CC BY
12
Резонансные характеристики пропускающих оптических фильтров на основе структур металл/диэлектрик/металл
Д. В. Нестеренко1,2 1ИСОИ РАН - филиал ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН, 443001, Россия, г. Самара, ул. Молодогвардейская, д. 151, 2 Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, 443086, Россия, г. Самара, Московское шоссе, д. 34
Аннотация
В работе исследуются резонансные характеристики мод резонатора Фабри-Перо, поддерживаемых слоистыми структурами металл/диэлектрик/металл, в случае поглощающих сред для падения света, близкого к нормальному. Аппроксимации поля на основе точного решения и модели передачи поля в рамках теории связанных мод позволили соотнести резонансные линии в спектрах структуры к классу резонансов Фано и Лоренца и получить аналитические выражения для константы распространения и усиления поля моды, ширины, высоты и наклона резонансных линий как функции параметров структуры. Оценка характеристик поля для измеренных спектров пропускания структур с потерями на основе алюминия и кварца позволила однозначно соотнести пики в спектрах возбуждения мод Фабри-Перо. Описание фундаментальных характеристик резонансов Фабри-Перо может найти применение в сенсорике, оптоинформатике.
Ключевые слова: резонаторы, оптические резонансы, мода Фабри-Перо, слоистые структуры, аппроксимация.
Цитирование: Нестеренко, Д.В. Резонансные характеристики пропускающих оптических фильтров на основе структур металл/диэлектрик/металл / Д.В. Нестеренко // Компьютерная оптика. - 2020. - Т. 44, № 2. - С. 219-228. - DOI: 10.18287/2412-6179-CO-681.
Citation: Nesterenko DV. Resonance characteristics of transmissive optical filters based on metal/dielectric/metal structures. Computer Optics 2020; 44(2): 219-228. DOI: 10.18287/2412-6179-CO-681.
Введение
Резонансные эффекты и усиление поля в структурах металл/диэлектрик/металл привлекают существенное внимание вследствие значительного потенциала для применение в оптической сенсорике [1], фильтрации [2], спектроскопии [3], лазерной оптике [4]. Характерные резонансные формы спектральных линий и усиление поля наблюдаются в перфорированных плёнках металла [5, 6], диэлектрических решётках с металлизированными стенками [7], структурах металл/диэлектрик/металл [8].
Слоистые интерференционные структуры металл/диэлектрик/металл могут быть классифицированы как резонаторы Фабри-Перо с поглощающими зеркалами. Эффекты интерференции многократных отражений лучей в таких структурах были впервые описаны в конце 19 века [9] и известны как интерферометры Фабри-Перо. В общем случае модель интерферометра Фабри-Перо представляется однородным диэлектрическим слоем, переотражение лучей в котором происходит на его границах с другими слоями. Отражение и пропускание таких слоистых структур зависят как от оптических свойств материалов структуры и окружающей среды, так и от угла падения и длины волны света, что используется для пространственной и оптической фильтрации [2], детекции [1].
В сенсорике изменения оптических характеристик детектируемой среды определяются на основе анализа резонансных кривых в частотных и пространственных спектрах резонансных структур [10]. Ключевыми характеристиками оценки эффективности таких структур являются резонансное усиление поля, положение и форма резонансных линий в спектральном отклике. Так, достижимая чувствительность величины интенсивности света, отражённого или прошедшего резонансную сенсорную структуру, к изменениям оптических характеристик детектируемых сред пропорциональна высоте и обратно пропорциональна ширине резонансной кривой в спектрах, т. е. пропорциональна тангенсу угла наклона резонансной кривой [11]. Традиционно расчет спектрального отклика слоистых структур проводится на основе точной электромагнитной теории для известных оптических характеристик слоёв при фиксированных значениях длины волны и угла падения [12]. Отслеживание изменений в форме спектральных линий, например, положении резонанса, его ширине и высоте, позволяет получить оценки изменений в комплексном показателе преломления детектируемой среды или толщине осаждаемого на поверхность сенсора слоя из раствора. Получение характеристик форм резонансов требует применения последующей затратной обработки спектральных данных.
Для ускорения вычислений могут применяться различные подходы на основе аппроксимаций резо-нансов линиями Лоренца [13 - 18]. Процессы формирования картины интерференции описывались как качественно, так и количественно на основе модели многолучевой интерференции, не учитывающей материальные параметры структуры. Теоретические аппроксимации, разработанные для качественного описания резонаторов без поглощения [13 - 15], например полностью диэлектрических резонаторов с непо-глощающими зеркалами, некорректно описывают резонаторы с высоким поглощением. Аппроксимации, учитывающие поглощение в зеркалах [16, 17], поглощение в резонаторе [18], не рассматривают зависимость коэффициентов отражения и фазового сдвига луча при прохождении резонатора от направления распространения луча. Кроме того, известные аппроксимации не позволяют решить задачи получения спектральных характеристик слоистых структур с известными параметрами, а также получения оптических параметров структур на основе информации об их спектральных характеристиках.
В предыдущих работах автора был представлен подход аппроксимации резонансных спектральных линий профилями Фано для структур, поддерживающих возбуждение мод поверхностных плазмон-поларитонов (111111) на границе раздела сред металл/диэлектрик [19, 20] и взаимодействие волновод-ной и ППП-мод [21]. Характерные особенности резо-нансов в спектрах могут быть оценены аналитическими выражениями, полученными на основе аппроксимации спектров в рамках строгой электромагнитной теории с учётом поглощения в материалах слоёв и использующими характеристики слоистых структур в качестве параметров.
Для получения физического описания влияния структурных параметров на резонансный отклик необходимо выполнить анализ процессов переноса поля. Так, на основе теории связанных мод (СМ) были получены описания процессов переноса поля в пла-нарных металло-диэлектрических структурах для одиночных мод 111 и мод 111 , связанных с волно-водной модой [19, 20]. Выражения для поля в структуре, полученные в рамках теории СМ, совпадают с аналитическими выражениями, полученными в рамках точной электромагнитной теории. Анализ процессов передачи поля позволил выявить влияние самоиндукции мод и взаимодействий между модами на положение и форму резонансов.
В данной работе подход по аппроксимации резо-нансов в слоистых структурах в рамках точной электромагнитной теории расширяется на моды Фабри-Перо слоистых структур металл/диэлектрик/металл. Анализ резонансных характеристик мод Фабри-Перо и их спектрального отклика проводится с учётом процессов передачи поля в отражающих плёнках с потерями для случая падения света, близкого к нор-
мальному. Структуры на основе алюминия (А1) и кварца (8Ю2) рассматриваются в расчетах и исследуются экспериментально.
