CC BY
3
Visnyk N'l'UU KP1 Seriia Radiolekhnika tiadioaparatobuduummia, "2021, Iss. 84, pp. 88—94
УДК 621.372.22
Резонанс Фано в довгш л mil
Нелгн 6. А., Непочатих Ю. В.
Нацкшалышй тохшчшш ушворситот Украши "Ки'шський иолггохшчиий шститут ¡мот 1горя Сжорського",
м. Ки'ш, Украша
E-mail: ncpochalikh@kivra.kpi.ua
В статт! теоретичпо обгруптовапо можлшмсть формуваппя асиметричпо! резопапспо! характеристики Фапо в довгш лиш (ДЛ) i шдтверджепо шдвищеппя добротпост та змепшеппя розм!р!в ДЛ з резонансом Фапо. як пор1впяти з класичпим швхвильовим резонатором. Резонанс Фапо зумовлепий двохвильовою штерферешцяо i випикае в структурах р1зпо! хвильово! прнроди. Ушкальшсть цього резонансу зумовлепа поедпаппям у пьому повпого проходжеппя та повпого в!дбиття з р!зким переходом м!ж ними. Для резонансу Фапо характерна висока добротшсть. Для електромагштпих хвнль оптичпого д!апазопу резонанс Фапо розгляпуто в багатьох пубшкагцях. Резонансу Фапо в радюд!апазош присвя-чепо лише дешлька роб!т. В статт внкопапо пор1впяппя асиметричпо! резопапспо! характеристики Фапо та симетричпо! ушверсалыго! резопапспо! криво!. Симетричпу резопапспу криву визпачае одип параметр добротшсть. а характеристику Фапо два: добротшсть i параметр асиметрп. Показано, що характеристику Фапо можпа опнсатп виразом. форма якого така ж. як i для симетричпо! ушверсалыю! резопапспо! криво!. Встаповлепо умови. при яких у смуз! пропускания гц характеристики близью. Проапашзовапо 1мпедапсш умови повпого в!дбиття. пеобх1дпого для формуваппя пуля характеристики Фапо. Теоретичпо обгруптовапо можлшмсть резонансу Фапо в довгих липях (ДЛ) 3i шлейфами. Розгляпуто структури па основ! роз!мкпутого або короткозамкпутого шлейфа та в!др!зка ДЛ, а також па основ! двох роз!мкпутих або роз!мкпутого й короткозамкпутого шлейф!в. Викопапо математичпий апатз частотпих характеристик структур. Наведено параметрп ДЛ та розраховаш частотш характеристики коефкцепта проходжеппя ДЛ. Викопапо пор1впяппя отрима1шх частотпих характеристик з апаттичпою характеристикою Фапо. а також з характеристикою класичпого швхвильового резонатора. Структури па основ! ДЛ з характеристикою Фапо дозволяють помтю тдвищити добротшсть. подавптн в!дгуки па пайближчих гармошках та змепшити розм!ри. як пор1впяти з швхвильовим резонатором. Продемопстровапо можлгнмсть реатзацп падвузькосмугових частотних характеристик структурою па основ! роз!мкпутого й короткозамкпутого шлейф!в.
Ключоег слова: резонансна характеристика: резонанс Фапо: довга лш!я
DOI: 10.20535/RAD АР. 2021.84.88-94
Вступ
Хвильов1 явшца фундаменталыи в нашому свт. Одно з ключових хвильових явшц резонанс, за якого р1зко простас амшптуда вимушсних коливань. Резонанс. вщкритий Галшео Галшеем у 1602 р.. дожить в основ1 р1зних природних явнщ 1 його над-звнчайно широко використовують. Розонансна частотна характеристика осцилятора коливальноТ структури з одшето резонансною частотою з хорошим наближенням симетрична. У 1961 р. У го Фано отримав формулу для асиметричного резонансу, названого згодом резонансом Фано [1].
