Научная статья на тему 'РОБАСТНОЕ ТРАЕКТОРНОЕ УПРАВЛЕНИЕ КВАДРОКОПТЕРОМ ПО ВЫХОДУ НА ОСНОВЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ПОДХОДА'

РОБАСТНОЕ ТРАЕКТОРНОЕ УПРАВЛЕНИЕ КВАДРОКОПТЕРОМ ПО ВЫХОДУ НА ОСНОВЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ПОДХОДА Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
116
34
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ТРАЕКТОРНОЕ УПРАВЛЕНИЕ / ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПОДХОД / РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ / НАБЛЮДАТЕЛЬ С ВЫСОКИМ КОЭФФИЦИЕНТОМ УСИЛЕНИЯ / ВНУТРЕННЯЯ МОДЕЛЬ / КВАДРОКОПТЕР

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Борисов О. И., Каканов М. А., Живицкий А. Ю., Пыркин А. А.

Решена задача траекторного управления квадрокоптером с неизмеряемыми углами тангажа и крена на основе геометрического подхода. Для решения задачи применены модифицированный расширенный наблюдатель и внутренняя модель. Предложен подход, позволяющий обеспечить движение квадрокоптера в горизонтальной плоскости по траектории, заданной периодической (синусоидальной) функцией или полиномиальной функцией второго порядка. Движение квадрокоптера характеризуется полуглобальной асимптотической сходимостью ошибок слежения к нулю.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Борисов О. И., Каканов М. А., Живицкий А. Ю., Пыркин А. А.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

ROBUST TRACKING CONTROL OF A QUADCOPTER BY OUTPUT BASED ON THE GEOMETRIC APPROACH

The problem of tracking control of a quadcopter with unmeasurable pitch and roll angles is solved on the basis of the geometric approach. The enhanced extended observer and the internal model are used to solve the problem. The proposed approach makes it possible to ensure the quadcopter movement in horizontal plane along a trajectory given by a periodic (sinusoidal) function or a second-order polynomial function. Quadcopter motion is characterized by semiglobal asymptotic convergence of the tracking errors to zero.

Текст научной работы на тему «РОБАСТНОЕ ТРАЕКТОРНОЕ УПРАВЛЕНИЕ КВАДРОКОПТЕРОМ ПО ВЫХОДУ НА ОСНОВЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ПОДХОДА»

ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

УДК 681.5

DOI: 10.17586/0021-3454-2021-64-12-982-992

РОБАСТНОЕ ТРАЕКТОРНОЕ УПРАВЛЕНИЕ КВАДРОКОПТЕРОМ ПО ВЫХОДУ НА ОСНОВЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ПОДХОДА

О. И. Борисов, М. А. Каканов, А. Ю. Живицкий, А. А. Пыркин

Университет ИТМО, 197101, Санкт-Петербург, Россия E-mail: borisov@itmo.ru

Решена задача траекторного управления квадрокоптером с неизмеряемыми углами тангажа и крена на основе геометрического подхода. Для решения задачи применены модифицированный расширенный наблюдатель и внутренняя модель. Предложен подход, позволяющий обеспечить движение квадрокоптера в горизонтальной плоскости по траектории, заданной периодической (синусоидальной) функцией или полиномиальной функцией второго порядка. Движение квадрокоптера характеризуется полуглобальной асимптотической сходимостью ошибок слежения к нулю.

Ключевые слова: траекторное управление, геометрический подход, робаст-ное управление, наблюдатель с высоким коэффициентом усиления, внутренняя модель, квадрокоптер

