CC BY
76
УДК 62-50
РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ РОБОТОМ-МАНИПУЛЯТОРОМ В ДИСКРЕТНОМ ВРЕМЕНИ6 С.В. Гусев
Рассматривается проблема управления движением робота-манипулятора в условиях неопределенности относительно его динамических характеристик и при наличии недоступных измерению возмущений. Предложен линейный регулятор для стабилизации программных движений робота-манипулятора, действующий в дискретном времени. Показано, что при уменьшении интервала дискретизации регулятор может обеспечить стабилизацию программного движения с любой наперед заданной точностью.
Ключевые слова: робот-манипулятор, робастное управление, линейный регулятор, дискретное время.
Введение
Существует несколько подходов к решению проблемы управления движением робота-манипулятора в условиях неопределенности: адаптивное управление [1-6], робастное управление [7-9], управление с помощью скользящих режимов [10, 11], управление с помощью нейронных сетей [12, 13]. При этом большинство публикаций посвящено управлению в непрерывном времени. В то же время как измерения, так и управление в современных роботах осуществляются с помощью цифровых устройств, действующих в дискретном времени. По этой причине построение регуляторов в дискретном времени представляет очевидный практический интерес.
Существенно меньше публикаций касается управления роботом-манипулятором в дискретном времени [1, 14-17]. В этих работах строятся нелинейные регуляторы. Цель данной работы - предложить линейный робастный регулятор, действующий в дискретном времени и использующий минимум информации о динамике робота.
Постановка задачи
Динамика манипулятора описывается уравнениями Лагранжа
A(q)q + b(q, q) = u + w(t), (1)
где q e R" - вектор обобщенных координат; q и q - его первая и вторая производные; u e R" - вектор обобщенных моментов, развиваемых соответствующими приводами; w e R" - возмущение; симметричная матрица A(q) e Rпхп - матрица кинетической энергии; b(q, q) e R". Относительно возмущения w(t) предполагается только, что оно ограничено:
|w(t)|< С.
В частности, w(t ) может включать разрывные силы трения. Предположим, что матрица кинетической энергии A(q) при всех q удовлетворяет неравенствам
а! < A(q) < al, (2)
где a, a > 0 ; I - единичная матрица размера п х п . Неравенства (2) понимаются как неравенства для
квадратичных форм. При построении регулятора будет использована только константа a, знание величин a и С не требуется.
Предполагается, что задано программное движение p(t) e R", которое имеет непрерывные и ограниченные первую и вторую производные. Целью управления является отслеживание программного движения с заданной точностью.
Особенностью данной работы является то, что управление и измерения происходят в дискретном времени. Пусть задано некоторое 5 >0, определяющее интервал дискретизации времени. Предполагается, что в дискретные моменты tk = k5, k = 0,1,2,..., измеряются обобщенные координаты qk = q(tk) и скорости qk = q(tk). Вычисление управления u(t), используемого на интервале [tk,tk+j) = [k5, (k +1)5), также осуществляется в моменты tk. Управление имеет следующий вид: [U, где t e [k5, k5 + 5 /2),
U [u2, где t e [k5 + 5/2,(k +1)5).
Здесь uk - управление на первой половине, а u;J - управление на второй половине интервала
[tk, Ч+1).
6 Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007-2013 годы» (государственный контракт № 11.519.11.4007).
С.В. Гусев
Рассмотрим векторы X, = ( ^(k) |, Z, = ( ^(k) |, k = 0,1,2,.., определяющие значения реального
1 q(tk ) ) 1 p(tk ) )
и программного фазового вектора системы в момент tk. Роль нового управления в системе, функциони-
(.. i Л
u2
. При построении стабилизирующего
рующей в дискретном времени, будет играть вектор ик =
Vй к;
управления рассмотрим два случая: управление при отсутствии и при наличии начального рассогласования между программным и реальным движением.
Управление при отсутствии начального рассогласования
Закон управления определим соотношением
и к = уО (8)(Х к - Ъ к), (4)
где у >0, G(S) =
(-35-1I -45-2I Л v 5-1I 45-2I,
- матрица размера 2n х 2n.
Теорема 1. Пусть
у <2а. (5)
Найдутся такие константы Д >0 и К >0, что для любого начального состояния Х0 и для всех 5<Д неравенства
|Я(*) - р(/)|< К52, | я(/) -1)(/)|< К5 , |ц(/)|< К, выполнены на решениях замкнутой системы управления (1), (3), (4) при всех / > 0, при условии, что реальное состояние совпадает с программным в начальный момент, т.е.
Х0= Ъ 0. (6)
В принципе условие (6) не является ограничительным, так как всегда можно построить удовлетворяющее ему программное движение. Однако обычно программное движение задано заранее, и средства для его изменения не предусмотрены в системе управления. Исходя из этого, представляет интерес построить управление, обеспечивающее стабилизацию программного движения без предположения (6).
Управление при наличии начального рассогласования
Пусть вектор г(/) е Я" есть решение устойчивого линейного дифференциального уравнения г (/) + йх г (/) + ййг(±) = 0 (7)
с начальными данными
г(0) = я(0) - р(0), г(0) = я(0) - р(0). (8)
Вектор г(/) представляет собой желаемую невязку между реальным и программным движением в переходном процессе. В силу устойчивости уравнения (7) г(/) ^ 0 при / ^ю.
