CC BY
42
-> - Аграрный вестник Урала № 11 (117), 2013 г.-• -
Биология
УДК 001.891.573
РЕЗУЛЬТАТЫ СТАБИЛИЗАЦИИ ПРОЦЕССА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВИЧ-ИНФЕКЦИИ В ОРГАНИЗМЕ ЧЕЛОВЕКА
A. В. КИМ,
доктор физико-математических наук, руководитель группы функционально-дифференциальных уравнений, Институт математики и механики Уральского отделения Российской академии наук
(620990, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, д. 16; тел.: 89530030185; e-mail: [email protected]),
B. М. КОРМЫШЕВ,
кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой, М. А. САФРОНОВ,
аспирант, Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина
(620002, г. Екатеринбург, ул. Мира, д. 19)
Ключевые слова: моделирование, ВИЧ, функционально-дифференциальные уравнения, обобщенные уравнения Рик-кати.
Приводятся результаты исследования стабилизируемости математической модели, описывающей ВИЧ-динамику. Модель представляет собой систему функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ). Стабилизирующее управление строится на основе метода явных решений обобщенных уравнений Риккати (ОУР) теории аналитического конструирования регуляторов для систем с последействием. При этом используется один из вариантов явных решений обобщенных уравнений Риккати (исследование стабилизирующих свойств управления на основе других вариантов обсуждалось в предыдущих статьях авторов). Характеристики управления стремятся к некоторым ненулевым значениям, управления поддерживают процесс репликации ВИЧ в организме человека в определенном стационарном состоянии. Третий вариант управления стабилизирует процесс распространения ВИЧ-инфекции в организме человека примерно в 2 раза быстрее, чем первый вариант управления. В случае третьего варианта управления в организме человека остается большее количество T-клеток, а процент зараженных T-клеток среди них меньше, свободных вирусных клеток также остается больше. Количество свободных вирусных клеток может быть уменьшено за счет дополнительных внешних воздействий, например, введения противовирусного препарата. Анализ математической модели показывает, что построенное управление сдерживает уровень ВИЧ-инфекции в организме человека в на некотором низком (хотя и ненулевом) стационарном уровне. Полученные результаты исследований могут быть применены для дальнейшего изучения аспектов репликации ВИЧ-инфекции в организме человека.
RESULTS OF STABILIZATION OF THE SPREAD OF HIV INFECTION IN THE HUMAN BODY
A. V. KIM,
doctor of physical and mathematical sciences, head of functional differential equations, Institute of mathematics and mechanics, Ural branch of the Russian academy of sciences
(620990, Ekaterinburg, S. Kovalevskaya st., 16; phone: 89530030185; e-mail: [email protected]),
V. M. KORMYSHEV,
candidate of technical sciences associate professor, head of department, M. A. SAFRONOV,
graduate student, Ural federal university of the first President of Russia Boris Yeltsin
(620002, Ekaterinburg, Mira st., 19)
Keywords: modeling, HIV, differential equations with delay, generalized Riccati's equations.
Results of research stabilizability of the mathematical model describing HIV dynamics are given. The model is described by a system of functional differential equations. A stabilizing control is constructed basing on the method of explicit solutions of Generalized Riccati's Equations of the theory of analytical constructing regulator for systems with delays. For construct a feedback control we use the variant of explicit solutions of the generalized Riccati's equations (the study of control stabilizing properties based on other variants discussed in previous authors articles). Management features tend to some nonzero value controls support the replication of HIV in the body in a certain steady-state. The third version control stabilizes the spread of HIV infection in humans is approximately 2 times faster than the first version control. In the case of the third embodiment of the control in the human body is more T-cells, and the percentage of infected T-cells are less of free viral cells also remains more. The amount of free viral cells may be reduced by the addition of external influences, for example, administration of an antiviral drug. Stabilizing control for the system of differential equations with delay supports HIV-infection model spread at a certain sufficiently small non-zero level. Results of the research can be applied to analysis of some aspects of HIV dynamics.
Положительная рецензия представлена А. Н. Сесекиным, доктором физико-математических наук, профессором, заведующим кафедрой прикладной математики Уральского федерального университета
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина.
www.m-avu.narod.ru www.avu.usaca.ru
Аграрный вестник Урала № 11 (117), 2013 г. - > ^^
Биология
Данная работа является продолжением исследований, представленных в предыдущей статье авторов [14].
Математическая модель распространения ВИЧ-инфекции. Рассматривается математическая модель, описывающая распространение ВИЧ в организме человека [9, 10, 14]:
T (t) = 5 - dT - kVT, T * (t) = kVT -8 T * - dx ET' V(t) = N8 T* - cV, E (t) = pT * (t -T) - dE E,
T(t) = 5 - dt - kVT T * (t) = kVT -8 T * - dX ET V(t) = N8 T* - cV E (t) = pT * (t-t ) - dEU
. (1)
Регулирование процессом осуществляется параметром и(0 — лекарственным усилением и иммунного ответа. Начальными условиями для системы функционально дифференциальных уравнений (1) являются [14].