Введение. Геометрический подход включает комплекс методов анализа и синтеза систем управления. В основе этих методов лежит исследование динамических свойств систем как геометрических характеристик пространств состояний и их подпространств. Некоторые характеристики, в частности, могут являться инвариантными при смене координат, что в ряде случаев позволяет упростить решение той или иной задачи управления [1]. Задача синтеза управления для нелинейных систем является нетривиальной, а геометрический подход позволяет формализовать процедуру синтеза путем смены координат и приведения динамической модели объекта к нормальной форме, к которой применима линеаризация по обратной связи, а также синтез робастного закона управления на базе оценок неопределенных функций, полученных с помощью наблюдателя с высоким коэффициентом усиления. Геометрический подход для нелинейных систем приведен в книгах [2—4], однако развитие его методов актуально, в том числе в части расширения класса нелинейных систем и задач управления. В работе [5] предложен подход модифицированного расширенного наблюдателя (enhanced extended observer) на базе расширенной леммы Даяванца. В сравнении со стандартным расширенным наблюдателем [6] модифицированная версия позволяет охватить более широкий класс нелинейных систем, нормальная форма которых характеризуется нестационарным коэффициентом усиления. К такому классу систем, в частности, относится квадрокоптер, у которого динамическая модель в нормальной форме содержит нестационарный коэффициент усиления, зависящий от управляющего воздействия, соответствующего вертикальному движению.

В работе [7] показаны особенности применения модифицированного расширенного наблюдателя для решения задачи удержания заданного положения квадрокоптера с неизмеряе-мыми углами крена и тангажа. В настоящей статье решена более общая задача траекторного управления квадрокоптером в горизонтальной плоскости путем применения внутренней модели для компенсации в установившемся режиме внешних воздействий, представляющих собой задающие сигналы, описываемые генератором траектории, и, как следствие, обеспечения полуглобальной асимптотической сходимости ошибок слежения к нулю.

Постановка задачи. Рассмотрим динамическую модель квадрокоптера, полученную после преобразований, произведенных в работе [7],

х = (g + u0 ) sinQcosy,

У = -(g + u0 )sin¥

z = (g + uo )cos0cosy - g, (1)

0 = u1, ¥ = u2,

где x, y, z е M — декартовы координаты, доступные для измерения; 0, y е S := [0,2л) — соответственно углы тангажа и крена, предполагающиеся неизмеримыми; щ, Щ, U2 — управляющие сигналы; g = 9,81м / с — ускорение свободного падения.

Следуя [7], примем, что задача стабилизации квадрокоптера на заданной высоте

*

z = const решена с помощью ПД-регулятора с насыщением

u0 = sat£ [-r0z - r1z], 0 < £ < g, (2) который при соответствующем выборе параметров Г), r и выполнении условия

IcosQcosyl > —g— обеспечивает устойчивость вертикального движения квадрокоптера по вхо-

g+£

ду-состоянию и сходимость ошибки стабилизации z(t) = z(t) - z к нулю.

Требуется синтезировать робастный регулятор по выходу на основе геометрического подхода, обеспечивающий траекторное управление квадрокоптером в горизонтальной плоскости и выполнение целевых условий

lim Х(t)| = 0, X(t) = х(t)- х* (t),

(3)

lim |y (t)) = 0, у (t ) = y (t)- у" (t),

t

где х (t) и у (t) — задающие сигналы, определяющие желаемую траекторию движения в горизонтальной плоскости и описываемые генератором вида

f W1 Л

V W2 у

f * Л х

*

Vy у

fS1 0 Л( w1 Л

0 S

2 У

V W2 у

fH 0 Л(

0 H

2 У

Wi

(4)

V w2 у

f 0 1 0 Л f Wü ]

Si = 0 0 1 w- = ' i wi 2

V 0 -Pi 0 у v Wi3 ,

H =(1 0 0), i = {1,2},

pi > 0 — некоторый заданный параметр.

Замечание 1. В зависимости от параметра р, и начальных условий (0) генератор (4)

позволяет вырабатывать сигнал в синусоидальной или полиномиальной форме второго порядка.

т

Действительно, при рг- = ю2 и ^ (0) = (С, + Лг8тфг- Л, юг-соБф,- -Л, ю^пф г-) сигнал принимает вид

ГX* ()1 ( С + Л^п ( + фт ) С2 + Л2§1п ( + ф 2 )

У ().

