CC BY
5
УДК 535.36
DOI: 10.53815/20726759_2021_13_4_76
В. А. Астапенко, Е. С. Храмов
Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)
Резонансное рассеяние ультракоротких рентгеновских импульсов на связанных электронах в плотной плазме
На примере водородоподобных ионов рассмотрен процесс резонансного рассе-
яния ультракоротких импульсов лазера на свободных электронах (ЛСЭ) на связанных электронах плотной плазмы в терминах полной вероятности за всё время действия импульса. Показаны особенности изменения спектра сечения рассеяния с увеличением плотности плазмы и, как следствие, зависимости полной вероятности от несущей частоты импульсов. Также рассмотрена полная вероятность рассеяния как функция длительности спайков ЛСЭ. Показано, что данная зависимость может быть немонотонна при малых длительностях импульса, выделены основные тренды и проанализирована динамика экстремумов.
Ключевые слова: ультракороткие лазерные импульсы, плотная плазма, лазер на свободных электронах, связанные электроны, резонансное рассеяние.
V.A. Astapenko, Е. S. Khramov Moscow Institute of Physics and Technology
Resonance scattering of ultrashort X-ray pulses in a
deHLSG
coupled plasma
In terms of the full probability during the entire time of pulse action, we consider the resonance scattering of ultrashort x-ray free electron laser pulses (XFEL) on bound electrons of 5г13+ ions in a dense plasma. The particularities of scattering cross-section spectrum change with plasma density increase are highlighted. We study how these particularities impact the full probability dependence on the XFEL carrier frequency. Moreover, we consider the full probability as a function of XFEL spikes duration and demonstrate that this dependence could be nonmonotonic with small spikes durations. The main trends of this dependence are established, and the dynamics of nonlinear areas are assessed.
Key words: ultrashort laser pulses, dense plasma, free electron laser, bound electrons, resonance scattering.
1. Введение
Физика плазмы оперирует статистическими свойствами систем, содержащих большое число заряженных частиц, где на больших дистанциях кулоновские силы играют важную роль в проявлении коллективных эффектов [1]. С увеличением плотности плазма начинает проявлять свойства конденсированного вещества, при изучении которого нельзя пренебрегать силами, действующими на малых дистанциях. Речь идёт о сильно-коррелированной многочастичной кулоновской системе, в которой квантовая статистика, а также динамические эффекты играют важную роль [2,3]. Как следствие, для построения эффективных
© Астапенко В. А., Храмов Е. С., 2021
(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2021
моделей, описывающих процессы, протекающие в плотной плазме, требуется учет явлений, лежащих в поле ядерной, атомной и молекулярной физики. На сегодняшний день это актуальная проблема для научного сообщества, решение которой требует определённого массива экспериментальных данных. Эффективное исследование параметров классической плазмы возможно благодаря лазерной диагностике. Для зондирования материи, обладающей высокой плотностью, с достаточным пространственным разрешением требуется оперировать излучением рентгеновского диапазона [4|. Для высокой разрешающей способности по времени необходимо генерировать зондирующие импульсы с экстремально малыми длительностями [4|. Излучение лазера на свободных электронах (ЛСЭ) в высокой степени отвечает обозначенным требованиям [5]. Поскольку длительность воздействия импульса ЛСЭ соизмерима с временами внутриатомных процессов, требуется пересмотр существующих вероятностных моделей взаимодействия излучения и вещества, которые оперируют понятием вероятности в единицу времени [6]. В данной работе мы предлагаем модель резонансного рассеяния ультракоротких лазерных импульсов на связанных электронах в плотной плазме, в рамках которой описание ведется в терминах полной вероятности за все время действия импульсов. Особое внимание уделено особенностям зависимостей полной вероятности рассеяния от несущей частоты и длительности спайков импульса ЛСЭ.
2. Сечение рассеяния в плотной плазме с учётом тонкой структуры спектральных линий атома
Диаграмма Фейнмана, иллюстрирующая процесс рассеяния излучения на связанном электроне, изображена на рис. 1. Поглощая фотон, 4-вектор импульса которого равен (ш, к), электрон переходит из состояния |г > в виртуальное Ц >, после чего релаксирует на начальный уровень |г >, переизлучая поглощённый фотон с 4-импульсом (ш',к'). В случае резонансного рассеяния вклад в функцию Грина связанного электрона С будут давать только резонансные виртуальные состояния Ц >.
