Результаты применения метода выпрямления фронтов при моделировании термического расщепления графита Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.958:536.2

В.Ю. Ольшанский, В.Ю. Михайлов, А.В. Серебряков РЕЗУЛЬТАТЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ВЫПРЯМЛЕНИЯ ФРОНТОВ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ТЕРМИЧЕСКОГО РАСЩЕПЛЕНИЯ ГРАФИТА

Представлены результаты численного моделирования теплопереноса при термическом расщеплении предварительно окисленного графита. В рамках модели, основанной на задаче Стефана, получено нестационарное распределение температуры. Также определено положение подвижных границ раздела фаз. Для решения задачи использован метод выпрямления фронтов. Результаты расчетов удовлетворительно согласуются с результатами экспериментов.

V.Y. Olshansky, V.Y. Mikhailov, A.V. Serebrjakov RESULTS OF APPLYING OF THE STRAIGHTENING FRONTS METHOD WHILE SIMULATING GRAPHITE THERMAL EXFOLIATION

The results of numerical simulation of heat transfer while thermal exfoliations of preliminary oxidized graphite were presented here. Within the limits of simulation based on Stefan problem, a nonstationary temperature distribution was obtained. The position of moving boundaries of interphase was defined. The problem was solved by means of the method of straightening fronts. The results of calculations satisfactory agree with the results of experiments.

Рассмотрим термическое расщепление предварительно окисленного графита (ОГ). Ограничимся случаем, когда два размера технологической формы много больше третьего. Это позволяет провести расчеты на основе одномерной модели, рассмотрев термическое расщепление ОГ в бесконечном слое, помещенном между двумя пластинами, через которые осуществляется нагрев. В первоначальной засыпке технологической формы М L < 1. Здесь ho — толщина слоя графита, L — расстояние между пластинами, принятое за

характерную длину при переходе к безразмерным величинам.

В рамках предложенной модели процесс термического расщепления разделяется на три стадии. На первой происходит нагрев слоя ОГ за счет конвективного теплообмена через нижнее основание. При этом между слоем графита и верхней пластиной существует воздушная прослойка. Интенсивность теплообмена с этой прослойкой считается пренебрежимо малой. Распределение температуры в слое графита определяется из решения задачи нестационарной теплопроводности

= Fo(l) ■ d U2 , 0 < x < h0/ L, 0 < t < t1, (1)

dt dx2 0 1 w

u1(x,0) = u0, 0 < x < h0 /L ,

(2)

дых

дx

- Bi(1) • u1 (0, t) + Bi(1) • иш = 0 , (3)

x=0

дu1

дx

= 0. (4)

Через Fo, Bi обозначены соответственно числа Фурье и Био. Первая стадия завершается в

момент ^\, для которого и(0,^)=и*. Здесь и* - температура, при которой возникает фаза

терморасщепленного графита (ТРГ).

На второй стадии происходит нагрев через нижнее основание пакета слоёв ТРГ-ОГ. Для этой стадии характерно наличие двух подвижных границ: поверхности раздела фаз x = ^н() и свободной поверхности ОГ x = ф^). Движение свободной поверхности связано с изменением объема графита при термическом расщеплении. Имеет место

зависимость ф^) = — + | 1 - — |-£н ^), где к=сопв1:, к>1 - относительное изменение объёма

L У к у1

ОГ при его переходе в ТРГ. Распределения температуры Ul(x,t) в слое ОГ и и2(к^) в слое ТРГ определяются соответственно из решения задачи нестационарной теплопроводности для уравнения

дии- = Fo(1) •д ^ , (t)< x < ф^), t1 < t < t2 (5)

дt дк2 1 2 к }

при граничных условиях

ди

и( (t), ) = и*

дк

с начальным условием

= 0 (6)

к=ф()

и1(x, tl) = и1(1) (x, tl), 4 (t) < к < ф() (7)

и задачи для уравнения

“Г = •■дд:UГ, 0 < к <^н(t), tl < t < t2 (8)

дt дк

при граничных условиях

Г-^11

- Bi(2) • и2 (0, t) + В/'(2) • иш = 0 (9)

и2 & (t), t ) = u*, ди2

к=0

дк

с начальным условием в виде

щ (к, ^ ) = и* + Bi(2) (иш- и* )& (0-к), 0 < к <^н (). (10)

В формуле (10) ^н(^ определяется из предположения, что в начале второй стадии поверхность к=£н(Т) движется в течение малого промежутка времени 5^ с постоянной

к

скоростью. Скорость определяется выражением —- = Bi(2) •(иш- и*)• —, где Л -

Л Л

безразмерный комплекс, связанный с энтальпией фазового перехода.