Резонанс Фано зумовлений двохвильовою штерферешцяо 1 виникае в структурах р1зно1 хвильово1 природи. Такий резонанс характерний для наноструктур 1 метаматер1ал1в [2 7]. Ушкальшсть резонансу Фано зумовлена посднанням у ньому повного проходження та повного ввдбиття з р1зким пере-
ходом хйж ними, що поясшос значний штерес до нього [4].
Базова радкхгехшчна функщя. необхщна в ра-дюелектронних системах. частотна виб1рковкть. Новь бшын жорстш вимоги до систем вимагають шдвшцення виб1рковость В традицшних частотно-виГяркових пристроях використовують резонанс з симетричною характеристикою. Для резонансу Фано характерна висока добротшсть [3]. Отже. можна очшувати. що використання резонансу Фано дозволить шдвшцити частотну виб1рковкть радютехш-чних пристроТв.
Для слектромагштних хвиль оптичного д1апазо-ну резонанс Фано розгляпуто в багатьох публшаць ях. Резонансу Фано в радюд1апазош присвячено лише декшька роби. У статт [8] проанал1зовано резонанс Фано в зв'язаних коливалышх контурах, ана-лоичних зв'язаним мехашчним резонаторам. У робот! [9] цей резонанс реал1зований двома зв'язаними коакйалышми резонаторами. У стати [10] розгля-
Розоиаш; Фано в доигШ лши
89
нуто модслювання резонансу Фано радкхгехшчними колами з зоссредженими параметрами.
Мота ща стати теоретично обг'рунтування мо-жливосп формування резонансно! характеристики Фано в довгш лшп (ДЛ) 1 шдтвердження шдви-щоння добротносп та зменшення розм1р1в ДЛ з резонансом Фано. як пор1вняти з класичним швхви-льовим резонатором.
1 Симетрична резонансна характеристика й характеристика Фано
У багатьох випадках резонансну частотну зале-жшеть нормовано! амшптуди коливань апроксиму-ють симетричною ушвсрсалыгою резонансною кривою
I
1
(1)
де С = Я - добротшеть, 5 = (/ - /0У/0, ! -частота, /0 - резонансна частота. У радютехшщ за-лежшеть (1) апроксимуе резонанеш характеристики коливалышх контур1в та вщлзка ДЛ \ мае назву гранично! резонансно! характеристики.
Резонанс Фано був вщкритий для квантово-мехашчних хвиль. Характеристика Фано (для ш-тснсивносп) мае вигляд [1,5]
(д +
1+ £2
(2)
и
\ч + £1
л/(1 + «2)(1 + а'
(3)
Якщо \д\ = то, ( ) збЬаеться з ( ).
залежносп дзеркалыи. Характеристика Фано за-безиечуе максимально можливе сшввщношення мЬк максималышм р1внем сигналу в смуз1 пропускания й мпималышм у смуз1 подавления. 31 збшынен-ням \д\ р1вень сигналу поза смугою пропускания знижуеться.
1 г
0,75 г
0,50
0,25
Рис. 1. Характеристики Фано
Пор1вняемо характеристики (1) \ (3), а також 1хш граф1чш залежность Для зручноста пор1вняння сумштимо максиму ми характеристик (1) \ (3) змь
-1
гценням залежносп ( ) л1воруч на величину д представимо отриманий вираз у форхй виразу (1). Змщена заложшеть (3) мае вигляд
к + ч-1 +
^(1 + ?2)[1 + (е+ч-1)2]'
(4)
де д - параметр асиметрп, е = 2(Е — Е0)/Г, Е -онория електрона, Г ширина р1вня оноргп з резонансным значениям Ео- За, е = д-1 характеристика Фано мае максимум, що дор1внюе 1 + д2, а з ае = —д мпимум, що дор1вшое нулю.
Зпдно з формулою Планка Е = ки, де к - стала Планка; V - частота, отримуемо: е = 2Q6. Тут 6 = (и — у0)/у0, щ = Е0/к, Q = Е0/Г. Величина Q аналогична добротность Отже. для формул (2) 1 (1)
е = е
Нормовану до максимуму амшптудну характеристику Фано визначае вираз
1 максимально одинично значения вираз (4), як 1 (1),
мае за £ = 0.