1. Электромагнитная теория для трёх слоёв
Рассмотрим трёхслойную структуру металл/диэлектрик/металл, представляющую диэлектрический слой с металлическими обкладками. Как показано на рис. 1, структура включает полубесконечный слой металла Ьм с показателем преломления и/_ь слой диэлектрика Ь/+1 конечной ширины И, с комплексным показателем преломления п, и полубесконечный слой металла Ь/+1 с комплексным показателем преломления л1+1.
Рис. 1. Процессы передачи поля в трёхслойной системе
Проведем анализ электромагнитного поля в трёхслойной структуре в случае падения монохроматической линейно-поляризованной плоской волны
Я»! (х, 2) = И,_и ехррк(ах + Р^2)]:
(1)
распространяющейся в слое Ь,_ь на границу раздела 1/_1,/ слоев Ь/_1 и Ь, с комплексной амплитудой Я/_1,/, где к0 = 2р / 10 _ волновое число излучения с длиной волны 10 в свободном пространстве. Для константы распространения волны вдоль оси х (см. рис. 1) ак0 в слое Ь/ константа распространения поля Ь/к0 вдоль оси г будет определяться как р/(а)к0 = к0^/е/ - а2 , где е/ = п/ _ диэлектрическая проницаемость слоя Ь/.
Падение плоской волны вида (1) на границу раздела сред 1/_1,/ приводит к генерации двух исходящих от границы плоских волн: отражённой Я/г-1, распространяющейся в слое Ь/_1, и прошедшей Я}, распространяющейся в слое Ь/. Их поля могут быть представлены как
Я/г-1 (х, 2) = Г/-иЯ/-и ехр [к (ах - Р,-2)] и
Я', =}/-1,/Я/-I / ехр [к (ах + Р, 2)]
соответственно, где г,_1,/ и ,/_1,/ _ комплексные коэффициенты отражения и пропускания.
Полное поле Я, в слое Ь, может быть представлено как сумма полей, распространяющихся в прямом и обратном направлениях:
Я, = [Я+ ехр(1кеР12) + Я- ехр(-1кеР12)] х х ехр(1к0ах)
(2)
Комплексные коэффициенты Н+ и Н- могут быть получены с использованием выражений
Н+ = ^-иН1 -и + ги-1Н1,1 -1, Н1 = Г1,1+1Н1,1+1 ++1,-Н1+1,1.
(3)
(4)
Для трёхслойной структуры, принимая во внимание интерференцию полей в слое Ь, выражения передачи амплитуд поля на границах этого слоя могут быть записаны в следующем виде
1,1+1 Н1,1+1 )
Н1,1 -1 = V! (¿1+1,1Н1+1,1 + Г1 Н1,1+1 = V 1 (11 -1,1Н1 -1,1 + Г1,1 -1Н1,1 -1)
(5)
(6)
где ^ = ехр (/коР^) - коэффициент, характеризующий набег фазы и изменение в амплитуде поля в результате передачи поля в слое Ь между его границами. Соотношения для комплексных амплитуд на границах слоя Ь могут быть записаны в форме передаточной матрицы
(7)
Н 1,1 -1 " А Б,' Н1+1,1
_Н1 -1.1 _ С о, _ _ НЦ+1 _
с коэффициентами
А = vltl+1,1, С, = -V 11*1,1 -1/1+1,1 / ¿1 -1,1,
А = ^,1+1, А = (1 - V,2Ги-1*1,1+1)/(Vltl-l,l).
(8)
Коэффициент пропускания трёхслойной структуры t/_1,/+1 может быть найден в виде
¿1-1,1+1 = ¿1,1+1 Н1,1+1/ Н1-1,1.
Используя систему уравнений (7), можно записать выражение для в виде
¿1-1,1+1 = X1 ^¿1-1,А,1+1 , (9)
где х 1 = °-1 _ комплексный коэффициент, описывающий генерацию поля в слое Ь1 внешней волной с учётом многократных отражений,
О1 = 1 - v2Г,,1-1Г1,1+1.
(10)
Далее получим аппроксимации для %1 при падении внешней волны, близком к нормальному, т.е. а®0.
Электромагнитное поле в структуре, коэффициенты отражения и пропускания могут быть найдены на основе метода передаточных матриц 2*2 [12] для плоских волн, распространяющихся в слоистых средах. Уравнения включают условия непрерывности поля и его нормальных производных к границам раздела сред. Коэффициенты прямого отражения гц+1 для прилегающих слоев Ь1 и Ь1+1 представляются выражениями в случае р-поляризованных волн:
гр =
1,1+1
Р//£ - Рл
Р1/ £1 + Р1+1/ £1+1
(11)
в случае Б-поляризованных волн:
.Р1 - Р1-Р1 + Р/-
(12)
Коэффициенты обратного отражения г1+1,1 , прямого +1 и обратного ¿1+11 пропускания находятся как
Г1+11 = _ Г,1+1 , ¿1,1+1 = Ши+1 и ¿1+1,1 = Ш1+и соответственно.
Рассмотрим поведение коэффициентов для падения волны при а®0. Коэффициенты г11+1 могут быть представлены в виде аппроксимаций
ГР+1(а) = Гц+А1 - а2/(«1+1«1)], (13)
^(а) = +1 [-1 - а2 /(пмп,)], (14)
для р- и ¿--поляризаций, соответственно, где
Г^+1 = (п+1 - п1) / (п+1 + п1) -
коэффициент отражения нормального падения р-поляризованной волны. Коэффициенты п1 и V;2 аппроксимируются в виде
V1 (а) = ехр©[1 + &(а) + ^2(а)^ -1)/2], (15) V? (а) = ехр(2£)[1+2&(а) + (а)(2£ -1)], (16)
где X = 'ф, ф = к0п1к1 - набег фазы волны при распространении в слое Ь1 по нормали, д(а) = -(ал-1 )2 / 2 . В случае поглощения в Ь1, описываемого ненулевой мнимой частью п1, мнимая часть набега фазы характеризует затухание волны при её распространении в Ь1. В этом случае | V2 (а) |< 1.
