CC BY
53
Рецензии
Рецензия на монографию А.А. Тихонова «Тензорное моделирование геомагнитного поля»
Использование тензорного исчисления является характерной особенностью математического аппарата современных естественных наук. Достаточно упомянуть, что тензорное исчисление давно уже широко применяется в механике деформируемого твёрдого тела, аэрогидродинамике, теории электричества, аналитической и дифференциальной геометрии. При этом необходимость применения тензорного исчисления вызвана не только удобством использования и наглядностью математических формулировок, но и объективными свойствами изучаемых объектов и происходящих с ними процессов. Эту мысль подтверждает и недавно опубликованная монография А.А. Тихонова «Тензорное моделирование геомагнитного поля» (AV Akademikerverlag GmbH & Co. KG., Saarbruecken, Germany, 2011, ISBN 978-3-8454-7932-3, прежнее название издательства - LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co.). Книга предлагает по-новому взглянуть на такой, казалось бы, всем хорошо известный объект природы как магнитное поле Земли, применив для его описания аппарат тензорного исчисления.
Мотивацией к разработке нового подхода к описанию геомагнитного поля явилась необходимость аналитического моделирования и решения ряда задач динамики искусственных спутников Земли (ИСЗ), взаимодействующих с геомагнитным полем. Известно, что решение такого рода задач, сопряженное с изучением как орбитального движения ИСЗ, так и вращательного движения ИСЗ относительно центра масс, требует тщательного предварительного анализа сил и моментов, действующих на ИСЗ в околоземном пространстве, и построения адекватных математических моделей, позволяющих с достаточной степенью точности исследовать и прогнозировать движение ИСЗ аналитическими и численными методами. Магнитное поле Земли (МПЗ) оказывает разнообразное воздействие на ИСЗ, движущийся в околоземном пространстве. Это воздействие может происходить посредством таких сил и моментов, как, на-
пример, магнитные, возникающие при наличии на ИСЗ соленоидов, гистерезисных стержней, постоянных магнитов (в том числе и за счет намагничивания самого ИСЗ в геомагнитном поле); лорен-цевы, возникающие при движении заряженного ИСЗ относительно МПЗ; кулоновы, возникающие вследствие взаимодействия ИСЗ с плазмой околоземного пространства; силы, обусловленные вихревыми токами Фуко, и др. Для математического описания такого рода сил и моментов требуется знать индукцию МПЗ (а иногда не только индукцию, но и градиент индукции) как функцию радиус-вектора точки околоземного пространства. Ввиду сложного строения МПЗ и отсутствия указанной функциональной зависимости в конечном аналитическом виде возникает проблема математического моделирования МПЗ как неизбежного этапа при построении наиболее подходящей математической модели динамики ИСЗ, на базе которой будет производиться аналитическое и/или численное исследование той или иной задачи космодинамики.
Анализу и решению этой проблемы и посвящена монография А.А. Тихонова, написанная с учетом имеющегося многолетнего опыта автора в изучении задач вращательного относительно центра масс движения ИСЗ, взаимодействующих с МПЗ, и в стиле работ, ориентированных при моделировании МПЗ в первую очередь именно на решение задач космодинамики.
Монография состоит из трех разделов. В первом разделе обсуждаются вопросы моделирования МПЗ и использования классических моделей МПЗ при исследовании динамики вращательного движения ИСЗ, взаимодействующих с МПЗ. Основное внимание уделяется наиболее широко используемой в аналитических исследованиях модели МПЗ, называемой «прямой диполь», а также известной модели «наклонный диполь». Для МПЗ, моделируемого прямым магнитным диполем, получено уточнённое выражение вектора магнитной индукции В, учитывающее градиентность МПЗ. При этом показано, что известный в литературе одно-
сторонний подход к учёту градиентности МПЗ, не учитывающий кривизну силовых линий МПЗ в объёме ИСЗ, является недостаточно корректным. Обсуждаются причины, по которым использование хорошо известной простейшей модели МПЗ «прямой магнитный диполь», позволившей решить большое количество важных прикладных задач, не всегда приводит к качественно верным результатам. Обоснована необходимость замены этой модели другой - более общей моделью. Однако попытка простой замены модели «прямой диполь» следующей по сложности известной моделью МПЗ «наклонный диполь» приводит к тому, что учитываются не все поправки к индукции МПЗ одного порядка величины. Это означает, что с точки зрения задачи динамики ИСЗ модель МПЗ «наклонный диполь» не уточняет модели «прямой диполь». Следовательно, для построения математической модели вращательного движения ИСЗ, взаимодействующего с МПЗ посредством, например, магнитного или лоренцева моментов, пропорциональных магнитной индукции В, корректно учитывающей все слагаемые одного порядка, необходимо в выражении для вектора В учитывать влияние следующей, т. е. квадрупольной составляющей геомагнитного потенциала и, возможно даже, составляющих более высоких порядков (в зависимости от постановки задачи). Так, естественным образом возникла проблема создания и исследования различных моделей МПЗ, учитывающих его высшие (после дипольной) составляющие.
