CC BY
71
■ Мкарю, що практикуе
To General Practitioner
YAK 616-071-191-616-001.616.728
КАРПИНСКИЙ М.Ю., КАРПИНСКАЯ ЕЛ, ЩИКОТА P.A., ТЯЖЕЛОВ A.A., ГОНЧАРОВА A.A. Институт патологии позвоночника и суставов им. проф. М.И. Ситенко АМН YKpanHbi, г. Харьков НИИ травматологии и ортопедии AонНМYим. М. Горького, г. Аонецк
РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПОВРЕЖДЕНИЙ СВЯЗОЧНОГО АППАРАТА КОЛЕННОГО СУСТАВА
Резюме. В статье приведены результаты моделирования механических свойств связок коленного сустава и прочности всего связочного аппарата коленного сустава при частичном повреждении одной из связок. Полученные данные показали, что прочность связки на разрыв определяется ее вязкостными свойствами, а частичные (на 50 % площади поперечного сечения связки) повреждения одной из связок не приводят к значительному снижению прочности всего связочного аппарата коленного сустава, в то время как разрыв коллатеральной и частичное повреждение крестообразной связок приводят к значительному снижению прочности всего связочного аппарата коленного сустава.
Ключевые слова: острая травма коленного сустава, компенсация функции поврежденных связок.
Введение
Нормальное функционирование коленного сустава в клинической практике определяется взаимосвязью понятий «стабильность» и «конгруэнтность». Эти понятия не только взаимосвязаны, но и взаимозависимы. В частности, стабильность коленного сустава определяет сохранение конгруэнтности суставных поверхностей большеберцовой и бедренной костей при активных и пассивных движениях. С другой стороны, сохранение конгруэнтности суставных поверхностей свидетельствует о правильной работе механизмов активного и/ или пассивного замыкания коленного сустава при любом положении и любом неразрушающем на-гружении сегментов конечности. Ведущую роль в стабилизации, а следовательно, сохранении конгруэнтности суставных поверхностей играет связочный аппарат, повреждение которого резко нарушает нормальную функцию коленного сустава, быстро приводя к развитию гонартроза.
Известно, что крестообразные связки обеспечивают стабильность коленного сустава, главным образом в сагиттальной плоскости. При этом данная функция передней крестообразной связки не дублируется работой других структур, поэтому нестабильность в сагиттальной плоскости остается некомпенсированной при полном разрыве передней крестообразной связки [1]. Что касается коллатеральных связок коленного сустава, то они не только стабилизируют сустав во фронтальной плоскости, но и одновременно обеспечивают ротационную ста-
бильность и ограничение разгибания голени за счет включения механизма мышечной стабилизации. Согласно концепции первичных и вторичных стабилизаторов коленного сустава актуальным остается вопрос о действии хирургов при сочетанном повреждении связочного аппарата коленного сустава, в частности при разрывах коллатеральных и частичном повреждении передней крестообразной связок, так как в данном случае трудно не только провести четкую грань между показаниями к консервативному и оперативному лечению, но и определить необходимый объем оперативного вмешательства.
Для ответа на эти вопросы нами проведено математическое моделирование работы связочного аппарата коленного сустава при сдвиговых и ротационных движениях голени.
Материалы и методы
В первой части работы на примере крестообразной связки проведено математическое моделирование механических свойств связок коленного сустава как реологической среды.
Во второй части работы изучены основные причины разрыва модели связки и предел ее прочности при частичном повреждении.
В качестве модели передней крестообразной связки использована модель стандартного линейного тела (модель Кельвина). Данная модель представляет собой параллельное соединение упругого и вязкого элементов, последовательно к которым присоединен еще один упругий элемент (рис. 1).
Рисунок 1. Модель стандартного линейного тела (модель Кельвина)
Результаты исследования
Часть 1. Математическое моделирование механических свойств связки коленного сустава как реологической среды
Исходя из свойств последовательного соединения, запишем выражение для общей деформации:
£ + £ С1 2'
(1)
где £1 — деформация параллельного соединения, е2 — деформация упругого элемента.
