Результаты численного исследования субгармонического поведения пологой круговой арки Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

bß) b sin ß sinß

Рис. 5. Зависимость момента центробежных сил от угла поворота сателлита

Анализ момента кориолисовой силы инерции Мк = 2т5ЬЫф2 показывает, что Мк = 0 на участ-

ках, где груз не имеет прямолинейного движения (b = const) , Мк > 0 при движении груза к центру

сателлита и Мк < 0 при движении от центра к периферии.

Если среднее за цикл значение Мк = 0, то суммарное значение момента, передаваемого на выходной вал, является положительным и появляется возможность выхода системы на рабочий режим ф3 =фх.

Дальнейшим развитием данной схемы является ограничение движения груза по каналу сателлита. Это ограничение исключит возможность получения отрицательных значений момента центробежных сил и снизит удары об ограничительные упоры на периферии сателлитов.

b

0

Библиографический список

1. Грудинин В.Г. Исследование влияния дополнительных связей в колебательных механических системах вращательного типа // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2011. № 2. С. 34-40.

2. Есин Г.Д. Соединительная муфта с упругими динамическими связями как изолятор крутильных колебаний // Известия вузов. Машиностроение. 1959. № 12. С. 3-15.

3. Грудинин В.Г. Способ динамического гашения крутильных

колебаний дополнительными связями второго порядка // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2011. № 5. С. 6-15.

4. Елисеев С.В., Грудинин Г.В. Теоретические основы работы динамического гасителя крутильных колебаний в случае кинематических возмущений // Инерционно-импульсные механизмы, приводы и устройства: труды II Всесоюзн.науч. конф. Челябинск, 1978. С. 159-164.

УДК 539.3/.6

РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ СУБГАРМОНИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ПОЛОГОЙ КРУГОВОЙ АРКИ

1 9

© Н.Л. Дорофеева1, И.А. Дорофеев2

Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Для динамической модели пологой круговой арки приводятся собственные частоты и формы изгибных колебаний. В указанном диапазоне частот исследуются области неустойчивости и строятся кривые реакции гармонических (Т-периодических) и ответвляющихся от них субгармонических (2Т-периодических) колебаний арки. Ил. 6. Библиогр. 6 назв.

Ключевые слова: уравнения движения арки; собственные частоты; кривые реакции; гармонические и субгармонические колебания.

NUMERICAL STUDY RESULTS OF FOUR-CENTRED CIRCULAR ARCH SUBHARMONIC BEHAVIOR N.L. Dorofeeva, I.A. Dorofeev

Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

Eigen frequencies and the forms of bending vibrations are given for the dynamic model of a four-centred circular arch. The instability regions are studied within the specified frequency range. The response curves of harmonic (T-periodic) arch vibrations and subharmonic (2T-periodic) ones branching off them are built. 6 figures. 6 sources.

Key words: equations of arch motion; natural frequencies; response curves; harmonic and sub-harmonic vibrations.

1Дорофеева Наталья Леонидовна, кандидат технических наук, доцент кафедры сопротивления материалов и строительной механики, тел.: 89643504389, е-mail: dorofeeva.nat.l@yandex.ru

Dorofeeva Natalya, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Strength of Materials and Structural

Mechanics, tel.: 89643504389, e -mail: dorofeeva.nat.l@yandex.ru

2Дорофеев Иван Андреевич, студент, тел.: 89041233339, e-mail: prof[h@yandex.ru

Dorofeev Ivan, Student, tel.: 89041233339, e-mail: prof[h@yandex.ru

При современном уровне техники, характеризующимся интенсивными динамическими нагрузками, резко повышается практическое значение расчёта тонкостенных конструкций, подвергающихся циклическим, периодическим нагрузкам. К пластинчатым и оболо-чечным элементам конструкций предъявляются противоречивые требования, связанные с достаточной прочностью и снижением веса, что приводит к уменьшению их толщины. При этом интенсивные динамические нагрузки приводят к прогибам, сравнимым с толщиной элемента.

Исследование возникающих при больших прогибах динамических состояний оболочек может быть выполнено лишь с позиций геометрически нелинейной теории. Работа конструкций в таких условиях связана с возникновением ряда сложных физических эффектов, влияющих на устойчивость движения. Они характеризуются резким усложнением геометрии поверхности, явлением перекосов и бифуркаций. Эти нелинейные эффекты могут существенно влиять на образование микротрещин, разрушая конструкцию вплоть до выхода её из строя. Учёт влияния динамических гармонических нагрузок и моделирование стационарных динамических процессов весьма актуальны [1, 2].