т

при Р, = 0 и Щ (0) = (С,0 СП 2С12 ) :

Г X* (01 Г С10 + Спг + С21 ^

.У* (г)

С20 + Сот^ + Стт^

(5)

Основной результат. Выполним предложенную в работе [7] замену координат

£11 = x, £ 21 = ^ £12 = Х, £ 22 = у, £13 = ,8ш0со8¥, £ 23 = -,8Ш¥,

£14 = СОБбсОБу - ,§1|8Ш08Ш¥, £ 24 =

являющуюся обратимой при |б| < п /2 и < п /2, что соответствует номинальному режиму полета квадрокоптера, и получим систему в нормальной форме

£11 = £12, £ 21 = £ 22, £12 = в (г )£тз, £22 = в (г )£ 23,

£13 = £14, £ 23 = £24,

ГиЛ

£14 = 41 (e, 0, ¥) + М0, ¥) 1 , £24 = 42 (¥ ¥) + Ъ2 М

и

Vм 2 У

V и2 У

где

(0,0, ¥), Ъ (0, ¥), 42 (¥, ¥), Ъ2 (¥) — нелинейные неопределенные функции вида

(0,0, ¥, ¥) = §0со80со8¥ - в1П0Б1П¥ - 2§¥0СОБ0Б1П¥ - ,

02 + ¥2 в1п0соБ¥,

Ът (0, ¥) = (,со80соБ¥ -,8т08т¥), 42 (¥, ¥) = 2вт¥ -Ъ2 (¥) = (0 -,соБ¥),

в () — ограниченная измеримая функция вида

г ('Р

в ( )=

и

1 + -0'

V § У

£

где в шт = 1--и в тах

=1+1.

Зададим сигналы ошибок е = (

11

0 < в шт * в ( вг

т

е14 ) , е2 = (е21

т

е24) как

а

е11 = ^11" ^ц,

е12 = ^12 _ w12, 1

е13 = ^13 "

е21 = £ 21 _ ^2Ъ е22 = ^ 22 _ w22,

е23 = £23 "ТТ^Т 1

в ()

23

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

к в Р1 к в Р 2

е14 = ^14 ^13 +"¡7W12, е24 = £24 + "2 ^23 ^

в2 Р в2 Р

продифференцировав которые, получим модели

е11 = ^

= Р (' )

12

е13 = ^

13'

е14 =

ql (е, 0, у, у)-

А _ +Р1 р2 р3 Р

2Р1Р

^13 _ 02

М^12 + Ь1 (е, у)

(и- ^

V и2 )

(7)

и

е21 = ^ е22 = Р (

е23 = ^

( .4 Г Р 2(32 Р2

е24 = q2 (у,у)+ ^2 + р Запишем модели (7), (8) в общем виде как

(8)

_

2Р2Р

23 ^22

(X ^

+ ¿2 (у)

г и >

V и2 )

1 = ^(11), е = /(11,е,и), _ = Ъе (11,е),

V У )

где 1 =

(( ^г)

вектор состояния генератора, е=

Т

модели ошибки, и = (1 и2) — вектор управляющих воздействий, 5(•),/(•),Ие (•) — гладкие функции.

Исследуем поведение системы (9) в установившемся режиме с помощью выражений

Ц 5 (11 ) = / (( п ^ ^ V ^ ^ 0 = Ие (, п (11)),

где п(и) = (лТ (11) (11)) — вектор состояния объекта в установившемся режиме,

V (11) = ( (11) V2 (11 ))Т — вектор управления в установившемся режиме. Заметим, что в установившемся режиме справедливы соотношения

ql (0,0,0,0) = 0, ¿1 (0,0) = (* 0), q1 (0,0) = 0, Ъг (0) = (0

ио (ю) = 0, Р (ю) = 1, Р (ю) = р (ю) = 0,

с учетом которых найдем пару п (11), V (1) для решения задачи управления по выходу системой (7)—(8):

(е1Т е2Т )Т

(9)