Напряжение ст в элементах одинаковое. Для параллельного блока имеем определяющее соотношение:
ст = E. £, + л — , 11 dt
для упругого — закон Гука:
£2 = E •
(2)
(3)
Выполнив расчеты, получим соотношение, называемое также стандартным линейным телом:
ст(Е + Е2) £Е,Е2 1 - 12 + Е
Ж
dCT
dt
+
л
л
^ (4)
Е = Е1 = Е2.
(5)
В таком случае уравнение (4) примет вид:
+ 2E = E2 ^ + E d dt л л dt
Подставим в полученное уравнение значение модуля вязкости л, получим уравнение в окончательном виде:
+ 4ст(1 + й) = 2Е£(1 + й) + Еа- . (7)
Решение данного уравнения возможно для двух вариантов работы модели с разными начальными условиями. Ниже представлены необходимые для решения данного уравнения расчеты.
Первый вариант. Определение зависимости напряжения в материале от времени при постоянной величине деформации: £ = const.
В таком случае скорость деформации будет равна нулю:
d£ dt
= 0.
Следовательно, уравнение (7) примет вид: -dCT + 4ст(1 + й) = 2E£(1 + й).
(8)
(9)
После интегрирования получим зависимость напряжения в материале от времени при постоянной деформации:
CT(t) = f +
CT(t.) - f
,4ст(1 + й)(|0 - t)
(10)
Для упрощения расчета предположим, что модуль упругости обоих блоков модели одинаков:
Проанализируем полученное уравнение.
В начальный момент времени напряжение в материале соответствует напряжению, возникшему в процессе предварительного деформирования материала.
При условии г^^ предел экспоненциальной функции стремится к нулю:
lim е4ст(1 + й)('- - « ^ 0.
В этом случае
lim ст(0 ^ — .
На основании проведенных расчетов в графическом виде представлена функция зависимости напряжения в материале от времени при постоянной величине деформации (рис. 2).
Как показано на графике, при постоянной величине деформации величина напряжений в материале образца экспоненциально снижается до величины, соответствующей напряжению в упругой составляющей материала.
Второй вариант решения уравнения (7). Предположим, что на образец материала действует постоянная сила и, соответственно, напряжение в материале со-
Рисунок 2. График зависимости напряжения в материале от времени при постоянной величине деформации
ст
храняется постоянным: ст = const, следовательно, скорость изменения напряжения будет равна нулю:
йст dt
= 0.
Тогда уравнение (7) приобретает следующий вид:
4а(1 + й) = 2Ее(1 + й) + ^ . (11)
Проинтегрируем данное выражение по времени и получим уравнение зависимости величины деформации от времени:
=E+
S(to) - E
2(1 + U)(to - t
(12)
Проведем анализ полученной зависимости.
В начальный момент времени t = t0, следовательно, экспоненциальная функция е0 = 1, тогда e(t) = е(^).
Так как в начальный момент времени деформация материала отсутствует, следовательно e(t0) = 0.
При предел экспоненциальной функции стремится к нулю:
lim е 2(1 + ' - ' t—
•0.
В этом случае
lim e(t) - . — E
(13)
(14)
Рисунок 3. График зависимости величины деформации образца от времени при постоянном напряжении в материале
Приведенный на рис. 3 график наглядно иллюстрирует вязкость материала, когда деформация увеличивается без увеличения напряжения в материале и стремится к максимальному значению, определяемому упругой компонентой материала.
Для определения прочностных свойств связок коленного сустава приводим расчеты. Для этого воспользуемся справочными данными [2] (табл. 1).
Относительная продольная деформация е — величина, характеризующая деформацию любых длин и сечений при растяжении образца [3].
Удлинение образца какого-либо материала А/, возникающее под действием внешней силы Б, пропорционально действующей силе, первоначальной длине образца / и обратно пропорционально площади поперечного сечения образца (закон Гука):
. , alF М = ^ ,
(15)
Проведенные расчеты представлены в графическом виде, функция зависимости величины деформации связки от времени при постоянном напряжении в материале будет выглядеть следующим образом (рис. 3).