В нелинейных системах при действии гармонических нагрузок могут возбуждаться колебания частоты вдвое или втрое меньше частоты прикладываемой нагрузки. Такие колебания называются субгармоническими.

Рассмотрим результаты численного исследования субгармонических 2Т-периодических колебаний пологой круговой арки.

Арка шарнирно оперта. Геометрические размеры арки: прямоугольное сечение шириной Ь = 0,01 м ,

толщиной И = 0,002 м ; длиной I = 0,2 м ; стрела

подъема / = 0,006 м. Жёсткостные характеристики

арки: модуль упругости Е = 70 ГПа , коэффициент

Пуассона /л = 1/3 , плотность р = 2700 кг/м3.

Теоретическое обоснование численной методики построения нелинейных динамических моделей, основанной на методе конечных элементов, использовании метода Бубнова - Галёркина и теории Ляпунова подробно описано в работах [3-5].

Уравнение движения, описывающее нелинейные колебания пологой арки в режиме 2Т-периодических колебаний, записывается в виде:

у + 2е1 у+соо у+ку2+0у3 = = Х- И Соя п от

(1)

где И0 - величина обобщенной нагрузки; Х - параметр интенсивности нагрузки; т = о^ - безразмерное время; о = о / о0 - безразмерная частота; о0 - низшая собственная частота исследуемого объекта, соответствующая симметричной форме изгиб-ных колебаний.

Решение уравнения движения, включающее ста-

тическую, гармоническую Т-периодическую и субгармоническую 2Т-периодическую составляющие, ищется в виде отрезка ряда Фурье [3]:

у = А + АСоя о т + АСоя 2 от. (2) Систему нелинейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов А , А, А получают

методом гармонического баланса.

Эта система уравнений имеет два множества решений. Рассмотрим множество, характеризуемое равенством А = 0.

Это множество решений описывает эволюцию гармонических Т-периодических колебаний рассматриваемой системы (частоты 2 о при нагрузке вида

ХИ0Соя 2 о т) и характеризуется выражением

у = А - АСоя 2 о т. (3) Первое множество решений является функцией статической составляющей прогиба арки А и задается соотношениями:

А = ±.

2 9

-2 А (®0 + кА + РА)

к + зр-А

Х = А И

|«о - 4о2

+2И+—р(4 А2 + А2)

(4)

При гармонических колебаниях на дорезонансных частотах выражений А реализуется знак «+», при

колебаниях на зарезонансных частотах - знак «-».

Расчетная схема метода конечных элементов состоит из 64 элементов в виде полосы с одним элементом по ширине. Путем решения обобщенной проблемы собственных значений [4] было определено девять низших собственных форм изгибных колебаний, служащих базисом для построения математической модели в обобщенных координатах. Соответствующие этим формам собственные частоты равны: о = 2900,57 рад / с (0,57),

о = 5070,43 рад / с (1), о = 57146,53 рад / с (1,41), о = 11613,2 рад/с (2,29), о= 18188,5 рад/с (3,59), . о = 26135,58 рад/ с (5,15), о = 35588,57 рад/с (7,02), о = 46469,48 рад / с (9,16), о = 58850,8 рад/с (11,61) В скобках приведены относительные частоты о =®ы /®02. Собственные формы изгибных колебаний нормированы так, чтобы максимальный прогиб для каждой формы был равен толщине объекта. Ам-

плитуды колебаний и их составляющие, показанные на рис. 1-6, представляющие результаты численных экспериментов, приводятся в долях толщины арки.

На арку действует нормальное равномерно распределенное давление, изменяющееся во времени по

гармоническому закону вида ЯИ0 • Cos 2 ш т . Вызываемое этой нагрузкой движение описывается симметричными формами изгибных колебаний. Пять первых собственных форм изгибных колебаний арки изображены на рис. 1. Среди них симметричными являются вторая, третья и пятая, а первая и четвертая формы кососимметричны. Низшей симметричной формой является вторая форма, и соответствующая ей частота принимается в качестве базовой (все частоты выражены в долях щ2 ). Несимметричные

формы движения ортогональны приложенной нагрузке, поэтому их учет не изменяет результатов расчетов, так как в соответствующие области неустойчивости рассматриваемые диапазоны частот и амплитуд нагрузки не попадают.