Рис. 1. Диаграмма Фейнмана процесса рассеяния на связанном электроне
В данной работе мы рассматриваем резонансные переходы электрона из основного состояния на пр-оболочки в водородоподобных попах с учётом тонкой структуры спектральных линий. Линия изолированного атома определяется тремя параметрами: силой осциллятора Д/, частотой перехода и коэффициентом Эйнштейна спонтанного испускания А^.
Для изолированного иона, параметры линии могут быть вычислены с помощью простых аналитических формул (1) (3).
Формула для силы осциллятора [1]:
. _ .28(п - 1)(2"-4) д,
1пР] и1/2 _ П 3(П + 1)(2га+4) Е _ , Ш
здесь д^ - статистический вес состояния, при котором полный момент электрона равен
Частоты перехода могут быть найдены согласно формуле [8]:
ш.
тес
2
1 +
(га)2
V
+ 2Г - (^)2 + п -1 - 2
- V1 - (га)2
/
(2)
где те - масса электрона, с - скорость света в вакууме, К - постоянная Планка, а - постоянная тонкой структуры, г - заряд атомного ядра.
Коэффициент Эйнштейна для спонтанного перехода с основного состояния в состояние с главным квантовым числом п [7]:
АП1 = г4а'
4^3 "
28п(п - 1)(2п-2) Ку 3п(п + 1)(2п+2) '
(3)
где Ку — ридберг.
В случае плотной плазмы экранировка делокализованными электронами будет оказывать влияние на значение параметров линии. В работе [3] представлены данные о параметрах перехода, рассчитанные с учётом эффектов плотной плазмы. Особенности процесса резонансного рассеяния будем рассматривать на примере иона 5г13+. В табл. 1 приведены параметры линий, характеризующие переходы 1« ^ пр^ для п = {2, 3, 4} и ] = {1/2, 3/2}, рассчитанные для изолированных ионов по формулам (1) - (3) и для ионов плотной плазмы с опорой на работу [3].
Частотная зависимость динамической поляризуемости атома для перехода 1« ^ пр с учётом тонкой структуры линии может быть найдена по формуле [1]:
(
/прх/21«
+
/прз/218
^(Ш) те \ Ш^р1/21з - ш2 - 2^Ап1 ' ш2Прз/213 - Ш2 - 2%шАп1
(4)
где е - элементарный заряд.
Связь динамической поляризуемости и интегрального сечения рассеяния в дипольном приближении задаётся формулой [7]:
*м = £ (% )4№)Р
(■5)
Поскольку ионы участвуют в тепловом движении, спектральная линия перехода подвержена доплеровскому уширению. Чтобы учесть это обстоятельство при дальнейших расчётах, усредним \/3(ш)\2 по проекциям скоростей ионов их на направление волнового вектора падающего фотона в соответствии с распределением Максвелла:
2
)
2
("3 <^12)0 = /
4
Шг е ЪгТг щ|
/пР1/21« + /прз/21«
(^)2 —2 - (^)2 —2 - 2гшАлп
еЧ - Ж)
й 1Ух, (6)
здесь Тг - тепловая скорость ионов.