где а — коэффициент продольного растяжения материала, численно равный деформации, которую приобретает образец, имеющий длину, равную единице, при деформирующей силе, равной единице [4]; / — длина образца; А/ — величина удлинения образца при растяжении.
Так как экспериментальные данные, касающиеся величин относительного удлинения и предела прочности связок коленного сустава, имеют очень большой разброс, будем ориентироваться на их минимальные значения и примем:
е = 110 %, ст = 4,0 МПа.
Рассмотрим зависимость величины удлинения связки от времени при постоянно действующем напряжении, соответствующем предельно допустимой величине, с учетом справочных данных и данных, полученных при расчете.
Для этого зададимся следующими начальными условиями: начальная длина связки
e(t0) = 0,02 м;
(16)
напряжение в материале будем считать постоянным: ст = const — и соответствующим предельно допустимой величине (табл. 1): ст = ст^ = 4,0 МПа; модуль упругости Юнга: Е = 1,64 МПа; коэффициент Пуассона: ц = 0,48.
Представленные расчеты явились основанием для построения графика зависимости величины удлинения связки от времени при постоянно действующем и
Таблица 1. Относительная продольная деформация е и предел прочности стпр связок коленного сустава человека
Связка Е, % ст , МПа пр>
Мужчины Женщины Мужчины Женщины
Надколенника 113 160 4,02-23,8 3,53-13,73
Боковая большеберцовая 113-115 113-138 5,98-41,19 10,78-26,48
Боковая малоберцовая 113-155 110-160 5,88-30,40 3,92-20,60
соответствующем предельно допустимой величине напряжении (рис. 4).
Как видно на графике, если бы материал связки не разрушался, то мог бы достичь максимального удлинения около 5 м (сплошная линия на графике). Так как величину относительного удлинения связок коленного сустава мы приняли равной 110 %, согласно табл. 1, рассмотрим более детально участок функции от 0 до 0,005 с. Соответствующий график представлен на рис. 5.
Приведенный график наглядно показывает, что удлинение связки относительно первоначального размера (£ = 110 %) при действии предельно допустимого напряжения достигается к моменту времени 0,0015 с.
Отсюда можно определить скорость деформации, которая может привести к разрыву связок коленного сустава:
£ 0,022 кд = 7 = (ШТ5 = 14, 67 м/с (17)
или ¥Д -
52,8 км/ч.
Таким образом, данные, полученные при моделировании механических свойств связок коленного сустава, позволяют сделать вывод о том, что основную роль в предупреждении разрыва при деформации связок коленного сустава играют их вязкостные свойства, а величина деформации связки зависит от скорости ее нарастания.
Часть 2. Основные причины повреждения и предел прочности модели связочного аппарата коленного сустава
Наиболее показательно вязкопластические свойства материала проявляются при сдвиговых деформациях в виде касательных напряжений [3, 4]. Расчет на прочность ведется по ним.
Схема механизма травмы, связанного с ротационными движениями в коленном суставе, представлена на рис. 6.
Рисунок 4. График зависимости величины удлинения связки от времени при постоянно действующем напряжении
0 , 1 0 , 009 0 , 08 0 , 07 0, 06 1 0, 05 « 0 , 04 0,03 0,02 0,01 0
2 1 1 4 1 1 6 1 1 8 1 1 01 1 1 2 1 1 4 1 1 6 1 1 8 1 1 2 1 1 2 1 1 4 1 1 6 1 1 8 1 1 3 1 1 2 1 1 4 1 1 6 1 1 8 1 1 4 1 1 2 1 1 4 1 1 6 1 1 8 1 5
0 0 0 0 1 1 1 1 0 2 2 2 2 0 3 3 3 3 0 4 4 4 4 0
0 0 0 0 ,0 0 0 0 0 ,0 0 0 0 0 ,0 0 0 0 0 ,0 0 0 0 0 ,0
,0 ,0 ,0 ,0 0, ,0 ,0 ,0 ,0 0, ,0 ,0 ,0 ,0 0, ,0 ,0 ,0 ,0 0, ,0 ,0 ,0 ,0 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
^ с
Рисунок 5. Начальный участок графика зависимости величины удлинения связки от времени при постоянно действующем напряжении
М
кр
Ж '
(18)
Ж -
кр
Ъй2 3
(19)
М
1Ъ
2 ,
(20)
где Г — сила, действующая на образец.