В дальнейшем скорость движения поверхности раздела фаз определяется из

условия

Л ^

' ди1 к2 ди2

у дк к1 дк

к Л

(11)

Здесь кх, к2 - коэффициенты теплопроводности ОГ и ТРГ соответственно. Наличие условия (11) связывает между собой задачи (5)-(7) и (8)-(10). Решение ведется в рамках модели, основанной на задаче Стефана.

Для решения задач (5)-(7) и (8)-(10) с условием (11) использован метод выпрямления фронтов [1,2]. В областях ОГ и ТРГ соответственно вводятся новые

переменные

П =

Ън (/)- к Ън (t)-ф^)

и д = 1 -

к

При этом уравнение (5) принимает вид

ди1 = Fo(1) д 2и1 ЛЪН/ ^

дt (ф(0-£н (t))2 “П^ф^ЬЪн(t)

1-

п

к

ди1

дп

0 < п < 1, ^ < t < t2

а уравнение (8) - вид

ди2

Fo(2) д2г

'2 + Л Ън/dt •(д- 1) • ди2

1 > д > 0, t1 < t < t2.

“ Ън (t)2 дд2 ^н(t) “д

Условия (6), (7), (9) и (10) преобразуются соответственно. Условие (11) принимает вид

1

д и1

Ън()-Ф(t) дп

+ -

к

1 д и2

п

=0 к1 Ън() “д

д=0

Л ЛЪн

к dt

(12)

(13)

(14)

(15)

Решение ведется шагами по времени. Скорость ЛЪн/ dt определяется из условия (15). Далее, в предположении, что ее значение не меняется на промежутке времени At, решаются задачи нестационарной теплопроводности для и1(п,0, и2(С,0 с использованием конечноразностной схемы. Затем снова применяется условие (15) и повторяются вычисления для следующего промежутка времени. Стадия нестесненного расширения пакета слоев ТРГ-ОГ завершается в момент времени t=t2, когда свободная поверхность ОГ касается верхней пластины, т.е. при выполнении условия ф(^)=1.

На третьей, заключительной стадии происходит нагрев пакета слоёв ТРГ-ОГ-ТРГ с поверхностями раздела к=Ън(0 и к=1-Ъв(0. При этом объём между пластинами полностью занят ОГ и ТРГ, и переход из ОГ в ТРГ сопровождается изменением плотности ТРГ с течением времени по закону

р2н Р 2в р1

Ън ^2 )

(16)

В формуле (16) р1, р2н, р2в — плотности в слоях пакета.

Решение задачи ведется методом выпрямления фронтов. Замены переменных

п =

к -Ън (t)

1 -Ън ( )-Ъ. (! )'

д =1 -

Ън (t)

V =

(17)

соответственно в слое ОГ, нижнем слое ТРГ и верхнем слое ТРГ приводят к уравнениям

ди

Fo(2) д2;

и

ди1

дt

дt Ън (t)2 дд2 Ън(t)

Fo(1)

2 + ^н/Л •(д- 1)^.ди2

дд

д2и1 ЛЪ,н1 dt-п(ЛЪв/dt + ЛЪ,Н1 dt) ди1 (1 -Ъв (t)-Ън ())2 “п2 + 1 -Ъв (t)-Ън (t) “1

(18)

ди3 = Fo(3) д 2и3

+

ЛЪв! dt ди

дt Ъв (t) Ъв(t)

v•

“V

при соответствующих краевых условиях. Условия для тепловых потоков на поверхностях к=Ън(0 и к=1-Ъв(0 брались с учетом малой скорости перемещения слоя ОГ. После замены переменных (17) эти условия принимают соответственно вид

к

3

ды.