вектор состояния

т

п (я) = (т (я) п2т (я)) =(0 0 0 0 0 0 0 0)т,

V (я ) = ( (я) У2 (я))

(

Р1

—- я

13

Р 2

т

(10)

ж

23

:=¥ж

V § §

Для компенсации внешних сигналов я и, как следствие обеспечения сходимости ошибок слежения к нулю, сформируем внутреннюю модель вида

| + О [ Гп + и ], и = Гп + и,

(11)

где и — управляющее воздействие, которое будет определено позднее, ^ = (1, ^) —

т

гурвицева матрица, образующая вместе с О = (О1,О2),От = О2 =(0 0 ... 0 1) управляемую пару (, О); матрица Г = (Гь Г2 ) такая, что собственные числа матрицы Ф = ^ + ОГ совпадают с собственными числами матрицы £ = (5!, £2 ) . Известно [4, 8], что существует матрица Е такая, что

£5 = ( ^ + ОГ) Е, ¥ = ГЕ.

Замечание 2. Если параметр р« генератора (4) равен нулю, то, как следует из выражения (10), значение управляющего воздействия vi (я) в установившемся режиме также равно нулю р« = 0 ^ vi (я) = 0, следовательно, задача слежения за квадратичным задающим сигналом вида (5) не требует построения внутренней модели (11).

Объединим внутреннюю модель с объектом управления и получим агрегированную систему вида

I =Рп + О [Гп + и ],

е«1 =2,

2 = в ()ei3,

(12)

е«3 = е« 4,

е14 = 4« (•) + Введем новую переменную

производная которой равна

в - ■ К

2 п3

в2 в3 в

11 = п - Ем>,

- 2рГ я«2 + Ъ« ( )[Гп + и ].

I =Щ + О [ Г1 + и ], с учетом чего система (12) принимает вид

I + О [ Г1 + и ],

е«1 = е« 2,

«2

= в (г)е,

3'

(13)

е«3 = е« 4,

е«4 = 4 (•) + Ъ« ()[ГЛ + и ]

где функция

А _ +£l

j2 п3

^ 3 _ ^ ^ + b Q^

р2

_р2 р3 р

т

в положении равновесия е, = (0 0 0 0) равна нулю.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Для системы (13) выберем номинальный линеаризующий закон управления вида

Г-К (0,0, у, Р, Р, в) + Кв1 ^

—¿2 ( \, w, P, Р, Р') + Ке2

= _ГТ1 + B_ (0, у)

(14)

где

в (0, ^ ) =

it

b (0, у)) (gcos0cosy _gsin0siny

Л

K = (( ^2 кз ^4).

¿2 ) ] I 0 ^сову ^

Подставив закон управления (14) в (13), получим замкнутую систему вида

' -¿1 (0,0, у, у, р, р, р)+ Кв1Л

—¿¡2 \, - P, Р, Р) + Ке2

rj =Ffj + GB _1 (0, у)

ei1 = ei 2,

ei 2 = P (t)

ei3 =

ei 4 = Ke,,

(15)

где вектор е1 экспоненциально сходится к нулю в силу соответствующего выбора вектора К

(см. работу [7]), а подсистема, описываемая первым выражением из (15), является устойчивой по входу-состоянию. Таким образом, можно сделать вывод, что вся система (15) является глобально асимптотически устойчивой.

Однако, поскольку закон управления (14) содержит неопределенности, он нереализуем. Для построения реализуемого закона управления воспользуемся так называемым подходом модифицированного расширенного наблюдателя, предложенного в [5]. Построим робастный закон управления вида

u = satv

B

_1 f-0l + Ke1}

где satv (•) — гладкая функция насыщения, B = _ — обратимая матрица такая, что

_02 + ке:

=f b

v b2 У

(16)

[ B (0, у )_ B ] B-1

< 1,

а £ = (( £2 £¿3 £4 ) и о, при г = {1, 2] представляют собой состояния модифицированных расширенных наблюдателей вида

в«1 = в« 2 + ка4 ( х - в«1 ), е2 = Р (Нэ + к2а3 (х - в«1)

- э

в«3 = в« 4 +к а

Ч 4

(х -в«1)'

(17)

в 4 = О + Ъ«и + к 4а1 (х" вл)

о« = к а0

(х" в«1 )•

Робастный закон управления (11), (16), (17) обеспечивает в системе свойства полуглобальной асимптотической устойчивости, что означает выполнение цели управления (3) для ограниченного множества начальных условий. Формализуем результат в виде утверждения.