У результат! перетворень виразу (4) отримаемо
/Ф =
1
(5)
1
до а = [1 + Я-1 (я-1 + С)] 1- Вираз (5) вщр1зняеться вщ ( ) множником а. Для симетрично! характеристики: \д\ = то а =1 1 ( ) зб1гаеться з ( ). Кр1м максимуму, частотш характеристики (1) 1 (5) зб1га-ються па частотах, що визначае умова а = ±1, з яко! внплнвае: £ = — д-1 1 £ = — (2д + д-1).
За \д\ ^ 1 у смуз1 пропускания частотно! характеристики ( ), де максимум модуля \£\ « 1, маемо а« 1 1
1Ф-
1
(6)
2 Особливост1 характеристики Фано
Симотричну резонансну криву (1) визначае один параметр а характеристику Фано ( ) - два: ^ д. На рис. 1 наведено характеристики Фано зпдно з (3) за д = 2, 3 1 5 (крив1 1, 213 вадповвдно). Якщо д < 0,
Вираз (6) наблпжено зб1гаеться з (1).
На рис. 2 наведено характеристики (1) (крива 1) 1 ( ) (крив1 2 1 3 для д = 51 д = —5 вщпов1дно). Як 1 можна було оч1кувати з урахуванням (6), у смуз1 пропускания характеристики близькь За резонансу Фано шдвигцуеться виб1рков1сть з боку нижшх або верхн1х частот (за д > 0 або д < 0 вщповщно) з режекщею до нуля на одшй з частот.
ф
а =
90
Hojiiii (?. Л., Ноиочатих Ю. В.
1 Г
0,75 0,50 0,25
Рис. 2. Ушверсальна резонансна крива (1) та характеристики Фано (2 та 3)
Максимум i MiiiiMyM характеристики Фано в1д-поввдають иовному проходженшо й повному ввдбит-тю хвиль В1дпов1дно до закону збороження oiiopri'i без урахування втрат коефщент проходження Т (за модулем) i коефщент ввдбиття R иов'язуе сшввщ-
ношення
Т =
V1 — \д\2
(7)
У точках максимуму й мпимуму з виразу (7) маемо ввдповвдно
Т =1, \R\ =0, (8)
Т = 0, \Д\ = 1.
(9)
иеретворень шподанси й адмитанси пронормовано в1дпов1дно до 1мподансу й адшттансу хвильового сородовища (зокрема, ДЛ). Коофщент вщбиття за напругою дор1вшое
R
1 $ВХ 1 + $ВХ
(10)
Для отримання сшввщношонь (9) нообхщш грани-чш значения двх: двх = 0, двх = то Ие 5вх = 0, \1т ^вх \ = то, де Ие 1 1т - дшена та уявна части-ни. Вар1ант двх = то вщповщае полюсу затухания ланки з послщовним контуром, шд'еднаним пара-лельно навантаз1 [11]. Це використано в [10]. Ва-р1ант \1т #вх \ = то досяжний в ДЛ з роз1мкнутим або короткозамкнутим шлейфом (рис. 31), штриховою лпиею показано закоротку короткозамкнутого шлейфа, 1 1 — хвилыда 1миеданси ДЛ 1 шлейфа), а також з1 шлейфом з реактивною навантагою (в стати не розглянуто).
Вхщний адмитанс вщлзка ДЛ (надал1 вщл-зок) без втрат для нормованих 1мподанйв 1 адми-танйв дор1вшое [12]
1 + izHz 1t za+izt
(11)
Сшвввдношоння (8) i (9) ввдповвдають максимально можливому д1аиазону pisniB оброблюваних або функщоналышх сигнал1в, що дуже важливо для практичних застосувань.
