Реставрація двовимірного образу методом умовної деконволюції в області трансформант перетворення Адамара Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 621.372.061

РЕСТАВРАЦ1Я ДВОВИМ1РНОГО ОБРАЗУ МЕТОДОМ УМОВНО1 ДЕКОНВОЛЮЦП В ОБЛАСТ1 ТРАНСФОРМАНТ ПЕРЕТВОРЕННЯ

АДАМАРА

1ванюк Н. О., асистент

Нацгоналъний технгчний унгверситет Украгни «Кигвсъкий полтехнгчний

¡нститут», м. Кигв, Украгна, [email protected]

TWO-DIMENSIONAL IMAGE RESTORATION BY CONVENTIONAL DECONVOLUTION METHOD IN HADAMARD TRANSFORMATION FIELD.

Ivaniuk N.,

National Technical University of Ukraine «Kyiv Polytechnic Institute», Kyiv, Ukraine

Вступ

Задача реставрацп o6pa3iB, спотворених внаслщок не щеальност кана-лiв вщображення (неточковост iмпульсноi характеристики) та наявност адитивного шуму, мае велике значення в сучаснш техшщ. Серед вiдомих методiв поширення досягли методи умовноi деконволюцп, для реаизацп яких (в област натуральних координат та трансформант перетворення Фур'е [1-4]) потрiбно мiнiмум iнформaцii.

Особливостi метод умовноУ деконволющУ для двовимiрного образу в

натуральних координатах

Модель деградацп (спотворення) двовимiрного образу мае вигляд [1]

ж ж

L(x,y)= J J g(x,y,x ,y) • f (x',y' )dx'dy'+V(x,y), (1)

—ж—ж

t t

де g(x, y, x , y ) — результуюча iмпульснa характеристика каналу прийо-му-передaчi (в якому i виникають спотворення образу); f (x' , y') — вихщ-ний сигнал-зображення; V(x, y) — адитивний шум; L (x, y) — отримува-ний спотворений образ; x, y — вiдповiднi просторовi координати.

У випадку однорiдного поля образу вираз (1) перетворюеться в iнтегрaл Дюамеля

ж ж

L(x,y)= J J g(x — x ,y —y') • f (x' ,y' )dx} dy'+V(x,y), (2)

—ж—ж

який тсля дискретизaцii можна записати у виглядi

L =G • f + V (2а)

де f, L — вектори-стовпцi (розташоваш в порядку зростання номеру) Bi-

• • • 9 —

дповщно шуканого та спотвореного o6pa3iB po3Mipy N х1; V — вектор. . . . 9

стовпець (неведомо!) реаизацп шуму з енерпею ; G — матричний оператор дискретно! згортки порядку N ; N — порядок матрищ двовимiрно-го образу.

При реставрацп за методом умовно! деконволюцп на алгоритм накла-даються двi умови:

1) в реставрованому обрaзi енерпя адитивного шуму sx не повинна пе-ревищувати енергii s^ в обрaзi спотвореному (L (x, y))

S * So2 (2б)

2) при реставрацп повинна виконуватися вимога «гладкости», яку мож-на представити у виглядi вiдповiдноi iмпyльсноi характеристики

Г o 1 о]

П = 1 -4 1 (2в)

0 1 0

Для дискретного образу розв'язання зaдaчi (2а) з урахування вимоги (2в) мае вигляд

/ =

=T = 1 =T =

G ■ G н---c ■ c

Л

■ G ■ L,

(3)

V

де / — стовпець дискретних вщлшв шукано! оцiнки розмiру N х 1; с — матричний дискретний оператор умови «гладкости оцшки порядку N (сформований так само, як i оператор G); Т — знак транспонування; Я — коефщент варiацii Лагранжа.

Матричний дис-кретний оператор

згортки G ( для час-ткового випадку, коли матриця iмпу-льсно! характеристики деградацii мае порядок 4) мае на-ступну блочну (цир-кулянтну) структуру. Тут Gi — квадратна (циркулянтна) матриця порядку N,

G о G з G 2 G1

G G о G з G 2

G 2 G1 G о Gз

G з G 2 G1 G 0

G з G 2 G о

G з G 2 G о

G з G G о

G 2 G G о

G з G 2 G1 G о

(3а)

утворена елементами i -го стовпця матрищ спотворюючо! образ iмпyльсноi

1

характеристики

<§00 <01 <02 <03

£10 <11 <12 <13

<20 <21 <22 <23

<30 <31 <32 <33

< = 10 11 12 13 (3б)

<01 <2/ <1/

<и <01 <3/ < 2/

< 21 <и <01 <3/

<31 < 21 <и <01

<31 <21 <1/ <0/

<3/ <2/ <0/

<3/ <1/ <0/

Матриця О/ (порядку N) мае структуру 3в.