х
2
оо
X
Таблица1
Значения параметров электронных переходов 1« ^ пр {¡^ А,) ионов при различных значениях электронной концентрации пе и температуры Те плотной плазмы, а также для изолированного иона
Переход , эВ /, Л', с-1
пе = 8.7 ■ 1022 см-3 Те = 189 эВ 18 ^ 2Р1/2 2004.444 0.1383 2.411 ■ 1013
1« ^ 2Р3/2 2006.193 0.2748 2.416 ■ 1013
пе = 2.06 ■ 1023 см-3 Те = 251 эВ 18 ^ 2Р1/2 2004.124 0.1381 2.411 ■ 1013
1« ^ 2Р3/2 2006.386 0.2746 2.413 ■ 1013
пе = 8.36 ■ 1023 см-3 Те = 353 эВ 18 ^ 2Р1/2 2002.303 0.1379 2.405 ■ 1013
Ь ^ 2Р3/2 2003.938 0.2710 2.411 ■ 1013
пе = 2.76 ■ 1024 см-3 Те = 439 эВ 18 ^ 2Р1/2 1999.166 0.1370 2.388 ■ 1013
18 ^ 2Р3/2 2001.373 0.2740 2.393 ■ 1013
Изолированный ион 18 ^ 2Р1/2 2004.848 0.1387 2.410 ■ 1013
18 ^ 2р3/2 2006.600 0.2775
Пе = 8.7 ■ 1022 см-3 Те = 189 эВ 18 ^ 3Р1/2 2374.872 0.0259 6.345 ■ 1012
18 ^ 3Р3/2 2375.385 0.0520 6.392 ■ 1012
пе = 2.06 ■ 1023 см-3 Те = 251 эВ 18 ^ 3Р1/2 2373.365 0.0258 6.344 ■ 1012
18 ^ 3Р3/2 2373.875 0.0516 6.391 ■ 1012
пе = 8.36 ■ 1023 см-3 Те = 353 эВ 18 ^ 3рх/2 2369.118 0.0230 5.645 ■ 1012
18 ^ 3Р3/2 2369.575 0.0463 5.683 ■ 1012
Изолированный ион и ^ 3Р1/2 2376.636 0.0264 6.434 ■ 1012
Ь ^ 3Р3/2 2377.115 0.0527
пе = 8.7 ■ 1022 см-3 Те = 189 эВ 18 ^ 4Р1/2 2502.064 0.0078 2.115 ■ 1012
18 ^ 4р3/2 2502.273 0.0157 2.113 ■ 1012
Изолированный ион 18 ^ 4Р1/2 2506.690 0.0097 2.623 ■ 1012
18 ^ 4р3/2 2506.909 0.0193
Таким образом, динамическая поляризуемость для атома, участвующего в хаотичном тепловом движении:
'«<«> = Т (7)4 ^
На рис. 2 представлены спектры сечения рассеяния, рассчитанные по данным из табл. 1. Как видим, из всех трёх рассматриваемых случаев тонкое расщепление в спектре различимо только для перехода 1« ^ 2р (рис. 2а), в остальных случаях линии тонкого расщепления сливаются из-за доплеровского уширения. Также эффект экранировки плотной плазмы ярко выражен на всех рисунках в виде сдвига спектральных пиков, рассчитанных с использованием материала работы [3], относительно тех, что были построены для изолированных ионов в соответствии с формулами (1) - (3), (6) - (7).
3. Полная вероятность рассеяния импульса рентгеновского лазера
на свободном электроне (РЛСЭ) в плотной плазме за всё время его действия
Согласно золотому правилу Ферми, вероятность в единицу времени может быть выражена через сечение процесса и поток падающих па мишень фотонов [6]:
ад = о]ш. (8)
Формула (8) применима только для монохроматического потока излучения. В случае УКЛИ, ширина спектра импульса соизмерима со спектральной шириной сечения процесса,
что делает данную формулу неприменимой. В качестве альтернативы в работе [10] предложена формула полной вероятности рассеяния за всё время действия импульса, полученная в рамках второго порядка квантово-механической теории возмущения:
здесь Е<u> - фурье-образ напряжённости электрического поля падающего импульса. Для описания спектральной плотности излучения ЛСЭ воспользуемся предложенной в работе [11] моделью импульса ЛСЭ, работающего в режиме самоусиленной спонтанной эмиссии (SASE). В рамках данного подхода импульс представляется как гребёнка из п гауссовых импульсов (спайков) со случайными значениями фазы и временами генерации. Серия спай-ков имеет гауссову огибающую. Фурье-образ напряжённости такого импульса описывается формулой
Е <и > =
EqT ехР
i=1
(-+ ^^ *
х
■ f . <cu -цс, (. <ш + >2г2\
ехР I ■-г<pj---- I + exp I гtpj---- I
,
где Eq - амплитуда напряжённости электрического поля, г, Т - длительности спайка и огибающей соответственно, ис - несущая частота.