Важным параметром при расчете на кручение является относительный (погонный) угол закручивания, имеющий размерность рад/м:
0 =
М
кр
GI ,
(21)
где G — модуль сдвига; I — момент инерции.
Модуль сдвига является константой для всех точек сечения и определяется выражением:
Е
л
"2(1 + Ц)'
(22)
Рисунок 6. Схема механизма травмы, связанного с ротационными движениями в коленном суставе
Проведем расчет усилий, возникающих в крестообразной и коллатеральных связках коленного сустава при ротационных движениях голени.
Для расчета сил, возникающих в этих связках при ротационных движениях голени, используем методику расчета на кручение образцов с прямоугольным сечением [3]. Расчетная схема приведена на рис. 7.
Наибольшие касательные напряжения* возникают в средних точках длинных сторон контура и определяются как:
где Е — модуль упругости материала; ц — коэффициент Пуассона.
Момент инерции для образца прямоугольного сечения определяется формулой:
Ъй3 3
(23)
Значение крутящего момента можно выразить следующим образом:
М = 0 л I.
кр
(24)
После выполнения преобразований и расчетов (частично опущены) получим окончательное уравнение зависимости величины силы, действующей на образец прямоугольного сечения при кручении, от угла скручивания:
Г=
0Ей
(25)
где М — момент кручения; — момент сопротивления сечения при кручении.
Момент сопротивления при кручении для образца прямоугольного сечения определяется как:
где й — длина короткой стороны образца; Ъ — длина длинной стороны образца.
Величина крутящего момента для тонкостенного объекта прямоугольного сечения прямо пропорциональна величине действующей силы и половине величины длинной стороны:
3(1 + Ц)'
Для расчета величины силы, необходимой для скручивания связки, зададим значения вышеуказанных параметров:
— длина длинной стороны сечения Ъ = 0,015 м;
— длина короткой стороны сечения й = 0,010 м;
— коэффициент Пуассона ц = 0,48;
— модуль упругости Е = 1,64 МПа.
Подставив данные значения в уравнение, построим график зависимости силы, возникающей в межкостной мембране при скручивании, от величины угла закручивания голени (рис. 8).
Как видим из графика, силы, возникающие в связке, незначительны по величине и при угле закручивания голени 20° не превышают 0,05 Н.
Проведенный расчет еще раз показал, что сама по себе деформация связки не играет решающей роли в
Рисунок 7. Расчетная схема напряжений, возникающих в образце некруглого сечения при кручении
* Эти и другие данные взяты из справочной литературы [5].
х
тах
ее разрушении. Основной причиной разрыва связки остается скорость нарастания деформации.
В контексте вышесказанного коллатеральные связки можно рассматривать как своего рода амортизаторы скорости нарастания деформации при нагрузке на крестообразную связку, что, в свою очередь, может внести коррективы в тактику лечения пострадавших с частичным повреждением крестообразной связки, сочетающимся с разрывом коллатеральных связок.
Для решения вопроса о тактике лечения указанного сочетанного повреждения воспользуемся методикой расчета заклепочных соединений [6].
Предположим, что 4 связки коленного сустава (передняя и задняя крестообразные, боковые большебер-цовая и малоберцовая) при деформациях сдвига работают аналогично заклепкам.
Условие прочности при сдвиге имеет вид:
е
< ст
(26)
ст = 40-
СТ = кй- .
Условие прочности заклепок на срез имеет вид: F
ст = < ст .
kS пр
(29)
(30)
Рассчитаем, как влияет частичное повреждение одной связки на общую прочность на срез всего соединения. Ниже приведены необходимые расчеты.