Виходячи з наведених структур та порядку матри-щ образу (наприклад, 1024x1024 = 1048576 або 512x512 = 262 144) стають

зрозумшими труднощi рес- ^ (3в)

таврацii за виразом (3) в на-туральних координатах.

Перех1д до методу умовноУ деконволюцй' в област1 трансформант перетворення Фур'е

Велика складнiсть реаизацп методу умовноi деконволюцii в натураль-них координатах призвела до пошуку можливостей спростити обчислення на базi виразу (3). Одним з таких методiв, спрощуючих розрахунки, е переход до трансформант перетворення Фур'е [1, 3]. При цьому на основi теореми Парсеваля можна отримати значно прост^ вирази для ощнки спектру реставрованого образу. Для кожноi частоти двовимiрного спектру вираз (3) перетворюеться до вигляду

ч 1 С(т, п)|2 , ч I (т, п)= —-- х-^—-—!-(т, п )

0(т, п)

\|2 1 с( т,п) н—х

(с (

Л

С (

т, п

)12)

(4)

де I(т,п),Ь(т,п) — складовi двовимiрного спектру Фур'е вщповщно оцiнки реставрованого образу та образу деградованого; 0(т, п) складова спектру iмпульсноi характеристики деградацii (3б); т, п — номери частот спектру.

Для переходу до вщповщних (4) спекав ортогональних перетворень, вiдмiнних вщ перетворення Фур'е (що дозволить здшснювати такий пере-хiд для будь-яких трансформант), розглянемо шший шлях отримання фор-мули (4), який базуеться на матричних перетвореннях виразу (3). Для одержання виразу (4) шляхом матричних перетворень додамо до виразу (3) множники — одиничш матриц

Е = II х II, Е = Ю х II х II х Ю та, помноживши праву i лiву

частини цього рiвняння на х РВ, отримаемо

¥¥ х т х / = ¥¥ х т х

=Т = 1 =Т =

G х G л—х с х с Я

* * т * *

хЕБ х ¥¥ х ¥¥ х ¥ВхG х ¥В х ¥¥ х ¥¥ х ¥ОхЬ,

¥¥ х ¥В х / =

=т

¥¥ х ¥В х G х ¥В х ¥¥ х ¥¥ х ¥DхG х ¥В х ¥¥

-1

(5)

+1 х ¥¥ х ¥В хс х ¥В х ¥¥ х ¥¥ х ¥В хс х ¥В х ¥¥ Я

х¥¥ х ¥DхG х ¥¥) х ¥¥ х ¥¥ х ¥ВхЬ.

де ¥¥ х ¥В х / — стовпщ двовимiрного перетворення Фур'е ощнки реста-

врованого образу; ¥ — матричний оператор дискретного одновимiрного перетворення Фур'е;

¥ 0 0 .. . 0

0 ¥ 0 .. . 0

0 0 ¥ .. . 0

0 0 0 0 ¥

0 — квадратна матриця нулiв порядку N; ¥¥ — блочна квадратна мат-

риця порядку N (матриця симетрична), блочний к -й рядок яко! мае ви-гляд

¥¥к =

] 2жхк ]2жх2к ' 72жхк(N-1) ~

Е; Dg - е N >; Dg- е N >; • ••; Dg^ е N >

7'2жхк N

72жхак

N

дiагональна матриця порядку

72жхак

N ■

N

0

0

0

72жхак

N

0

0 0

72жхак N

знак комплексного спряження.

Оскшьки FF x FD x f, Ta FF x FD x L — вщповщно стовпщ двовимiр-ного перетворення Фур'е вiд мaтрицi оцiнки рестaвровaного Ta спотворе-

о

ного обрaзiв (розмiрy N x 1 ), позтачимо

FF x FD x f = f (mx,my); FF x FD x L = L(mx,my );

x? y >

=T

FF x FD x G x FD x FF = MMm; FF x FDxG x FD x FF = MM,

; m ■

FF x FDxc x FD x FF = ccm; FF x FDxc x FD x FF = cc

m.