1 -| к)-Ъв () дП

+ -

К

= Л-

II1 + (* -('2>•

П=0 К1 1() ^ ?=0

ОЦ #• I» (Г)-ОЦ ^ I, (Г)'

(I» (‘ )+|, с ))2

1

= л-

£-| (0-|в (0 дП О|

О

ды1 к3 + — 1 ды3 Л

дп П=1 к1 I, ^) ду 1= >

-(1 - Ц ? ( ) °^/1^)- °1»11^)

Чк/1» (2 ^ (0+£, (г))2

( С )+1, С))2

Третья стадия и вместе с ней весь процесс завершаются в момент времени ^=з, для которого выполняется условие |„(^)+|в(^)=1, то есть весь объем окисленного графита переходит в терморасщепленный графит.

Рассматривался также случай граничных условий первого рода

ы„

х = 0 = ы” пРи 1 > 0

ы.

х

= 1= ыш при I > t2.

(20)

Так как нагрев происходит при значении ы«,>ы*, то первая стадия отсутствует и ^=0. Для малых значений t распределение температуры было получено аналитически. Использовались асимптотические разложения

Ы1 = Е Ы1г (Х)^ ?/2 +Е Ы1г (х> ? , Ы2 = Е Ы2г (х) • t

г=0 г=0 г=0

г/2

(21)

для температуры и представление

1 ^) = 1^

г=0

(г+1)/2

(22)

Подставив разложения (21), (22) в уравнения теплопроводности и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получим ряд обыкновенных дифференциальных уравнений для функций-коэффициентов. Далее в решении сохранялись слагаемые, соответствующие г=0. Условие (11) позволяет определить числовое значение а0, которое используется далее в методе выпрямления фронтов.

На рисунке представлено распространение с течением времени свободной поверхности ОГ и поверхностей раздела ОГ-ТРГ, которое получено в результате расчетов при И0/Ь=0,8, к=20, ^=300 с, ^о(1)=3,9, ^о(2)=51,4, В/(2) /Вг(1) = 10, К2/К1=0,1, Л=0,21, ык,/ы*=2, ы0/ы*=0,066. Расчеты проводились при разных значениях Вг(1) и при граничных условиях первого рода. Ранее авторами были получены результаты для нестесненного термического расщепления графита. Эти результаты представлены в работах [3,4].

1

ад А

О 0.1 0.2 0.3 04 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

1 - В/<1)=0,4, 2 - В/(1)=0,8, 3 - В/<1)=2,0, 4 - граничные условия первого рода

ЛИТЕРАТУРА

1. Будак Б.М. Разностные методы решения некоторых краевых задач типа Стефана / Б.М. Будак, Ф.П. Васильев, А.Б. Успенский // Численные методы в газовой динамике: сб. работ ВЦ МГУ. М.: Изд-во МГУ, 1965. С. 139-183.

2. Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача / П.Н. Вабищевич, А. А. Самарский. М.: Едиториал УРСС, 2003. 784 с.

3. Михайлов В.Ю. Метод выпрямления фронтов при численном моделировании термического расщепления графита / В.Ю. Михайлов, В.Ю. Ольшанский,

A.В. Серебряков // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 2004. С. 72-76.

4. Михайлов В.Ю. Решение задачи Стефана методом выпрямления фронтов для расчета процесса термического расщепления графита / В.Ю. Михайлов,

B.Ю. Ольшанский, А.В. Серебряков // Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып. 6. С. 202-205.

Ольшанский Владимир Юрьевич -

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Высшая математика и механика»

Энгельсского технологического института (филиала)

Саратовского государственного технического университета

Серебряков Андрей Владимирович -

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшая математика и механика»

Энгельсского технологического института (филиала)

Саратовского государственного технического университета

Михайлов Владимир Юрьевич -

аспирант кафедры «Высшая математика и механика»

Энгельсского технологического института (филиала)

Саратовского государственного технического университета