Сшввщношоння (8) роал1зуються в pi3inix хви-льових структурах за резонансного проходження хвиль. Задля досягноння сшввщношонь повного в1д-биття (9) нообхщш спещалыи piinoinra. У таких хвильових структурах, як вщбивачь фшьтри на ocnoBi вщлзшв ДЛ, обможош иорюдичш структури до сшввщношонь (9) можна лише наблизитися, а для точного i'xiiboro виконання нообхщш модолыи, ф1зично недосяжш умови (наириклад, нообможо-niCTb порюдичнеи структури).
3 Повне вщбиття в довгш лшп 3i шлейфом
Умови досягнення сшввщношонь (9) шюструе рис. За. Джерела I i II (nepBiiiiiii або вторинш) ви-np0Miiii0i0Tb xBimi 1 i 2 однаково! амшптуди i фази, А - довжина хвшп, штрих вщиовщае частот! нуля частотно! характеристики коофщента проходження. При шторфорошщ цих хвиль виаслщок iia6iry фази хвшп 1 вщносно хвшп 2 на частот! f' ампль туда сумарно! (що пройшла) хвил1 дор1вшое нулю, вщповщно коофщент проходження дор1вшое нулю.
Розглянемо вимоги до вхщного адмитансу структури двх, що вщиовщають ( ). Для спрощення
де « = %/— 1; zH - 1мпеданс навантаги; z - хвильо-внй 1мпеданс вщр1зка; t = tgßl, ß - хвильове число, ß = 2-к/Х, l - довжина вщр1зка. 3 виразу ( ) для вхщного адшттансу роз1мкнутого (z„ = то) й короткозамкнутого (zH = 0) шлейф1в маемо вщповщно
9ш
iz- 1t
1 £ь ffrn
—iz-1t-1,
(12)
де шдоксом «1» позначено иараметри шлейфа.
Вхвдний адмитанс ДЛ з1 шлейфом в точках шд'еднання шлейфа дор1внюе #вх = 1+ дш. На частотах, яи визначають умови I = Х(2п — 1)/4, п = 1, 2, ... для роз1мкнутого шлейфа \ I = Хп/2 для короткозамкнутого, маемо: \1т двх \ = \дш\ = то, так що виконуються сшввщношоння (9). За тако! умови в иозначеннях на рис. За хвиля 1 падаюча, а хви-ля 2 вщбита ввд к1нця роз1мкнутого шлейфа у раз1 п =1; хвил1 1 1 2 синфазш. Для короткозамкнутого шлейфа щ хвил1 иротифазн1, оск1льки при в1дбитт1 фаза хвил1 змшюеться на протилежну, 1 для п =1 вщетань м1ж джерелами 11 II дор1внюе X'.
У раз1, якщо ^ ^^^^етае вираз #вх = 1 + щ, ^ ................ дшена функщя частоти, зг1дно з ( ) 1 ( )
отримаемо
1 (13)
т=
Форма виразу (13) збЬаеться з формою вираз1в (1) i (5).
Покажемо, що ДЛ 3i шлейфами дозволяють сформувати характеристику Фано.
у
Резонанс Фано в дош'Ш лши
91
2+
Х12
и
(а)
(с)
Рис. 3. Джерела хвиль I 1 II (а): ДЛ з1 шлейфом (Ь): ДЛ на основ1 шлейфа та вщнзка (с): ДЛ на основ1
двох шлсйф1в (с!)
4 Резонанс Фано в довгш лшп на основ1 шлейфа 1 в1др1зка
На рис. Зс наводош ДЛ на основ1 рехймкнутого шлейфа 1 вщнзка (ДЛ 1) або короткозамкпутого шлейфа 1 вщнзка (ДЛ2).
Для вщнзка повинш виконуватися умови
.г < И I < Ао, (14)
де А0 - довжина хвшл на частота /0.
Вхщшй адхпттанс ДЛ 1 1 ДЛ 2 дор1вшое
Яшх. 9 в + Зи^ (15)
де дв - вхвдний адшттанс вщнзка.