Вывод уравнения движения арки, которая исследуется на основе однопараметрической модели при учете только низшей симметричной собственной формы изгибных колебаний с номером 2, приведен в работе Н.Л. Дорофеевой [5], а его обоснование - в работах Е.С. Дехтярюка, Е.Д. Лумельского [4] и Н.Л. Дорофеевой [б].

При вычислении коэффициентов системы уравнений движения арки, которая исследуется на основе динамической модели с двумя и тремя степенями свободы, в качестве базиса выбирались вторая и тре-

тья (при = 2 ) и вторая, третья и пятая (при

«У = 3 ) собственные формы изгибных колебании. Приведем уравнения движения арки, соответствующие = 2:

(5)

у2 + О,0064 у2+у2+ 0,8244 у\ --0,9А51у2уъ + 0,1655^3 + 0,2325у\ --1,006y2y3 +1,895у2Уз2 " 1,339у3 = = Д0,00444 Cosn Ст,

у3 +0,009 й + 1,987^ --0,3406 у; +0,238>ул + +2,781у32 - 0,2416у3 + +1,365у2Уз - 2,892у2уз2 +

+2,666у3 = Д • 0,00375 Cosn с т.

Все уравнения движения записаны с учетом диссипации с декрементом колебаний £ = 0,02.

Собственные формы изгибных колебаний более высокого порядка в связи с разреженностью спектра собственных частот арки влияния на результаты в рассматриваемом диапазоне частот практически не оказывают, поэтому указанной размерности модели арки достаточно для достижения внутренней сходимости.

W

ш01 = 0,572

W

W

t С02 = 1,0

W

ш 05 = 1,409

t ш 04 = 2,29

W-

ш05 = 5,58

Рис. 1. Собственные формы изгибных колебаний пологой круговой арки

t

В работах [3, 5, 6] описывается метод построения субгармонических 2Т-периодических режимов колебаний с помощью метода продолжения по параметрам в частотной области. При построении кривых реакций, отображающих колебания круговой арки, частота

нагрузки 2а и возбуждаемые частоты гармонических (2а) и субгармонических (а) колебаний неизменны (фиксируется параметр а, а переменным является параметр нагрузки Л ). На траектории гармонического

Т-периодического решения с частотой колебаний 2а выявляется точка бифуркации. В этой точке путем специального выбора ведущего параметра при помощи метода продолжения решения по параметру осуществляется переход на траекторию

2Т-периодического движения с частотой а.

На рис. 2 показана кривая реакции Т-периодического движения, соответствующая соотношениям (4), в координатах А ~Л , где А2 - амплитуда Т-периодического решения; Л - параметр нагрузки. Кривая реакции построена при частоте

нагрузки 2а = 2,0. Точки Ъх и Ъ2 являются точками бифуркации исходного Т-периодического движения в субгармоническое 2Т-периодическое, К и Ь - верхняя и нижняя предельные точки режима Т-периодических колебаний. При потере устойчивости в точке К возможен перескок на устойчивую ветвь Ь - М.

Л 1500

1000

500

1~т I I I I

Ъ->

Ь

К

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 А2

Рис. 2. Кривая реакции Т-периодических гармонических колебаний арки

^ V \ \ \\ \

4 V \

\ \\\ \ \\\ \ \\ 1

, \ \Ч

Ь5 \

\ \

Ь

Ь

- 25 - 2 0 -1,5 -1,0 - 0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

Рис. 3. Кривые реакций 2Т-периодических колебаний арки (субгармонические составляющие)

ь

1

На рис. 3-6 представлены результаты исследования арки на основе однопараметрической расчетной динамической модели при пь = I.

На рис. 3 показаны кривые реакции субгармонического 2Т-периодического движения, соответствующие

соотношениям (4) для частот о = 1,0 (кривая 1), и о = 1,05 (кривая 2). Кривые реакции построены в координатах А — Я, где А - амплитуда субгармонической 2Т-периодической составляющей решения. Кривые реакций построены методом продолжения по

параметру нагрузки Я. В точках Ъх и Ъ2 (см. рис. 2),

являющихся точками бифуркации исходного Т-периодического движения в субгармоническое 2Т-периодическое, в качестве ведущего параметра задаётся коэффициент при субгармонической составляющей решения А.