Утверждение 1. Для заданной траектория движения в горизонтальной плоскости

(* * \

х , у ), вырабатываемой генератором (4), и ограниченного множества начальных условий Я

такого, что ||в (0)|| < Я, ||(в (0), о (0))|| < Я, существует предел насыщения V, параметры

* *

а0, а1, а2, аэ, а4 и значение к такие, что при к > к все траектории системы (7), (8), (11), (16), (17) ограничены и сигналы ошибок слежения 55, у асимптотически сходятся к нулю, что означает выполнение цели управления (3).

Моделирование. Рассмотрим пример моделирования решения задачи траекторного

управления квадрокоптером с использованием предложенного подхода.

*

Выберем высоту полета 2 = 0,5 и рассмотрим две формы заданной траектории в горизонтальной плоскости:

1) периодический сигнал

Г Л

х (0|_Г0,1 + 0,3мп(0,5Г + 0,7) у* (() = [ 0,2 + 0,4в1п ( + 0,8)'

2) полиномиальный сигнал

( * / \Л { 2 Л

х ()| ( 0,1 + 0,3Г + 0,5Г I

.у* ().

ч0,2 + 0,41 + 0,6Г У

(18)

(19)

Выберем значения параметров ПД-регулятора (2) как

Г0 = 15, Г1 = 20,1 = 0,9%. Выберем значения параметров робастного регулятора (16), (17) как

В =

Е

0|

, К = (100 100 100 10), V = 100, к = 180,

,0 -еУ

а также вычислим значения коэффициентов а0,аьа2,аэ,а4, следуя процедуре, описанной в работе [9], как

а4 = Ъ4,

а3 = Ъ4Ъ3, а2 = Ъ4Ъ3Ъ2,

а1 = Ъ4Ъ3Ъ2Ъ1,

а0 = Ъ4Ъ3Ъ2Ъ1Ъ0,

где Ъ0 = 1, а коэффициенты ¿1, Ъ2, Ъ3, Ъ4 вычисляются рекурсивно:

Ъ2 =

Ъ1 = АЪо + К l2 ((2+2ъ0ъ )+ъ0Ъ1

Pmin

Ъ3 = L3 (( + 3РтахЪ0Ъ1Ъ2 ) + РтахЪ0Ъ1Ъ2. Ъ4 = L4 (2Рmax + 4Ъ0Ъ1Ъ2Ъ3 ) + Ъ0Ъ1Ъ2Ъ3,

где Li = L2 = L3 = L4 = 1.

Для слежения за периодическим сигналом (18) зададим значения параметров внутренней модели (11):

' 0 1 о > Г о >

F = 0 0 1 , G = 0 , Г =(1 3 - Pi 3), i = {1,2},

-1 -3 -3 V J JJ V 1 V

где р1 = 0,25 и р2 = 0,36.

Для слежения за полиномиальным сигналом (19) в соответствии с Замечанием 2 деакти-вируем внутреннюю модель, задав

Г =(0 0 0), I = {1,2}. Результаты моделирования приведены на рис. 1 (периодический задающий сигнал) и 2 (полиномиальный задающий сигнал). Как видно на графиках, условие 1со80со8у| >———, необходи-

— + £

мое для обеспечения устойчивости вертикального движения по входу-состоянию, выполнено, а также углы крена и тангажа удовлетворяют ограничениям |б| < п /2 и < п /2, при которых замена переменных (6) является обратимой. В обоих случаях сигналы ошибок х, у, 2 сходятся к нулю, а выходные переменные х, у, 2 стремятся к задающим воздействиям х (), у (), г .