Оскшьки для в1др1зка 2„ = 1, з виразу ( ) маемо
9ш-
1 + \г~Ч 1+ Ы '
3 урахуванням умов (14)
~ 1 +
(16)
(17)
Поставивши у (15) вирази (17) 1 (12). для ДЛ 1 1 ДЛ 2 отримаемо вщиовщго
'П ■■
г- Ч1,
'П ■■
Отжо. коефщент проходжеппя ДЛ 1 1 ДЛ 2 набли-жено визначас вираз (13).
На рис. 4а наводош частотна залежшеть коефь щента проходжеппя ДЛ 1 згщго з (12). (15) 1 (16) (крива 1) 1 характеристика Фано зидно з (5) (крива 2), ^ = ///0. Параметры ДЛ1 1 характеристики Фано: г = 0, 08 ¿1 =3 I = А'/12 к = А'/4, = 0, 9721, Q = 55 Я = 2, 7. Як бачимо, характеристика ДЛ 1 ввдповвдае характеристищ Фано.
Для пор1вняння на рис. 4а показано розонансну характеристику швхвильового вщнзка ДЛ (ДЛП) з хвильовим 1мпедансом я (крива 3); добротшсть ДЛП 10. Проти ДЛП добротшсть ДЛ 1 у 5.5 раза бшына, а довжина ДЛ1, що визначасться сумою довжин 11 елеменпв 1 дор1внюе 0,34Ао, в 1,5 раза мошна. На ввдмшу вщ характеристики ДЛП в характеристищ ДЛ 1 ввдеутш вщуки на частотах другем, третьем й четвертей гармошк.
1
0,75 0,50 0,25 Г
0,8 0,9 1,0 1,1 1,2
(а)
1
0,75
0,50 1
0,25
00 1 2 3 4
(Ь)
Рис. 4. Характеристики ДЛ 1 (а, 1), ДЛ2 (Ь, 1), Фано (2) та ДЛП (3)
На рис. 4Ь наведено характеристики ДЛ 2 (крива!), Фано (крива 2) 1 ДЛП (крива 3), г = ^ =0,08, I = А'/4, Ь = А'/2, ^' = 2, 9940, Q = 6, Я = -24, добротшсть ДЛП 10. Характеристика ДЛ 2 у першому наближенш вщповвдае характеристищ Фано. Проти ДЛП довжина ДЛ 2 вдв1ч1 мошна, в характеристи-щ ДЛ 2 ввдеутш вадгуки на нульовш частот! та на частотах другем, третьем й четверто! гармоник.
5 Резонанс Фано в довгш лшп на основ1 двох шлейф1в
На рис. 3(1 наведено ДЛ на основ1 двох ретамкну-тих, а також на основ1 ретамкнутого й короткозамкпутого шлсйф1в (ДЛ 3 1 ДЛ4 вщпеязщго). Для цих
92
Hojiiii (?. Л., Неиочатих Ю. В.
ДЛ маемо вщповщго
V = +¿2^2, (18)
V = ¿2^1 -¿-V, (19)
до шдсксами позначоно помори шлсйс}нв. Коофшд-ент проходжоння ДЛЗ 1 ДЛ4 визначае вираз (13).
На рис. 5а иредставлеш характеристики ДЛЗ зидно з (13) 1 (18) (крива 1) 1 Фано (крива 2). Параметры ДЛЗ 1 характеристики Фано: г1 =0,15 ¿2 = 3, /1 = А'/8, 12 = А'/4, ^' = 0, 9705 Я = 58 Я = 3,1. Добротшсть ДЛЗ у 11.6 раза бшына, а довжина в 1,3 раза мошна проти ДЛП. В характеристищ ДЛЗ вщеутшй вщук на частот! другем гармошки.
На рис. 51) наведено характеристики ДЛ 4 зидно з (13) 1 (19) (крива 1) 1 Фано (крива 2) з параметрами: ^ = 3 г2 =0, 2 /1 = А'/4, 12 = А'/15 ^' = 1, 0175, Я = 174, я = -5, 9. Проти ДЛП добротшсть ДЛ4 у 47,4 раза бшына, а довжина в 1,6 раза мошна. Якщо г2 = 0, 08, добротшсть ДЛ4 дор1внюе 1091. В характеристищ ДЛ 4 вадсутш вщуки па нульеязш частот! й частот! друге)! гармошки.