Как показывают уравнения (29) и (30), при одинаковой силе воздействия прочность соединения зависит только от площади поперечного сечения связок. Если предположить, что диаметр связок одинаков, то общая площадь их поперечного сечения будет составлять:
5
общ
4
кй2 4
= кй2.
(31)
где 0 — равнодействующая внутренних сил в плоскости сдвига; 5 — площадь сдвига; стпр — допускаемое касательное напряжение материала детали.
На каждую заклепку при статическом, т.е. практически неизменном, нагружении действует одинаковая сила, и заклепки разрушаются одновременно. Поэтому считаем, что сила, приходящаяся на одну связку, будет равна:
0 = £ , (27)
Предположим, что передняя крестообразная связка имеет повреждение размером 0,5й. В таком случае площадь поперечного сечения поврежденной связки будет равна:
Г й
5
2
4
кй2 16 .
(32)
Общую площадь поперечного сечения связок определим как сумму площадей неповрежденных коллатеральных и поврежденной передней крестообразной связок:
где k — число заклепок.
Допустив, что поперечное сечение связки имеет круглую форму, получим, что его площадь равна:
5 =
кй2 4 :
(28)
2,5-
1 1,5-сс
5 1
0,5-
10 ' 20 ' 30 ' 40 ' 50 ' 60 ' 70 ' 80 ' 90 ' Угол скручивания, градусы
Рисунок 8. График зависимости силы, возникающей в связке коленного сустава при скручивании, от величины угла закручивания голени
= 35 + 5 ,
общ п'
5 = 3 кй2 + кй2 = 1 Зк й2 общ 4 16 16 .
(33)
(34)
где й — диаметр поперечного сечения связки.
Приняв равномерное распределение касательных напряжений по сечению связки и подставив значение площади из выражения (28) в выражение (26), найдем их величину:
Предел прочности соединения с поврежденной связкой будет снижен пропорционально уменьшению общей площади поперечного сечения связок:
5'б
общ 5общ
(35)
где стпр — предел прочности соединения с поврежденной связкой.
Из полученного выражения определим, чему равен предел прочности всего связочного аппарата с поврежденной связкой:
ст
пр О
5'б
общ
1З
0,81 ст
общ 16 пр ■'■""пр-
(36)
Проведенные расчеты показывают, что при уменьшении поперечного сечения одной связки (в нашем случае передней крестообразной) на 50 % предел прочности всего связочного аппарата коленного сустава уменьшается только на 19 %. Таким образом, можно заключить, что частичное повреждение передней крестообразной связки не приводит к значительному снижению прочности всего соединения коленного сустава.
ст
или
ст
пр
ст
пр
2
ст
пр
Аналогично можно рассчитать, что при полном повреждении одной из связок (в нашем случае коллатеральной) предел прочности всего связочного аппарата коленного сустава будет составлять 0,75ст. Другими словами, предел прочности связочного аппарата коленного сустава уменьшится на 25 %.
Если предположить полное повреждение одной из связок коленного сустава (например, большеберцо-вой коллатеральной) и частичное повреждение другой связки (например, передней крестообразной), то предел прочности всего связочного аппарата коленного сустава в целом составит 0,56ст, т.е. уменьшится почти наполовину (на 44 %), что недопустимо с точки зрения стабильности сустава.
Выводы
Основную роль в предупреждении разрыва связок коленного сустава играют их вязкостные свойства. Величина деформации связки зависит от скорости ее нарастания, критический предел которой составляет 14 м/с.
При частичном повреждении передней крестообразной связки (до 50 % площади поперечного сечения связки) и сохранении целостности остальных трех связок предел прочности всего связочного аппарата коленного сустава уменьшается незначительно, только на 19 %.
При полном повреждении одной из связок (в нашем случае коллатеральной) предел прочности всего связочного аппарата коленного сустава будет составлять 0,75ст. Другими словами, предел прочности связочного аппарата коленного сустава уменьшится на 25 %.