' г(*к )'
Пусть Yk = (t ) |. Из (7) следует, что Y, = TYk-i, k = 1,2,..., (9)
где T = exp
( (-d,I -d0I^
5 1 0
. Начальное условие (8) принимает вид
I 0
У0= Х0 - Ъ0. (10)
Определим закон управления соотношением
ик = уО(5)(Хк - Ък - Ук), к = 0,1,2..........(11)
где векторы Ук вычисляются рекуррентно в силу (9), (10) .
Теорема 2. Пусть выполнено неравенство (5). Найдутся такие константы Д >0 и К >0, что для любого начального состояния Х0 и для всех 5 < Д неравенства
| я(/) - р(/) - г(/) |< К52, | я(/) - р(/) - г(/) |< К5, | ц(/) |< К, выполнены на решениях замкнутой системы управления (1), (3), (9)-(11) при всех / > 0.
Меняя коэффициенты йа, йх уравнения (7), можно задавать желаемый (например, неколебательный) характер переходного процесса в замкнутой системе. В частности, за счет роста перерегулирования
можно сделать время переходного процесса сколь угодно малым, и, наоборот, за счет увеличения времени переходного процесса можно уменьшить перерегулирование.
Заключение
Предложен регулятор для стабилизации программных движений робота-манипулятора, учитывающий специфику современных цифровых систем управления, - регулятор, действующий в дискретном времени. Регулятор является линейным, он использует дискретизованные по времени значения обобщенных координат и скоростей робота и строит кусочно-постоянное управление. Для расчета регулятора необходимо знать единственный параметр робота-манипулятора - нижнюю оценку собственных чисел матрицы кинетической энергии. Это обеспечивает робастность регулятора к изменениям параметров робота, что важно во многих практических задачах. В дальнейшем представляет интерес рассмотреть возможность построения аналогичного регулятора, использующего только измерения обобщенных координат робота.
Литература
1. Гусев С.В., Якубович В.А. Алгоритм адаптивного управления роботом-манипулятором // Автоматика и телемеханика. - 1980. - № 9. - С. 101-111.
2. Craig J., Hsu P., Sastry S. Adaptive control of mechanical manipulators // Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation. - 1986. - V. 3. - P. 190-195.
3. Slotine J.-J.E., Li W. On the Adaptive Control of Robot Manipulators // The International Journal of Robotics Research. - 1987. - V. 6. - P. 49-59.
4. Midleton P., Goodwin G.C. Adaptive computed torque control for rigid link manipulations // System and Control Letters. - 1988. - V. 10. - P. 9-16.
5. Cheah C.C., Liu C., Slotine J.-J.E. Adaptive Tracking Control for Robots with Unknown Kinematic and Dynamic Properties // The International Journal of Robotics Research. - 2006 - V. 25. - P. 283-296.
6. Huang A.C., Chien M.C. Adaptive Control of Robot Manipulators: A Unified Regressor-Free Approach. -World Scientific. - 2010. - 262 p.
7. Gusev S.V. Linear stabilization of nonlinear system program motion // Systems and Control Letters. - 1988.
- V. 11. - P. 409-412.
8. Qu Z., Dorsey J. Robust PID control for robots // International Journal of Robotics and Automation. - 1991.
- V. 6. - P. 228-235.
9. Herman P., Franelak D. Robust tracking controller with constraints using generalized velocity components for manipulators // Transactions of the Institute of Measurement and Control. - 2008. - V. 30. - P. 101-113.
10. Пятницкий Е.С., Дунская Н.В. Стабилизация управляемых механических и электромеханических систем // Автоматика и телемеханика. - 1988. - № 12. - С. 40-51.
11. Garcra-Rodrnguez R., Parra-Vega V. Cartesian sliding PID control schemes for tracking robots with uncertain Jacobian // Transactions of the Institute of Measurement and Control. - 2012. - V. 34. - P. 448462.
12. Barambones O., Etxebarria V. Robust neural control for robotic manipulators // Automatica. - 2002. - V. 38.
- P. 235-242.
13. Jiang Z.-H., Ishita T. A Neural Network Controller for Trajectory Control of Industrial Robot Manipulators // Journal of Computers. - 2008. - V. 3. - № 8. - P. 1-8.
14. Middleton R.H. Adaptive control for robot manipulators using discrete time identification // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1990. - V. 35. - P. 633-637.
15. Yang S.-P., Woo P.-Y., Wang R. Discrete-Time Model Reference Adaptive Controller Designs for Robotic Manipulators // Proceedings of the American Control Conference. - 1993. - P. 1145-1149.
16. Sun F.C., Sun Z.Q., Zhang R.J., Chen Y.B. Discrete-time tracking control of robotic manipulators based on dynamic inversion using dynamic neural networks // Proceedings of the IEEE International Symposium on Intelligent Control. - 2000. - P. 333-338.
17. Corradinia M.L., Fossib V., Giantomassib A., Ippolitib G., Longhib S., Orlandob G. Discrete time sliding mode control of robotic manipulators: Development and experimental validation // Control Engineering Practice. - 2012. - V. 20. - P. 816-822.
Гусев Сергей Владимирович - Санкт-Петербургский государственный университет, кандидат физ.-мат.
наук, ст. научный сотрудник, доцент, [email protected]