Тодi вирaз (5) можнa переписaти y виглядi

f (mx ,my )

' * - y ==* == MM m * MM m + — x ccm x ccm

л

—1

x MM m xL(mx ,my ).

(6)

Пояснимо процедуру отримaння стовпця L(mx,my) зi стовпця L, для

чого детaльнiше розглянемо структури мaтриць-множникiв. Стовпець L можнa предстaвити у виглядi

L =

L lt LT LT

L0 , L1 ,L 2 — L N—1

T

де Li — i -й стовпець мaтрицi спотвореного

обрaзy. Тодi резyльтaт множення цього стовпця та мaтрицю FD мaтиме вигляд

rF 0 0 ... 0

0F0

0 0 F

0 0

x

' L0 ' L mx,0

L1 Lmx,1

L2 = Lmx,2

_ ln—1 _ _ Lmx, N—1 _

(V)

0 0 0 0 F _

де Lmxi — одновимiрне перетворення Фур'е i -го стовпця. Множенням

цього стовпця нa мaтрицю FF отримaeмо

L mx,0 L mxy,0

Lmx,1 Lmx, yl

FF x Lmx,2 = L о mx, y 2

_ Lmx, N—1 _ Lmx, yN—1

L(mx ,my )

(8)

де L(mx,my) — стовпець, утворений стовпцями двовимiрного перетворення Фур'е.

Анaлогiчно, MM m = FF x FD x G x FD x FF утворено множенням мaт-

рищ (3 а) спочатку на FD та FD

FD х G х FD =

F 0 0 ... 0

0 F 0 ... 0

0 0 F ... 0

_ 0 0 0 0 F

х

F x G 0 X F 0 0 .. F x G1x F

— — —* F x G1 x F — — —* F x G 0 X F 0 .. F x G2 X F

— — —* F x G 2 X F — — —* F x G1 x F — — —* F x G 0 X F — — —* .. F x G3 x F

_ 0 0 0 .. F x G0 x F

х

—* F 0 0 ... 0 G0ax 0 0 . .. G1«x

0 —* F 0 ... 0 G1mx G 0ax 0 . .. G 2mx

0 0 —* F ... 0 = G 2ax G1ax G 0ax . .. G 3ax

_ 0 0 0 * 0 F _ _ 0 0 0 . .. G 0ax

(9)

де Gimx — дiагональна матриця порядку N, в дiагоналi яко1 розташовано одновимiрне перетворення Фур'е i -го стовпця матрицi iмпульсноï характеристики деградацп образу (3б), тобто k-й елемент ^eï дiагоналi мае ви-гляд

r -а v 0-J2лk/N -Ixlk/N —2л(N-l)k/N

Gaikk = g0i + g1i X e + g2i X e + ••• + g(N-1)i X e •

Множення отриманого результату на блочш матрицi FF та FF (матриця G блочно-циркулянтна) дасть блочно^агональну матрицю MMа, в якш в кожному блоцi дiагоналi мiститься дiагональ-стовпець двовимiрного перетворення Фур'е вщ матрицi деградацiï образу

*

*

ММ

т

Е Е Е .. Е

Е ^ 2 .. ^ (N-1)

Е Dg 2 ^ 4 .. ^ 2х( N-1)

Е ^^-1) Dg

■2х( N-1)

^ (N -

X

О0ох 0 0 . .. О1тх

О(х О0ох 0 . .. О 2тх

О 2тх О(х О 0тх . .. О 3тх х

0 0 0 . .. О 0тх

Е Е Е Е

Е Dgl * * ... Dg (N-1)

* Е Dg2 * ^ * ... Dg * 2х(N-1)

(N-1)х( N-1)

Е Dg

Dgr

(N-1) 2х( N-1)

Оотх, у 0 0

0 Оых,у 0 0 0 в2

Dg

0

ТУт ^к = ^

0

} 2яхк

N

(ОХ, у

0

( N-1)х( N-1) 0 0 0

... О (N-1)тх, у

(10)

Таким чином, з виразу (6) (з урахуванням (7)...(10)) видно, що обер-нення матрицi в цьому виразi е оберненням дiагональноi матриц i для од-шеi спектральноi складовоi реставрацiя зводиться до реалiзацii виразу (4).