Матричное представление системы (1) имеет вид 0 0 и о и О О о
-0.5 0 0 0 0 0 0 _ о
Цель и методика исследований.
Рассмотрим управление с обратной связью, построенное на основе третьего варианта явных решений ОУР [2]. * , „ . г , Л,
1 J и (х,у( ))=Сх+ ] Dy(s)ds (5)
замкнутая система, получаемая подстановкой управления (5) в систему (2) имеет вид
о
х(г) = (А + ВС)х(г) + А У(-т ) + / (BD + G(5))у(s)ds, (6) где С = -Ы-1 ВТ Р; D = -Ы-1 ВтРА ; Я = А'РА .
т т т
В управлении (6) 4^4 матрица Р является решением матричного уравнения [2]
Р(А + Ат) + (А' + АТ)Р + Со + (5) + С3 = РКР, (7)
-т
где С0 и С3— постоянные симметричные 4 х 4 матрицы;
(р2 (•) — симметричная 4 х 4 матрица с непрерывными на [-Т,0] элементами; К = ВЫ-1 В'.
Результаты компьютерного моделирования. Решение уравнение (7) находится аналитически и равно
0.5185 0.5192 0.0001 0
А-
-0.1
0.1 о
II
12Н5
о
-0.fi о
0 0 0 0 (I
0 0 0 0 0
.А =
0 (J 0 0 0
-1.6 0 1.473 0 0
.К-
(2) (3)
P3 = 106
0.5192 1.8506 0.0007 0.0002 0.0001 0.0007 0 0 0 0.0002 0 0
Система (2) является неустойчивой [6], так как
При этом в качестве ф(-) взята постоянная 4 х 4 матрица, все элементы которой равны 1, а в качестве
имеет корень с положительной действительной ча- С0 и С3 выбраны постоянные 4 X 4 матрицы, все эле-
стью [10] рассматривается задача построения управ- менты3которых равны 64.9. В этом случае слагаемое ления с обратной связью
и\7, х, х(7 + 5-)] = Сх + ^ Е(5)х(7 4 5)ds, ^-стабилизирующего систем-/ (4).
(4)
из уравнения (7) с0 + _|>2 (,) + С3
превращается в постоянную 4 х 4 матрица, все элементы которой равны 1.
200 250
Рисунок 1 Траектория системы
www.m-avu.narod.ru www.avu.usaca.ru
О £0 100 150
-> - Аграрный вестник Урала № 11 (117), 2013 г. - • ССС^1
Биология
Траектория системы (6) (рис. 1) сходится к в и, следовательно, управление (5) является в-стабилизи-рующим. При система (6) стремится к
в =
1.4622 х 103.5446 х 109.395 х10-7
Однако следует отметить некоторые отличия найденного управления от управлений, рассмотренных авторами в предыдущих статьях.
Третий вариант управления стабилизирует процесс распространения ВИЧ-инфекции в организме человека примерно в 2 раза быстрее, чем первый вариант управления [14].
Также в случае третьего варианта управления в организме человека остается большее количество Т-клеток, а процент зараженных Т-клеток среди них меньше. Заметим, что и свободных вирусных клеток также остается больше.
Вышеперечисленное может свидетельствовать об истощении латентного ВИЧ-источника. Количество свободных вирусных клеток может быть уменьшено за счет дополнительных внешних воздействий, например, введения противовирусного препарата.
2.9645 х 10-1 Выводы. Рекомендации.
Таким образом, управления с обратной связью, построенные на основе третьего варианта явных решений ОУР, yS-стабилизируют процесс распространения ВИЧ в организме человека. При этом характеристики управления стремятся к некоторым ненулевым значениям. То есть управления поддерживают процесс репликации ВИЧ в организме человека в определенном стационарном состоянии.
Работа поддержана программой президиума РАН «Фундаментальные науки — медицине», РФФИ (проекты 13-01-00089, 13-01-00110), Урало-Сибирским междисциплинарным проектом.
Литература
1. Ким А. В., Волохова Л. Е., Заводников Д. Е. Линейно-квадратичная стабилизация процесса сгорания топлива в жидкостном ракетном двигателе // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. 2011. № 4 (2). С. 172-173.
2. Квон В. Х., Ким А. В., Кормышев В. М., Пименов В. Г., Солодушкин С. И. Аналитическое конструирование и синтез регуляторов для систем с последействием. Екатеринбург : Изд-во Уральского федерального университета, 2010.
3. Ким А. В. i-Гладкий анализ и функционально-дифференциальные уравнения. Екатеринбург : ИММ УрО РАН, 1996. 236 с.
4. Ким А. В., Пименов В. Г. i-Гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. М.-Ижевск : Регулярная и хаотическая динамика, 2004.