Рис. 2. Спектр сечения рассеяния на связанном электроне с учётом доплеровского уширения. На данном рисунке рассмотрены резонансные переходы 15 ^ 2р (а), 15 ^ 3р (б) и 15 ^ 4р (в). Сплошные линии соответствуют расчёту с учётом эффекта экранировки в плотной плазме, штриховые линии - расчёту для изолированного иона
Начальные фазы спайков ^ имеют равномерное распределение на интервале [0; 2ъ], временные максимумы - равномерное распределение на интервалах [£0 + А^; £0 - А^]•
£0 = КГ (2- 1) " времена максимумов в случае, если спайки генерируются через равные
промежутки времени. Д^ - девиация времени генерации спайка £0 в случае стохастической генерации ЛСЭ. Так как спайки не должны перекрываться во временной области, девиация определяется как: Д^ = Кг (п — т)> гДе х ~ 6 — 8.
*1П
2000
1.5
х 10
0.5
В
2502
ш, ЭВ 2006
х 10
-4
и). эВ
2507
б
2370 ш, ЭВ 2376
—т е = 189 эВ, п = е 8.7 1 022 см"3
-Т е = 251 эВ, п = е 2.06-1023 см"3
Т е = 353 эВ, п = е 8.36-1023 см"3
-Т е = 439 эВ, п = е 2.76-1024 см"3
Рис. 2. Спектр сечения рассеяния на связанном электроне с учётом доплеровского уширения. На данном рисунке рассмотрены резонансные переходы 15 ^ 2р (а), 15 ^ 3р (б) и 15 ^ 4р (в). Сплошные линии соответствуют расчёту с учётом эффекта экранировки в плотной плазме, штриховые линии - расчёту для изолированного иона
Рис. 3. Зависимость вероятности рассеяния импульса РЛСЭ на связанном электроне в плотной плазме от несущей частоты, лежащей в окрестности частоты перехода 15 ^ 2р при различных длительностях импульса
Рис. 3 иллюстрирует, как изменяется зависимость вероятности рассеяния от несущей частоты при вариации длительности импульса. При малых длительностях зависимость име-
ет колоколообразную форму практически симметричную относительно частоты перехода 1^1/2 ^ 2рз/2. По мере увеличения длительности импульса начинает проявляться максимум, соответствующий переходу 1^1/2 ^ 2р1/^, поскольку с увеличением г спектр РЛСЭ сужается и вклад перехода 1^1/2 ^ 2р3/2 в общую вероятность при частотах, характерных для перехода 1^1/2 ^ 2р1/^, уменьшается. Для резонансных переходов 15 ^ Зри 15 ^ 4р данная зависимость имеет ту же самую тенденцию к уширению профиля при уменьшении г, только, в соответствии со спектрами рассеяния на этих переходах (рис. 26, в), тонкое расщепление не наблюдается из-за доплеровского уширения.
О 2 4 6 8 10 1998 1999 2000 2001 2002 2003
т, фс ш, эВ
Рис. 4. т-зависимость вероятности рассеяния импульса РЛСЭ на связанном электроне в плотной плазме в окрестности частоты перехода 15 ^ 2р при различных несущих частотах (а). Прямые линии на рисунке (б) отражают положение несущей частоты относительно спектра сечения рассеяния для соответствующих по цвету и штриховке кривых с рисунка (а). Рисунки построены для Те = 439 эВ, пе = 2.76 • 1024 с м-3, Е0 = 0.1 ат. ед, Т = 160 фс, п = 60. Спайки имеют случайные фазы и времена максимумов
Зависимость полной вероятности за всё время действия импульса от его длительности (т-зависимость) имеет нетривиальный вид при малых длительностях. Рисунок 4 демонстрирует, что г-зависимость имеет различные тренды, в том числе немонотонные. Когда несущая частота лежит в окрестности максимума сечения рассеяния, то зависимость монотонно-возрастающая, в пределе переходящая в линейную, что согласуется со стандартным рассмотрением. Очевидно, что максимальная скорость роста г-зависимости приходится на частоту, которой соответствует большее значение сечения.