При полном разрыве коллатеральной связки, сочетающемся с частичным повреждением передней крестообразной связки (не более 50 % площади поперечного сечения связки), предел прочности связочного
аппарата коленного сустава уменьшается на 44 %, т.е. происходит значительное его снижение.
Коллатеральные связки можно рассматривать как амортизаторы скорости нарастания деформации при нагрузке на крестообразную связку.
Клинической интерпретацией полученных расчетных данных может быть следующий вывод: разрыв коллатеральной связки, сочетающийся с частичным повреждением передней крестообразной связки, является показанием к хирургическому восстановлению коллатеральной связки, и его можно расценивать как меру профилактики развития несостоятельности крестообразной связки, ведущей к нестабильности коленного сустава в дальнейшем.
Список литературы
1. Рами ТалибМутшер Мушер. Роль пошкодженьмя'ко-тканинних структур колшного суглоба у розвитку го-нартрозу: Автореф. дис... канд. мед. наук/Рами Талиб Мутшер Мушер. — Донецк, 2012. — 20 с.
2. Березовский В.А. Биофизические характеристики тканей человека: Справочник / В.А. Березовский, Н.Н. Колотилов. — К.: Наукова думка, 1990. — 224 с.
3. Яворский Б.М. Справочник по физике/Б.М. Яворский, А.А. Детлаф. — М.: Наука, 1968. — 940 с.
4. Кошкин Н.И. Справочник по элементарной физике / Н.И. Кошкин, М.Г. Ширкевич. — М.: Наука, 1966. — 248 с.
5. Сена Л.А. Единицы физических величин и их размерности /Л.А.Сена. — М.: Наука, 1977. — 336 с.
6. Сурин В.М. Техническая механика: Учебное пособие. — Мн.: БГУИР, 2004. — 292 с.
Получено 21.08.12 □
Карпнський М.Ю., Карпнська &.Д., Щикота Р.А., Тяжелов А.А., Гончарова Л.Д.
Нститут патологПхребта й суглоб'т iM. проф. М.1. Ситенка АМН Украни, м. Харюв
НД1 травматологи й ортопедПДонНМУiM. М. Горького, м. Донецьк
РЕЗУЛЬТАТИ МОДЕЛЮВАННЯ УШКОДЖЕНЬ ЗВ'ЯЗКОВОГО АПАРАТУ КОЛШНОГО СУГЛОБА
Резюме. У статга наведено результата моделювання меха-шчних якостей зв'язок колшного суглоба та мщносп усього зв'язкового апарату колшного суглоба при частковому пошко-дженш одше! i3 зв'язок. Отриман дат показали, що мщтсть на розрив зв'язки визначаеться и в'язистю, а частковi (на 50 % площини перетину зв'язки) пошкодження одте! iз зв'язок не призводять до значного зниження мщносп усього зв'язкового апарату колшного суглоба, тодi як розрив колатерально! i част-ковi пошкодження хрестождабно! зв'язок ведуть до значного зниження мщносп усього зв'язкового апарату колшного су-глоба.
K^40Bi слова: гостра травма колшного суглоба, компенса-цш функцп пошкоджених зв'язок.
Karpinsky M.Yu., Karpinskaya Ye.D., Schikota R.A., TyazhelovA.A., Goncharova L.D. Institute of Spine and Joints Pathology named after M.I. Sitenko of AMS of Ukraine, Kharkiv RI of Traumatology and Orthopaedy of DNMU named after M. Gorky, Donetsk, Ukraine
RESULTS OF KNEE LIGAMENT INJURIES MODELING
Summary. The article considers the results of modeling of mechanical properties of knee ligament and durability of all knee ligament apparatus in partial damage of a ligament. The obtained data showed that ligamentrupture durability is determined by its frictional properties, and partial (to 50 %) damages of one of ligaments do not bring to the considerable decline of durability of knee ligament apparatus. The collateral rapture and partial damage of the crucial ligament lead to a significant decrease in the strength of the whole knee ligament.
Key words: acute knee trauma, compensated function of injured ligaments.