Перех1д до методу умовно'1 деконволюцп в област1 трансформант перетворення Адамара

При використанш трансформант перетворення Адамара вираз (3) мож-на представити у виглядi

=Т = 1 =Т =

G x G H—x c x c Л

-1

HF x HD x f = HF x HD x

xHD x HFT x HF x HD x G x HD x HF x HF x HD x L, 0

(11)

=T

T

T

де HD =

Hd 0 0

Hd 0

0 0

0 0

Hd 0

0 0 0

Hd

— блочно^агональна матриця порядку N2, елементами яко1 е матричнi оператори дискретного перетворення

Адамара Hd порядку N ;

л ф ф

HF — блочна матриця порядку N , блоками яко1 е одиничш матрищ порядку N i3 знаками, що вiдповiдають знакам перетворення Адамара. Так

• 9 9

для блочно!' матрищ порядку N = 8 матриця HF мае вигляд

HF =

+E +E +E +E +E +E +E +E

+E - E +E - E +E - E +E - E

+E +E - E - E +E +E - E - E

+E - E - E +E +E - E - E +E

+E +E +E +E - E - E - E - E

+E - E +E - E - E +E - E +E

+E +E - E - E - E - E +E +E

+E - E - E +E - E +E +E - E

(12)

Внесемо тепер до обернено!' матрищ в (11) вщповщш матричш множ-ники

HF x HD x f = HF x HD x

=Т

=Т

=Т

=Т

== == =Т

HF x HD x G x HD x HF x HF x HD x G x HD x HF

1

=Т

Т

Т

H— x HF x HD x c x HD x HF x HF x HD x c x HD x HF Л

-1

Т

Т

Т

=Т == == =Т

xHD x HF x HF x HD x G x HD x HF x HF x HD x L.

В виразi (13) позначимо двовимiрне перетворення Адамара вщ стовпщв матрицi реставрованого образу }НаСх у = НЕ х НО х /, а двовимiрне пере-

творення Адамара вщ стовпцiв спотвореного образу Ь

НаСх, у

= НЕ х НО х Ь.

Позначимо також добуток МОНаС = НЕ х НО х О х НО х НЕ

=Т == == =т ==т ==т

та

МвНаС = НЕ х НО х а х НО х НЕ == = ==т

Добуток НО х а х НО дае блочно-дiагональнi матрищ [5, 6] при множены в (3 а) (оскiльки матрищ О[ — циркулянтна). Так, наприклад, для

• • 9

матрищ О, порядок як01 доршнюе N отримаемо

О 0 ... О О ... О О

НО х О х НО =

НС

О НС О О НС

О

х

НС х О О х НС

О

НС х О1 х НС НС х О О х НС

ОО О О

О НС

НС х О1 х НС

НС х О 2 х НС

НС х О 2 х НС НС х О1 х НС НС х О о х НС

НС х Оз х НС

х

О О О О

О 0 0 0 НС

О

НС 0 0

0 НС 0

0 0 НС

0 ... НСх Оо х НС

О о НСх 0 0 ... ОшСх

О1НСх О о НСх 0 ... О 2 НСх

О 2 НСх О1НСх О о НСх ... О ЗНСх

О

О

О

О 0 НСх

=т

Подальше множення цього добутку на НЕ та НЕ (блочна матриця

=т

НО х О х НО е циркулянтною вщносно сво1х блоюв ОНСх порядку N) дае блочно^агональну (вiдносно сво1'х блокiв) матрицю. Так, наприклад,

9 9

для матрищ N = 8 отримаемо

==Т

MGHad =

GHad 00 0 0 0 0 0 0 0

0 GHad11 0 0 0 0 0 0

0 0 GHad 22 GHad 23 0 0 0 0

0 0 GHad 32 GHad 33 0 0 0 0

0 0 0 0 GHad 44 GHad 45 GHad 46 GHad 47

0 0 0 0 GHad 54 GHad 55 GHad 56 GHad 57

0 0 0 0 GHad 64 GHad 65 GHad 66 GHad 67

0 0 0 0 GHad 74 GHad 75 GHad 76 GHad 77

де, наприклад,

G Had 00 = 8 x (G0Hdx + GlHdx + G2 Hdx + G3Hdx ); GHadl 1 = 8 x (G0Hdx - GlHdx + G2Hdx - G3Hdx ); G Had 22 = 8 x (G0 Hdx + 0 + G2Hdx + 0);

GHad33 = 8x (GoHdx - о - G2Hdx + 0) i т.д. згiдно 3 виразами [8, 11]. З урахуванням наведених позначень вираз (13) можна записати у ви-глядi

fHadx, y

— 1 — -1 MG 2 Had + — x MC 2 Had Л

x MGHad x LHadx,y > (14)

де MG2Had = HF x HD x G x G x HD x HF

=Т = ==Т ==Т

MC 2Had = HF x HD x c x c x HD x HF

GG2 = О x О та CC2 = c x c — циркулянтш матрицi.