Начиная с некоторой отстройки от спектрального максимума, зависимость становится немонотонной. В области малых длительностей проявляются локальный максимум и минимум с последующим выходом на линейный режим. Локальные экстремумы возникают по той причине, что при малых длительностях ширина спектра импульса превышает спектральную ширину максимума сечения рассеяния и по мере увеличения длительности сужается, и при этом площадь перекрытия а8С(ш) и |Е(ш)| изменяется немонотонным образом. Дисперсия г-зависимости увеличивается по мере роста длительности импульса. Когда несущая частота находится за пределами спектральных максимумов и сечение рассеяния пренебрежительно мало, то и в этом случае вероятность может быть не нулевой при малых длительностях, поскольку ширина импульса настолько велика, что часть спектральных компонент импульса перекрывается со спектральными максимумами. При увеличении длительности степень перекрытия уменьшается, и г-зависимость стремится к нулю.
Вид г-зависимости сильно зависит от плотности плазмы. На рис. 5 проиллюстрировано, как изменяется г-зависимость при изменении плотности плазмы на примере пере-
ходов, сечения которых представлены на рис. 2. Как было сказано ранее, с увеличением плотности спектральные максимумы сдвигаются в сторону уменьшения частот. Таким об-
плазмы, тем меньше значения тшах и тшш, соответствующие локальному максимуму и минимуму. Поскольку несущая частота, приходящаяся на вершину спектрального пика, смещается с вершины в область меньших частот по мере увеличения плотности, амплитуда
та которой изначально приходилась на вершину максимума с меньшей амплитудой (15 ^ пР\/2\ может давать большие значения при больших плотностях, нежели т-зависимость, несущая частота которой была настроена на пик (15 ^ ^Рэ/2)- Это происходит потому, что по мере увеличения плотности пики сдвигаются в область меньших частот и соответственно импульс с несущей частотой, ориентированный на пик 15 ^ ^р^/ъ отдаляется от максимумов сечения, в то время как спектр импульса с несущей ориентированной на пик 15 ^ пр1/2 может оказаться между двумя пиками и в итоге иметь большую площадь перекрытия а8С 1Е(и)|2.
Рис. 5. т-зависимость рассеяния на связанных электронах в плотной плазме 13+ при разных плотностях и температурах плазмы. Несущие частоты соответствуют спектральным максимумам сечения рассеяния на изолированном ионе (у = линии, у = 3/2- сплошные линии)
4. Заключение
Рассмотрена динамика изменения сечения рассеяния на связанных электронах в плотной плазме при изменении электронной концентрации и температуры. На примере иона Si 13+ показано, что за счёт эффекта экранировки в плотной плазме спектральный профиль сдвигается в область меньших частот с ростом концентрации. Также показано, что при температурах больше 150 эВ тонкое расщепление спектральных линий может быть зафиксировано только для перехода 15 ^ 2р. Для переходов с большим главным квантовым числом за счёт доплеровского уширения тонкое расщепление становится неразличимым.
На примере резонансного перехода 15 ^ 2р проанализирована полная вероятность рассеяния на связанном электроне как функция несущей частоты импульса ЛСЭ при различ-
ных длительностях импульса. Показано, что по мере уменьшения длительности, профиль зависимости расширяется, и при дальнейшем уменьшении т, начиная с определён-
ной длительности, тонкое расщепление пика становится неразличимым.
ЛСЭ относительно спектра интегрального сечения рассеяния. Выделены типовые тренды,
максимума наблюдается монотонный рост с выходом на линейную зависимость, причём, чем больше амплитуда сечения, тем быстрее растёт вероятность с увеличением длительности импульса. При несущих частотах, отстроенных от максимума сечения на частоту более определённой величины, проявляются локальный максимум и минимум зависимости, которые возникают в связи со сложной зависимостью площади перекрытия азс(ш) ж |Е(ш)| от длительности импульса. Если несущая частота приходится не на нулевое значение сечения, то зависимость выходит на линейную с ростом т. Если значение сечения в точке шс прене-
Показано, что с увеличением плотности плазмы точки экстремумов смещаются в область меньших длительностей, а амплитуда вероятности может уменьшится на порядки при увеличении электронной плотности на порядок.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 19-32-90016.