1
0,75 0,50 0,25 0
0,90 0,95 1,00 1,05 1,10
(а)
1
0,75 0,50 0,25
0,90 0,95 1,00 1,05 1,10
F
(Ь)
Рис. 5. Характеристики ДЛЗ (а, 1), ДЛ 4 (I), 1) та Фано (2)
6 Обговорення отриманих результатов
Отримаш результата мають теоретичну i прак-тичну складеязь Теоретична полягае у встановлошй
межливосп формування характеристики Фано в ДЛ 3i шлейфами, а практична в можливосп шд-вищоння добротноси та зменшоння pemiipiB резе>-нансних структур на ocuoBi ДЛ з характеристикою Фане> проти ДЛП. Значний штерес становить ме>-жливкть реал1защ1 надвузькосмугових частотпих характеристик з добротшетю Q > 102 ^ 103. Heo6xi-дно врахувати, що практично досяжна добротшсть обможена втратами в jiiniT передач! та шлейфах.
Значения хвильеяшх 1мпеданав слсмсппв роз-глянутих структур мевкуть виходити за моли д1а-пазону хвильових 1мпеданав jiiniT передач!. Так, хвильов1 1мпедаиси традищйиих двовихйрних сокцш мщюсмужкеяю! jiiniT обможош д1апазоном приблиз-но 20... 100 Ом (у вщносних величинах: 0,4. ..2). Значне розширення цього доапазону, приблизио до
... ... бозпечують TpiiBiraipni мщюсмужкета секцп (ие-е)Д1горщгоста) [13,14]. Використання такнх елементв значно розширюе можливосп в реал1зацп хйкро-смужкових структур з характеристикою Фано.
Висновки
Асиметричну резонансну характеристику Фано можна описати виразом, форма якого така ж, як i для симетричнея ушверсалыго! резеяганснем криво!. Довп Jiiiiii* на e>ciroBi ретамкнутого або короткозамкпутого шлейфа та низькеямподанагого короткого вщнзка ДЛ, а також на ocuoBi две>х ретамкну-тих або регамкнутемо й короткозамкпутого шлойф1в дозволяють сформувати розеягансну характеристику Фано. Проти ДЛП добротшсть ДЛ 1, ДЛ 3 i ДЛ 4 бшьша в 5,5, 11,6 i 47,4 раза, a pemiipn Moumi в 1,5, 1,3 i 1,6 раза вщиеязщго: вщеутш вщуки на частехгах найближчих гармоник.
References
[1] Fano U. (1961). Effects of Configuration Interaction on Intensities and Phase Shifts. Physical Review Journals Archive, Vol. 124, Iss. 6, pp. 1866 1878. DOl: 10.1103/PhysRev. 124.1866.
[2] Kamenetskii E., Sadreev Л. and Miroshnichenko Л., eds. (2018). Fano Resonances in Optics and Microwaves: Physics and Applications. Springer International Publishing, Springer Series in Optical Sciences, Vol. 219, 582 p. DOl: 10.1007/978-3-319-99731-5.
[3] Lim W. X. and Singh R. (2018). Universal behaviour of high-Q Fano resonances in metamaterials: terahertz to near-infrared regime. Nano Convergence, Vol. 5, Article number 5. DOl: 10.1186/s40580 018 0137 2.
[4] Limonov M. F., Rybin M. V., Poddubny A. N. and Kivshar Yu. S (2017). Fano resonances in photonics. Nature Photonics, Vol. 11, pp. 543 554. DOl: 10.1038/nphoton.2017.142.
[5] Miroshnichenko Л. E., Flach S. and Kivshar Y. S. (2010). Fano resonances in nanoscale structures. Reviews of Modem Physics, Vol. 82, Iss. 3, pp. 2257 2298. DOl: 10.1103/RevModPhys.82.2257.