Во втором разделе в процессе решения сформулированной выше проблемы подробно рассмотрено квадрупольное приближение МПЗ. Путем введения в рассмотрение тензора первого ранга М(1), названного дипольным магнитным моментом МПЗ, и тензора второго ранга М(2), названного квадруполь-ным магнитным моментом МПЗ, получена новая -тензорная форма представления квадрупольного приближения потенциала МПЗ в виде суммы двух слагаемых однотипной структуры. В каждом из слагаемых одинаковый набор множителей, причем каждый из множителей зависит только от определенных параметров задачи - от параметров орбиты ИСЗ или от координат точки пространства или, как тензоры М(1) и М(2), - от гауссовых коэффициентов. Среди перечисленных выше параметров только гауссовы коэффициенты определяют собственные свойства МПЗ. Основываясь на этом факте, автор оценивает составляющие геомагнитного потенциала по норме указанных тензоров и сравнивает их между собой на основании этих оценок. Поскольку такие оценки не зависят от координат точек околоземного пространства, получаются довольно интересные объективные результаты, показывающие между прочим, как в течение последних ста лет ||М(1)|| убывает, ||М(2)|| растет, причем ||М(2)|| растет быстрее, чем убывает ||М(1)||. Далее предложен математический аппарат, позволяющий аналитически построить вектор В в квадрупольном
приближении и представить его в тензорной форме с использованием уже известных тензоров М(1) и М(2). Для этого в общем виде решена задача нахождения градиента произвольной гармонической функции и и градиента поля вектора В=-§гаШ по его известному скалярному потенциалу и=и(х1,х2,х3), заданному в произвольных криволинейных ортогональных координатах х1, х2, х3. Произведено сравнение квадрупольной модели МПЗ с известными более простыми моделями МПЗ. Показано, что при вычислении вектора В учет квадрупольной составляющей потенциала МПЗ дает поправки того же порядка малости, что и поправки от наклонения магнитного диполя МПЗ к модели «прямой диполь» и вносит значительно более существенный вклад в точность вычисления вектора В, чем учет градиентности МПЗ в рамках дипольной модели МПЗ.
В третьем разделе дано развитие математического аппарата, изложенного во втором разделе. Программно и алгоритмически обоснована возможность тензорного мультипольного представления геомагнитного потенциала, а также магнитной индукции и ее градиента, с произвольной степенью точности путем введения в рассмотрение тензоров высших рангов. Сравнивая полученное тензорное представление потенциала МПЗ с известным гармоническим представлением в виде ряда Лежандра в сферических координатах (Международное аналитическое поле), невозможно не заметить, что представление А.А. Тихонова выгодно отличается от традиционного, во-первых, краткостью записи, во-вторых, однотипной структурой слагаемых, а в-третьих - явным присутствием в каждом слагаемом множителя М(п), зависящего только от гауссовых коэффициентов и, следовательно, являющегося характеристикой собственных свойств конкретной мультипольной составляющей потенциала МПЗ. Последнее из упомянутых преимуществ представляется наиболее важным. Действительно, отсутствие зависимости мультипольного тензора М(п) от координат точек околоземного пространства позволяет рассматривать его как объективную характеристику соответствующей мультипольной составляющей потенциала МПЗ. Такая альтернативная форма представления потенциала вносит ясность в понимание мультипольной структуры геомагнитного поля и позволяет лучше представить его как поле, образованное совокупностью магнитных мультиполей, каждое из которых, как многомерный объект, характеризуется тензором соответствующего ранга. Полученные выражения отличаются краткостью записи и удобством использования как при ручном аналитическом исследовании, так и в компьютерных исследованиях с использованием методов компьютерной алгебры или численных методов.
Наряду с теоретическим обоснованием тензорного подхода к мультипольному моделированию геомагнитного поля, книга содержит готовые к использованию алгоритмы и программы. Например,
алгоритм и программа для математического пакета Маріє, реализующего символьные вычисления, позволяющие построить аналитические выражения компонент мультипольного тензора М(“> произвольного ранга. Для практического использования в прикладных задачах космодинамики приведены аналитические выражения компонент первых семи мультипольных тензоров МПЗ, выраженные через гауссовы коэффициенты. Приводится также программа, позволяющая аналитически строить вектор В в любом конечном приближении.
Предложена методика оценки корректности мультипольных моделей МПЗ. Произведено разбиение околоземного пространства на области, в которых корректен учет конечного числа мульти-польных составляющих вектора В в зависимости от выбранных критериев точности. Это позволяет установить то необходимое и достаточное количество слагаемых в мультипольном разложении вектора В, которое обеспечивает заданную точность нахождения вектора В в любой точке орбиты ИСЗ с заданными параметрами радиуса и наклонения.
Следует отметить, что все результаты, полученные в монографии и сформулированные в терминах, принятых при описании магнитного поля Земли, в равной мере могут быть применены к описанию гравитационного поля Земли, а также гравитационных и магнитных полей других планет.
Таким образом, полученные в монографии результаты позволяют еще раз убедиться в эффективности тензорного аппарата при математическом моделировании процессов и явлений в окружающем нас мире.
Георгиевский Дмитрий Владимирович, д-р физ.-мат. наук, профессор механико-математического факультета Московского государственного университета
им. М.В. Ломоносова