Точки Ъ , Ъ и Ъ , Ъ являются точками бифуркации из 2Т-периодического движения в 4Т-периодическое движение. Это было выявлено при анализе уравнений устойчивости в фазовых координатах. Буквой К отмечены верхние предельные точки бифуркации, буквой Ь - нижние. Кривые реакции, соответствующие амплитуде субгармонической составляющей колебаний, представлены на рис. 3 и 5.

Они симметричны относительно оси ординат. На пересечении кривых реакции с осью Я находятся точки бифуркации Ъ и Ъ , указанные на рис. 2 и 5.

На рис. 4 изображены зависимости А —Я и

А —Я , то есть статическая и гармоническая Т-периодическая составляющие движения при частоте о = 1,05 . Кривые 1 соответствуют Т-периодическому решению; кривые 2 характеризуют составляющие 2Т-периодического движения.

На рис. 5 показаны дорезонансные (при о < 1,0) кривые реакции субгармонической составляющей А — Я, построенные для частот о = 0,9; 0,94; 0,98.

На рис. 6 - соответствующие частотам о = 0,94; 0,98

зависимости А —Я и А —Я , характеризующие

составляющие субгармонического 2Т-периодического движения. В отличие от зарезонансных (см. рис. 3, 4) кривых реакции для дорезонансных частот на кривых появляются дополнительные неустойчивые участки

Ъ — с. При этом верхняя предельная точка указанных участков совпадает с точкой бифуркации Ъ .

Я

1500

1000

500

ь

И

П II

7

I \п4

I

■I /\

V \

\Ъ<

,К

Ъ

I I I

■Ч

Я

1500

1000

500

/I

К// /г

Ъ/ /¡/ /

*Ъ,. Ь

5.'// / /

/

/

/

/

0,0 0,5 1,0 1,5 А 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 А2

0 = 1,05; п, = 1; £ = 0,02.

а)

б)

Рис. 4. Кривые реакций 2Т-переодических колебаний арки: а - статическая составляющая;

б - гармоническая составляющая

2

. - К . -

^ .-К \\

///// /////

/

я1,

X

-К .. 4.Л

5 !

Ь,

Ь, "

X

X ■ ,

!/>К

! ' ' 1 'I /

I

- 2,0 -1,5 -1,0 - 0,5 0,

1 - ю = 0,9;

2 - ю = 0,94;

0,5 1,0 1,5

5 - Ю = 0,95;

2,0

А,

п/ = 1;

4 = 0,02.

Рис. 5. Кривые реакций 2Т-периодических колебаний арки (субгармонические составляющие)

X

10,0

0,0

и

2-! 1 1 I /

Ць,Я

П /7 >,

0,5 1,0

Ап

X

10,0

к /

2 /

А'-'

РЙ

Ь5 ■ ■/

/

0,0 с 0,5

1,0

1,5 2,0

А,

1 -Ю = 0,94; 2-Ю = 0,98; п, = 1; 4 = 0,02.

а)

б)

Рис. 6. Кривые реакций 2Т-периодических колебаний арки: а - статическая составляющая;

б - гармоническая составляющая

В заключение следует отметить, что исследование динамических нагрузок, вызывающих колебательные режимы с большими амплитудами перемещений, влечет за собой необходимость применения нелинейных динамических моделей при проектировании соот-

ветствующих зданий и сооружений, поскольку анализ устойчивости колебательных режимов, возникающих в тонкостенных конструкциях, занимает ведущее место в оценке их несущей способности.

Библиографический список

1. Соболев В.И., Черниговская Т.Н. Метод гармонического элемента в моделировании стационарных динамических процессов // Вестник ВСГТУ. 2010. № 1. С. 43-51.

2. Дмитриева Т.Л. Покомпонентный синтез чувствительно-стей в задачах оптимизации механических систем в условиях нестационарных динамических воздействий // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2012. № 1 (60). С. 8-12.

3. Лумельский Е.Д., Филиппова Н.Л. Исследование субгар-

монических колебаний цилиндрической пластин на основе динамических моделей с одной степенью свободы // Сопротивление материалов и теория сооружений. 1992. Вып. 60. С. 31-38.

4. Дехтярюк Е.С., Лумельский Е.Д. Численное построение нелинейных динамических моделей пологих оболочек и пластин // Сопротивление материалов и теория сооружений. 1984. Вып. 45. С. 5-9.