Дисперсионное соотношение для моды резонатора Фабри-Перо трёхслойной структуры в случае р-поляризации можно получить из условия о1(а) = 0 подстановкой аппроксимаций коэффициентов отражения, полученных на основе выражения (13), и передаточного коэффициента (16) в формулу (10) в следующем виде
у =
^П-1 + П-1 + п-+11
1-
1
г, V/ ^1,1 п2(0)
(17)
где ук0 - константа распространения моды резонатора. Далее получим аппроксимации %1(а) вблизи резонанса а = у+5, где 5®0. Коэффициент отражения (13) представляется как
П,1+1 (а) = г^+1 [1 - у2 / (п+П) - 2у5 / (п,+п )], (18) передаточный коэффициент (16) записывается в виде
П(а) = п2(у)[1 -2^(у/п1 )8/Р1 (у)]. (19)
В соответствии с аппроксимациями (18) и (19) %1 описывается симметричным резонансом Лоренца
Ъ (а) =
1
а - у[1 - куЙ1 (у)]
(20)
где Й1 (у) = 1 ^(у)* ,-1(у)г, 1+1 (у) и
п
£
у
[1 - o, (Y)]-1
2
2
Y2
(21)
Щ+in, / Y2 -1 Щ-1Щ / Y2 -1 Щ в, (Y)
- комплексная амплитуда моды. Таким образом, коэффициент пропускания /¡_11+1 трёхслойной структуры аппроксимируется лоренцовой резонансной линией вида
¿1-1,1+1 - V, (Y)t¿1,,t¿+1
Y
а - y[1 - kyo, (y)]
(22)
где ^+1 = 2п,+1 / (п;+1 + щ) - коэффициент пропускания нормального падения. Для общего случая поглощающих сред с, (у) Ф 0 в соответствии с аппроксимацией (22), значение полюса функции коэффициента пропускания, рассчитанное для случая непогло-щающих сред, меняется с появлением ненулевой мнимой части, что характеризует затухание моды Фабри-Перо при её распространении.
2. Теория связанных мод для трёх слоёв
Аппроксимации отклика резонансных структур формулой Фано обеспечивают оценку основных резонансных характеристик, как, например, положения, ширины и высоты резонанса. Однако аппроксимации Фано не раскрывают процессы взаимодействия полей в структурах. Чтобы получить физическое представление о влиянии структурных параметров на резонансный отклик, выполним описание процессов переноса поля, происходящих в структуре.
Рассмотрим трехслойную систему, поддерживающую возбуждение моды Фабри-Перо в диэлектрическом слое Ь,, расположенном между двумя полубесконечными отражающими слоями Ьн и Ь/+1, как показано на рис. 2. В отсутствие поглощения в структуре с идеально отражающими границами амплитуда моды Фабри-Перо ехр (1к0уг) с константой распространения ук0.
и, отражатель Tjinc X Z
и диэлектрик ху Л
Li+i отражатель
Рис. 2. Процессы передачи поля в трёхслойной системе для возбуждения моды Фабри-Перо внешним полем
Для возбуждающей плоской волны Я^ гс ехр(1к0ах) вторичные поля также являются гармоническими с константой распространения к0а. В окрестности резонанса а®у поведение комплексной амплитуды поля моды Фабри-Перо для структуры с потерями и слабым отражением может быть
описано на основе формализма теории связанных мод как
1 dY
ik0 y dx
-Y + к^Я™ - kyOY .
(23)
где т, = у///-1,/ - коэффициент передачи внешнего поля от границы 1/-1>/ к границе 1//+1, кт - коэффициент ввода падающего поля в моду Фабри-Перо, о - поправочный коэффициент для учета влияния потерь в центральном слое и слабого отражения на границах раздела.
Комплексная амплитуда моды ¥ может быть выражена из уравнения (23) в виде резонанса Лоренца:
Y -
YKy
а - y(1 - KyO)
(24)
Как видно из уравнения (24), потери в структуре и отражательная способность отражателей влияют на постоянную распространения моды и форму резонанса Фабри-Перо.
3. Электромагнитная теория для пяти слоёв
Расширим исследование трёхслойной структуры на систему слоёв, представляющую диэлектрический слой в металлических обкладках конечной толщины, заключённые между полубесконечными диэлектрическими слоями. Эта система включает в себя полубесконечные слои L,-2 с показателем преломления nl-2 и L,+2 с показателем преломления n,+2. Слои L, характеризуются толщиной hi и показателем преломления ni, где i = l - 1,..., l + 1. Плоская волна падает в слое L,-2 под углом 9 к нормали поверхности слоёв, где a=nl-2 sin 8.
Применяя формализм передаточных матриц (7), можно записать соотношение для коэффициента пропускания пятислойной системы
tl-2,1 + 2 — tl+1,l+2 / g ;
(25)
где
g = С,-1 (Л,В,+1 + В1Б1+1) + О-1 (С/В/+1 + ДА+1) -
коэффициент передачи комплексной амплитуды поля Я/-2/-1 в Я/+2/+1. Принимая во внимание представление О, = [у/мД^а)]-1 и аппроксимацию (19), выражение (25) может быть записано в виде аппроксимации резонанса Лоренца
tl-2,l+ 2 — P
Y
(26)
а - у{1 - ку [с, (у) + п]}
где медленно меняющиеся коэффициенты
П = V///-1,/О/-+11 [С/-О,--1! (Л/В/+1 + В/О/+1) + С/В/+1 ] и Р = ^//-1,///+1,/+ 2 / (О/-О,+1)
определяют изменения положения резонанса и его высоты вследствие эффектов передачи поля в слоях металла. Таким образом, корректное значение эффек-
Ky —
к
Y
к
тивного показателя преломления моды Фабри-Перо Ткр в системе слоев с поглощением приближённо определяется полюсом выражения (26) как
уГр = у{ 1 - ку [с, (у) + п(т)]>.
(27)
Положение резонанса а^ приближённо находится как аге8 = у^Р, где угр = у^Р . Полная ширина резонанса на полувысоте (ЕШНЫ) приближённо определяется как
FWHM = 2у£Р.
(28)
Спектры пропускания Т(9) пятислойной структу-
ры определяются как Т (8) = п,
1-2п1+2 ¿1-2,1+2
. При этом
значения всех коэффициентов аппроксимации (26), рассматриваемых в окрестности резонанса как константы, находятся для а = аге8.