x, y, z, м 0,8

0,6

0,4

0,2

0

-0,2

-0,4

x y

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

z

t

-

\

0

8, у, рад я/2

12 16 t, с

-я/2

),i

0

0,1

e y

x, y, z, м 0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1 0

cosBcosy

■ X

v

z

12 16 t, с

g +1

f

1,000 0,995

Г

12

16 t, с Рис. 1

12

16 t, с

4

8

4

8

1

0

g

0

4

8

0

4

8

0 4 8 12 16 t, с 0 4 8 12 16 t, с

Рис. 2

Заключение. В работе предложено решение задачи траекторного управления моделью квадрокоптера (1) с неизмеряемыми углами тангажа и крена в горизонтальной плоскости по траектории, задаваемой с помощью (4). Предлагаемый подход предусматривает преобразование динамической модели (1) с учетом (2), (4) к модели ошибки в нормальной форме (7), (8), для которой синтезирован закон управления на основе внутренней модели (11) и модифицированного расширенного наблюдателя (16), (17), обеспечивающий полуглобальную асимптотическую устойчивость системы и выполнение достижение цели (3). Работоспособность предложенного подхода проиллюстрирована результатами компьютерного моделирования движения квадрокоптера по задающим воздействиям в двух формах: периодической (синусоидальной) функции и полиномиальной функции второго порядка.

Работа поддержана грантом Президента Российской Федерации № МК-4397.2021.4.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hu X., Lindquist A., Mari J., Sand J. Geometric control theory. Lecture Notes. Stockholm: KTH, 2007.

2. Huang J. Nonlinear Output Regulation. Society for Industrial and Applied Mathematics, 2004. DOI: 10.1137/1.9780898718683.

3. Isidori A. Nonlinear Control Systems. London: Springer-Verlag, 1995. DOI: 10.1007/978-1-84628-615-5.

4. Isidori A. Lectures in Feedback Design for Multivariable Systems. Cham: Springer, 2017. DOI: 10.1007/978-3-31942031-8.

5. Isidori A., Pyrkin A., Borisov O. An extension of a lemma of Dayawansa and its application in the design of extended observers for nonlinear systems // Automatica. 2019. Vol. 106. P. 178—183. DOI: 10.1016/j.automatica.2019.04.043.

6. Freidovich L. B., Khalil H. K. Performance recovery of feedback-linearization-based designs // IEEE Transactions on Automatic Control. 2008. Vol. 53, N 10. P. 2324—2334. DOI: 10.1109/TAC.2008.2006821.

7. Borisov O. I., Pyrkin A. A., Isidori A. Application of enhanced extended observer in station-keeping of a quadrotor with unmeasurable pitch and roll angles // IFAC-PapersOnLine. 2019. Vol. 52, N 16. P. 837—842. DOI: 10.1016/j.ifacol.2019.12.067.

8. Francis B., Sebakhy O. A., Wonham W. M. Synthesis of multivariable regulators: The internal model principle // Applied Mathematics and Optimization. 1974. Vol. 1, N 1. P. 64—86. DOI: 10.1007/BF01449024.

9. Borisov O. I., Pyrkin A. A., Isidori A. Robust output regulation of permanent magnet synchronous motors by enhanced extended observer // IFAC-PapersOnLine. 2020. Vol. 53, N 2. P. 4881—4886. DOI: 10.1016/j.ifacol.2020.12.1056.

Олег Игоревич Борисов Михаил Александрович Каканов Андрей Юрьевич Живицкий Антон Александрович Пыркин

Поступила в редакцию 16.09.2021 г.