Формування матриць без множення матричних операторiв перетворення Адамара [7-9] забезпечуе точне i вщносно просте ïx обчислення.

Результати реставрацп в област1 трансформант перетворення Адамара

За запропонованим алгоритмом проводилася реставращя двовимiрно-го образу (зображення) при рiзниx рiвняx шуму та при рiзниx спотворюю-чи iмпульсниx характеристики системи вiдображення. Результати наведено на рис.1. Так, на рис.1а зображено еталонний образ, на рис.1б — деградо-ваний образ з адитивним шумом, середньоквадратичне вiдxилення якого о=0,1, а на рис.1в— образ реставрований. На рис.1г та рис.1д наведено результати реставрацп при g=0,5 та g=0,9 вщповщно. Нарештi, на рис.1е та 1ж наведено реставрований образ при g=0,05 для реставрацiï в базисi

Адамара та Фур'е вщповщно. На рис.1ж значно «розмитий» фон та деталi портрету (nopÍBEjfflo з оригНналом).

д е ж

Рис. 1 Результат реставраций а — еталонний образ; б — деградований образ; в, г, д, е — образ реставрований в базис Адамара; ж — образ реставрований в базис

Фур'е.

Висновки

1. Запропоноваш в робот алгоритми методу умовно! деконволюцп в базис трансформант дискретного перетворення Адамара у пoрiвняннi з алгоритмами цього методу в област натуральних координат достатньо прост^ вимагають меншого часу обчислень та меншо! кiлькoстi арифмети-чних oперацiй.

2. Запрoпoнoванi алгоритми легко програмуються для реалiзацii на ЕОМ, забезпечують задoвiльну тoчнiсть за рахунок використання симво-льних залежностей при фoрмуваннi матричних складових процесу обчислень.

3. Реаизащя методу умовно! деконволюцп в базисi перетворення Адамара дае результати, пoдiбнi до реставрацп при викoристаннi дискретного перетворення Фур'е. При цьому ефект Пбса вщсутнш, а сам базис трансформант Адамара е зручним при архiвацii oбразiв.

Перел1к посилань

1. Jan Jirí Císlicova filtrace, analyza a restaurace signlu / Jan Jirí. - VUT v BRNE. -1997.- 438 p.

2. Pratt W.K. Digital Image Processing / W. K. Pratt. - Publisher John Wiley & Sons, 1991.

3. Рибш O.I. Реставращя oбразiв методом умовно! деконволюцп в област просто-рових частот / O.I. Рибш, В.Ю. Корольов // Вюник Технiчнoгo унiверситету Подшля. -2000. - №1. - C. 145 - 147

4. Рыбин А.И. Реставрация образов в частотной области методом взвешенной фильтрации / А.И. Рыбин, В.Ю. Королев // Известия вузов. Радиоэлектроника. - 2001. - Т. 44, № 4. - С. 51 - 56.

5. Рибш О.1. Аналiз лшшних систем в обласп трансформант перетворення Уол-ша- Адамара / О.1. Рибш, А.П. Ткачук // Вюник НТУУ «КП1». Серiя Радютехшка. Радю-апаратобудування. - 2006. - № 33. - с. 14-23.

6. Рыбин А.И. Анализ линейных цепей в базисе преобразований Уолша / А.И. Рыбин // Известия вузов. Радиоэлектроника - 2004. - Т. 47, №5. - С. 36 - 41.

7. Рибш О.1. Реставращя образiв за методом умовно'1 деконволюцп в обласп трансформант перетворення Адамара / О.1. Рибш, Н.О. 1ванюк // Вюник НТУУ «КШ». Серiя Радютехшка. Радюапаратобудування. - 2011. - № 46. - с. 51-58.