Высота резонанса Н может быть оценена в случае р-поляризованного света аппроксимацией (26) при а = аге8 как
Н=
Уку Р\
п1+ 2 ТРР
(29)
В задачах сенсорики при оценке чувствительности сенсоров [1 - 4, 10, 11, 20], оптической обработки изображений и сигналов, оптической фильтрации важной характеристикой является наклон резонансной кривой. Наклон резонансной кривой =Н / FWHM может быть оценён в виде выражения
5 = -
Ткт П
2п1
" 3
ТгР3
(30)
4. Теория связанных мод для пяти слоёв
Процессы передачи поля возбуждения моды Фаб-ри-Перо в резонаторе Фабри-Перо с отражателями конечной толщины в диэлектрической среде можно схематично представить, введя коэффициенты передачи поля, как показано на рис. 3. В резонансной области а®у для возбуждающей плоской волны Н'пс, поля моды ¥ и поля трехслойной структуры Н'"с можно записать следующее соотношение в виде
тН1110 = х1Н31
(31)
где т = т101-11 - коэффициент передачи внешней волны к полю моды Фабри-Перо, ^ = - коэффициент
общей самоиндукции моды, п = т1А1Б1+1С1-10111101+11, П2 = Т1БС1 -О,- и П3 = Т1Б1+С011 - коэффициенты самоиндукции моды Фабри-Перо по трём возможным траекториям в пятислойной структуре.
Подстановка выражения (31) в выражение (23) позволяет получить соотношение для моды ФП с учётом самоиндукции:
Тку
а - у[1 - ку (с + п)]
-тН"
(32)
приводящей к смещению константы распространения моды к0урР, где урР = у[1-кт(о+л)]. Усиление поля моды Фабри-Перо принимает свои максимальные значения при а®урР.
\ "\/> А Ф \/@Ы
W
нт
Рис. 3. Процессы передачи поля для самоиндукции моды Фабри-Перо в пятислойной структуре
Полное поле Нотраженное от структуры, можно выразить как
Н к = г1-2,1-1Н110 + + РН31
(33)
где р = t1-1J-2A1-1Б1 - коэффициент передачи поля моды во внешнее отраженное поле, Р = /1-1,1-2Б1-1 - коэффициент передачи поля Н3П0 во внешнее поле. Общий коэффициент отражения структуры гш=Н / Н10 можно найти с использованием выражений (23), (32) и (33) в виде формулы Фано
г 404 = W
а - у[1 - ку (с + пб / W)] а - у[1 - ку (с + п)]
(34)
где W = г1-2,1-1+тР / х1 - сумма компоненты падающего поля, непосредственно отражённого от фронтальной границы раздела, и компоненты поля, отражённого назад с учётом многократного переотражения в структуре, б = г^м+ртл 1 - сумма компоненты падающего поля, непосредственно отражённого от фронтальной границы раздела, и компоненты падающего поля, введённого в моду Фабри-Перо и выведенного назад с учётом многократных переотражений моды в структуре. Согласно выражению (34), резонансные линии в спектрах отражательной способности аппроксимируются формами линий Фано. Положение резонанса в спектре отражающей способности у2его = у[1-кт(о+лб / Ю] смещено от значения константы распространения моды к0урР из-за интерференции резонансного отклика моды и медленно меняющегося нерезонансного отклика.
Полное прошедшее поле в слое Ь1+2 может быть выражено в виде
Н т = Л+
2 ¥ / Б, +
(35)
где О,+1 - коэффициент учета множественных отражений в слое Ь1+1. Полный коэффициент пропускания структуры ^ м = НТ / Н™ можно найти как отклик мод Фабри-Перо подстановкой выражения (28) в выражение (35):
1-2
п
1-2
tl-2,l+ 2 _ P
уку
а - у[1 - ку (с + п)]
(36)
где P = х/1+1д+2 / Б1+1 - компонента поля моды Фабри-Перо, выведенного вперед к слою Ь1+2. Согласно выражению (36) резонансы в спектрах пропускания аппроксимируются лоренцевой линией.
5. Численные результаты
Используем аналитические выражения пятислой-ных структур вида металл/диэлектрик/металл, полученные выше в рамках электромагнитной теории, для расчёта резонансных характеристик структуры А1/8Ю2/А1/подложка из стекла К8 в воздухе в случае падения света с длиной волны 532 нм. Образец изучаемой структуры металл/диэлектрик/металл схематично показан на рис. 4. Плоская волна падает на структуру в полубесконечном слое с показателем преломления п0 = 1, 0, представляющем собой воздух. Структура состоит из слоев, последовательно расположенных на подложке с показателем преломления п4 = 1,5191, соответствующим стеклу К8. Набор слоёв включает в себя два слоя металла со значениями показателя преломления п1 = п3 = 0,7+/'5,66, соответствующими А1 [22], разделённых слоем диэлектрика с показателем преломления п2 = 1,4607, соответствующим 8Ю2 [23].
воздух по
Рис. 4. Пятислойная система, представляющая диэлектрический слой с металлическими обкладками на стеклянной подложке
Поскольку резонансные характеристики для падения волн, близкого к нормальному падению, близки для 5- и р-поляризаций, результаты анализа представлены только для 5-поляризации. Рассмотрим структуру с толщиной слоев А1 И = И3 = 20 нм. Пространственные спектры пропускной способности Т = |/04|2 структуры рассчитаны для толщин центрального слоя И2 = 894, 1072, и 4000 нм и показаны на рис. 5. Для выбранных значений И2 наблюдаются резонансы с высотой около 0,07 и FWHM от 2,6° до 7,5°. Из графиков видно, что при увеличении И2 происходит уменьшение ширины резонанса, что объясняется уменьшением вследствие уменьшения кт. Можно отметить хорошее соответствие спектральных резонансных кривых, полученных в рамках точной элек-
тромагнитной теории для р-поляризованного света и аппроксимацией Лоренца (26).
-1-1-1-1-1-1-1—
4000 нм 1072 нм 894 нм
15 20
Угол падения, град
Рис. 5. Спектры пропускания, рассчитанные точной электромагнитной теорией, и их аппроксимации функцией Лоренца для ряда значений толщины И2 центрального слоя
Проведём оценку значений FWHM, высоты и наклона резонанса как функций значений толщины внутреннего И и внешнего И3 металлических слоёв на основе выражений (28), (29) и (30) соответственно для толщины центрального слоя И2 = 4000 нм, при которой наблюдается наименьшая ширина резонанса. В расчётах значения толщины металла изменялись в диапазоне от 0,5 до 50 нм с шагом 0,5 нм. Результаты расчётов FWHM-резонанса представлены на рис. 6. Можно заметить, что значения ширины экспоненциально уменьшаются с одновременным ростом толщины обоих слоёв металла. Рис. 7 иллюстрирует изменение высоты резонанса Н. Согласно расчетам, максимальные значения высоты наблюдаются для примерно равных толщин слоёв металла, при этом И3 немного превышает И\. Это различие можно объяснить несимметричностью поглощающей структуры.
