО - 0.0х2(0 -1.75 -104 х3(0 - 28.6х4(Г) -1.27х5(0 - 0.13х6(0;
Для определения уровня робастности синтезированных регуляторов целесообразно оценить реакцию системы при этих управлениях (рисунок).
Из графиков переходных характеристик можно видеть, какова динамика изменения переднего угла режущего клина при изменении входного воздействия.
Можно заметить, на всех графиках переходные характеристики стабилизируются примерно за 2...8 мс. Однако при выбранных граничных значениях параметров элементов системы наилучшим является регулятор, спроектированный для конкретных параметров (см. рисунок, б, в). Использование других регуляторов ухудшает качество переходных процессов (см. рисунок, а). Безусловно для повышения надежности работы
1тах
1тах
К
системы, на пример при изменении ее параметров, приходится чем-то расплачиваться. В частности, использование минимаксных значений параметров системы для синтеза управлений позволило получить минимальные затраты на обеспечение робастности системы в рассмотренных условиях. Потери выразились в увеличении длительности и колебательности переходных процессов системы в допустимых пределах.
12
0.8
0.6
0.4
02
/
/ V Ч
л/ ч N —
[ \
/
/
у
1
//
\ц
/
/
> м
0.8
0.6
0.4
02
А-
О 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007
б
0.8
0.6
0.4-
02-
\
\\
1 \\
\ /
1
1
/
0.001 0.002 0.003 0.004 0.005
Переходные нормированные характеристики синтезированных систем управления при различных управлениях: а - красный - и ) ; голубой - иц*(?) ;
зеленый -); коричневый - и21*("); б - черный - иц(?); зеленый - и^2*(^);
в - красный- и22*(") ; голубой - и22 (")
Синтезированная в результате проведенных исследования система обеспечивает быстродействие системы не менее 3мс, что соответствует низкочастотным колебаниям составляющих сил резания [3] и позволяет стабилизировать условия резания при изменении ее параметров в рассмотренном диапазоне.
Работа выполнена в рамках проекта РФФИ №19-48-710010 р_а «Развитие тео-
а
в
рии интенсификации лезвийной обработки на основе робастного управления кинематическими углами режущего клина» и при со финансировании Правительством Тульской области договор № ДС/187.
Список литературы
1. Sellmer D. High-performance processing by means of the "intellektualnyq" cutting tools. Werkstatt und Betrieb, 2001, № 3. P. 38 - 40.
2. Сальников, В.С. Патент на изобретение № RU 2741397 C1, МПК B23B 27/16. Резец с изменяемым передним углом / Сальников В.С., Шадский Г.В., Ерзин О.А. опубл. 25.01.2021 Бюл. № 3.
3. Шадский Г.В., Ерзин О.А., Сальников С.В. Анализ технических возможностей кинематическими углами режущего клина при точении // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2019. Вып. 12. С. 360-367.
4. Бовшук Е.Р. Робастное управление линейным объектом в условиях параметрической неопределенности // Известия РАН. Теория и системы управления, 2009. № 2. С. 60-71.
5. Бобцов А.А. Робастное управление по выходу линейной системой с неопределенными коэффициентами // Автомат. и телемех., 2002. № 11. С. 108-117.
6. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 2003. 615 с.
7. Bosgra O.H. Design Methods for Control Systems / O.H. Bosgra, H, Kwakernaak, G. Meinsma // Dutch institute of Systems and Control, 2001.
Шадский Геннадий Викторович, д-р техн. наук, профессор, chief.gennadiischadscky@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Сальников Сергей Владимирович, аспирант, sergeysalnikov@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Ерзин Олег Александрович, канд. техн. наук, доцент, erzin79@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
ROTARY CONTROL OF CUTTING WEDGE FRONT ANGLE DURING TURNING G.V. Shadsky, V.S. Salnikov, O.A. Erzin
The article solves the problem of synthesis of the robastic regulator for the front angle control system of the cutting wedge during turning, which belongs to the class of linear systems with parametric uncertainty. Robastic control of such systems allows improving cutting conditions during variations in external influences, which leads to improved processing quality, reduced cutting forces and tool wear.
Key words: robastic control, rotary cutting head, front angle control, regulator synthesis, improvement of cutting conditions.
Shadsky Gennady Viktorovich, doctor of technical sciences, professor, chief.gennadiischadscky@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Salnikov Vladimir Sergeyevich, postgraduate, vsalnikov.prof@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Erzin Oleg Aleksandrovich, candidate of technical sciences, docent, erzin79@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University
302