Литература
1. Chen F.F. Plasma Physics and Controlled Fusion. New York and London: Plenum Press, 1984. 421 p.
2. Kraeft W.D., Kremp D., Ebeling W., Röpke G. Quantum Statistics of Charged Particle Systems. Berlin : Akademie-Verlag, 1986. 298 p.
3. Ichmaru S. Statistical Plasmas Physics: Condensed Plasmas. Oxford : Westview Press, 2004. 304 p.
4. Lindroth E., Calegari F., Young L., Harmand M., Dudovich N., Berrah N., Smirnova O. Challenges and opportunities in attosecond and XFEL science // Nature Reviews Physics. 2019. V. 1, N 2. P. 107-111.
5. Deschaud В., Peyrusse О., Rosmej F.B. Simulation of XFEL induced fluorescence spectra of hollow ions and studies of dense plasma effects // Physics of Plasmas. 2020. V. 27, N 6. P. 063303.
6. Rosmej F.B., Astapenko V.A., Lisitsa V.S. Plasma Atomic Physics. Cham : Springer International Publishing, 2021. 648 p.
7. Астапенко В.А Взаимодействие излучения с атомами и наночастицами. Долгопрудный : Издательский дом «Интеллект», 2010. 496 с.
8. Берестецкий В.В., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Теоретическая физика. Издание 4-е, исправленное. Москва : Физматлит, 2002. Т. IV. Квантовая электродинамика. 720 с.
9. Zeng L., Li Y., Yuan J. Effects of plasma screening on radiative transition and photoionization of Si10+-Si13+ in a dense plasma environment // Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer. 2021. V. 272. P. 107777.
10. Astapenko V.A. Scattering of an ultrashort electromagnetic radiation pulse by an atom in a broad spectral range // Journal of Experimental and Theoretical Physics. 2011. V. 112, N 2. P. 193-198.
11. Rosmej F.B., Astapenko V.A., Khramov E.S. XFEL and HHG interaction with matter: Effects of ultrashort pulses and random spikes // Matter and Radiation at Extremes. 2021. V. 6, N 3. P. 034001.
References
1. Chen F.F. Plasma Physics and Controlled Fusion. New York and London: Plenum Press, 1984. 421 p.
2. Kraeft W.D., Kremp D., Ebeling W., Röpke G. Quantum Statistics of Charged Particle Systems. Berlin : Akademie-Verlag, 1986. 298 p.
3. Ichmaru S. Statistical Plasmas Physics: Condensed Plasmas. Oxford : Westview Press, 2004. 304 p.
4. Lindroth E., Calegari F., Young L., Harmand M., Dudovich N., Berrah N., Smirnova O. Challenges and opportunities in attosecond and XFEL science. Nature Reviews Physics. 2019. V. 1, N 2. P. 107-111.
5. Deschaud B., Peyrusse O., Rosmej F.B. Simulation of XFEL induced fluorescence spectra of hollow ions and studies of dense plasma effects. Physics of Plasmas. 2020. V. 27, N 6. P. 063303.
6. Rosmej F.B., Astapenko V.A., Lisitsa V.S. Plasma Atomic Physics. Cham : Springer International Publishing, 2021. 648 p.
7. Astapenko V.A. Interaction of radiation with atoms and nanoparticles. Dolgoprudnv : Publishing house «Intellect», 2010. 496 p. (in Russian).
8. Berestetskii V.B., Lifshitz E.M., Pitaevskii L.P. Theoretical Physics. Edition 4th, corrected. V. IV. Quantum electrodynamics. Moscow : Fizmatlit, 2002. 720 p. (in Russian).
9. Zeng L., Li Y., Yuan J. Effects of plasma screening on radiative transition and photoionization of Si10+-Si13+ in a dense plasma environment. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer. 2021. V. 272. P. 107777.
10. Astapenko V.A. Scattering of an ultrashort electromagnetic radiation pulse by an atom in a broad spectral range. Journal of Experimental and Theoretical Physics. 2011. V. 112, N 2. P. 193-198.
11. Rosmej F.B., Astapenko V.A., Khramov E.S. XFEL and HHG interaction with matter: Effects of ultrashort pulses and random spikes. Matter and Radiation at Extremes. 2021. V. 6, N 3. P. 034001.
Поступим в редакцию 24-11.2021