Толщина внешнего слоя металла, нм
50
РШНМ, град ~ 12
20 30 40 50 Толщина внутреннего слоя металла, нм
Рис. 6. Карта распределения ширины резонанса
Распределение наклона резонанса показанное на рис. 8, демонстрирует существование оптимальных значений толщины И =13,5 нм и И3 =14 нм, для которых спектральные линии характеризуются макси-
мальным
наклоном
£ = 0,03827 град
-1
резонансной
кривой
Толщина внешнего слоя металла, нм
50
О 10 20 30 40 50 Толщина внутреннего слоя металла, нм
Рис. 7. Карта распределения высоты резонанса
Толщина внешнего слоя металла, нм
50
S, град'1
П I JxJQO
- М0-1
- МО-
МО-
МО-
МО-5
20 30 40 50 Толщина внутреннего слоя металла, нм
Рис. 8. Карта распределения наклона резонансной кривой 6. Экспериментальное исследование
В этом параграфе результаты численного моделирования проверяются экспериментально для структуры, демонстрирующей узкие резонансы. Согласно результатам расчётов, приведённых на рис. 6, было проведено нанесение слоёв Al толщиной около 20 нм, разделённых слоем SiO2 толщиной около 4 мкм на стеклянную подложку из стекла K8. Каждый слой наносился на установке магнетронного нанесения (Изо-вак) в автоматическом режиме по времени, рассчитанном на основе средней скорости напыления каждого материала в отдельности, при давлении не более 3*10-3 Па. Спектры пропускания были получены измерениями на спектрофотометре Photon RT (Ессен-тОптикс) для s- и ^-поляризованного света для углов падения волны от 0° до 20° с шагом 1°. Различия в данных для ^-поляризованного света оказались незначительны, поэтому карта распределения пропускания структуры по длине волны в видимом диапазоне и угле падения представлена на рис. 9 для s-поляризованного света. Максимумы пропускания T более 0,01 на фоне менее 0,001 соответствуют возбу-
ждению мод резонатора Фабри-Перо. С увеличением угла падения возбуждение происходит для меньшей длины волны. Дисперсионные линии возбуждения мод располагаются под небольшим углом к угловой оси, что предполагает малую ширину резонасов в частотных спектрах и большую ширину - в пространственных.
Длина волны, нм
650 -
600
550
500 ~
450
_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_
12 16 20 Угол падения, град
Рис. 9. Карта распределения пропускающей способности структуры А1/8Ю2/А1 для э-поляризованного света
Для демонстрации возможности определения характеристик возбуждаемой в структуре моды Фабри-Перо рассмотрим пространственные спектры пропускания для длины волны 532 нм. На рис. 10 представлены угловые спектры пропускающей способности, полученные экспериментально. На основе метода передаточных матриц 2*2 [12] были получены аппроксимации экспериментальных спектров подбором значений толщины слоев А1 и 8102, а также комплексного показателя преломления слоя А1 при фиксированном показателе преломления 8102 п2 = 1,4607. Для значений толщины слоёв А1, равных Н1 = Н3 = 20 нм с комплексным показателем преломления
п1 = п1 = 1,89+/5,15, и слоя 8102 Н2= 4022 нм с показателем преломления п2 = 1,4607 теоретические спектры, также представленные на рис. 10, очень хорошо аппроксимируют экспериментальные. Максимумы резонансов в экспериментальном спектре располагаются на 12,38° и 12,49° для э- и р-поляризаций соответственно. Высота резонанса Н составляет 0,01833 и 0,01968 соответственно. Угловая ширина на полувысоте FWHM составила 4,01° и 4,32° соответственно.
Для найденных оптических характеристик слоев был рассчитан спектр пропускания на основе аппроксимации линией Лоренца (26), также показанный на рис. 10. Эффективный показатель преломления моды Фабри-Перо находится в соответствии с выражением
(27) как = 0,2147+10,0392, что соответствует углу возбуждения резонанса в воздухе аБт(у FP /п0) = 12,4°. Оценка высоты с помощью выражения (29) даёт значение 0,0187. Оценка угловой ширины выражением
(28) даёт значение 4,6°.
Для определения типа резонансного возбуждения проведём расчёт электромагнитного поля, генерируе-
мого в структуре плоской волной, падающей в воздухе на слоистую структуру, показанную на рис. 4, с оптическими характеристиками слоёв, полученными выше. Распределение нормированной интенсивности /(0, z), далее именуемой как интенсивность, электромагнитного поля показано на рис. 11 в виде цветового распределения отношения квадратов амплитуд y-компонент электрического поля в структуре к полю падающей волны /(0, z) = \Ev(0, z)|2 / \E0\2 как функции угла падения 0 = asin(a / n0) и позиции z в структуре. Граница раздела сред воздух/Al соответствует z = 0. В области нормального падения в центральном слое структуры наблюдается интерференция прямых и обратных волн с модуляцией интенсивности /(0, z) от 0 до 0,077. Вблизи 0 = 12,4° в сечении центрального диэлектрического слоя наблюдаются области высокой интенсивности поля
max /(12,4°, z) - 0,627.
zeZ2
Усиление интенсивности в центральном слое
max / (0, z) / max / (0, z)
zeL2 zeZ2
более, чем в 8 раз по сравнению со случаем нормального падения, сопровождается усилением прошедшей волны в подложке с /(0°, zeZ4) = 0,0014 до /(12,4°, zsbA) = 0,0116.