Резонанс Фапо в доигШ jiiuii
93
[6] Rahmani M., Luk:yanchuk B. and Hong M. ("2013). Fano resonance in novel plasmonic nanostructures. Laser & Photonics Reviews. Vol. 7, Iss. 3, pp. 329 349. DOl: 10.1002/lpor.201200021.
[71 Cao G., Dong S„ Zhou L.-M., Zhang Q„ Deng Y„ Wang C„ Zhang H„ Chen Y„ Qiu C.-W. and Liu X. (2020). Fano Resonance in Artificial Photonic Molecules. Advanced Optical Materials. Vol. 8, Iss. 10, 1902153. DOl: 10.1002/adom.201902153.
[8] Satpathy S., Roy A. and Mohapatra A. (2012). Fano interference in classical oscillators. European .Journal of Physics.. Vol. 33, Number 4, pp. 863 871. DOl: 10.1088/0143 0807/33/4/863.
[9] Szalay Z. and Nagy L. (2016). Complex Permittivity Measurement by Fano-resonance. Procedia Engineering.. Vol. 168, pp. 1346 1349. DOl: 10.1016/j.proeng.2016.11.370.
[101 Lv Li Wu Q., Zhang K„ Chen W„ Wang
Z. and Ma R. (2016). Analysis and modeling of Fano resonances using equivalent circuit elements. Scientific Reports. Vol. 6, 31884. DOl: 10.1038/step31884.
[11] Zaal R. (1983). Spravochnik po rashetu filtrov. [Handbook of filter design]. Moskva, Radio y sviaz Publ.. 752 p. [In Russian].
[12] Guru B. S. and Hiziroglu H. R. (2009). Electromagnetic Field Theory Fundamentals, 2nd ed., NY: Cambridge. University Press. 700 p.
[13] Nazarko A. 1., Nelin E. A., Popsui V. 1. and Ti-mofeeva Yu. F. (2010). High-selectivity electromagnetic crystal. Technical Physics. Vol. 55, pp. 569 570. DOl: 10.1134/S1063784210040237.
[14] Nelin E. A. and Nazarko A. 1. (2013). Effective electromagnetocrystalline inhomogeneities. Technical Physics. Vol". 58, pp. 612 614. DOl: 10.1134/S1063784213040166.
Резонанс Фано в длинной линии
Нелин 6. А., Непочатых Ю. В.
Выполнено сравнение асимметричной резонансной характеристики Фано и симметричной универсальной резонансной кривой. Проанализированы импедапспые условия полного отражения, необходимого для формирования пуля характеристики Фано. Теоретически обоснована возможность резонанса Фано в длинных лилиях (ДЛ) со шлейфами. Рассмотрены структуры па основе разомкнутого или короткозамкпутого шлейфа и отрезка ДЛ, а также па основе двух разомкнутых или разомкнутого и короткозамкпутого шлейфов. Выполнен математический анализ характеристик структур. Приведены параметры ДЛ и рассчитанные частотные характеристики коэффициента прохождения ДЛ. Выполнено сравнение полученных частотных характеристик с аналитической характеристикой Фано. а также с характеристикой классического полу волнового резонатора. По сравнению с полуволновым резонатором ДЛ с характеристикой Фапо позволяют заметно повысить добротность, подавить отклики па частотах ближайших гармоник и уменьшить размеры. Показана возможность реализации сверхузкополоспых частотных
характеристик структурой па основе разомкнутого и короткозамкпутого шлейфов.
Ключевые слова: резонансная характеристика: резонанс Фапо: длинная лилия
Fano Resonance in Transmission Line
Nelin E. A., Nepoehatykh Yu. V.
Introduction. Wave phenomena are fundamental in our world. One of the key wave phenomena is resonance, in which the amplitude of the forced oscillations increases sharply. The resonance characteristic of an oscillator an oscillatory structure with one resonant frequency-is symmetrical with a good approximation. In 1961, Ugo Fano obtained a formula for the asymmetric resonance, later called the Fano resonance. The Fano resonance is due to two-wave interference and is observed in structures of various wave nature. The uniqueness of the Fano resonance is due to the combination of full transmission and full reflection in it with a sharp transition between them, which explains the significant interest in it. For electromagnetic waves of the optical range. Fano resonance is considered in many articles and only a few papers are devoted to the Fano resonance in the radio range. The purpose of this article is to theoretically substantiate the possibility of Fano resonance characteristic forming in a transmission line (TL), as well as to compare a Fano resonance TL with a classical half-wave resonator.