5. Красовский Н. Н. Аналитическое конструирование регуляторов для систем с последействием. Т. 26. Прикладная математика и механика, 1962. С. 39-51.
6. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М. : Наука, 1971. 296 с.
7. Kim A. V., Han S. H., Kwon W. H., Pimenov V. G. Explicit numerical methods and LQR control algorithms for time-delay systems. Proceedings of the international Conference on Electrical Engineering. Kyungju. Korea. July 21-25. 1998.
8. Arts E. J., Hazuda D. J. HIV-1 Antiretroviral Drug Therapy. Cold Spring Harbor perspectives in medicine. 2 (4) (2012). P. a007161.
9. Bocharov G., Chereshnev V., Gainova I., Bazhan S., Bachmetyev B., Argilaguet J., Martinez J., Meyerhans A. Human Immunodeciency Virus Infection: from Biological Observations to Mechanistic Mathematical Modelling. EDP Math. Model. Nat. Phenom. 2012. Vol. 7. № 2. P. 1-29.
10. Ciupe M. S., Bivort B. L., Bortz D. M., Nelson P. W. Estimating kinetic parameters from HIV primary infection data through the eyes of three different mathematical models. Mathematical biosciences. 200 (1) (2006). 1-27.
11. Cohen J. Understanding HIV latency to undo it. Science. 332 (6031) (2011). 786.
12. Kim A. V., Kwon W. H., Pimenov V. G. Numerical methods and a software package for delay differential equations // The Third International Conference on Dynamical Systems and Applications. Atlanta. USA. May 26-29. 1999.
13. Kwong P. D., Mascola J. R., Nabel G. J. Rational Design of Vaccines to Elicit Broadly Neutralizing Antibodies to HIV-1. Cold Spring Harbor perspectives in medicine. 1 (1) (2011). P. a007278.
14. Ким А. В., Сафронов М. А., Кормышев В. М. Стабилизация модели распространения ВИЧ-инфекции в организме человека // Аграрный вестник Урала. 2013.
References
1. Kim A. V., Volokhova L. E., Zavodnikov D. E. Linear-quadratic stabilization of the combustion process in a liquid rocket engine // Bulletin of the Nizhny Novgorod University after the name of Lobachevsky. 2011. № 4. P. 172-173.
2. Kvon V. Kh., Kim A. V, Kormyshev V. M., Pimenov V. G., Solodushkin S. I. Analytical design and synthesis of controllers for systems with delay. Ekaterinburg : Urfu, 2010.
3. Kim A. V. i-Smooth analysis andfunctional-differential equations. Ekaterinburg : IMM UrO RAN, 1996. P. 236.
4. Kim A. V., Pimenov V. G. i-Smooth analysis and numerical methods of solution of functional differential equations. M.Izhevsk : Regular and Chaotic Dynamics, 2004.
5. Krasovskiy N. N. Analytical design of controllers for systems with delays. Vol. 26. Applied Mathematics and Mechanics, 1962. P. 39-51.
6. El'sgol'ts L. E., Norkin S. B. Introduction to the theory of differential equations with deviating argument. M. : Nauka, 1971. P. 296.
7. Kim A. V., Han S. H., Kwon W. H., Pimenov V. G. Explicit numerical methods and LQR control algorithms for time-delay systems. Proceedings of the international Conference on Electrical Engineering. Kyungju. Korea. July 21-25. 1998.
8. Arts E. J., Hazuda D. J. HIV-1 Antiretroviral Drug Therapy. Cold Spring Harbor perspectives in medicine. 2 (4) (2012). P. a007161.
9. Bocharov G., Chereshnev V., Gainova I., Bazhan S., Bachmetyev B., Argilaguet J., Martinez J., Meyerhans A. Human Immunodeciency Virus Infection : from Biological Observations to Mechanistic Mathematical Modelling. EDP Math. Model. Nat. Phenom. 2012. Vol. 7. № 2. P. 1-29.
10. Ciupe M. S., Bivort B. L., Bortz D. M., Nelson P. W. Estimating kinetic parameters from HIV primary infection data through the eyes of three different mathematical models. Mathematical biosciences. 200 (1) (2006). 1-27.
11. Cohen J. Understanding HIV latency to undo it. Science. 332 (6031) (2011). 786.
12. Kim A. V., Kwon W. H., Pimenov V. G. Numerical methods and a software package for delay differential equations // The Third International Conference on Dynamical Systems and Applications. Atlanta. USA. May 26-29. 1999.
13. Kwong P. D., Mascola J. R., Nabel G. J. Rational Design of Vaccines to Elicit Broadly Neutralizing Antibodies to HIV-1. Cold Spring Harbor perspectives in medicine. 1 (1) (2011). p. a007278.
14. Kim A. V, Kormyshev V M., Safronov M. A. HIV-infection model stabilization // Agrarian Bulletin of the Urals. 2013. www.m-avu.narod.ru 15 www.avu.usaca.ru