Т, 2,
1,
1,
0,
0,
Рис. 10. Экспериментальные спектры пропускания структуры Al/SiO2/Al, полученные для s- (квадраты) и р-поляризаций (круги). Спектры пропускания, рассчитанные
точной электромагнитной теорией, для s- (сплошная линия) и р-поляризаций (пунктирная линия). Аппроксимация линией Лоренца (точки)
На рис. 12 приведена карта распределения фазы полного электрического поля j = arg (Ey) / p. В области нормального падения наблюдается медленное изменение фазы с ростом 0. Можно увидеть, что в области 9°< 0 <16° происходит скачок фазы на p, что характерно для резонансного возбуждения собственной моды. Вблизи 0 = 12,4° фаза имеет максимальное изменение. Градиент скачка фазы обратно пропорционален FWHM резонанса, т.е. возбуждение моды с меньшим затуханием приводит к большему градиенту фазы. Изменение фазы в центральном слое приводит к аналогичному сдвигу по фазе прошедшей волны в подложке. Таким образом, резонансное усиление интенсивности поля в угловом спектре
max / (0, z)
zeZ2
и резонансный скачок фазы соотносятся с возбуждением распространяющейся моды асимметричного резонатора Фабри-Перо на основе диэлектрического слоя с частично отражающими металлическими обкладками. Резонансные условия обусловлены многократными переотражениями электромагнитной волны со сдвигом фазы внутри резонатора.
Позщияг,мкм \Еу\2/\Ео\2
■ 1Е+01
- 1Е+00
1Е-01
1Е-02
1Е-03
0 4 8 12 16 20 Угол падения, град
Рис. 11. Карта распределения интенсивности поля в случае возбуждения з-поляризованной волной
аг§(Еу) к
1,2
0,8 0,4
0
0 4 8 12 16 20 Угол падения, град
Рис. 12. Карта распределения фазы в случае возбуждения з-поляризованной волной
Заключение
В работе получены аналитические выражения для аппроксимации резонансных линий в спектрах пропускания слоистых структур металл/диэлектрик/металл, поддерживающих моды резонатора Фабри-Перо. Резонансы мод, возбуждаемых при углах падения света, близких к нормальному падению, в случаях з- и ^-поляризаций могут быть аппроксимированы выражением, соответствующим резонансной линии Лоренца, с аналитически рассчитываемыми коэффициентами. Полученные аппроксимации позволяют
оценить характерные особенности форм резонансных линий в спектрах экспериментально изготовленных структур. Результаты расчётов свидетельствуют о влиянии конечных размеров слоёв металла и потерь в материалах на резонансные характеристики мод Фаб-ри-Перо. Теория СМ позволяет получить аналитические выражения, совпадающие с аппроксимациями точных решений, для поля в структурах, поддерживающих моды Фабри-Перо. Соотношения для процессов передачи поля в структуре, полученные на основе теории СМ, позволяют сделать вывод о влиянии самоиндукции моды в результате обратных отражений в отражающих слоях конечной толщины на сдвиг резонанса. Показано, что ширина резонанса в пространственных спектрах пропорциональна затуханию моды, описываемому мнимой частью эффективного показателя преломления моды. Высота резонанса обратно пропорциональна квадрату затухания моды. Результаты экспериментального исследования характеристик поля структур металл/диэлектрик/металл однозначно свидетельствуют о возбуждении мод Фабри-Перо с потерями. Результаты работы могут найти применение в сенсорике [24] и оптической обработке изображений [25 - 27].
Благодарн ости
Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования РФ в рамках выполнения работ по Государственному заданию ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН (соглашение №007-ГЗ/Ч3363/26) в части постановки задачи и Российского фонда фундаментальных исследований (номера проектов 18-29-20006 и 18-07-00613) в частях теоретического, численного и экспериментального исследований.
Литература
1. Refki, S. Resolution enhancement of plasmonic sensors by metal-insulator-metal structures / S. Refki, S. Hayashi, H. Ishitobi, D.V. Nesterenko, A. Rahmouni, Y. Inouye, and Z. Sekkat // Annalen Der Physik. - 2018.- Vol. 530, Issue 4. - 1700411. - DOI: 10.1002/andp.201700411.
2. Li, Z. Large-area, lithography-free super absorbers and color filters at visible frequencies using ultrathin metallic films / Z. Li, S. Butun, K. Aydin // ACS Photonics. - 2015. - Vol. 2, Issue 2. - P. 183-188.
3. Refki, S. Anticrossing behavior of surface plasmon polari-ton dispersions in metal-insulator-metal structures / S. Refki, S. Hayashi, A. Rahmouni, D.V. Nesterenko, Z. Sekkat // Plasmonics. - 2015. - Vol. 11. - P. 443-440. -DOI: 10.1007/s11468-015-0047-7.
4. Cui, Y. Plasmonic and metamaterial structures as electromagnetic absorbers / Y. Cui, Y. He, Y. Jin, F. Ding, L. Yang, Y. Ye, S. Zhong, Y. Lin, S. He // Laser Photonics Review. - 2014. - Vol. 8, Issue 4. - P. 495-520.
5. Porto, J.A. Transmission resonances on metallic gratings with very narrow slits / J.A. Porto, F.J. Garcia-Vidal, J.B. Pendry // Physical Review Letters. - 1999. - Vol. 83. -P. 2845-2848.
6. Garcia-Vidal, F.J. Transmission and focusing of light in one-dimensional periodically nanostructured metals / F.J. Garcia-Vidal, L. Martin-Moreno // Physical Review B.
- 2002. - Vol. 66. - 155412.
7. Belotelov, V.I. Fabry-Perot plasmonic structures for nano-photonics / V.I. Belotelov, A.N. Kalish, A.K. Zvezdin, A.V. Gopal, A.S. Vengurlekar // Journal of the Optical Society of America B. - 2012. - Vol. 29, Issue 3. - P. 294299.
8. Prêtre, Ph. Characterization of electro-optic polymer films by use of decal-deposited reflection Fabry-Perot microcavi-ties / Ph. Prêtre, L.M. Wu, R.A. Hill, A. Knoesen // Journal of the Optical Society of America B - 1998. - Vol. 15, Issue 1. - P. 379-392.
9. Fabry, C. Théorie et applications d'une nouvelle méthode de spectroscopie interférentielle / C. Fabry, A. Pérot // Annales de Chimie et de Physique. - 1899. - Vol. 16(7). - P. 115-144.
10. Homola, J. Surface plasmon resonance sensors: review / J. Homola, S.S. Yee, G. Gauglitz // Sensors and Actuators B: Chemical. - 1999. - Vol. 54, Vol. 1-2. - P. 3-15.
11. Nesterenko, D.V. Resolution estimation of the Au, Ag, Cu, and Al single- and double-layer surface plasmon sensors in the ultraviolet, visible, and infrared regions / D.V. Nesterenko, Z. Sekkat // Plasmonics. - 2013. - Vol. 8, Issue 4. - P. 1585-1595. - DOI: 10.1007/s11468-013-9575-1.