Сведения об авторах

— канд. техн. наук; Университет ИТМО, факультет систем управления и робототехники; E-mail: borisov@itmo.ru

— аспирант; Университет ИТМО; факультет систем управления и робототехники; E-mail: makakanov@itmo.ru

— студент; Университет ИТМО; факультет систем управления и робототехники; E-mail: zhivitckii@itmo.ru

— д-р техн. наук, профессор; Университет ИТМО; факультет систем управления и робототехники; E-mail: pyrkin@itmo.ru

Ссылка для цитирования: Борисов О. И., Каканов М. А., Живицкий А. Ю., Пыркин А. А. Робастное траекторное управление квадрокоптером по выходу на основе геометрического подхода // Изв. вузов. Приборостроение. 2021. Т. 64, № 12. С. 982—992.

ROBUST TRACKING CONTROL OF A QUADCOPTER BY OUTPUT BASED ON THE GEOMETRIC APPROACH

O. I. Borisov, M. A. Kakanov, A. Yu. Zhivitckii, A. A. Pyrkin

ITMO University, 197101, St. Petersburg, Russia E-mail: borisov@itmo.ru

The problem of tracking control of a quadcopter with unmeasurable pitch and roll angles is solved on the basis of the geometric approach. The enhanced extended observer and the internal model are used to solve the problem. The proposed approach makes it possible to ensure the quadcopter movement in horizontal plane along a trajectory given by a periodic (sinusoidal) function or a second-order polynomial function. Quadcopter motion is characterized by semiglobal asymptotic convergence of the tracking errors to zero.

Keywords: tracking control, geometric approach, robust control, high-gain observer, internal model, quadcopter

REFERENCES

1. Hu X., Lindquist A., Mari J., Sand J. Geometric control theory, Lecture Notes, Stockholm, KTH, 2007.

2. Huang J. Nonlinear Output Regulation. Society for Industrial and Applied Mathematics, 2004, DOI: 10.1137/1.9780898718683.

3. Isidori A. Nonlinear Control Systems, Springer-Verlag, London, 1995, DOI: 10.1007/978-1-84628-6155.

4. Isidori A. Lectures in Feedback Design for Multivariable Systems, Springer, Cham, 2017, DOI: 10.1007/978-3-319-42031-8.

5. Isidori A., Pyrkin A., Borisov O. Automatica, 2019, vol. 106, рр. 178-183, DOI: 10.1016/j.automatica.2019.04.043.

6. Freidovich L.B., Khalil H.K. IEEE Transactions on Automatic Control, 2008, no. 10(53), pp. 2324-2334, DOI: 10.1109/TAC.2008.2006821.

7. Borisov O.I., Pyrkin A.A., Isidori A. IFAC-PapersOnLine, 2019, no. 16(52), pp. 837-842, DOI: 10.1016/j.ifacol.2019.12.067.

8. Francis B., Sebakhy O.A., Wonham W.M. Applied Mathematics and Optimization, 1974, no. 1(1), pp. 64-86, DOI: 10.1007/BF01449024.

9. Borisov O.I., Pyrkin A.A., Isidori A. IFAC-PapersOnLine, 2020, no. 2(53), pp. 4881-4886, DOI: 10.1016/j.ifacol.2020.12.1056.

992

О. H. Bopuœe, M. A. Kamnoe, A. W. Mue^KUü, A. A. nupKun

Oleg I. Borisov Mikhail A. Kakanov Andrey Yu. Zhivitckii Anton A. Pyrkin

Data on authors

PhD; ITMO University, Faculty of Control Systems and Robotics; E-mail: borisov@itmo.ru

Post-Graduate Student; ITMO University, Faculty of Control Systems and Robotics; E-mail: makakanov@itmo.ru

Student; ITMO University, Faculty of Control Systems and Robotics; E-mail: zhivitckii@itmo.ru

Dr. Sci., Professor; ITMO University, Faculty of Control Systems and Robotics; E-mail: pyrkin@itmo.ru

For citation: Borisov O. I., Kakanov M. A., Zhivitckii A. Yu., Pyrkin A. A. Robust tracking control of a quadcopter by output based on the geometric approach. Journal of Instrument Engineering. 2021. Vol. 64, N 12. P. 982—992 (in Russian).

DOI: 10.17586/0021-3454-2021-64-12-982-992

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.