5. Дорофеева Н.Л. Гармонический анализ вынужденных

500

ь

Ь

2

Ь

6

5,0

5,0

нелинейных колебаний круговой арки // Знание в практику. 2002. Вып. 3. С. 66-69.

6. Дорофеева Н.Л. Построение дискретной динамичной мо-

дели для исследования вынужденных нелинейных колебаний пластин и оболочек. В кн.: Материалы двух Всероссийских конференций. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2010. С. 52-56.

УДК 621.924.6

РОБОТОТЕХНИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС УДАЛЕНИЯ ЗАУСЕНЦЕВ ПОСЛЕ ФРЕЗЕРОВАНИЯ ДЕТАЛЕЙ

© А.В. Иванова1, Б.Б. Пономарев2, А.В. Савилов3, А.П. Чапышев4

Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Представлена подготовка к проекту по созданию робототехнического комплекса удаления заусенцев после фрезерования деталей. Приведены обоснования выбора оборудования. Рассмотрены этапы подбора инструмента и программные обеспечения по созданию управляющих программ. Ил. 7. Библиогр. 4 назв.

Ключевые слова: робототехнический комплекс; удаление заусенцев; лепестковый круг; бор -фреза; инструментальный магазин; шпиндель.

ROBOTIC SYSTEM PERFORMING DEBURRING AFTER PART MILLING A.V. Ivanova, B.B. Ponomarev, A.V. Savilov, A.P. Chapyshev

Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

The article presents the preparation for the project on designing a robotic system performing deburring after part milling. It gives the rationale for the choice of equipment, considers the stages of tool selection and the software to create control programs.

7 figures. 4 sources.

Key words: robotic system; deburring; flap wheel; carbide cutter; tool magazine; spindle.

После механической обработки на деталях и заготовках остаются заусенцы, которые должны быть удалены. Обычно эти операции выполняются вручную в несколько проходов с использованием напильников, проволочных щеток, паст, кругов или наждачной бумаги. При этом процесс удаления заусенцев весьма продолжителен, качество обработки во многом зависит от квалификации рабочего, а возникающие зарезы и перешлифовки увеличивают объемы брака. Особенно актуальна эта проблема для деталей, имеющих сложные контуры и формы с большим количеством колодцев, карманов, полок, рёбер и других подобных конструктивных элементов.

В авиационном производстве после фрезерной обработки типовых деталей авиационной техники из алюминиевых и титановых сплавов (рис. 1) возникает проблема удаления заусенцев [2]. Сложность таких деталей заключается в разновысотности рёбер жёст-

кости. Поэтому для удаления заусенцев с таких деталей методы удаления виброабразивной обработкой, абразивным эластичным инструментом и другие не подходят.

Одним из путей решения проблемы удаления заусенцев с типовых авиационных деталей является применение робототехнического комплекса (РТК). Преимуществами применения робота в процессе снятия заусенцев является возможность обработки сложных контуров деталей, особенно деталей авиационной техники, исключение влияния человеческого фактора при выполнении операций, повышение качества деталей, сокращение времени выполнения и снижение уровня опасности на рабочем месте. Автоматизированная система, реализованная на основе РТК, позволяет управлять процессом обработки и добиться его стабильности, что гарантирует высокое качество выпускаемой продукции.

1 Иванова Алена Владимировна, аспирант, тел.: 89501321663, e-mail: alena91@istu.edu Ivanova Alena, Postgraduate, tel.: 89501321663, e-mail: alena91 @istu.edu

2Пономарев Борис Борисович, доктор технических наук, профессор кафедры оборудования и автоматизации авиамашиностроения, тел.: 83952405020, email: pusw@istu.edu

Ponomarev Boris, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Machinery and Automation of Mechanical Enginee ring, tel.: 83952405020, e-mail: pusw@istu.edu

3Савилов Андрей Владиславович, кандидат технических наук, доцент кафедры оборудования и автоматизации авиамашиностроения, тел.: 89148711574, email: saw@irkut.ru

Savilov Andrei, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Machinery and Automation of Mechanical Engineering, tel.: 89148711574, e-mail: saw@irkut.ru

4Чапышев Александр Петрович, кандидат технических наук, доцент кафедры оборудования и автоматизации авиамашиностроения, тел.: 89148887106, e-mail: chapyshev_ap@irkut.ru

Chapyshev Alexander, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Machinery and Automation of Mechanical Engineering, tel.: 89148887106, e-mail: chapyshev_ap@irkut.ru