12. Katsidis, C.C. General transfer-matrix method for optical multilayer systems with coherent, partially coherent, and incoherent interference / C.C. Katsidis, D.I. Siapkas // Applied Optics. - 2002. - Vol. 41, Issue 19. - P. 3978-3987.
13. Vaughan, J.M. The Fabry-Perot interferometer: History, theory, practice and applications / J.M. Vaughan. - New York: Taylor & Francis Group, 1989. - 604 p.
14. Born, M. Principles of optics / M. Born, E. Wolf. - 7th ed. -Cambridge: University Press, 2007. - 1200 p.
15. Звелто, О. Принципы лазеров / О. Звелто; пер. с англ. -4-е изд. - СПб.: Лань, 2008. - 720 с.
16. Ismail, N. Fabry-Pérot resonator: spectral line shapes, generic and related Airy distributions, linewidths, finesses, and performance at low or frequency dependent reflectivity / N. Ismail, C.C. Kores, D. Geskus, M. Pollnau // Optics Express. - 2016. - Vol. 24, Issue 15. - P. 16366-16389.
17. Pollnau, M. Counter-propagating modes in a Fabry-Perot-type resonator / M. Pollnau // Optics Letters. - 2018. -Vol. 43, Issue 20. - P. 5033-5036.
18. He, Y. Reflection Airy distribution of a Fabry-Pérot resonator and its application in waveguide loss measurement / Y. He, D. Lu, L. Zhao // Optics Express. - 2019. - Vol. 27, Issue 13. - P. 17876-17886.
19. Nesterenko, D.V. Asymmetric surface plasmon resonances revisited as Fano resonances / D.V. Nesterenko, S. Hayashi, Z. Sekkat // Physical Review B. - 2018. - Vol. 97, Issue 23.
- 235437. - DOI: 10.1103/PhysRevB.97.235437.
20. Нестеренко, Д.В. Оценка резонансных характеристик однослойных плазмонных сенсоров в жидких средах аппроксимацией Фано в видимом и инфракрасном диапазонах / Д.В. Нестеренко, Р.А. Павелкин, Ш. Хаяши // Компьютерная оптика. - 2019. - Т. 43, № 4.
- С. 596-604. - DOI: 10.18287/2412-6179-2019-43-4-596604.
21. Nesterenko, D.V. Fano approximation for coupled modes in metal-dielectric multilayer structures / D.V. Nesterenko // Journal of Physics: Conference Series. - 2019. - Vol. 1368, Issue 5.
- 052046. - DOI: 10.1088/1742-6596/1368/5/052046.
22. McPeak, K.M. Plasmonic films can easily be better: Rules and recipes / K.M. McPeak, S.V. Jayanti, S.J.P. Kress,
S. Meyer, S. Iotti, A. Rossinelli, D.J. Norris // ACS Photonics. - 2015. - Vol. 2, Issue 3. - P. 326-333.
23. Malitson, I. Interspecimen comparison of the refractive index of fused silica / I. Malitson // Journal of the Optical Society of America A. - 1965. - Vol. 55, Issue 10. - P. 1205-1209.
24. Kazanskiy, N.L. Plasmonic sensors based on Metal-insulator-metal waveguides for refractive index sensing applications: A brief review / N.L. Kazanskiy, S.N. Khonina, M.A. Butt // Physica E: Low-dimensional Systems and Nanostructures. - 2020. - Vol. 117. - 113798. - DOI: 10.1016/j.physe.2019.113798.
25. Soifer, V.A. Diffractive nanophotonics and advanced information technologies / V.A. Soifer // Herald of the Russian
Academy of Sciences. - 2014. - Vol. 84, Issue 1. - P. 9-18. -DOI: 10.1134/ S1019331614010067.
26. Emelyanov, S.V. Differentiating space-time optical signals using resonant nanophotonics structures / S.V. Emelyanov, D.A. Bykov, N.V. Golovastikov, L.L. Doskolovich, V.A. Soifer // Doklady Physics. - 2016. - Vol. 61(3). - P. 108-111. -DOI: 10.1134/S1028335816030022.
27. Doskolovich, L.L. Resonant properties of composite structures consisting of several resonant diffraction gratings / L.L. Doskolovich, E.A. Bezus, D.A. Bykov, N.V. Golovastikov, V.A. Soifer // Optics Express. - 2019. -Vol. 27, Issue 18. - P. 25814-25828. - DOI: 10.1364/0E.27.025814.
Сведения об авторе
Нестеренко Дмитрий Владимирович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник лаборатории дифракционной оптики ИСОИ РАН - филиала ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН, доцент кафедры технической кибернетики Самарского национального исследовательского университета. E-mail: пе&1егепко@тг.ru .
ГРНТИ: 29.31.26
Поступила в редакцию 22 декабря 2019 г. Окончательный вариант - 30 марта 2020 г.
Resonance characteristics of transmissive optical filters based on metal/dielectric/metal structures
D. V. Nesterenko12
'¡PSI RAS - Branch of the FSRC "Crystallography and Photonics" RAS, Molodogvardeyskaya '5', 44300', Samara, Russia, 2Samara National Research University, Moskovskoye Shosse 34, 443086, Samara, Russia
Abstract
The resonance characteristics of the Fabry-Pérot resonator modes supported by metal/dielectric/metal planar structures are studied in the case of absorbing media for near-to-normal light incidence. Approximations based on rigorous solution and field-transfer model for the field and resonance line shapes in spectra are attributed to the class of Fano and Lorentz resonances. The analytical expressions are obtained for the propagation constant and field enhancement of the mode, width, height and slope of resonance line shapes in spectra as functions of structural parameters. With estimation of field characteristics of the fabricated loss structures based on aluminum and quartz, the peaks in the transmission spectra can be attributed to the excitation of Fabry-Pérot modes. Fundamental characterization of Fabry-Pérot resonances may find applications in optical processing and sensing.
Keywords: resonators, optical resonances, planar structures, Fabry-Pérot mode, Lorentz resonanse, approximation.
Citation: Nesterenko DV. Resonance characteristics of transmissive optical filters based on metal/dielectric/metal structures. Computer Optics 2020; 44(2): 219-228. DOI: 10.18287/2412-6179-CO-681.
Acknowledgements: This work was partly funded by the Russian Federation Ministry of Science and Higher Education within the State assignment FSRC «Crystallography and Photonics» RAS under agreement 007-0/^3363/26 in part of design of experiment, RFBR (Project No. 1829-20006 and 18-07-00613) in parts of theoretical, numerical, and experimental studies.