8. Рибш О.1. Алгоритм побудови матрищ деградацп образу з використанням дискретного перетворення Адамара / О.1. Рибш, Н.О. 1ванюк // Вюник НТУУ «КП1». Серiя Радютехшка. Радюапаратобудування. - 2012. - № 49. - с. 18-32.

9. Рибш О.1. Умовна деконволющя в обласп трансформант Фур'е. Побудова матрищ деградацп образу. / О.1. Рибш, Н.О. 1ванюк // Вюник НТУУ «КП1». Серiя Радютех-нiка. Радiоапаратобудування. - 2011. - № 47. - с. 30-41.

10. Рибш О.1. Умовна деконволющя в обласп трансформант Фур'е. Побудова обе-рнено'1 матрищ деградацп образу / О.1. Рибш, Н.О. 1ванюк // Вюник НТУУ «КП1». Серiя Радiотехнiка. Радiоапаратобудування. - 2012. - № 50. - с. 21-29.

11. Рибш О.1. Формування обернено' матрищ деградацп образу в обласп трансформант Адамара / О.1. Рибш, Н.О. 1ванюк // Вюник НТУУ «КШ». Серiя Радютехшка. Радюапаратобудування. - 2013. - № 52. - с. 29-37.

12. Рибш О.1. Аналiз лшшних систем з використанням кратних перетворень / О.1. Рибш, Ю.Х. Ижебецька, 1.О. Рибiна // Вiсник НТУУ «КШ». Серiя Радiотехнiка. Радю-апаратобудування. - 2010. - № 40. - с. 5-11.

13. Рибш О.1. Аналiз лшшних ситем в обласп трансформант кратного перетворення EIWAL / О.1. Рибш, А.П. Ткачук // В1сник НТУУ «КП1». Сергя Радютехшка. Радюапаратобудування. - 2006. - № 33. - с. 31-38.

14. Рыбин А.И. Анализ линейных систем в области трансформант кратного преобразования RTF / А.И.Рыбин, А.П. Ткачук // Известия вузов. Радиоэлектроника. - 2006.

- Т. 49, № 11. - С.56-63.

15. Рибша 1.О. Аналiз лшшних систем з використанням кратних перетворень шляхом розкладу реакцп системи в ряд Тейлора. / 1.О. Рибша, О.Я. Вiвчарик, О.А. Якубен-ко // В1сник НТУУ «КП1». Сер1я Радютехшка. Радюапаратобудування. - 2011. - № 44.

- с. 37-47.

References

1. Jan Jin (1997) Cislicova filtrace, analyza a restaurace signlu. VUT v BRR№, 438 p.

2. Pratt W.K. (1991) Digital Image Processing. Publisher John Wiley & Sons.

3. Rybin O.I. and Korolev V.Yu. (2000) Restavratsiia obraziv za metodom umovnoi dekonvoliutsii v oblasti prostorovykh chastot. Visnik Tekhnichnogo universytetu Podillia. No 1, pp. 145-147.

4. Rybin A.I. and Korolev V.Yu. (2001) Restavratsiia obrazov v chastotnoi oblasti metodom vzveshenoi filtratsii Uolsha [Analysis of linear circuits in the basis of Walsh transformation]. Radioelectronics and Communications Systems. Vol. 44, No 4. pp. 51-56.

5. Rybin A. I. and Tkachyk A. P. (2006) The analisis of linear systems in basis of Walsh-Hadamard transformation. Visn. NTUU KPI, Ser. Radioteh. radioaparatobuduv. no. 33, pp. 14-23. (in Ukrainian).

6. Rybin A.I. (2004) Analiz lineinykh tsepei v bazise preobrazovania Uolsha [Analysis of linear circuits in the basis of Walsh transformation]. Radioelectronics and Communications Systems. Vol. 47, No 5, pp. 36-41.

7. Rybin, A. I. and Ivanyuk, N. A. (2011) Images restoration by theconditional deconvolution methodin basis of Hadamard transformation. Visn. NTUU KPI, Ser. Radioteh. radioaparatobuduv. no. 46, pp. 51-58. (in Ukrainian).