1 Symmetric resonance and Fano characteristics. In many cases, at resonance, the frequency dependence of the normalized oscillation amplitude is approximated by a symmetric universal resonance curve. Initially, the Fano resonance was discovered for quantum-mechanical waves. According to the Planck formula as a result of the transformations, the relationship between universal resonance curve and Fano characteristic arguments is shown.
2 Features of the Fano characteristic. Symmetric resonance curve is determined by single parameter the quality factor, and Fano characteristic by two: the quality and the asymmetry factors. Comparison of Fano asymmetric resonance curve and symmetric universal resonance curve has been performed. For convenience of comparison of symmetric resonance curve and Fano characteristic we superpose their maxima shifting Fano characteristic to the left by a value of asymmetry factor to the minus one power and present the resulting expression in the form of symmetric resonance curve expression. If the modulus of the asymmetry factor is much greater than one, symmetric resonance curve and Fano characteristic in the passband are close. Fano characteristic maximum and minimum correspond to the full transmission and full reflection of the wave. To achieve the full reflection special solutions are needed. In such wave structures as reflectors, filters based on TL sections, limited periodic structures relations of the full reflection can only be approached, and their exact fulfillment requires physically unattainable conditions, for example, unlimited periodic structure.
3 Full reflection in the transmission line with a stub. The impedance conditions of the full reflection required for the formation the zero of Fano characteristic are analyzed. One of the solutions is achievable in a TL with
94
Nelin E. A., Nepochatykh Yu. V.
open-circuited or short-circuited stub. Physical features of full reflection in a TL with open-circuited or short-circuited stub are considered.
4 Fa no resonance in the transmission lines based on stub and section. Transmissin lines based on open-circuited or short-circuited stub and TL section are considered. Based on TL model mathematical analysis of transmission coefficient frequency characteristics of these structures is performed. It is shown that the Fano characteristic is formed in such structures. Transmission line parameters and calculated frequency characteristics are given. Comparison of obtained characteristics with Fano resonance curve as well as with classical half-wave TL resonator characteristic is made. Compared to half-wave resonator, TLs with Fano's characteristic permit sufficiently increase quality factor, suppress responses on near harmonics and to decrease structure size.
5 Fano resonance in the transmission lines based on two stubs. Transmissin lines based on two open-circuited or open-circuited and short-circuited stubs are considered. Transmission line parameters and calculated frequency characteristics are given. It is shown, as in the previous case, that the Fano characteristic is formed in such structures and their selectivity is higher compared to half-
wave resonator. Possibility of ultra-narrowband frequency characteristic realization by means of the structure based on open-circuited and short-circuited stubs is demonstrated.
Results discussion. The theoretical component of the obtained results is the established possibility of forming the Fano characteristic in TL with stubs, and the practical one is the possibility of increasing the quality factor and reducing the size of resonant structures based on TL with Fano characteristic against half-wave resonator. Of considerable interest is the possibility of implementing ultra-narrowband frequency characteristics with quality factor Q > 102 ^ 103.
Conclusion. The Fano asymmetric resonance characteristic can be described by an expression, which shape is the same as for the symmetric universal resonance curve. Fano characteristic can be formed by TLs based on open-circuited or short-circuited stub with low-impedance TL section as well as by TLs based on two open-circuited stubs or one open-circuited and one short-circuited stubs. Compared to half-wave resonator in the first and the last two TLs quality factor is greater in 5.5, 11.6 and 47.4 times, dimensions are less in 1.5, 1.3 and 1.6 times respectively; there are no responses at the nearest harmonics.
Key words: resonance characteristic; Fano resonance; transmission line