References
[1] Refki S, Hayashi S, Ishitobi H, Nesterenko DV, Rahmouni A, Inouye Y, Sekkat Z. Resolution enhancement of plas-monic sensors by metal-insulator-metal structures. An-nalen Der Physik 2018; 530(4): 1700411. DOI: 10.1002/andp.201700411.
[2] Li Z, Butun S, Aydin K. Large-area, lithography-free super absorbers and color filters at visible frequencies using ul-trathin metallic films. ACS Photon 2015; 2(2): 183-188.
[3] Refki S, Hayashi S, Rahmouni A, Nesterenko DV, Sekkat Z. Anticrossing behavior of surface plasmon polariton dispersions in metal-insulator-metal structures. Plasmonics 2015; 11: 443-440. DOI: 10.1007/s11468-015-0047-7.
[4] Cui Y, He Y, Jin Y, Ding F, Yang L, Ye Y, Zhong S, Lin Y, He S. Plasmonic and metamaterial structures as electromagnetic absorbers. Laser Photon Rev 2014; 8(4): 495520.
[5] Porto A, Garcia-Vidal FJ, Pendry JB. Transmission resonances on metallic gratings with very narrow slits. Phys Rev Lett 1999; 83: 2845-2848.
[6] Garcia-Vidal FJ, Martin-Moreno L. Transmission and focusing of light in one-dimensional periodically nanostruc-tured metals. Phys Rev B 2002; 66: 155412.
[7] Belotelov VI, Kalish AN, Zvezdin AK, Gopal AV, Ven-gurlekar AS. Fabry-Perot plasmonic structures for nano-photonics. J Opt Soc Am B 2012; 29(3): 294-299.
[8] Prêtre Ph, Wu LM, Hill RA, Knoesen A. Characterization of electro-optic polymer films by use of decal-deposited reflection Fabry-Perot microcavities. J Opt Soc Am B 1998; 15(1): 379-392.
[9] Fabry C, Pérot A. Théorie et applications d'une nouvelle méthode de spectroscopie interférentielle. Ann de Chim et de Phys 1899; 16(7): 115-144.
[10] Homola J, Yee SS, Gauglitz G. Surface plasmon resonance sensors: review. Sens Actuators B Chem 1999; 54(1-2): 315.
[11] Nesterenko DV, Sekkat Z. Resolution estimation of the Au, Ag, Cu, and Al single- and double-layer surface plas-mon sensors in the ultraviolet, visible, and infrared regions. Plasmonics 2013; 8(4): 1585-1595. DOI: 10.1007/s11468-013-9575-1.
[12] Katsidis CC, Siapkas DI. General transfer-matrix method for optical multilayer systems with coherent, partially coherent, and incoherent interference. Appl Opt 2002; 41(19): 3978-3987.
[13] Vaughan JM. The Fabry-Perot interferometer: History, theory, practice and applications. New York: Taylor & Francis Group LLC; 1989.
[14] Born M, Wolf E. Principles of optics. 7th ed. Cambridge: University Press; 2007.
[15] Svelto O. Principles of lasers. 4th ed. New York: Springer; 1998.
[16] Ismail N, Kores CC, Geskus D, Pollnau M. Fabry-Pérot resonator: spectral line shapes, generic and related Airy distributions, linewidths, finesses, and performance at low or frequency dependent reflectivity. Opt Express 2016; 24(15): 16366-16389.
[17] Pollnau M. Counter-propagating modes in a Fabry-Perot-type resonator. Opt Lett 2018; 43(20): 5033-5036.
[18] He Y, Lu D, Zhao L. Reflection Airy distribution of a Fabry-Pérot resonator and its application in waveguide loss measurement. Opt Express 2019; 27(13): 17876-17886.
[19] [19] Nesterenko DV, Hayashi S, Sekkat Z. Asymmetric surface plasmon resonances revisited as Fano resonances. Phys Rev B 2018; 97(23): 235437. DOI: 10.1103/PhysRevB.97.235437.
[20] Nesterenko DV, Pavelkin RA, Hayashi S. Estimation of resonance characteristics of single-layer surface-plasmon sensors in liquid solutions using Fano's approximation in the visible and infrared regions. Computer Optics 2019; 43(4): 596-604. DOI: 10.18287/2412-6179-2019-43-4596-604.
[21] Nesterenko DV. Fano approximation for coupled modes in metal-dielectric multilayer structures. J Phys Conf Ser 2019; 1368(5): 052046. DOI: 10.1088/17426596/1368/5/052046.
[22] McPeak KM, Jayanti SV, Kress SJP, Meyer S, Iotti S, Rossinelli A, Norris DJ. Plasmonic films can easily be better: Rules and recipes. ACS Photon 2015; 2(3): 326-333.
[23] Malitson I. Interspecimen comparison of the refractive index of fused silica. J Opt Soc Am A 1965; 55(10): 12051209.
Authors' information
Dmitry V. Nesterenko graduated with honors (1999) from Samara State Aerospace University (Samara, Russia), majoring in Physics. Candidate in Optics (2002). Currently he is a senior researcher at Diffractive Optics laboratory of the Image Processing Systems Institute RAS - Branch of the FSRC "Crystallography and Photonics" RAS (Samara, Russia), an associate professor at Samara National Research University. His current research interests include nano-photonics, plasmonics, and electromagnetic theory. E-mail: nesterenko@smr.ru .
Received December 22, 2019. The final version - March 30, 2020.
[24] Kazanskiy NL, Khonina SN, Butt MA. Plasmonic sensors based on Metal-insulator-metal waveguides for refractive index sensing applications: A brief review. Phys E Low-dimensional Syst Nanostructures 2020; 117: 113798. DOI: 10.1016/j.physe.2019.113798.
[25] Soifer VA. Diffractive nanophotonics and advanced information technologies. Her Russ Acad Sci 2014; 84(1): 9-18. DOI: 10.1134/ S1019331614010067.
[26] Emelyanov SV, Bykov DA, Golovastikov NV, Doskolovich LL, Soifer VA. Differentiating space-time optical signals using resonant nanophotonics structures. Dokl Phys 2016; 61(3): 108-111. DOI: 10.1134/S1028335816030022.
[27] Doskolovich LL, Bezus EA, Bykov DA, Golovastikov NV, Soifer VA. Resonant properties of composite structures consisting of several resonant diffraction gratings. Opt Express 2019; 27(18): 25814-25828. DOI: 10.1364ЮЕ.27.025814.