8. Rybin, A. I. and Ivanyuk, N. A. (2012) Image degradation matrix formation algorithm with usage of Adamar discrete transformation. Visn. NTUU KPI, Ser. Radioteh. radioaparatobuduv. no. 49, pp. 18-32. (in Ukrainian)

9. Rybin, A. I. and Ivanyuk, N. A. (2011) Fourier transformant area deconvolution condition. Construction of the image degradation matrix. Visn. NTUU KPI, Ser. Radioteh. radioaparatobuduv. no. 47, pp. 30-41. (in Ukrainian)

10. Rybin, A. I. and Ivanyuk, N. A. (2012) Conventional deconvolution in the Fourier transforms. The image degradation inverse matrix construction. Visn. NTUU KPI, Ser. Radioteh. radioaparatobuduv. no. 50, pp. 21-29. (in Ukrainian)

11. Rybin, A. I. and Ivanyuk, N. A. (2013) The formation of image degradation inverse matrix in the Hadamard transformation field. Visn. NTUU KPI, Ser. Radioteh. radioaparatobuduv. no. 52, pp. 29-37. (in Ukrainian)

12. Rybin, A. I., Nizhebetska, Y. Kh. and Rybina, I. O. (2010) Analysis of the linear systems with the use of multiple transform. Visn. NTUU KPI, Ser. Radioteh. radioaparatobuduv. no. 40, pp. 5-11. (in Ukrainian).

13. Rybin, A. I. and Tkachyk, A. P. (2006) The analisis of linear systems in basis of EIWAL transformation. Visn. NTUU KPI, Ser. Radioteh. radioaparatobuduv. no. 33, pp. 3138. (in Ukrainian).

14. Rybin A.I. and Tkachuk A.P. (2006) Analiz leneinykh sistem v oblaste transformant kratnogo preobrazovania RTF. Radioelectronics and Communications Systems. Vol. 49, No 11. pp. 39-44.

15. Rybina, I. O., Vivcharyk, O. Ya. and Yakubenko, A. A. (2011) Analysis of linear systems with the usage of multiple transformations with Taylor series. Visn. NTUU KPI, Ser. Radioteh. radioaparatobuduv. no. 44, pp. 37-47. (in Ukrainian)

1ванюк Н. О. Реставращя двовим1рного образу методом умовног деконволюци в област1 трансформант перетворення Адамара. Розглянуто метод умовног деконволюци для реставраци двовим1рних образ1в. Запропоновано алгоритм методу умовног деконволюци в базиЫ трансформант перетворення Адамара. Приведено приклади реставраци еталонного образу методом умовног деконволюци в област1 трансформант перетворення Адамара з р1зним р1внем адитивного шуму. Для поргвняння приведено результат реставраци в област1 перетворення Фур'е та в област1 перетворення Адамара при одному i тому ж р1вн1 адитивного шуму.

Ключов1 слова: реставращя двовимiрного образу, умовна деконволющя, перетворення Адамара, перетворення Фур'е.

Иванюк Н. А. Реставрация двумерного образа методом условной деконволюции в области трансформант преобразования Адамара. Рассмотрен метод условной деконволюции для реставрации двумерных образов. Предложен алгоритм метода условной деконволюции в базисе трансформант преобразования Адамара. Приведены примеры реставрации эталонного образа методом условной деконволюции в области трансформант преобразования Адамара с разным уровнем аддитивного шума. Для сравнения приведены результат реставрации в области преобразования Фурье и в об-

ласти преобразования Адамара при одном и том же уровне аддитивного шума.

Ключевые слова: реставрация двумерного образа, условная деконволюции, преобразование Адамара, преобразование Фурье.

Ivaniuk N. Two-dimensional image restoration by conventional deconvolution method in Hadamard transformation field.

Introduction. The conventional deconvolution methodfor two-dimensional image restoration is considered. The algorithm of conventional deconvolution method in basis of Hada-mard transformation is proposed.

The problem statement. The examples of standard image restoration by conventional de-convolution method in Hadamard transformation field with different level of additive noise are given. The results of restoration in Fourier and Hadamard transformation fields at the same level of additive noise are shown for comparison.

Conclusions. Realization of conventional deconvolution method in basis of Hadamard transformation gives the results similar to restoration results using discrete Fourier transformation. Herewith there is no Gibbs effect and basis of Hadamard transformation is convenient for archiving images. The conventional deconvolution method in Hadamard transformation field is rather simple, requires less computation time and less number of arithmetic operations in comparison with image restoration method in natural coordinates.

Keywords: two-dimensional image restoration, conventional deconvolution, Hadamard transformation, Fourier transformation.